Pure Mathematics
Vol.
13
No.
12
(
2023
), Article ID:
78610
,
7
pages
10.12677/PM.2023.1312378
(p, m)-凸函数及其Hermite-Hadamard型不等式
罗佳月,余梦清,苏凌仟
衡阳师范学院数学与统计学院,湖南 衡阳
收稿日期:2023年11月14日;录用日期:2023年12月15日;发布日期:2023年12月29日

摘要
本文定义了一类(p, m)-凸函数,给出了两个判定此类函数的充要条件,推导了与之相关的Hermite-Hadamard型不等式,并将其应用到中学数学教学的具体场景中。
关键词
凸函数,(p, m)-凸函数,Hermite-Hadamard型不等式

(p, m)-Convex Function and Its Hermite-Hadamard Type Inequality
Jiayue Luo, Mengqing Yu, Lingqian Su
College of Mathematics and Statistics, Hengyang Normal University, Hengyang Hunan
Received: Nov. 14th, 2023; accepted: Dec. 15th, 2023; published: Dec. 29th, 2023

ABSTRACT
A class of (p, m)-convex functions are defined. Then, two necessary and sufficient conditions are given to judge this kind of function. Moreover, a Hermite-Hadamard type inequality on the (p, m)-convex functions is derived. At last, two application cases of middle school mathematics teaching are given.
Keywords:Convex Function, (p, m)-Convex Function, Hermite-Hadamard Type Inequality

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言及预备知识
由于在控制与优化、中学数学教学等领域的应用十分广泛,关于凸函数和广义凸函数的研究异常丰富。首先,我们引进一些需要用到的概念和已有研究结果。
定义1.1 [1] 设函数
,若对任意的
和任意的
,有
(1.1)
则称f为I上的凸函数。若不等式(1.1)的反向不等式成立,则称f为I上的凹函数。
1985年,G. Toader首先提出了m-凸函数的定义。
定义1.2 [2] 设
,
,若对任意的
,
,有
(1.2)
则称f为
上的m-凸函数。
2007年,文 [3] 给出了p-凸函数的定义。
定义1.3 [3] 设
是定义在区间
的函数上,对任意
和
,若存在
或
使得
(1.3)
则称
为I上的p-凸函数;若不等号反向,则称
为I上的p-凹函数。
在文 [4] 中,建立了如下的m-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。
定理1.1 [4] 设
是m-凸函数,
。若对
,若
,则
(1.4)
2011年,宋振云和涂琼霞在文 [5] 中给出了关于p-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。
定理1.2 [5] 设
是
上的连续函数,若
是
上的p-凸函数,则
(1.5)
其中
和
分别是正数
的p次Stolarsky平均 [6] 和广义单参数平均 [7] ,即
一个很自然的问题是,m-凸函数与p-凸函数之间有什么联系呢?鉴于此,本文试图构建一类兼具m-凸函数与p-凸函数特性的新的广义凸函数来系统研究,希望能给中学数学的教与学提供一些有益参考。
2. 定义及判别方法
定义2.1 设
是定义在区间
的函数上,若对任意
,
,
,存在
或
使得
(2.1)
则称
为I上的
-凸函数。
注1 当
时,
为区间I上的p-凸函数。
注2 当
时,
为区间I上的凸函数。
以下假定
,
,
和
。
定理2.1
为I上的
-凸函数的充要条件是
为
上的m-凸函数。
证明:(充分性)设
为
上的m-凸函数,
,
,令
,得
由定义2.1易知,
为I上的
-凸函数。
(必要性)设
,
,由
为I上的
-凸函数,则
即
由定义1.2易知,
为
上的m-凸函数。
定理2.2 设
,
,
,
,则
为I上的
-凸函数的充要条件是
(2.2)
证明:(充分性)由
,得
即有
令
因此
于是有
由定义2.1易知,
为I上的
-凸函数。
(必要性)若
为I上的
-凸函数,令
得
即
于是
证毕。
3. (p, m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式
现在建立
-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式。
定理3.1 设
,f是
上的
-凸函数。当
时,若f在
上可积,则有
(3.1)
其中
证明:令
,利用定义2.1中的不等式(2.1)和分部积分公式,易得
令
,经简单的定积分计算,上述式子可变为
其中
即
注:
-凸函数作为p-凸函数和m-凸函数的推广,它的Hermite-Hadamard型不等式(3.1)也可以看成是定理1.1和定理1.2的结论(1.4)和(1.5)的推广。
4. 应用举例
中学数学教学中,尤其是中学数学竞赛教学中,经常会遇到一些与凸函数和广义凸函数相关的一些不等式证明题。下面列举两个应用场景来说明上述
-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的应用。
例1 已知
,证明:
。
证明:构造辅助函数
,由定理2.2容易得到
是
上的
-凸函数,令
,
,代入
-凸函数的定义式中,若
,可证得
所以原不等式成立。
例2求证:
其中
。
证明:构造辅助函数
,根据定理2.2容易得到
是区间
上的
-凸函数,令
,
,代入
-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式中可得
其中
化简得
所以原不等式成立。
注:中考、高考和中学数学竞赛中,不等式是必考内容。近年来的趋势是将不等式和一些初等函数,尤其是凸函数相结合来考察学生的综合运用能力、应变能力和创新发现能力。例1就是将指数函数与凸函数结合的一个典型例子。一般的解法是通过构造合适的函数,运用导数来研究该函数的单调性,进而得到所需要的不等式。现在运用与
-凸函数相关的Hermite-Hadamard型不等式来证明,非常简洁。例2是选自湖北黄冈的一道中考模拟试题,主要考察学生立方差公式、代数式计算和基本不等式等知识的综合运用能力。一般的证明方法过程比较繁琐。现在运用与
-凸函数相关的Hermite-Hadamard型不等式进行证明,就很简单。
基金项目
湖南省大学生创新创业训练项目“与几类广义凸函数相关的不等式及其应用”(S202110546020)。
致谢
感谢阳志锋教授的悉心指导!
文章引用
罗佳月,余梦清,苏凌仟. (p, m)-凸函数及其Hermite-Hadamard型不等式
(p, m)-Convex Function and Its Hermite-Hadamard Type Inequality[J]. 理论数学, 2023, 13(12): 3646-3652. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1312378
参考文献
- 1. Mitrinovic, D.S., Pecaric, J.E. and Fink, A.M. (1993) Classical and New Inequalities in Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
- 2. Toader, G. (1985) Some Generalizations of the Convexity. Proceedings of the Colloquium on Approximation and Optimization, Cluj-Napoca, 25-27 October 1984, 329-338.
- 3. 张孔生, 万建平. P-凸函数及其性质[J]. 纯粹数学与应用数学, 2007(1): 130-133.
- 4. Klaričič Bakula, M., öxdemir, M.E. and Pečarić, J. (2008) Hadamard Type Inequalities for M-Convex and (α, m)-Convex Functions. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 9, 12.
- 5. 宋振云, 涂琼霞. 关于P-凸函数的Hadamard型不等式[J]. 纯粹数学与应用数学, 2011, 27(3): 313-317.
- 6. 萧振纲, 张志华. n个正数的Stolarsky平均[J]. 岳阳师范学院学报(自然科学版), 2001(4): 5-8.
- 7. 杨镇杭. 对数指数平均的Hlder, Minkowski, Tchebychef型不等式[J]. 徐州师范大学学报(自然科学版), 2005(1): 31-34.