浙江大学光电学院，浙江 杭州

收稿日期：2023年6月4日；录用日期：2023年7月4日；发布日期：2023年7月14日

摘要

规范场是驱动物质运动、参与传递相互作用的中介场。在量子电动力学、弱电统一模型和量子色动力学中，规范场是理论原生的基本动力学场。除此之外，规范场还可以“人造”(synthesis)和“呈展”(emergence)两种方式、以非基本或非原生的动力学场的身份展现，前者在一些应用领域(如电磁学、光学、凝聚态物理学)中为不少研究人员所关注，后者为引力–规范统一目的，在微分几何和广义相对论中以高维引力场的身份衍生出来。本文研究电磁学、量子光学系统中的人造规范势(和人造“磁学”)与卡鲁扎–克莱因理论中的衍生电磁规范场。能呈现人造规范势的物理系统包括含时哈密顿量系统、非共面弯曲光纤系统、原子–光场的电或磁偶极矩相互作用系统、横截面非均匀波导体系和各向异性电磁介质。在这些例子中，原子和光场仿佛是在等效的规范势中运动，其波动方程或场方程中的偏导数算符都被携带了等效规范势的协变导数算符取代。对于“呈展的规范场”这个主题而言，卡鲁扎–克莱因理论(五维时空的广义相对论)能统一爱因斯坦引力理论与麦克斯韦电磁场论，电磁相互作用作为高维引力耦合呈现在普通的四维时空，也即电磁力在本质上是引力。推而广之，非阿贝尔版本的卡鲁扎–克莱因理论能将杨–米尔斯规范场解释为高维引力场。本文从引力作用量密度、高维时空线元、短程线方程这些高维引力理论核心构件推导了电动力学基本内容。本文也分析了早期规范理论简史包括魏尔标度变换理论(1918~1919)、卡鲁扎–克莱因理论(1921, 1926)、克莱因矢量规范理论(1938)的研究历史，评述了引力理论和规范场论之间竞争、反哺、互相促进这一曲折发展史及其给后人可能的启迪性意义。

关键词

人造规范场，衍生规范场，卡鲁扎–克莱因理论，引力–规范统一

Notes on Gauge Field Theories (I): Synthetic Gauge Potentials in Electromagnetic Optics and Emergent Electromagnetic Gauge Field in the Kaluza-Klein Theory

Jianqi Shen

College of Optical Science and Engineering, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang

Received: Jun. 4^th, 2023; accepted: Jul. 4^th, 2023; published: Jul. 14^th, 2023

ABSTRACT

Gauge field is an intermediate field that drives the motion of matter and participates in mediating the interactions or transfers the forces in various physical systems. In quantum electrodynamics, electroweak unified model and quantum chromodynamics, the gauge fields are the fundamental dynamical fields of the theories. In addition, gauge fields can also be synthetic or/and emergent fields, where the former has attracted the intensive attention of many researchers in some applied areas (such as electromagnetism, optics and condensed matter physics) and the latter emerges as a higher-dimensional gravitational field, serving the purpose of gravity-gauge unification, in differential geometry and general relativity. The two topics such as the artificial gauge potentials (and synthetic “magnetism”) in electromagnetic optics and the emergent Yang-Mills gauge field are considered in this paper. Such physical systems in electromagnetics and quantum optics that can exhibit the artificial gauge potentials include time-dependent Hamiltonian systems, non-coplanarly curved fiber, atom-light electric- or magnetic-dipole allowed interaction systems, non-uniform cross-section waveguides and anisotropic electromagnetic media. In these illustrative examples, the atoms and optical fields seem to propagate in the presence of some effective gauge potentials and all the spatial partial derivatives in their wave or field equations need to be replaced by the covariant derivatives that carry the effective gauge potentials. As far as the emergent gauge field is concerned, the Kaluza-Klein theory (five-dimensional general relativity) can be used to unify the theories of Einstein’s gravitation and Maxwell’s electromagnetism, i.e., the electromagnetic interaction emerges as an effect of higher-dimensional gravity and the electromagnetic force is in essence a gravitational interaction. By extension, the Yang-Mills gauge field could also be interpreted as a higher-dimensional gravitational field in a non-Abelian formalism of the Kaluza-Klein theory. In the present paper, the essential content of classical electrodynamics has been derived by taking full advantage of the fundamental components of higher-dimensional gravity, such as gravitational Lagrangian density, higher-dimensional spacetime line element and geodesic line equation. The brief history of developments in Weyl gauge theory (1918~1919), Kaluza-Klein theory (1921 & 1926) and Klein vectorial gauge theory (1938) will also be analyzed and the history of gravity theory and gauge field theory, where they have competed, fed and promoted each other, will be reviewed in order to reveal the enlightening significance of these theories for us.

Keywords:Synthetic Gauge Field, Emergent Gauge Field, Kaluza-Klein Theory, Gravity-Gauge Unification

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1. 引言

规范对称耦合 [1] [2] [3] [4] 是自然界四种基本相互作用(强、弱、电和引力)的拉格朗日密度的基本结构特点，它也是基本相互作用量子场论可重整性理论所需要满足的前提 [5] [6] [7] 。作为四种基本相互作用理论之一的麦克斯韦电磁场论是人类历史上第一个完整的规范相互作用理论，尽管它在1860年代正式诞生时人们并没有依靠“规范对称性”去建立它。自狭义相对论建立之后，借助牛顿引力理论、狭义相对论和黎曼微分几何三者作为立论基础，1915年爱因斯坦创建了引力的几何化理论即广义相对论。爱因斯坦的工作使得物质、能量、时空和引力统一在了一起，对物质世界获得了深刻的认识。爱因斯坦于是提出了“统一场论(unified field theory)”愿望，希望把万有引力和电磁力统一在一起。受爱因斯坦广义相对论和“统一场论”风尚的启示，魏尔在1918~1919年提出了一种尺度(标度)变换，作为对黎曼几何和广义相对论的推广，发现该引力理论在当保持这种标度变换下的不变性(对称性)时，电磁相互作用的存在是一种内禀(内在自然的)要求 [8] [9] [10] 。不过，魏尔的变换会使得量杆尺度与其存在的历史有关，违反经验 [9] 。但是在1925~1926年量子力学诞生后，当人们把魏尔的实数标度变换因子理解为对波函数的复数相位因子变换，借壳还魂，魏尔的理论获得了新生。此时，电磁场是一种规范场，这是对电磁场的进一步认识。由于在历史上，电磁学毕竟不依靠魏尔的“局域规范对称性”来建立，所以，规范对称性对于电磁学的重要性就没有像对后来发现的强、弱相互作用来得那样大 [5] [6] [7] 。但是，在近代物理学中，人们只有借助规范对称性才可以确定强、弱这两种基本相互作用的主要或核心数学结构，这就是杨–米尔斯非阿贝尔规范场论 [1] 。但这种广义的电磁规范场 [1] [11] [12] [13] ，其提出历史也曾颇为曲折，包括了克莱因、泡利的“高维引力”路子和杨–米尔斯路子 [14] [15] 。

规范理论中的规范场是基本的动力学物理场 [5] [6] [7] ，不过规范场并非只在基本相互作用领域作为自然界秉性出现。在不少应用物理系统尤其是在人为设计的电磁学和量子光学物理系统中会呈现人造的(artificial)或者合成的(synthetic)规范势 [16] 。本文作者根据自己以往研究经验，列举了一些电磁光学系统内的等效规范势例子。这些系统包括横截面非均匀波导系统、光–原子相互作用系统、各向异性电磁介质系统等。有了这样的等效的人造规范势，拓扑几何相位 [17] 、等效Aharonov-Bohm效应 [18] 等也会产生。需要指出的是，以上电磁光学中的人造规范势本身无拉格朗日动能项，它们作为一个物理背景场而存在、驱动其它场和波运动。在本文中，我们也研究具有拉格朗日动能项的等效规范场，即五维卡鲁扎–克莱因(Kaluza-Klein)理论中的衍生(呈展)规范场。在卡鲁杂–克莱因理论中，五维度规中的高维和低维之间的非对角分量被解释为四维电磁势，高维的希尔伯特–爱因斯坦引力作用量密度可以产生普通四维时空中的电磁场拉格朗日量密度，从而爱因斯坦引力理论与麦克斯韦电磁场论可以被统一起来。在该框架下，电动力学基本内容(电磁场作用量密度、电磁场方程、荷电粒子作用量密度和运动方程)可以从引力作用量密度、高维爱因斯坦引力场方程、高维时空线元、短程线方程这些高维引力理论核心构件分别推导出来。卡鲁扎–克莱因理论利用高维空间来统一基本相互作用的思想，在现代物理学(如弦论与M理论)中也被采纳，即高维统一是基本范式，它产生了深远影响 [19] 。

本文是一篇研究札记，介绍规范场论有关专题如电磁学和量子光学中的人造(synthetic)规范势(和人造“磁学”)与微分几何中的呈展(emergent)规范场(和引力–规范统一)的理论研究状况，评述总结了本作者的一些研究结果包括对一些课题前途的展望，对电磁学、量子光学、引力场论领域一些研究课题作了入门介绍，希望在一定程度上有利于拓展一些在人工电磁设计结构、光学电磁理论、微分几何之场论应用的研究人员的视野。本文介绍的重点是为了说明，规范场除了作为理论原生的基本动力学场(如在粒子物理学中的标准模型)以外，还可以“人造”(synthesis)和“呈展”(emergence)两种方式作为非基本、非原生的动力学场的身份出现。前者在一些应用领域(如电磁学、光学、凝聚态物理学)中吸引了不少研究人员的注意，后者则是以“引力–规范统一”为目的，在微分几何和广义相对论中以高维引力规范场的身份展现出来(它既可以被称为“呈展”规范场，意指由高维引力场呈现展示出来，也可以被称呼为“衍生”规范场，意指从母体中演变而产生。此处母体为高维空间引力场，杨–米尔斯规范场在本质上是引力场)。本文还对规范场论一些早期历史(如1918~1919年魏尔的规范场论、1921和1926年的卡鲁扎–克莱因关于引力和电磁力的高维统一理论、1938年克莱因的矢量规范理论和电磁力–核力统一之雏形理论等)进行评述，管中窥豹，部分领略到“20世纪物理学经常从错误的模型得到正确的理论”这一光辉激荡的岁月历史风貌。

关于本专题行文的一些说明：由于篇幅所限原因，本专题包含“规范场论札记”(I)和(II)两文。第(I)文主要包括光学和电磁学中的人造规范场(包括了作者本人的一部分研究)和对卡鲁扎–克莱因理论中的衍生规范场论的研究和评述，第(II)文包括电磁学中的局域对偶对称规范理论、卡鲁扎–克莱因理论的非阿贝尔版本(对杨–米尔斯规范场论的导出)和高维引力规范理论的介绍(“规范场论札记(II)”这三块主要为作者本人的研究总结)。本文涉及的知识范围包括电磁学或电动力学、量子物理学、规范场论、广义相对论和微分几何等。文中出现的一些中外研究者尤其是外国作者的人名和姓氏，凡是常见名姓，用其中文译名；对于非常见人名或者在文内只少许出现几次的，如缺少约定的翻译，则用其英文名或者直接沿袭其论文内的署名法，这也有利于读者可以方便检索有关原始文献。

2. 规范场论的历史起源

在广义相对论中，如果坐标微元满足变换规则 ${\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\lambda M}-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}$ ，则我们有 $\left({\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\lambda M}-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}\right)e^{\bar{M}M}={\xi }^{\bar{M}K}\left({\bar{\partial }}_{\mu }{A}_{\lambda K}-{\bar{\partial }}_{\lambda }{A}_{\mu K}\right)+\left({\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}K}-{\xi }^{\bar{L}K}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}J}\right)A_{\mu J}{A}_{\lambda K}$ 和

${\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}K}-{\xi }^{\bar{L}K}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}J}$ ，那么偏导数变换规则为 ${\bar{\partial }}_M$ 。于是一个标量算符的坐标变换规则为 $\left({\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}K}-{\xi }^{\bar{L}K}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}J}\right){\bar{\partial }}_M=\left[{\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L,{\xi }^{\bar{M}K}{\bar{\partial }}_M\right]$ ，即标量 ${\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L$ 满足变换不变性。

但这种标度变换并非魏尔所研究的变换，它在本质上仍然属于黎曼几何广义坐标变换。魏尔的标度变换与此有所不同。1918年魏尔提出的“纯粹无穷小几何”是黎曼几何的推广，也可以被称为魏尔几何 [8] [9] 。魏尔认为他的这种新几何除了要使用黎曼的二次型度规 ${\xi }^{\bar{M}K}{\bar{\partial }}_M$ 外，还需要添加上一个线性型度量结构 $\left[{\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L,{\xi }^{\bar{M}K}{\bar{\partial }}_M\right]=-f{\text{'}}^{JK}{}_L{\xi }^{\bar{M}L}{\bar{\partial }}_M$ [8] [9] 。根据黎曼几何，某个矢量 $f{\text{'}}^{JK}{}_L$ 的无穷小平行移动(infinitesimal parallel transport)是用 $\left({\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}K}-{\xi }^{\bar{L}K}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}J}\right){\bar{\partial }}_M=-f{\text{'}}^{JK}{}_L{\xi }^{\bar{M}L}{\bar{\partial }}_M$ 表示，此平行移动不改变此四维矢量长度，只改变四维矢量方向。魏尔认为广义的几何(魏尔几何)还需要添加上一个改变长度的联络： ${\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}K}-{\xi }^{\bar{L}K}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{M}J}=-f{\text{'}}^{JK}{}_L{\xi }^{\bar{M}L}$ [8] [9] 。

从这里，我们也可以解读出量杆长度受到魏尔矢量场 $\left({\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\lambda M}-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}\right)e^{\bar{M}M}$ 的影响： $\begin{array}{l}\left({\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\lambda M}-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}\right)e^{\bar{M}M}={\xi }^{\bar{M}L}\left[{\bar{\partial }}_{\mu }{A}_{\lambda L}-{\bar{\partial }}_{\lambda }{A}_{\mu L}\right]+\left(-f{\text{'}}^{JK}{}_L{\xi }^{\bar{M}L}\right)A_{\mu J}{A}_{\lambda K}\\ ={\xi }^{\bar{M}L}\left({\bar{\partial }}_{\mu }{A}_{\lambda L}-{\bar{\partial }}_{\lambda }{A}_{\mu L}-f{\text{'}}^{JK}{}_L{A}_{\mu J}{A}_{\lambda K}\right).\end{array}$ ，它携带了一个不可积衰减因子(根据现在的事后诸葛亮，如果指数部分乘上一个虚数单位，让 $-f{\text{'}}^{JK}{}_L=q{f}^{JK}{}_L$ 变为 $f{\text{'}}^{JK}{}_L$ ，这样的不可积相位因子代表了传播的德布罗意物质波与中介场 $f^{JK}{}_L$ 的耦合效应)。标杆长度的导数为 ${\tilde{\Gamma }}_{\lambda ,\mu M}$ ，可以写为 $F_{\mu \lambda L}^{(Yang-Mills)}={\bar{\partial }}_{\mu }{A}_{\lambda L}-{\bar{\partial }}_{\lambda }{A}_{\mu L}+q{f}^{JK}{}_L{A}_{\mu J}{A}_{\lambda K}$ ，也即 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{g}}_{\mu \nu }& {\tilde{g}}_{\mu i}\\ {\tilde{g}}_{j\nu }& {\tilde{g}}_{ji}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{g}_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu k}{A}^k{}_{\nu }& {\varphi }^2{A}_{\mu i}\\ {\varphi }^2{A}_{j\nu }& {\varphi }^2{\eta }_{ji}\end{array}\right).$ ，此意为传统的导数为 ${\tilde{g}}^{\nu \lambda }=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{g}}^{\nu \lambda }& {\tilde{g}}^{\nu l}\\ {\tilde{g}}^{i\lambda }& {\tilde{g}}^{il}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{g}^{\nu \lambda }& -A^{\nu l}\\ -A^{i\lambda }& g_{\sigma \tau }{A}^{i\sigma }{A}^{\tau l}+{\eta }^{il}/{\varphi }^2\end{array}\right).$ ，现在添加了一个标度因子

$\begin{array}{l}{\tilde{g}}_{\mu \nu }{\tilde{g}}^{\nu \lambda }=\left(\begin{array}{cc}{g}_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu k}{A}^k{}_{\nu }& {\varphi }^2{A}_{\mu i}\\ {\varphi }^2{A}_{j\nu }& {\varphi }^2{\eta }_{ji}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{g}^{\nu \lambda }& -A^{\nu l}\\ -A^{i\lambda }& g_{\sigma \tau }{A}^{i\sigma }{A}^{\tau l}+{\eta }^{il}/{\varphi }^2\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}\left(g_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu k}{A}^k{}_{\nu }\right)g^{\nu \lambda }+{\varphi }^2{A}_{\mu i}(-A^{i\lambda })& \left(g_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu k}{A}^k{}_{\nu }\right)(-A^{\nu l})+{\varphi }^2{A}_{\mu i}\left(g_{\sigma \tau }{A}^{i\sigma }{A}^{\tau l}+{\eta }^{il}/{\varphi }^2\right)\\ {\varphi }^2{A}_{j\nu }{g}^{\nu \lambda }+{\varphi }^2{\eta }_{ji}(-A^{i\lambda })& {\varphi }^2{A}_{j\nu }(-A^{\nu l})+{\varphi }^2{\eta }_{ji}\left(g_{\sigma \tau }{A}^{i\sigma }{A}^{\tau l}+{\eta }^{il}/{\varphi }^2\right)\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mu }{}^{\lambda }& 0\\ 0& {\delta }_j{}^l\end{array}\right).\end{array}$ ，但是其在效果上使得普通导数 ${\tilde{g}}_{\mu M}(x,y)\to {\xi }_M{}^K(y)A_{\mu K}(x)$ 变为了协变导数 $\begin{array}{l}{\tilde{g}}_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{g}}_{\mu \nu }& {\tilde{g}}_{\mu M}\\ {\tilde{g}}_{N\nu }& {\tilde{g}}_{NM}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{g}_{\mu \nu }+{\varphi }^2{A}_{\mu L}{A}^L{}_{\nu }& {\varphi }^2{A}_{\mu M}\\ {\varphi }^2{A}_{N\nu }& {\varphi }^2{\eta }_{NM}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}{g}_{\mu \nu }+{\varphi }^2[{\xi }_L{}^K(y)A_{\mu K}(x)][{\xi }^{LP}(y)A_{\nu P}(x)]& {\varphi }^2{\xi }_M{}^K(y)A_{\mu K}(x)\\ {\varphi }^2{\xi }_N{}^K(y)A_{\nu K}(x)& {\varphi }^2{\eta }_{NM}\end{array}\right).\end{array}$ ，宏观数学结构虽然不变，但是通过协变导数，引入了(电磁)相互作用。如果将魏尔的标度变换推广到函数的变换： $\left({\partial }_{\mu }{\tilde{g}}_{\lambda M}-{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu M}\right)e^{\bar{M}M}={\xi }^{\bar{M}L}\left({\bar{\partial }}_{\mu }{A}_{\lambda L}-{\bar{\partial }}_{\lambda }{A}_{\mu L}-f{\text{'}}^{JK}{}_L{A}_{\mu J}{A}_{\lambda K}\right)$ (魏

尔规范变换理论)，引入协变导数 $f{\text{'}}^{JK}{}_L{A}_{\mu J}{A}_{\lambda K}$ 、 $J,K$ ，那么我们就有一个广义的导数 $(n)$ ，它可以写为

$n^2-1$ ，

于是魏尔矢量势(魏尔认为这是电磁矢量势)满足变换规则 $J,K$ 。在这样的变换下，电磁场强 $n^2-1$ 具有(在魏尔的标度变换下的)不变性。

在魏尔理论中，度规的标度变换为 $J,K$ ，其中我们引入了一个参数 $n^2-1$ ，在与电磁学比较时，以便它能让有关函数保持量纲上的平衡。黎曼几何Levi-Civita联络为 $d$ 。由于 $d(d+1)/2$ ，于是在魏尔几何中，Levi-Civita联络为

$d=n^2-1\ne d(d+1)/2$ 。

引力场中粒子的作用量为 $d=1$ ，将度规的标度变换 $d=d(d+1)/2$ 代入，我们得到 $2n$ ，其中指数因子 $(n)$ 可以近似写为 $2n$ 。如果 $2n(2n-1)/2$ 在点粒子局域上与电荷 $d$ 有关，那么魏尔几何中的引力场中粒子的作用量 $d(d+1)/2$ 可以写为传统的经典粒子作用量 $d=2n-1$ 和电动力学带电粒子与电磁场的耦合作用量 $2n$ 之和。这意味着在魏尔理论中，电磁力(可以通过魏尔的标度变换不变性)以引力的身份呈现出来。

魏尔的方案尽管在理论上取得了成功，但是爱因斯坦对魏尔的指数标度因子 $(n)$ 随意

破坏量杆长度颇为踌躇。时间到了1926年，薛定谔基于德布罗意物质波思想，建立了量子力学的波动力学版本。此时，福克(V. Fock)、伦敦(F. London)和魏尔(H. Weyl)本人领悟到，如果把魏尔的尺度变换因子由实数改为复数、变换的对象由标杆的长度取代为薛定谔的波函数，那么爱因斯坦所说的致命问题将不再存在，电磁相互作用的存在仍然是该规范变换下的内禀自然要求(这是魏尔理论的核心成果)，为了保持电子波函数的薛定谔方程在该规范变换下形式不变必须要求存在电磁场。具体说来，福克认识到电动力学中的电荷机械动量 $\left({\xi }_N{}^J{\bar{\partial }}_L{\xi }_M{}^K-{\xi }_N{}^K{\bar{\partial }}_L{\xi }_M{}^J\right)A_{\mu J}{A}_{\lambda K}$ 要用 $J,K$ 代替，伦敦认识到量子力学中的带电粒子会具有

不可积标度(相位)因子 ${\tilde{g}}_{\mu M}(x,y)={\xi }_M{}^K(y)A_{\mu K}(x)$ [9] 。不过此时两位还没有明确的局域相位变换思想，相位

变换最终是由魏尔本人在1929年发表的论文《电子与引力》中提出 [9] [10] 。魏尔终于承认，他原本希望与引力有关的标度变换，最终其实与引力无关，而是跟量子力学波函数有关。这样，在量子力学框架下，电动力学的规范场论版本建立起来。这是电动力学理论的第三次升华(第一次升华是麦克斯韦和洛伦兹根据实验建立起了经典电动力学，实验约束了电动力学的数学结构；第二次升华则是庞加莱、爱因斯坦和闵科夫斯基根据狭义相对论不变性重建电动力学理论，即电动力学的数学形式由相对论不变性来约束；第三次升华则是魏尔的局域规范对称性再次约束了电动力学数学结构)，这是对电动力学本质的认识的深化。第四次升华可以是量子电动力学的建立以及电磁力与其它基本力的统一。

标杆的绝对长度是一个可测量，因此不允许牵涉魏尔的规范变换，但是波函数的绝对相位是不可测量，参与魏尔的局域规范变换是允许的。此时，魏尔的这种变换，其实应该叫局域“相位变换”才对，但是魏尔没有改变名称，仍然叫它局域“规范变换”，后人也沿袭了这个名称。在量子力学建立后， ${\xi }_M{}^K(y)$ 中的 $F_{\mu \lambda P}^{(higher)}$ 要变为虚数，如 ${({\xi }^{-1})}_{P\bar{N}}\left({\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{N}K}-{\xi }^{\bar{L}K}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{N}J}\right)$ ，那么波函数的规范(相位)变换为 $q{f}^{JK}{}_P$ 。根据一般的电动力学和量子力学教材叙述，规范对称性要求经过局域相位规范变换前后的薛定谔方程在形式上不变，即

$F_{\mu \lambda P}^{(higher)}=F_{\mu \lambda P}^{(Yang-Mills)}$

设波函数的规范变换为 ${\xi }_M{}^K(y)$ ，那么协变导数的变换规则为

${\xi }_M{}^K(y)$ 。

如果三维磁矢量变换规则为 ${\tilde{g}}_{\mu M}(x,y)$ ，那么上述协变导数可以化为 $A_{\mu K}(x)$ ，它与波函数变换规则 ${\tilde{g}}_{\mu M}(x,y)={\xi }_M{}^K(y)A_{\mu K}(x)$ 在结构上一样(即协变导数与波函数在整体上都多了一个局域相位因子 $F_{\mu \lambda P}^{(higher)}=\left({\bar{\partial }}_{\mu }{A}_{\lambda P}-{\bar{\partial }}_{\lambda }{A}_{\mu P}\right)+{({\xi }^{-1})}_{P\bar{N}}\left({\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{N}K}-{\xi }^{\bar{L}K}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{N}J}\right)A_{\mu J}{A}_{\lambda K}$ ) [7] 。同理，设电标量势变换规则为 ${({\xi }^{-1})}_{P\bar{N}}\left({\xi }^{\bar{L}J}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{N}K}-{\xi }^{\bar{L}K}{\bar{\partial }}_L{\xi }^{\bar{N}J}\right)$ ，关于时间的协变导数变换规则为 ${\xi }_M{}^K(y)$ ，它与波函数变换规则 $X={\xi }^i{\partial }_i$ 在结构上亦同。在以上变换规则下，磁感应强度和电场强度具有不变性：

$Y={\eta }^j{\partial }_j$

以上就是带电粒子电动力学在量子物理学中的规范变换，它们的运动方程和拉格朗日量密度都具有规范对称性。如电磁相互作用拉格朗日密度 $Y={\eta }^j{\partial }_j$ 的规范变换是 $X={\xi }^i{\partial }_i$ ，其中用到电荷守恒定律 $L_{X}Y=[X,Y]=\left({\xi }^k{\partial }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\partial }_k{\xi }^j\right){\partial }_j$ 。我们看到，电磁相互作用拉格朗日密度 $[X,Y]$ 的规范变换结果是一个全散度项 $[X,Y]f=({\xi }^i{\partial }_i)({\eta }^j{\partial }_j)f-({\eta }^j{\partial }_j)({\xi }^i{\partial }_i)f$ ，对于电荷运动方程和电磁场方程没有贡献，这就证明了这种电磁耦合满足规范对称性。

顺便说明：在初等的场论中，四维矢量势 ${\xi }^j$ 是规范势，而场强 ${\eta }^j$ 是规范场。但在较为高等的场论中， ${\nabla }_k{\xi }^j={\partial }_k{\xi }^j+{\Gamma }^j{}_{km}{\xi }^m$ 被直接称呼为规范场，至于规范场强 ${\nabla }_k{\eta }^j={\partial }_k{\eta }^j+{\Gamma }^j{}_{km}{\eta }^m$ (曲率张量、规范场张量)则是一个导出量。这是一个因人而异的非本质的习惯。

局域规范变换的物理意义是什么？这可以类比局域时空平移对称性和洛伦兹转动对称性来理解。在广义相对论中，这样的对称性导致引力(包括黎曼–嘉当曲率和挠率等)。绝对的位置不可测，绝对的相位也不可测，因此这允许我们对物理学方程施行这样的变换，它要求在变换前后数学结构不变。正如杨振宁所言：“对称性决定相互作用。”这曾为20世纪构造新物理学理论提供了线索。

3. 电磁学和量子光学中的人造规范势和人造“磁学”

从上面的规范对称理论看来，规范场驱动物质场运动，规范场是以协变导数的形式进入物质场的运动方程之中的，以这样的规范耦合方式参与与物质场的相互作用。受此启发，在其它非规范理论之中，也会存在这种等效的规范势，它们以协变导数的形式进入被研究对象(如原子和光场)的运动方程之中，呈现出人造规范势效应。这种规范势尽管并非基本，但是它们在应用领域可以根据人的意愿被设计并驱动系统运作，呈现出丰富多彩的几何和拓扑特色。

下面我们列举出电磁学和量子光学中的六个人造规范势例子。

3.1. 含时量子系统的等效规范势

在Berry拓扑(几何)相位理论中，几何相位起源于含时哈密顿量或者含有演化参数的哈密顿量 [17] 。为了求解具有含时哈密顿量的薛定谔方程的精确解，Lewis和Riesenfeld在1969年提出了一个使用李代

数解方程的方法 [20] ，他们不去直接求解含时薛定谔方程 $[X,Y]$ ，而是改为求所谓的不变量算符 $\begin{array}{l}{\xi }^k{\partial }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\partial }_k{\xi }^j={\xi }^k\left({\nabla }_k{\eta }^j-{\Gamma }^j{}_{km}{\eta }^m\right)-{\eta }^k\left({\nabla }_k{\xi }^j-{\Gamma }^j{}_{km}{\xi }^m\right)\\ ={\xi }^k{\nabla }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }^j.\end{array}$ 的定态本征方程 $Y={\eta }^j{\partial }_j$ ，同时证明了含时薛定谔方程的解 $X={\xi }^i{\partial }_i$ 与它对应的不变量算符 $L_{X}Y=[X,Y]=\left({\xi }^k{\nabla }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }^j\right){\partial }_j$ 的本征态矢量 $X={\xi }^i{\partial }_i$ 只差一个特定的相位因子。此相位因子的相位除了含有传统的动力学相位以外，还含有(非循回、非绝热)几何相位 [20] 。Lewis-Riesenfeld不变量算符 $g_{ij}$ 遵守守恒的量子力学运动方程 $L_X{g}_{ij}$ (量子刘维尔方程) [20] ，设不变量算符 $L_X{g}_{ij}={\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i=0$ 的本征态为 $x{\text{'}}^i=x^i+\epsilon {\xi }^i(x)$ ，于是含时薛定谔方程 $\epsilon$ 的一个特解可以写为 $g_{ij}(x)=g{\text{'}}_{ij}(x)$ ，它的总相位为 ${\xi }^i$ ，其中相位之一 ${\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i=0$ 是动力学相位，相位之二 $M$ 具有规范势特性的“几何”相位(在非循环和非绝热过程之中) [20] 。需要指出，我们其实仍旧很难求解不变量算符 $V^{\alpha }(M)$ [20] 的含时本征态。于是Gao等人在1991年提出了一种对不变量方程进行么正变换的方法 [21] ，具体说来就是对Lewis-Riesenfeld不变量算符 $N$ 的(定态)本征值方程 $g_{\alpha \beta }(M)V^{\alpha }(M)V^{\beta }(M)=g_{\alpha \beta }(N)V^{\alpha }(M\to N)V^{\beta }(M\to N)$ 、不变量运动方程 ${\nabla }_{\gamma }{g}_{\alpha \beta }=0$ [20] 以及含时薛定谔方程 $x{\text{'}}^i=x^i+\epsilon {\xi }^i(x)$ 三者一起施行该么正变换 $L_X{g}_{ij}={\lim }_{\epsilon \to 0}(g_{ij}(x)-g{\text{'}}_{ij}(x))/\epsilon ={\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i=0$ [21] ，于是将含时的不变量算符 $x{\text{'}}^i=x^i+\epsilon {\xi }^i(x)$ 化成不含时的不变量算符 $g_{ij}(x)=g{\text{'}}_{ij}(x)$ ，其效果是含时的不变量算符 $X={\xi }^i{\partial }_i$ 和含时的哈密顿量算符 $L_X{g}_{ij}=0$ 被对角化了，从而使得求解变得容易 [21] 。被施行么正变换之后，新哈密顿量算符的形式为 ${\xi }_{\mu }$ [21] ，其中新项 $p^{\mu }$ 具有规范势特点，满足普通的规范变换规则。我们可以称呼这样的新项 ${\xi }_{\mu }{p}^{\mu }=C$ 为几何相联络(geometric-phase connection)或几何相规范势(geometric-phase gauge potential)。

在某些参数空间内，几何相联络的时间积分可以写为一个参数空间中的“磁矢量”的线积分，即 $p^{\mu }=m_0{u}^{\mu }=m_{0}d{x}^{\mu }/d\tau$ ，其中 $\begin{array}{l}\frac{d}{d\tau }\left({\xi }_{\mu }{p}^{\mu }\right)=\frac{d{\xi }_{\mu }}{d\tau }{p}^{\mu }+{\xi }_{\mu }\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }\\ =\left(\frac{D{\xi }_{\mu }}{d\tau }+{\xi }_{\sigma }{\Gamma }^{\sigma }{}_{\nu \mu }{u}^{\nu }\right)p^{\mu }+{\xi }_{\mu }\left(\frac{D{p}^{\mu }}{d\tau }-{\Gamma }^{\mu }{}_{\nu \sigma }{p}^{\sigma }{u}^{\nu }\right)\\ =\frac{D{\xi }_{\mu }}{d\tau }{p}^{\mu }+{\xi }_{\mu }\frac{D{p}^{\mu }}{d\tau }.\end{array}$ 正是参数空间中的“磁矢量”。模仿旋量场论中的自旋联络( $\begin{array}{l}\frac{d}{d\tau }\left({\xi }_{\mu }{p}^{\mu }\right)=\left(u^{\nu }{\nabla }_{\nu }{\xi }_{\mu }\right)p^{\mu }+{\xi }_{\mu }{u}^{\nu }{\nabla }_{\nu }{p}^{\mu }=\left(u^{\nu }{\nabla }_{\nu }{\xi }_{\mu }\right)p^{\mu }+{\xi }_{\mu }\frac{D{p}^{\mu }}{d\tau }\\ =\frac{1}{2}{u}^{\nu }\left({\nabla }_{\nu }{\xi }_{\mu }+{\nabla }_{\mu }{\xi }_{\nu }\right)p^{\mu }=0,\end{array}$ )，这一“磁矢量”中的么正变换 ${\nabla }_{\mu }{\xi }_{\nu }+{\nabla }_{\nu }{\xi }_{\mu }=0$ 和 $u^{\nu }{\nabla }_{\nu }{p}^{\mu }=\frac{D{p}^{\mu }}{d\tau }=0$ 可以被看作不变量本征态空间复流形中的vielbein (标架场)。

含时量子系统在二十多年前本已经被研究透彻，但是后来因为在光学电磁介质领域、量子光学和原子物理学等中可以用人工手段设计宇称–时间对称结构、非厄密哈密顿量系统，含时量子系统又被不少作者所关心 [22] - [27] 。

3.2. 非共面螺旋形弯曲光纤中的等效规范势

光波在非共面弯曲的光纤中传播，除了得到传统的动力学相位外，还有与光纤几何形状有关的几何相位 [28] [29] ，故直线光纤和螺旋形弯曲光纤内的波传播性质并不完全一样。自从Berry在1984年提出绝热几何相位理论 [17] 后，Chiao和Wu提出了螺旋或者非共面弯曲光导纤维中的光子的几何相位测量方案 [28] ，Tomita和Chiao在实验上观察到了该拓扑几何相位 [29] ，它的数值大小与非共面弯曲光纤所张的立体角成正比，也与光通过的光纤螺旋匝数成正比。在这个问题中，前人作者通常把光子螺旋度(光子总角动量算符在其波矢量方向上的投影)作为其有效哈密顿量，但是Gao指出该计算方案的不足，提出螺旋度只是弯曲光纤中的光子的一个Lewis-Riesenfeld不变量算符，因此需要依靠该Lewis-Riesenfeld不变量理论再度构造一个哈密顿量，并系统地研究了这个问题 [30] 。假设弯曲的光纤曲率半径足够大，忽略由此带来的应力效应，光波的纵向(即光纤轴向)波矢量始终与弯曲的光纤相切，那么纵向波矢量只改变其方向、

不改变大小，由此得到纵向(即光纤轴向)波矢量 $\frac{D{p}^{\mu }}{d\tau }=\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }+{\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }{p}^{\beta }{u}^{\alpha }$ 所满足的方程： ${\xi }_{\mu }$ 。此式等价于Lewis-Riesenfeld不变量方程 $p^{\mu }$ ，其中不变量算符为 $A$ (光子螺旋度)、光子有效哈密顿量为 $\begin{array}{l}{L}_{X}A=L_X\left(g_{ij}{A}^{ij}\right)={\xi }^m{\partial }_m\left(g_{ij}{A}^{ij}\right)={\xi }^m{\nabla }_m\left(g_{ij}{A}^{ij}\right)={\xi }^m\left({\nabla }_m{g}_{ij}\right)A^{ij}+{\xi }^m{g}_{ij}{\nabla }_m{A}^{ij}\\ ={\xi }^m{g}_{ij}{\nabla }_m{A}^{ij}=g_{ij}{L}_X{A}^{ij}.\end{array}$ (这里 $L_X{A}^{ij}={\xi }^m{\nabla }_m{A}^{ij}$ 为光子角动量算符) [30] 。上述方程(光的波矢量 $L_X\left(g_{ij}{A}^{ij}\right)$ 所满足的方程)其实是一个数学恒等式，自身不带来任何有用的信息，但是它的“等效磁场”却可以用光波路径来表示，因此具有计算思想方法论意义。将此方程与荷电粒子在磁场中的运动方程 $L_X\left(g_{ij}{A}^{ij}\right)=g_{ij}{L}_X{A}^{ij}+\left(L_X{g}_{ij}\right)A^{ij}$ 作比较，我们发现， $L_{X}A=g_{ij}{L}_X{A}^{ij}$ 好似一个等效“磁场”，由此可以定义等效的“磁

矢量势”。该方法除了对于弯曲光纤中的光波适用外，它也可以适用于沿着曲线路径传播的玻色–爱因斯坦凝聚体。

在近年来使用新的设计工艺，光纤内的几何相位研究在理论和实验上又受到关注，这对于量子物理基础和应用研究都有借鉴意义 [31] [32] [33] [34] 。

3.3. 原子–光场相互作用中的等效规范势

自旋–轨道耦合在量子物理、冷原子物理和凝聚态物理等领域吸引了广泛兴趣 [35] [36] 。自旋–轨道耦合的哈密顿量 $\left(L_X{g}_{ij}\right)A^{ij}=0$ 可以化为 $A^{ij}$ ，它表现为速度或动量 $L_X{g}_{ij}=0$ 与一个矢量规范势 $L_X{g}_{ij}={\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i=0$ 的耦合，它类同于电磁相互作用势能密度 $X$ 或者 $Y$ 。原子–光场耦合包括电偶极矩和磁偶极矩耦合。由于原子有动能，原子在实验室参考系和原子在自身参考系中与光的耦合哈密顿量并不相同，例如实验室内和原子参考系内的电场满足变换关系 $L_X{g}_{ij}=0$ ，于是在实验室坐标系中，原子–光场的电偶极矩耦合势能为

$L_Y{g}_{ij}=0$ ，

其期待值为 $\left[X,Y\right]$ 。这里出现了与原子速度 $L_{[X,Y]}{g}_{ij}=L_X{L}_Y{g}_{ij}-L_Y{L}_X{g}_{ij}=0$ 耦合的矢量势 $L_{[X,Y]}{g}_{ij}=L_X{L}_Y{g}_{ij}-L_Y{L}_X{g}_{ij}$ [37] 。众所周知，在四维形式中，电磁相互作用势能密度是 $X={\xi }^i{\partial }_i$ 或者

$Y={\eta }^j{\partial }_j$ 。将它与上面的原子–光场的电偶极矩耦合势能比较，我们可以得到等效的矢

量规范势 $[X,Y]=\left({\xi }^k{\partial }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\partial }_k{\xi }^j\right){\partial }_j$ 。设原子能态为 ${\xi }^k{\partial }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\partial }_k{\xi }^j$ ，那么原子的跃迁电偶极矩期待值为 $[X,Y]$ 。这样一来，所展现的等效规范势 ${\xi }^k{\partial }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\partial }_k{\xi }^j={\xi }^k{\nabla }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }^j$ 是一个非阿贝尔规范势 [37] 。为了方便，我们忽略标量势，则原子的拉格朗日量为 $L_X{g}_{ij}={\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i$ ，正则动量为 $L_{[X,Y]}{g}_{ij}={\nabla }_i\left({\xi }^k{\nabla }_k{\eta }_j-{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }_j\right)+{\nabla }_j\left({\xi }^k{\nabla }_k{\eta }_i-{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }_i\right),$ ，原子的哈密顿量为

$\begin{array}{l}{L}_{[X,Y]}{g}_{ij}={\nabla }_i{\xi }^k{\nabla }_k{\eta }_j+{\xi }^k{\nabla }_i{\nabla }_k{\eta }_j-{\nabla }_i{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }_j-{\eta }^k{\nabla }_i{\nabla }_k{\xi }_j\\ +{\nabla }_j{\xi }^k{\nabla }_k{\eta }_i+{\xi }^k{\nabla }_j{\nabla }_k{\eta }_i-{\nabla }_j{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }_i-{\eta }^k{\nabla }_j{\nabla }_k{\xi }_i.\end{array}$ 。

这哈密顿量在形式上与非相对论电动力学中荷电粒子的哈密顿量形式一样。

上面所考虑的是原子与光场之间的电偶极相互作用。对于磁偶极相互作用，其实验室参考系内的哈密顿量为

${\nabla }_k{\eta }_j=-{\nabla }_j{\eta }_k$ 。

同理，我们也可以得到等效的规范势 ${\nabla }_k{\xi }_j=-{\nabla }_j{\xi }_k$ [37] 。

3.4. 截面非均匀波导中的等效规范势

当存在相互作用时，薛定谔方程(当然也包括其它波动方程如克莱因–戈登方程和狄拉克方程)需要遵守局域规范变换下的不变性(对称性)，取代其普通偏导数 $\begin{array}{l}{\nabla }_i{\xi }^k{\nabla }_k{\eta }_j-{\nabla }_i{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }^k{\nabla }_k{\eta }_i-{\nabla }_j{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }_i\\ =-{\nabla }_i{\xi }^k{\nabla }_j{\eta }_k+{\nabla }_i{\eta }^k{\nabla }_j{\xi }_k-{\nabla }_j{\xi }^k{\nabla }_i{\eta }_k+{\nabla }_j{\eta }^k{\nabla }_i{\xi }_k=0.\end{array}$ 的是带有规范势 $L_{[X,Y]}{g}_{ij}={\xi }^k{\nabla }_i{\nabla }_k{\eta }_j-{\eta }^k{\nabla }_i{\nabla }_k{\xi }_j+{\xi }^k{\nabla }_j{\nabla }_k{\eta }_i-{\eta }^k{\nabla }_j{\nabla }_k{\xi }_i$ 的协变导数 ${\nabla }_i{\nabla }_k{\eta }_j-{\nabla }_k{\nabla }_i{\eta }_j={\eta }_l{R}^l{}_{jki}$ 。下面我们来证明：在一些人造规范势系统中，如果它的微分方程解不可按照自由度被分离变量，不同自由度之间有耦合，那么该物理系统会展现等效的规范势。这里的推导思路是基于“有限元”思想方法 [38] [39] 以及本作者多年来对含时演化系统、等效规范势、标架场、规范群流形等的思考和研究经验。我们研究一个例子(横截面为非均匀的金属波导)，假设该系统内的光传播演化可被大致区分为快变和缓变两个过程，于是可以证明那个快变过程会出现有效的人造规范势 [40] 。

在横截面非均匀的金属波导内，波导壁由金属构成，内为真空介质。设电磁场在波导纵向坐标 ${\nabla }_i{\nabla }_k{\eta }_j={\nabla }_k{\nabla }_i{\eta }_j+{\eta }_l{R}^l{}_{jki}$ (传播方向)上快变，与此同时，波导因为有非均匀横截面(即截面边长为纵向坐标 $\begin{array}{l}{L}_{[X,Y]}{g}_{ij}={\xi }^k\left({\nabla }_k{\nabla }_i{\eta }_j+{\eta }_l{R}^l{}_{jki}\right)-{\eta }^k\left({\nabla }_k{\nabla }_i{\xi }_j+{\xi }_l{R}^l{}_{jki}\right)\\ +{\xi }^k\left({\nabla }_k{\nabla }_j{\eta }_i+{\eta }_l{R}^l{}_{ikj}\right)-{\eta }^k\left({\nabla }_k{\nabla }_j{\xi }_i+{\xi }_l{R}^l{}_{ikj}\right),\end{array}$ 的函数)，那么电磁波在横截面(坐标为 $\begin{array}{l}{L}_{[X,Y]}{g}_{ij}={\xi }^k{\nabla }_k\left({\nabla }_i{\eta }_j+{\nabla }_j{\eta }_i\right)-{\eta }^k{\nabla }_k\left({\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i\right)\\ +{\eta }_l{\xi }^k\left(R^l{}_{jki}+R^l{}_{ikj}\right)-{\eta }^k{\xi }_l\left(R^l{}_{jki}+R^l{}_{ikj}\right).\end{array}$ 或 ${\eta }_l{\xi }^k\left(R^l{}_{jki}+R^l{}_{ikj}\right)-{\eta }^k{\xi }_l\left(R^l{}_{jki}+R^l{}_{ikj}\right)=0$ , $L_{[X,Y]}{g}_{ij}={\xi }^k{\nabla }_k\left({\nabla }_i{\eta }_j+{\nabla }_j{\eta }_i\right)-{\eta }^k{\nabla }_k\left({\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i\right)$ )上的横向波数是波导纵向坐标 $L_X{g}_{ij}={\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i=0$ 的慢变函数(如果横截面x边长为 $X={\xi }^i{\partial }_i$ ，那么x方向上的驻波波数为 $Y={\eta }^j{\partial }_j$ ， $L_{[X,Y]}{g}_{ij}$ 为自然数。对于横截面非均匀的金属波导，横截面x边长 $\begin{array}{l}{L}_{[X,Y]}{g}_{ij}={\xi }^k{\nabla }_k\left({\nabla }_i{\eta }_j+{\nabla }_j{\eta }_i\right)-{\eta }^k{\nabla }_k\left({\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i\right)\\ ={\xi }^k{\nabla }_k\left(L_Y{g}_{ij}\right)-{\eta }^k{\nabla }_k\left(L_X{g}_{ij}\right).\end{array}$ 为波导轴向或纵向坐标 $L_X{A}^{ij}={\xi }^m{\nabla }_m{A}^{ij}$ 的函数， $L_{[X,Y]}{g}_{ij}=L_X{L}_Y{g}_{ij}-L_Y{L}_X{g}_{ij}$ )。对于熟悉含时哈密顿系统和几何相位理论的读者，此时可以顿悟出为什么这样的“截面非均匀波导”内的光场的方程内会呈现出等效规范势：把波导横截面边长 ${\nabla }_i{\eta }_j+{\nabla }_j{\eta }_i=0$ 中的 ${\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i=0$ 看作演化参数(“时间”)，含 $L_{[X,Y]}{g}_{ij}=L_X{L}_Y{g}_{ij}-L_Y{L}_X{g}_{ij}=0$ 的哈密顿量或者场方程是一个含有演化参数的体系的哈密顿量或者场方程。根据以往经验，这样的体系是可以含有拓扑相位因子的 [16] [17] [21] ，这也意味着含有等效规范势。

我们将纵向坐标 $L_{[X,Y]}{g}_{ij}$ 截成密集的离散格子，每一格子自有其时空坐标数值(如 ${\eta }_l{\xi }^k\left(R^l{}_{jki}+R^l{}_{ikj}\right)-{\eta }^k{\xi }_l\left(R^l{}_{jki}+R^l{}_{ikj}\right)$ , $L_{[X,Y]}{g}_{ij}$ 和时间 $\begin{array}{l}{L}_{[X,Y]}{g}_{ij}={\eta }^l{\xi }^k\left(R_{ljki}+R_{likj}\right)-{\eta }^k{\xi }^l\left(R_{ljki}+R_{likj}\right)\\ =\left({\eta }^l{\xi }^k-{\eta }^k{\xi }^l\right)\left(R_{ljki}+R_{likj}\right)=0.\end{array}$ )，格内的解为 ${\eta }^l{\xi }^k-{\eta }^k{\xi }^l$ (下标 $l,k$ 表示该态矢量全部相关自由度如TM和TE模式，坐标 $R_{ljki}+R_{likj}$ 的每一数值表示每一个格子位置)。将逐个离散格子内的缓变参数(如坐标 $l,k$ )暂作定值，求解快变过程得到 $L_{[X,Y]}{g}_{ij}=0$ ，最终格内的完整解为 $[X,Y]$ ，其为波动方程 ${\xi }^k{\partial }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\partial }_k{\xi }^j$ 在该格内特解，整个体系通解可写作

$[X,Y]$ (为了表达式尽可能简化，有关线性叠加系数已经被合并吸收入 ${\nabla }_i{\eta }_j+{\nabla }_j{\eta }_i=0$ 了)，要求通解 ${\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i=0$ 遵守波动方程 ${\nabla }_i\left({\xi }_j+{\eta }_j\right)+{\nabla }_j\left({\xi }_i+{\eta }_i\right)=0$ 。我们来看等效的或者人造的规范势如何呈现。先研究偏导数：

${\xi }_j+{\eta }_j$ 。

在上述表达式两边左乘一个慢变的态矢量 $X_i$ (它在坐标 $X_j$ 上慢变，它是在每一格子内的横截面上的解。 $X_k$ 是该解的变量，而 $\left[X_i,X_j\right]=-{\tilde{f}}_{ij}{}^k{X}_k$ 只是 $d$ 的一个可调参量)，我们可以得到

${\nabla }_i{\xi }_j+{\nabla }_j{\xi }_i=0$

需要指出， $(d^2-d)/2+d=d(d+1)/2$ 系以波导横截面坐标变量 ${\xi }_i$ 作为积分区间的内积，坐标 $d(d+1)/2$ 当作格子内的定值(慢变参量)。借助正交条件 $d$ ，我们立即可得 [40]

$d(d+1)/2$

需要交代，在上面最后一步中我们使用了爱因斯坦(重复指标求和)规则(也就是关于相同指标 ${\nabla }_l{\nabla }_k{\xi }_i-{\nabla }_k{\nabla }_l{\xi }_i={\xi }_j{R}^j{}_{ikl}$ 需要求和，但为简化我们已省求和符号)。这样，我们得到了一个重要关系

${\nabla }_k{\nabla }_i{\xi }_l-{\nabla }_i{\nabla }_k{\xi }_l={\xi }_j{R}^j{}_{lik}$ 。

该关系显示，快变解 ${\nabla }_i{\nabla }_l{\xi }_k-{\nabla }_l{\nabla }_i{\xi }_k={\xi }_j{R}^j{}_{kli}$ 的导数不再是普通的偏导数，而是协变导数(它包含一个等效的规范势项 $ikl$ ，其中规范势定义为 $R^j{}_{ikl}+R^j{}_{lik}+R^j{}_{kli}=0$ 。如果自由度指标众多，该规范势还是非阿贝尔的)。再经过进一步的推导 [40] ，带有普通导数的原始波动方程 ${\nabla }_l{\nabla }_k{\xi }_i+{\nabla }_k{\nabla }_i{\xi }_l+{\nabla }_i{\nabla }_l{\xi }_k=0$ 最终可化作为新的携带协变导数的方程

${\nabla }_l{\nabla }_k{\xi }_i+{\nabla }_k{\nabla }_i{\xi }_l-{\nabla }_i{\nabla }_k{\xi }_l=0$ 。

因为所有慢变解 ${\nabla }_l{\nabla }_k{\xi }_i+{\xi }_m{R}^m{}_{lik}=0$ (波导横截面方向上的态矢量)为线性独立，故快变解 ${\nabla }_l{\nabla }^l{\xi }_i+{\xi }_m{R}^m{}_i=0$ 遵守方程 $R^m{}_i=0$ 。

其效果是，我们将原先的方程 ${\nabla }_l{\nabla }^l{\xi }_i=0$ 与现在获得的 ${\xi }_m{R}^m{}_i$ 的方程进行比较，看上去虽然它们在形式结构上仍然一样，但后者的普通导数算符项多出了一项等效规范势( $L_X\left(A^i{B}^j\right)=A^i{L}_X{B}^j+\left(L_X{A}^i\right)B^j$ )。

根据有效规范势(“磁矢量”)定义 $L_X\left(A^i{B}^j\right)={\xi }^m{\nabla }_m\left(A^i{B}^j\right)$ ，模仿旋量场论中的自旋联络( $A^i{L}_X{B}^j=A^i{\xi }^m{\nabla }_m{B}^j$ )，这一“磁矢量”中的 $\left(L_X{A}^i\right)B^j=\left({\xi }^m{\nabla }_m{A}^i\right)B^j$ 和 $X={\xi }^i{\partial }_i$ 也可以被看作vielbein (标架场)。原先不带有“磁矢量”的方程解( $Y={\eta }^j{\partial }_j$ 的组合)与现在带有“磁矢量”的方程解( $L_{X}Y=[X,Y]=\left({\xi }^k{\nabla }_k{\eta }^j-{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }^j\right){\partial }_j$ 的组合)之间相差了一个么正变换(标架场)，它们(么正变换前后情形)是彼此线性组合的关系。这是对“磁矢量”来源的一个认识。么正变换可以对角化哈密顿量 [21] 或者对角化场方程，将耦合的自由度“脱耦”，让某些自由度遵守自由的方程。不过，它只是表观自由(赝自由)，并非完全自由，只是把一些耦合效应通过“磁矢量”藏匿到协变导数中去而已。

3.5. 冷原子物理学人造“磁学”中的规范势

中性原子因为不与电磁场发生直接的(电单极)耦合，因此冷原子和玻色凝聚体在电磁场中不会呈现类似规范耦合的效应，但是中性原子和电磁场能发生电、磁偶极耦合(原子能级能发生电、磁偶极容许跃迁)，因此能表现出丰富的物理效应。美国马里兰大学和美国国家标准技术研究所的Spielman小组发展了超冷原子物理学中的人造磁学和人造电学技术 [41] [42] [43] [44] 。Zhai综述了有关自旋–轨道耦合量子气体的工作，包括Spielman小组实验工作的理论机制 [45] 。基于Spielman小组 [41] [42] [43] [44] 和Zhai的文章 [45] ，下面我们以一个简化的模型(二能级原子系统与光场的拉比耦合)来说明为什么这样的体系可以呈现人造(合成)“磁”学，也即论证人造“磁矢量势”如何在光与原子耦合中产生。

众所周知，根据量子光学，二能级原子和光的相互作用哈密顿量算符可以为原子动能算符和二态体系布居拉比振荡哈密顿量之和(半经典、半量子哈密顿量)：

$Z={\lambda }^j{\partial }_j$ ，

其中 $L_{X}f=Xf={\xi }^i{\partial }_{i}f$ 为拉比振荡频率、 $\begin{array}{l}{L}_X(Yf)=L_X({\eta }^j{\partial }_{j}f)={\xi }^m{\partial }_m({\eta }^j{\partial }_{j}f)\\ ={\xi }^m{\nabla }_m{\eta }^j{\partial }_{j}f+{\xi }^m{\eta }^j{\nabla }_m{\partial }_{j}f\\ =\left({\xi }^m{\nabla }_m{\eta }^j\right){\partial }_{j}f+{\eta }^j\left({\xi }^m{\nabla }_m{\partial }_{j}f\right)\\ =\left(L_X{\eta }^j\right){\partial }_{j}f+{\eta }^j{L}_X{\partial }_{j}f.\end{array}$ 为频率失谐。如果 $L_X\left(Yf\right)=XYf$ 含有空间坐标，在这个系统中，原子二能级体系的布居振荡与原子本身的质心运动会耦合在一起。为了让它们“脱耦”，我们要采用么正变换(根据以往经验 [21] ，么正变换可以对角化哈密顿量，或者让一些原本耦合的矩阵元解耦，从而简化问题)。参照Zhai的方法，为了简化上述耦合的哈密顿量，研究者采用一个么正变换 [45]

$\begin{array}{l}{L}_X\left(Yf\right)=\left(L_X{\eta }^j\right){\partial }_{j}f+{\eta }^j{L}_X{\partial }_{j}f=\left({\xi }^m{\nabla }_m{\eta }^j\right){\partial }_{j}f+{\eta }^j\left({\xi }^m{\nabla }_m{\partial }_{j}f\right)\\ =\left({\xi }^m{\nabla }_m{\eta }^j\right){\partial }_{j}f+{\eta }^k\left({\xi }^m{\nabla }_k{\partial }_{m}f\right)\\ =\left({\xi }^m{\nabla }_m{\eta }^j\right){\partial }_{j}f+{\eta }^k\left({\nabla }_k({\xi }^m{\partial }_{m}f)-({\nabla }_k{\xi }^j){\partial }_{j}f\right)\\ =\left({\xi }^m{\nabla }_m{\eta }^j-{\eta }^k{\nabla }_k{\xi }^j\right){\partial }_{j}f+{\eta }^k{\nabla }_k({\xi }^m{\partial }_{m}f)\\ =\left[X,Y\right]f+YXf=XYf.\end{array}$ ， $L_X\left(Yf\right)=XYf$ ，

就可以得到新的哈密顿量 $\left(L_{X}Y\right)f=[X,Y]f$ 。么正变换中的相位角 $\left(L_{X}Y\right)f=XYf-YXf$ 待定。下面我们实际是要计算 $\left(L_{X}Y\right)f+YXf=XYf$ 。先不妨计算 $\left(L_{X}Y\right)f+Y{L}_{X}f=XYf$ ：

$L_{X}f=Xf$

再将 $L_X\left(Yf\right)=XYf$ 右乘在上述 $L_X\left(Yf\right)=\left(L_{X}Y\right)f+Y{L}_{X}f$ 算符上，得到

$\varphi$

进一步得到

$A_{\mu }$

现在可以计算 ${\nabla }_{\mu }{F}^{\mu \nu }+(3/\varphi )({\partial }_{\mu }\varphi )F^{\mu \nu }=0$ ，结果为

$F^{\mu \nu }$ 。

同理， $G_{\alpha \beta }=({\kappa }^2{\varphi }^2/2)T_{\alpha \beta }-(1/\varphi )({\nabla }_{\alpha }{\partial }_{\beta }\varphi -g_{\alpha \beta }\square \varphi )$ 。于是我们得到

$T_{\alpha \beta }$ 。

如果取在么正变换中的相位角 $\square$ ，上式可以简化为

$\varphi$ 。

于是在么正变换之后，新的哈密顿量为 [45]

$\square \varphi =({\kappa }^2{\varphi }^3/4)F_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }$ 。

在新的哈密顿量中，原子二能级态矢量和原子质心运动之间在表观上是“脱耦”的，质心运动的动能算符协变导数中含有等效规范势 $\varphi$ 。 $A_{\mu }$ 内的 ${\tilde{g}}_{\mu M}$ 可以是非解析的，故而 $\Lambda {\tilde{g}}_{\mu M}$ 。当然，二能级态矢量和原子质心运动其实并没有完全脱耦，处于上、下能级的原子质心所受到的等效规范势 ${\tilde{R}}_{\mu M}-{\tilde{g}}_{\mu M}\tilde{R}/2$ 符号相反(由泡利矩阵 $-{\tilde{g}}_{\mu M}\tilde{R}/2$ 决定)，因此处于上、下能级的原子质心运动轨迹并非相同，这意味着这里有能级–路径的纠缠效应，这有点类似斯特恩–盖拉赫实验(处于不同内禀角动量状态的银原子在非均匀磁场中分束运动)。在量子光学中，用狄拉克表象，诸原子能级构成一个抽象的希尔伯特态矢量空间。借助原子能级–路径的纠缠效应，可以将原本发生在抽象的态矢量空间的原子能级布居概率(包括粒子数反转)的量子塌缩–复苏现象发生在空间路径上。

上述哈密顿量可以用于研究光晶格中的玻色–爱因斯坦凝聚体的Aharonov-Bohm效应。当然前人研究的模型和性质 [41] [42] [43] [44] [45] 要比上面的二能级模型复杂很多，他们的研究不但包括二能级体系，也包括三能级冷原子体系的人造“电学”和“磁学”。需要指出，其它粒子如低速中子磁矩与电磁波的相互作用，也具有上述哈密顿量结构，因此也有类似的对应的人造“磁学”效应。

3.6. 各向异性电磁介质中的光学规范势

各向异性电磁介质与各向同性电磁介质比起来，电磁波仿佛是在一个等效的规范势中传播，其最终效果是电磁波方程内的普通导数需要用带有等效规范势的协变导数代替 [46] ，从而可以呈现拓扑几何相位，光子好似带电粒子一样，也能呈现Aharonov-Bohm效应，这也是一种人造“磁学”。Liu和Li证明在各向异性电磁介质中存在这样的“光学规范势” [46] 。他们的方案也可以被推广到“非阿贝尔光学规范势”情形 [47] 。下面的方案是基于Liu和Li的阿贝尔规范势方案基本思想 [46] ，但是具体细节又有所不同，故而我们推导详细，有助于读者理解一些人造(各向异性)电磁介质阿贝尔和非阿贝尔光学规范场概念 [46] [47] 。

在双各向异性电磁介质中，旋度形式的麦克斯韦方程为

$\Lambda {\tilde{g}}_{\mu M}$ ， $-{\tilde{g}}_{\mu M}\tilde{R}/2$ ，

其中介电张量 $\sqrt{\left|g\right|}\tilde{R}$ 和磁导率张量 ${\tilde{g}}^{M\mu }$ 分别是

$\Lambda {\tilde{g}}_{\mu M}$ ， $-{\tilde{g}}_{\mu M}\tilde{R}/2$ 。

我们先来看介电张量中的非对角贡献与电场的耦合 $\sqrt{\left|g\right|}$ ，它的显式为

${\tilde{g}}^{M\mu }$ 。

让我们回忆一下，叉乘矢量 $\Lambda g_{\mu \nu }$ 三个分量是 $-\frac{GM\exp (-kr)}{r}$ 、 $g_{00}=1-GM/r-\Lambda r^2/3$ 、 $\Lambda g_{\mu \nu }=\Lambda {\eta }_{\mu \nu }+\Lambda h_{\mu \nu }$ 。不妨将它与 $h_{\mu \nu }$ 比较一下，我们发现 $\Lambda {\eta }_{\mu \nu }$ 与 $\Lambda$ 有相同的数学结构(这一点在本方案中至关重要)：

$\Lambda {\tilde{g}}_{\mu M}$ ，可以得到 ${\tilde{g}}_{\mu M}$ 、 $A_{\mu }$ ；

${\Omega }_{\mu \nu }{}^{pq}={\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }{}^{pq}-{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu }{}^{pq}-i{[{\omega }_{\mu },{\omega }_{\nu }]}^{pq}$ ，可以得到 ${\omega }_{\mu }{}^{pq}$ 、 ${\Omega }_{\mu \nu }{}^{ab}={\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }{}^{ab}-{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu }{}^{ab}-i{[{\omega }_{\mu },{\omega }_{\nu }]}^{ab}$ ；

$a,b$ ，可以得到 ${\Omega }_{\mu \nu }{}^{ab}$ 、 $3+N$ 。

于是， ${\omega }_{\mu }{}^{ab}$ 。我们简化介电张量的对角分量，假设三个对角分量相等 ( $(N)$ )，因此介电张量对角部分可以化为一个单位矩阵，即 $(N)$ ( $(N)$ 为对角化部分， $(N)$ 为非对角化部分)。于是旋度方程 $3+2N$ 可以化为

$1+2N$

也即得到

$3$

同理， $2N$ 可以化为

$2N=10$

我们对此进行论证：磁导率张量中的非对角元与磁场的耦合 $3+N$ 为

$3+2N$

它可以被写为矢量叉乘形式 $1+2N$ 。 $3$ 三个分量是 $3+2N$ 、 $1+2N$ 、 $3$ 。我们将 $B_{\mu \nu }$ 和 ${\bar{B}}_{\mu \nu }$ 比较一下：

$A_{\mu \nu }$ ，可以得到 $\begin{array}{l}{\mathcal{l}}_{gauge}=-\frac{1}{4}\left(A_{\mu \nu }{A}^{\mu \nu }+B_{\mu \nu }{\bar{B}}^{\mu \nu }\right),\\ B_{\mu \nu }=\left({\partial }_{\mu }-\frac{ie}{\hslash c}{A}_{\mu }\right)B_{\nu }-\left({\partial }_{\nu }-\frac{ie}{\hslash c}{A}_{\nu }\right)B_{\mu },\\ {\bar{B}}_{\mu \nu }=\left({\partial }_{\mu }+\frac{ie}{\hslash c}{A}_{\mu }\right){\bar{B}}_{\nu }-\left({\partial }_{\nu }+\frac{ie}{\hslash c}{A}_{\nu }\right){\bar{B}}_{\mu },\\ A_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }+\frac{ie}{\hslash c}\left(B_{\mu }{\bar{B}}_{\nu }-B_{\nu }{\bar{B}}_{\mu }\right).\end{array}$ 、 $A_{\mu }$ ;

$B_{\mu }$ ，可以得到 ${\bar{B}}_{\mu }$ 、 $A_{\mu }$ ;

$e$ ，可以得到 $e$ 、 $A_{\mu }$ 。

于是 $B_{\mu }$ 。我们简化磁导率张量的对角分量，假设三个对角分量相等 ( ${\bar{B}}_{\mu }$ )，因此磁导率张量对角部分可以化为一个单位矩阵，即 $\hslash =c=1$ (其中 $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }-ig[A_{\mu },A_{\nu }]$ 为对角化部分， $A_{\mu }^{}=A_{\mu }^i{\tau }^i$ 为非对角化部分)。