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●Full-Text HTML
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●Linked References
●How to Cite this Article
Pure Mathematics
理论数学
,
201
9
,
9(8)
,
890-
907
Published Online
October
2019
in
H
ans. http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2019.98116
文章引用
:
卢旸
,
王倩兰
,
毕波
.
非自治时滞捕食
–
食饵模型正周期解的存在性
[J].
理论数学
,
2019, 9(8): 890-907.
DOI:
10.12677/pm.2019.98116
The Existence of Positive Periodic Solutions
for the Non
-
Autonomous Time
-
Delayed
Predator
-
Prey Model
Yang
Lu
1
,
Lan Qian Wang
2
,
Bo Bi
3
Department of Applied Mathematics, College of
Mathematics and Statistics, Northeast Petroleum University
,
Daqing
Heilongjiang
Received
: Sep. 20
th
, 2019; accepte
d:
Oct
.
8
th
, 2019; published:
Oct
.
15
th
, 2019
Abstract
In this paper,
a time
-
varying predator
-
prey model of
Beddington
-
DeAngelis
functional response
with stage
-
structured is established. By defining two normal
n
umbers
R
∗
and
R
∗
,
we
obtain su
f-
ficient conditions for the persistence or extinction of system solutions
.
If
R
1
∗
>
,
the solution of
the system is uniformly persistent; if
R
1
∗
<
,
the predator
will be
extinct. In addition, according to
the continuous theorem of degree theory, when the system solution is uniformly persistent,
it is
concluded that the system has at least one positive periodic solution. Numerical simulation ver
i-
fies and complements the results of qualitative theoretical analysis, and concludes that the short
maturity period of immature predators is beneficial to
the
persistent survival
of
prey and pred
a-
tor populations
.
Keywords
Predator-
Prey Model, Non
-
Autonomous,
Time Delay,
Uniform Persistence
,
Positive
Periodic Solution
非自治时滞捕
食
–
食饵模型正周期解的
存在性
卢
旸
，
王倩兰
，毕
波
东北石油大学数学与统计学院应用数学系，黑龙江
大庆
收稿日期：
2019
年
9
月
20
日；录用日期：
2019
年
10
月
8
日；发布日期：
2019
年
10
月
15
日
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 891
理论数学
摘
要
本文建立了一个捕食者具有阶段结构的
Beddington
-
DeAngelis
型功能反应的时变
捕食
–
食饵
模型，通过
定义两个正常数
R
∗
和
R
∗
得到了系统解持久或灭绝的充分条件。若
R
1
∗
>
，则系统的解是一致持久的，
若
R
1
∗
<
，则捕食者种群灭绝。此外根据度理论的连续性定理，当系统解一致持久时，得到了系统至少
存在一个正周期解。数值模拟验证并补充了定性理论分析的结果，得出幼年捕食者较短的成熟期有利于
食饵和捕食者种群的持久生存。
关键词
捕食
–
食饵模型，非自治，
时滞
，一致持久性，正周期解
Copyright © 201
9
by author(s
)
and
Hans Publishers
Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution
International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
引言
近年来，具有阶段结构的捕食
–
食饵模型得到了生物学学者的广泛关注
[1]
-
[6]
，一般来说，幼年捕食
者从出生到成熟有一个时间差，如果幼年捕食者和成年捕食者用一个固定的年龄来区分，那么这个时间
差称为成熟期，
Liu
和
Yuan
[7]
在功能反应项里考虑了成熟期时滞
τ
；
S. Liu
和
E. Beretta
[8]
在自己的模型
中也考虑了成熟期时滞
τ
对模型动力学行为的影响，其模型如下：
()()
()
()()
()()
()
()()
()()
()
()
()()
()()
()()
()()
()
12
12
12
12
1
1
e
1
1
e
1
i
i
d
j
d
jj
xtbxtyt
xtrxt
Kkxtkyt
nbxtyt
ytdyt
kxtkyt
nbxtyt
yt
kxtkyt
nbxtyt
dyt
kxtkt
τ
τ
ττ
ττ
ττ
ττ
−
−
′
=−−
++
−−
′
=−
+−+−
′
=
++
−−
−−
+−+−
(1)
其中，
()
xt
为食饵的密度，
()
yt
和
()
j
yt
分别表示成年捕食者和幼年捕食者的密度；
n
为捕食者的出生率，
2
k
为捕食者之间干扰效应；
b
为捕食者对食饵的捕获率大小；
1
k
为捕食者处理食物的时间；假设幼年捕
食者的死亡率为
j
d
，
τ
为幼年捕食者的成熟期。
S. Liu
和
E. Beretta
[8]
得出如果系统是持久的，那么捕食
者之间足够大的干扰不仅能使系统更加稳定，还可以增加成年捕食者的出生率。
在现实世界中，恒定的自然环境是很少的，任何生物或环境都会受到季节周期变化的影响。正如
Cushing
[9]
指出，有必要考虑例如，天气、食物供应、收获季节、交配习惯、狩猎等季节性因素的影响。
Shi
[10]
的模型
中的全部参数都假定为周期系数，利用度连续理论讨论了正周期解的存在性。在本文中我
们就食饵具有
Logistec
增长率的情形同时针对系统参数为周期时变情形做了定性的分析。
Open Access
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 892
理论数学
2.
模型的建立
()()()
()
()
()()()
()()()()
()
()()()()
()
()()()()
()()
()
()()()()
()()()()
()()
()()()()
()
()()()()
12
d
12
d
1212
1
1
e
1
e
11
t
j
t
t
j
t
dss
dss
jjj
xtbtxtyt
x txtrt
Ktktxtktyt
ntbtxtyt
y tdtyt
ktxtktyt
ntbtxtytntbtxtyt
ytdtyt
ktxtktytktxtktyt
τ
τ
ττττ
ττττ
ττττ
ττττ
−
−
−
−
∫
∫
′
=−−
++
−−−−
′
=−
+−−+−−
−−−−
′
=−−
+++−−+−−
(
2)
其中
(
)
xt
和
()
yt
分别为
t
时刻食饵和成年捕食者的密度，
()
j
yt
为
t
时刻未成年捕食者的密度。模型
(2)
中函数
()()()()()()()()
12
,,,,,,,
j
rtKtbtktktntdtdt
的意义与
S. Liu
和
E. Beretta
[8]
的模型中的参数意义一
致。
3.
准备工作
首先，为叙述并证明主要结果，在此给出系统
(2)
的一些假设和符号说明。系统
(2)
的基本假设为：
(A
1
)
()
()
(
)
()
()
()
(
)(
)
12
,,,,,,,
j
rtKtbtktktntdtdt
为时间
t
的连续有界正周期函数。
(A
2
)
若函数
(
)
gt
为
[
)
0,
+∞
上的连续有界正周期函数，则
()
0
1
d
T
ggtt
T
=
∫
,
[]
()
0,
min
L
tT
ggt
∈
=
,
[]
(
)
0,
max
M
tT
ggt
∈
=
系统
(2)
的初值条件为：
()
()
()()()
()
()()(
)()
()()()()()(
)
()
()(
)
0
d
0
12
123
123
e
0d,
1
,,,
0,
0,0,00.
j
s
duu
j
j
nsxsys
ybts
k txsktys
xyy
τ
θφθθφθθφθ
τθ
φφφ
−
−
∫
=
++
===
−≤≤
>
∫
(3)
其中对所有的
[]
,0
θτ
∈−
，有
()
()()()
()
T
123
,,
φθφθφθφθ
=
使得
()
()
01,2,3
i
i
φθ
≥=
且
C
表示从
[]
,0
τ
−
到
3
R
上的连续映射的全体构成的
Banach
空间
[]
()
3
,,
CR
τθ
−
元素
φ
在
C
上的范数为：
()()()
{}
123
0
max,,
τθ
φφθφθφθ
−≤≤
=
.
4.
持久性和灭绝性
4.1.
持久性
定义
()
*
1
e
1
M
j
d
LLM
MMM
nbk
R
dkK
τ
−
=
+
，
()
*
1
e
1
L
j
d
MML
LLL
nbk
R
dkK
τ
−
=
+
定理
1
假设具有初始条件
(3)
的系统
(2)
满足
*
1
R
>
，那么系统
(2)
是持久的。更具体地说，我们得到了
如下的结果：
()
1
lim inf
t
xtm
→+∞
≥
，
()
2
lim inf
t
ytm
→+∞
≥
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 893
理论数学
其中
()
2
1
2
LLLM
LL
Krkb
m
rk
−
=
，
()
()
2
exp
M
mdT
ε
ετ
=−+
证明：我们将给出以下几个命题来完成这个定理的证明，证明方法类似于文献
[11]
，
[12]
中的证明方
法。
定义
1
如果存在正常数
,
δ
∆
，
0
δ
<<∆
，使得对于所有初值为正的
(2)
的解满足：
()(
)
{}
minliminf,liminf
tt
xtyt
δ
→∞→∞
≥
，
()()
{}
maxliminf,liminf
tt
xtyt
→∞→∞
≤∆
则系统
(2)
的解是持久的。
命题
1
具有初始条件
(3)
的系统
(2)
的解
，对所有的
0
t
≥
，均为正。
证明：设
()()
()
,
xtyt
为具有初始条件
(3)
的系统
(2)
的解，首先考虑
()
[]
,0,
yttt
∈
时解的正性。由系统
(2)
的第二个方程可知
()
()()()()
()
()()()()
()()
()()
d
12
e
1
t
j
t
dss
ntbtxtyt
y tdtyt
ktxtktyt
dtyt
τ
ττττ
ττττ
−
−
∫
−−−−
′
=−
+−−+−−
≥−
(4)
由于
(
)(
)
,0
xy
θθ
≥
连续的依赖于
0
τθ
−≤≤
，并且
(
)
(
)
0,00
xy
>
。从而，由比较原理可得对于
[
]
0,
tt
∈
，
(
)
0
yt
>
时
()
()
(
)
0
d
0e
t
dss
yty
−
∫
≥
(5)
由系统
(2)
的第一个方程，对于
[]
0,
tt
∈
，可得：
()()
()( )
()
()()
()()()()
0
12
d
1
0e0
t
rsxsbsys
s
Ksktxsktys
xtx
−−
++
∫
≥>
(6)
由初始条件
(3)
，对
()
0,
t
τ
∈
，可以重新改写
()
j
yt
如下：
()
(
)(
)
()
()
()
()(
)
()
()
()
()
()()
(
)
(
)(
)
()
()
(
)(
)
()
()
()
()()
()
()
d
12
dd
0
0
1212
e
d
1
ee
dd
11
0
t
j
s
tt
jj
ss
duu
t
j
t
duuduu
t
t
nsbsxsys
yts
ksxsksys
nsbsxsysnsbsxsys
ss
ksxsksysksxsksys
τ
τ
−
−
−−
−
∫
∫∫
=
++
=+
++++
>
∫
∫∫
(7)
因此可得基于
[]
,
ττ
−
区间上的
()()()
,,
j
xtytyt
的正性，对于区间
[]
()
,2,,,1,
nnnN
ττττ
+∈
，可以采取
同样的方式证明。因此，具有初始条件
(3)
的系统
(2)
的解对于任何时刻
0
t
≥
都是正的。
引理
1
[13]
考虑
如下方程：
()()()()
2
xtaxtbxtcxt
τ
′
=−−−
其中
,,,
abc
τ
为正常数，对任意
[
]
,0
t
τ
∈−
，
()
0
xt
>
。可得
(1
)
如果
ab
>
，那么
()
lim
t
ac
xt
c
→+∞
−
=
；
(2
)
如果
ab
<
，
那么
()
lim0
t
xt
→+∞
=
。
命题
2
具有初始条件
(3)
的系统
(2)
的解是一致有界的。
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 894
理论数学
证明
设
()()()
()
,
ztxtyt
=
是具有初始条件
(3)
的系统
(2)
的任意一个解，由系统
(2)
的第一个方程，可
得
()()()
()
()
1
xt
x txtrt
Kt
′
≤−
从而
()
lim
L
t
xtK
→∞
≤
。
定义
()()()()
j
txtytyt
η
=++
，计算
()
t
η
沿着系统
(2)
的解轨线的导数，可得：
()(
)
()
()
()
()
(
)()
()()()
()
()()()()
()()
(
)(
)
()()()()
()
(
)(
)()
12
12
2
2
1
1
1
jj
LMM
MLL
jj
ML
xtbtxtyt
txtrt
Ktktxtktyt
ntbtxtyt
dtytdtyt
ktxtktyt
rxnb
rxtdytdtyt
Kk
η
′
=−−
++
+−−
++
≤++−−
(8)
对正常数
{}
(
)
min,
LL
j
dd
µµ
<
，由式
(8)
可得
()()
()
()
2
2
L
MM
M
LM
rxt
nb
ttrxt
kK
ηµηµ
′
+≤++−
因此，由
(
)
lim
L
t
xtK
→∞
≤
，可得对于任意时刻
t
，都存在正常数
,
BT
使得：
()()
()
22
2
:
MLMLMM
LL
Kkrknb
ttB
kr
µ
ηµη
++
′
+<=
从而
()()
limsup0e
t
t
BB
t
µ
ηη
µµ
−
→∞
<+−
(9)
因此，
()()
,
xtyt
是一致有界的。结合
(7)
容易得到
()
j
yt
也是一致有界的。
命题
3
系统
(2)
的任意解
()()()
()
,,
j
xtytyt
满足：
()
()
2
1
2
liminf:0
LLLM
LL
t
Krkb
xtm
kr
→∞
−
≥=>
(
10
)
证明
由命题
2
，对于
1
0
tT
>>
，存在正常数
M
，使得
()
ytM
≤
。因此，当
1
tT
τ
>+
时，由系统
(2)
的第一个方程可得：
()()()
()
()
()
()()
(
)()()()
()
()(
)
(
)
()
12
2
2
1
1
1
M
L
LL
M
M
L
LL
xtbtxtyt
x txtrt
Ktktxtktyt
xtb Mxt
xtr
KkM
rxt
b
xtr
kK
′
=−−
++
≥−−
=−−
从而，
()
()
2
2
liminf
LLLM
LL
t
Krkb
xt
kr
→∞
−
≥
。
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 895
理论数学
命题
4
假设
()
*
1
e
1
1
M
j
d
LLM
MMM
nbk
R
dkK
τ
−
=>
+
，当
()
()
*1
2
11
0
MM
M
RkK
k
ε
−+
<<
，
0
T
ε
>
时，对于具有初始条件
(3)
的系统
(2)
的任意解
()()()
()
,,
j
xtytyt
，可得：
()
()
()
2
lim infexp:
M
t
ytdTm
ε
ετ
→+∞
≥−+=
(
11
)
证明
已知
()
*
1
e
1
1
M
j
d
LLM
MMM
nbk
R
dkK
τ
−
=>
+
，则当
0
ε
→
时
()
()
()
2
1
M
M
L
M
b
rt
k
K
rt
Kt
ε
ε
−
+
→
定义
()
()
()
2
1
:
M
M
L
b
rt
k
x
rt
Kt
ε
ε
ε
∆
−
+
−=
则
()
12
e
1
1
M
j
d
LL
MM M
bbx
dkxk
τ
ε
−
∆
∆
>
++
。
考虑以下函数
()
Vt
()
()
(
)(
)()()
()
(
)(
)(
)
()
d
12
e
d
1
s
j
s
d
t
t
nsbsxsys
Vtyts
ksxsksys
τ
θθ
τ
+
−
−
∫
=+
++
∫
(
12
)
计算
(
)
Vt
沿系统
(2)
的解轨线的导数
()()()
()
()(
)()
()
()
()()()
(
)
(
)()
()
d
12
12
e
1
e
1
t
j
t
M
j
dss
d
LL
M
MM
ntbtxtyt
Vtdtyt
ktxtktyt
bbxt
dyt
kxtkyt
τ
τ
+
−
−
∫
′
=−+
++
≥−
++
(
13
)
可知对任意的
()
11
0
t tt
≥≥
，
()
yt
ε
≤
是不可能成立的。假如
()
yt
ε
>
，可得当
1
tt
τ
≥+
时，
()()()
()
()
()()()
()()()()
()()
()()
()
12
2
1
1
1
M
L
xtbtxtyt
x txtrt
Ktktxtktyt
rtxt
b
xtrt
Kt
k
ε
ε
′
=−−
++
≥−−
+
则
()
()
()
()
2
1
lim
M
M
L
t
b
rt
k
xt
rt
Kt
ε
ε
→∞
−
+
≥
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 896
理论数学
若
()
()
()
1
e
1
M
j
d
LLM
MMM
nbK
dkK
τ
ε
ε
−
−
+−
中的
ε
为足够小的正常数，且满足
()
()
*1
2
11
0
MM
M
RkK
k
ε
−+
<<
，则必存在一个
0
T
ε
>
，使得对于所有的
tT
ε
>
，
()
xtx
∆
>
成立。因此当
12
:
ttTt
ε
τ
≥++=
时，对于任意的
2
tt
≥
，
()
()
()
()
2
1
:
M
M
L
b
rt
k
xtx
rt
Kt
ε
ε
ε
∆
−
+
≥−=
(
14
)
成立。
由上述不等式，可得：
()
()
()
12
e
1
1
M
j
d
LL
M
MM M
nbx
Vtdyt
dkxk
τ
ε
−
∆
∆
′
≥−
++
.
令
[]
()
*2
,0
min
yyt
θτ
τθ
∈−
=++
.
接下来将证明对于任意的
2
tt
≥
，
()
*
yty
≥
成立。如果假设不成立，则存在
0
T
>
使得对于任意的
22
tttT
τ
≤≤++
，有：
()
*
yty
≥
，
()
2*
ytTy
τ
++=
，
()
2
0
ytT
τ
′
++≤
成立。另一方面，由系统
(2)
的第二个方程，当
2
ttT
τ
=++
时，
(
)
()(
)
()()
(
)
(
)()()
()
()()
d
12
*
12
e
1
e
0
1
t
j
t
M
j
dss
d
LL
M
MM
ntbtxtyt
y tdtyt
ktxtktyt
nbx
dy
kxk
τ
τ
ττττ
ττττ
ε
−
−
−
∆
∆
∫
−−−−
′
=−
+−−+−−
≥−>
++
显然是矛盾的。从而对于任意的
2
tt
≥
，
()
*
yty
≥
成立。因此对于任意的
2
tt
≥
，可得
()
()
*
12
e
10
1
M
j
d
LL
M
MM M
nbx
Vtdy
dkxk
τ
ε
−
∆
∆
′
≥−>
++
即当
t
→+∞
时，
()
Vt
→+∞
。由命题
2
，
()
Vt
是有界的，这显然是矛盾的。接下来，我们将从下面两种
情形分别进行讨论：
(
1)
对于任意充分大的时间
t
，
()
yt
ε
≥
；
(
2)
对于任意充分大的时间
t
，
()
yt
是震荡的。
最终，将得到当
t
充分大时，
()
()
()
exp
M
ytdT
ε
ετ
≥−+
成立。显然，我们只需要考虑情形
(
2)
，令
1
t
和
2
t
为充分大的时间，且满足当
()
12
,
ttt
∈
时：
()()
12
ytyt
ε
==
,
()
yt
ε
<
若
21
ttT
ε
τ
−≤+
，因为
()()
()
y tdtyt
′
≥−
，并且
()
1
yt
ε
=
表明对于
[]
12
,
ttt
∈
，有
()
()
()
exp
M
ytdT
ε
ετ
≥−+
成立。若
21
ttT
ε
τ
−>+
，则对于
[]
11
,
tttT
ε
τ
∈++
有
()
()
()
exp
M
ytdT
ε
ετ
≥−+
成立。由
(
14
)
，可知，对任意
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 897
理论数学
的
[]
12
,
ttTt
ε
τ
∈++
，有
()
xtx
∆
≥
成立。因此，对任意的
[
]
12
,
ttTt
ε
τ
∈++
，有
()
()
()
exp
M
ytdT
ε
ετ
≥−+
成
立。
如果对任意时间
*
11
,
tttTT
ε
τ
∈+++
，存在
0
T
∗
使得
()
()
()
exp
M
ytdT
ε
ετ
≥−+
()
()
()
*
1
exp
M
ytTTdT
εε
τετ
+++=−+
()
*
1
0
ytTT
ε
τ
′
+++≤
由系统
(2)
的第二个方程，当
*
1
ttTT
ε
τ
=+++
时，可得：
(
)
(
)
()
()
(
)
(
)
(
)(
)(
)
()
()
(
)
()
()
d
12
12
e
1
e
exp0
1
t
j
t
M
j
dss
d
LL
MM
MM
ntbtxtyt
y tdtyt
ktxtktyt
nbx
ddT
kxk
τ
τ
ε
ττττ
ττττ
ετ
ε
−
−
−
∆
∆
∫
−−−−
′
=−
+−−+−−
≥−−+>
++
矛盾，因此对所有的
[]
12
,
ttt
∈
，
()
()
()
exp
M
ytdT
ε
ετ
≥−+
成立。
由系统
(2)
的第三个方程及命题
1
，可得：
(
)
()(
)()
()
()
()(
)()()
d
12
12
3
1122
e
d
1
e
:0
1
t
j
s
M
j
duu
t
j
t
d
LL
MM
nsbsxsys
yts
ksxsksys
nbmm
m
kmkm
τ
τ
−
−
−
∫
=
++
≥=>
++
∫
从而，结合命题
2~4
，系统
(2)
是持久的。
4
.2.
灭绝性
定理
2
若
*
1
R
<
，则对具有初始条件
(3)
的系统
(2)
的任意正解
()()
()
,
j
ytyt
满足
()
lim0
t
yt
→+∞
=
，
()
lim0
j
t
yt
→+∞
=
。
证明
由
*
1
R
<
，存在充分小的
0
ε
>
，使得
()
()
1
e
1
1
L
j
d
MM
LLL
nb
dkk
τ
ε
−
<
++
,
由
()
lim
L
t
xtK
→+∞
≤
，存在时间
0
T
>
，使得当
tT
>
时，
()
(
)()()()
()
()()()()
()()
()
()
()
()()
d
12
1
e
1
e
1
t
j
t
M
j
dss
d
MML
L
LL
ntbtxtyt
y tdtyt
ktxtktyt
nbKt
dtyt
kK
τ
τ
ττττ
ττττ
ετ
ε
−
−
−
∫
−−−−
′
=−
+−−+−−
+−
≤−
++
利用
*
1
R
<
,
可得
()
0
yt
′
=
，
()
lim0
t
yt
→+∞
′
=
则
()
lim0
t
yt
→+∞
=
,
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 898
理论数学
从而，容易得到
()
lim0
j
t
yt
→+∞
=
。
注
1
当系统
(2)
的系数
()()()
()()()()()
01
,,,,,,,
j
rtktbtntdtdtktkt
和
()
2
kt
均为常数时，则系统
(2)
就退
化为以下的自治系统：
()()
()
()()
()()
()
()()
()
()()
()
()
()()
()()
()
()()
()
()()
12
12
1212
1
1
e
1
e
11
j
j
d
d
jjj
xtbxtyt
x txtr
Kkxtkyt
nbxtyt
ytdyt
kxtkyt
nbxtytnbxtyt
ytdyt
kxtkytkxtkyt
τ
τ
ττ
ττ
ττ
ττ
−
−
′
=−−
++
−−
′
=−
+−+−
−−
′
=−−
+++−+−
(
15
)
则：
()
()
*
*0
1
e
1
j
d
nbK
RRR
dkK
τ
−
===
+
由定理
1
不难发现，当
0
1
R
<
时，本文对
Liu
和
Beretta
[14]
中的主要结果进行了改进和推广。
5.
周期解的存在性
为了获得系统
(2)
的正周期解的存在性，引入连续性引理如下：
首先，取实巴拿赫空间及线性变换
DomLXY
⊂→
，取连续映射
:
NXY
→
。如果
dim
KerL
=
codimIm
L
<+∞
且
Im
L
在
Y
上是闭的，则这个映射
L
称为指标为零的
Fredholm
映射，如果
L
为指标为
零的
Fredholm
映射且存在连续投影
:
PXX
→
和
:
QYY
→
使得
Im
PKerL
=
，
()
ImIm
LKerQIQ
==−
，
则
()
:Im
DomLKerP
LIPXL
∩
−→
可逆，设
P
L
的逆映射为
P
K
。设
Ω
为
X
中的有界开集，如果
()
QN
Ω
有界
且
()
:
p
kIQNX
−Ω→
是紧的，则称
N
在
Ω
上是紧的。由于
Im
Q
与
KerL
同构，所以存在一个同构
:Im
JQKerL
→
。
引理
2
[15]
设
X
Ω∈
是一个有界开集，
L
是指标为零的
Fredholm
映射，
N
在
Ω
上是紧的，假设
(a)
对任意的
()
0,1
λ
∈
，
xDomL
∈∂Ω∩
，
LxNx
λ
≠
；
(b)
对任意的
xKerL
∈∂Ω∩
，
0
QXN
≠
；
(c)
()
deg,,00
JQNKerL
Ω∩≠
。
则
LxNx
=
在
DomL
∩Ω
内至少有一个解。
接下来证明系统
(2)
的正周期解的存在性，方法类似于文献
[10]
和
[16]
的方法。
定理
3
假设：
(H
1
)
引理
2
成立；
(H
2
)
()()()()()()()()
01
,,,,,,,
j
rtktbtntdtdtktkt
和
()
2
kt
均为周期为
0
ω
>
的连续正周期函数；
(H
3
)
()
2
ˆ
ˆˆ
exp2
b
rr
k
ω
−>
；
(H
4
)
*
1
R
>
，
2
21
MMMM
KdkK
ω
+<
。
则具有初始条件
(3)
的系统
(2)
至少存在一个正周期解。
证明：首先考虑具有初始条件：
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 899
理论数学
(
)
()
(
)(
)(
)
()
(
)(
)
()
()
()
()
()()()
0
d
0
12
e
0d
1
,0,0
0,0,00
j
s
duu
j
j
nsxsys
ybts
k txsktys
xy
xyy
τ
θθτθ
−
−
∫
=
++
≥−≤≤
>
∫
在连
续
(
16
)
的子系统
()
(
)(
)
(
)
(
)
()
(
)(
)
(
)
(
)
()
()
()
()
()
(
)(
)
(
)
(
)(
)
()
(
)
(
)
(
)
12
d
12
1
1
e
1
t
j
t
dss
xtbtxtyt
x txtrt
Ktktxtktyt
ntbtxtyt
y tdtyt
ktxtktyt
τ
ττττ
ττττ
−
−
∫
′
=−−
++
−−−−
′
=−
+−−+−−
(
17
)
令
()()()()
12
ln,ln
utxtutyt
==
(
18
)
将
(18)
代入
(17)
可得：
()()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()()()
()
()
()
()
()
2
1
12
122
12
1
12
d
2
12
e
e
1
1ee
ee
1ee
t
j
t
ut
ut
utut
dss
ututut
utut
bt
u trt
Kt
ktkt
ntbt
utdt
ktkt
τ
ττ
ττ
ττ
ττ
−
−
−−+−
−−
∫
′
=−−
++
−−
′
=−
+−+−
(
19
)
从而，
系统
(19)
有一个
ω
周期解。
接下来首先证明系统
(19)
至少有一个
ω
周期解。为了将引理
2
应用于
(19)
，首先定义
()()
()
()
()
{}
T
2
12
,,:(),1, 2
ii
XYututCRRututi
ω
==∈+==
和
()()
()
[]
()
[
]
()
T
1212
0,0,
,maxmax
tt
utututut
ωω
∈∈
=+
其中
.
表示欧几里德范数，
则容易得到
X
和
Y
是范数为
.
的巴拿赫空间。
令
:
LDomLXX
∩→
，
()()
()
()()
()
TT
1212
,,
Lutututut
′′
=
。其中
()()
()
()
{}
T
12
12
,,
DomLututCRR
=∈
且
:
NXX
→
。
()
(
)
()
(
)
()
()
(
)
()
(
)
(
)
()
()
()
()
()
(
)
()
()
()
()()
()
()
(
)
(
)
()
2
1
12
122
12
1
12
1
d
2
2
12
e
e
1
1ee
ee
1ee
t
j
t
ut
ut
utut
dss
ututut
utut
bt
u trt
Kt
ktkt
Nut
Nut
ntbt
utdt
ktkt
τ
ττ
ττ
ττ
ττ
−
−
−−+−
−−
∫
′
=−−
++
=
−−
′
=−
+−+−
.
定义
(
)
(
)
(
)
()
()
()
1
1
11
1
22
2
1
d
1
d
ut t
PuQu
PuQu
utt
ω
ω
ω
ω
==
∫
∫
,
1
2
u
XY
u
∈=
易知
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 900
理论数学
(
)()()
{
}
2
121212
,,,
KerLuuXuuhhR
=∈=∈
且
()()
{}
11
1212
Im(,)d0,d0
LuuY uttutt
ωω
=∈==
∫∫
是
Y
中的闭集，
dimcodimIm2
KerLL
==
，且
P
和
Q
为连续投影
Im
PKerL
=
,
()
ImIm
KerQLIQ
==−
,
由此可知，
L
是指标为零的
Fredholm
映射。同时
P
L
的逆映射为
p
k
，则
:Im
p
kLDomLKerP
→∩
，且
()
()
()
()
()
()
1
11
00
1
1
2
22
00
1
ddd
1
ddd
t
P
t
P
ussusst
ku
ku
ussusst
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
=
−
∫∫∫
∫∫∫
则由
:
QNXY
→
及
()
:
P
kIQN XY
−→
可得
()
()
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()()()
()
()
()
()
()
2
1
12
122
12
0
12
d
0
12
e
1e
1d
1ee
ee
1
d
1ee
t
j
t
ut
ut
utut
dss
ututut
utut
bt
rtt
Kt
ktkt
QNX
ntbt
dtt
ktkt
τ
ω
ττ
ω
ττ
ω
ττ
ω
ττ
−
−
−−+−
−−
∫
−−
++
=
−−
−
+−+−
∫
∫
(
)()
()
()
0000
11
dddd
2
tt
P
t
kIQNxNxssNxsstNxss
ωω
ωω
−=−−−
∫∫∫∫
显然
QN
和
()
P
kIQN
−
是连续的。
为应用引理
2
，需要寻找适当的开的有界
Ω
子集。相应的算子方程为
(
)
,0,1
LxNx
λλ
=∈
，则：
()
()
()
()
(
)
()
()
()
()
()
()
(
)
()
()
()()()
()
()
()
()
(
)
2
1
12
122
12
12
1
d
2
12
e
e
1
1ee
ee
1ee
t
j
t
ut
ut
utut
dss
ututut
utut
bt
rt
Kt
ktkt
ut
ut
ntbt
dt
ktkt
τ
ττ
ττ
λ
ττ
λ
ττ
−
−
−−+−
−−
∫
−−
++
′
=
′
−−
−
+−+−
(
20
)
假设
()()
()
T
12
,
ututX
∈
是
(
20
)
当常数
(
)
0,1
λ
∈
时的解，则沿着区间
[]
0,
ω
积分可得：
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
(
)
()
()
()
()()()
()
()
()
()
12
12
122
12
0
12
0
d
0
0
12
ee
d
1ee
d
ee
d
d
1ee
t
j
t
utut
utut
dss
ututut
utut
rtbt
t
Kt
ktkt
rtt
ntbt
dtt
t
ktkt
τ
ω
ω
ω
ττ
ω
ττ
ττ
ττ
−
−
−−+−
−−
∫
−
++
=
−−
+−+−
∫
∫
∫
∫
(
21
)
由
()()
()
T
12
,
ututX
∈
，则存在
[]
,0,
ii
ξηω
∈
，使得
()
[]
()
0,
min
iii
t
uut
ω
ξ
∈
=
,
()
[
]
()
0,
max
iii
t
uut
ω
η
∈
=
,
1,2
i
=
由
(
21
)
的第一个方程，可得
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 901
理论数学
()
(
)
(
)
()
(
)
()
()
(
)
()
12
12
0
12
ee
ˆ
d
1ee
utut
utut
rtbt
rt
Kt
ktkt
ω
ω
=−
++
∫
此外
()
()
()
()
11
11
0
e
ˆ
ˆ
de
u
u
rt
r
rt
Ktk
ξ
ω
ξ
ωω
>=
∫
可得
()
0
ˆ
d2
uttr
ω
ω
′
≤
∫
,
(
22
)
()
111
ˆ
ln:
ˆ
r
ul
r
k
ξ
≤=
,
(
23
)
由式
(22)
和
(23)
可得
()
()(
)
111111
0
ˆ
d2:
utuutt lrH
ω
ξω
′
≤+≤+=
∫
,
(
24
)
由式
(21)
及式
(H
3
)
的第一个方程可得
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
11
11
0
22
ˆ
e
ˆ
ˆ
de
u
u
rtbt
br
rt
KtktkK
η
ω
η
ωωω
≤+=+
∫
,
从而
()
2
111
ˆ
ˆ
ln:
ˆ
b
r
k
uL
r
K
η
−
≥=
.
(
25
)
由式
(
22
)
，
(
25
)
以及
(H
3
)
可得
()()()
2
11112
0
ˆ
ˆ
ˆ
dln2:
ˆ
b
r
k
utuuttrH
r
K
ω
ηω
−
′
≥−≥−=
∫
,
(
26
)
从而，结合式
(
24
)
可得
[]
()
{}
1121
0,
maxmax,:
t
utHHB
ω
∈
≤=
.
由
(
21
)
的第二个式子，可得
()
()
()
()
()()
()
(
)
()
()
()
()
122
2
12
d
00
12
ee
de
1ee
t
j
t
dss
ututut
ut
utut
ntbt
tdt
ktkt
τ
ττ
ωω
ττ
ττ
ττ
−
−
−−+−
−−
∫
−−
=
+−+−
∫∫
,
(
27
)
和
()
()
()
()
()
()()()
()
()
()
()
122
2
12
d
00
12
ee
edd
1ee
t
j
t
dss
ututut
ut
utut
ntbt
dttt
ktkt
τ
ττ
ωω
ττ
ττ
ττ
−
−
−−+−
−−
∫
−−
≤
+−+−
∫∫
,
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 902
理论数学
从而
()()
21
00
2
e
eded
L
j
d
MM
utut
L
L
nb
dtt
k
τ
ωω
−
≤
∫∫
.
结合式
(
24
)
可得：
()
1
221
2
e
ln:
L
j
Hd
MM
L
nb
ul
kd
τ
ξ
−
′
≤=
,
(
28
)
再由式
(
20
)
可得
()
1
0
d2
M
uttd
ω
ω
′
≤
∫
,
(
29
)
从而，由式
(
28
)
和
(
29
)
可得
()()()
1
22221
0
2
e
dln2:
L
j
Hd
MM
M
L
nb
utuuttdH
kd
τ
ω
ξω
−
′′
≤≤+=
∫
.
(
30
)
由
(
27
)
，可得
()
()
(
)
()()()()
()()
12211
2
112 2
d
00
12
ee
edd
1ee
t
M
j
j
t
dss
utututud
LL
ut
uu
MM
nb
dttt
kk
τ
ττξτ
ωω
ξη
−
−
−+−++−
∫
≥
++
∫∫
,
连同式
(
26
)
和
(H
4
)
，可得
()
2
1
221
22
e
1
lne:
M
j
d
LLM M
H
MMM
nbdk
uL
dkk
τ
η
−
−
′
≥−=
.
(
31
)
由式
(
29
)
，
(
31
)
和
(H
4
)
可推得
()()()
221212
0
d2:
M
utuuttLdH
ω
ηω
′′′
≥−≥−=
∫
,
(
32
)
结合
(
30
)
，可得
[]
()
{}
2122
0,
maxmax,:
t
utHHB
ω
∈
≤=
.
(
33
)
显然
1
B
、
2
B
与
λ
无关，定义
012
BBBB
=++
，这里
0
B
足够大使得代数方程组的唯一解
()
T
**
,
uv
()
0
12
d
0
12
ˆ
1e
ed0
1ee
1e
d
1ee
t
j
t
u
u
uv
udss
uv
rb
rt
K
kk
nb
td
kk
τ
ω
ω
ω
ω
−
−
∫
−−=
++
=
++
∫
∫
(
34
)
满足
()
T
****
,
uvuvM
=+<
令
()()
()
()
{}
T
T
1212
,:,
ut u tXuuM
Ω=∈<
满足定理
1
条件
(H
1
)
。当
()()
()
T
2
12
,
ututKerLR
∈∂Ω∩=∂Ω∩
，则
()
T
12
,
uu
是满足
12
uuM
+<
的
2
R
中的一个常数向量，则
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 903
理论数学
()
()
()
1
1
12
1
12
0
12
1
d
2
0
12
ˆ
1
ed
1ee
0
0
1e
d
1ee
t
j
t
u
u
uu
udss
uu
rbe
rt
K
kk
QNu
QNu
nb
td
kk
τ
ω
ω
ω
ω
−
−
∫
−−
++
=≠
−
++
∫
∫
则定理
3
的条件
(H
2
)
是满足的。
最后，将证明定理
3
的条件
(H
3
)
是满足的，定义
[]
:0,1
domLX
ψ
×→
如下
()
()
()
()
1
1
12
1
12
d
0
12
12
d
0
12
ˆ
e
1e
d
1ee
,,
1e
d
1ee
t
j
t
t
j
t
u
udss
uu
udss
uu
r
r
nb
K
t
kk
uu
nb
t
d
kk
τ
τ
ω
ω
µ
ω
ψµ
µ
ω
−
−
−
−
∫
∫
−
−
++
=+
++
∫
∫
这里
[
]
0,1
µ
∈
，
(
)
()
(
)
T
2
12
,
ututR
∈∂Ω∩
，
(
)
T
12
,
uu
是
2
R
中的一个常向量，满足
()()
(
)
T
12
,
ututB
=
.
接下来证明
()()
()
T
12
,
ututKerL
∈∂Ω∩
，
(
)
12
,,0
uu
ψµ
≠
。假设结论不真，具有范数
()
()
()
T
12
,
ututB
=
的常向量
()
T
12
,
uu
满足
(
)
12
,,0
uu
ψµ
=
，
()
0
12
d
0
12
ˆ
e
ed0
1ee
1e
d0.
1ee
t
j
t
u
u
uv
udss
uv
rb
rt
K
kk
nb
td
kk
τ
ω
ω
µ
µ
ω
−
−
∫
−−=
++
−=
++
∫
∫
，
结合
(
23
)~(
26
)
以及
(
28
)
，
(
30
)
，
(
31
)~(
32
)
，可得
()()
()
T
12
,
ututB
<
,
这与
()()
(
)
T
12
,
ututB
=
相矛盾，利用拓扑度理论，取
()()
TT
1212
:Im,,,
JIQKerLuuuu
=→→
,
直接计算可得
()
()
()()
()
()()
()
()
()
1
1
12
T
T
12
T
12
d
T
0
12
deg,,0,0
deg,,1,,0,0
deg,,0,,0,0
ˆ
1e
dege,d,,0,0
1ee
0
t
j
t
udss
u
uu
JQNKerL
uuKerL
uuKerL
rnb
rtKerL
K
kk
τ
ω
ψ
ψ
ω
−
−
∫
Ω∩
=Ω∩
=Ω∩
=−Ω∩
++
≠
∫
即，定理
3
中的条件
(H
3
)
是满足的，其中
()
T
**
,
uv
是
(
34
)
的唯一解。
最后，容易证明集合
()
{}
p
kIQNxx
−∈Ω
是等度连续且一致有界的，通过使用
Arzela
-
Ascoli
定理，
可得，
()
{}
p
kIQNxx
−∈Ω
是紧的。因此，
N
是
L
-
紧的。
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 904
理论数学
现已证明
Ω
满足定理
3
所有的条件，从而
,(19)
至少有一个
ω
周期解。系统
(16)
至少有一个正的
ω
周
期解。
令
()()
()
T
**
,
xtyt
是系统
(
16
)
的一个正
ω
周期解，可以证明
()
()()
()
()()
()()()()
d
**
0
**
12
e
d
1
t
j
t
dss
j
nsbsxsys
yts
ksxsksys
τ
τ
−
−
∗
−
∫
=
++
∫
也是
ω
周期解。从而
()()
()
T
**
,
xtyt
为具有初始条件
(3)
的系统
(2)
的一个正
ω
周期解。
6.
数值模拟
6
.1
.
当
R
1
∗
>
时，系统
(2)
的解的持久性以及正周期解的存在性
影响种群持久性的因素很多，其中一个重要因素就是种群成熟期的长短，接下来将针对幼年捕食者
的不同成熟期进行数值模拟：
(1
)
选择第一组参数
()()
2sin2
rtt
=+π
，
()
2
Kt
=
，
()
10
bt
=
，
()
1
1
kt
=
，
()
2
1
kt
=
，
()()
32sin2
ntt
=+π
，
()
(
)
32sin2
dtt
=+π
，
()
0.1
j
dt
=
。当
2
τ
=
，
*
9.82481
R
=>
；
6
τ
=
，
*
5.33831
R
=>
时，由定理
1
，系
统
(
2)
的解是持久的；由定理
1
，系统
(2)
至少存在一个正周期解
(
见图
1
和图
2)
。
(2
)
选择第二组参数
()()
2sin2
rtt
=+π
，
()
1000
Kt
=
，
()()
2sin2
btt
=+π
，
()
1
1
kt
=
，
()
2
1
kt
=
，
(
)(
)
32sin2
ntt
=+π
，
()
(
)
32sin2
dtt
=+π
，
()
0.1
j
dt
=
。当
6
τ
=
，
*
1
R
>
时，由定理
1
，系统
(2)
的解是
持久的；由定理
1
，系统
(2)
至少存在一个正周期解
(
见图
3)
。
Figu
re 1.
Basic behavior of solutions of system (3) with
2
τ
=
,
*
9.82481
R
=>
图
1.
系统
(2)
在
2
τ
=
,
*
9.82481
R
=>
时的解的基本性态
6
.2.
当
1
R
∗
<
时，系统
(2)
中捕食者的灭绝性
选择参数
2
τ
=
，
()()
3sin
rtt
=+
，
(
)
2
Kt
=
，
()
1
bt
=
，
()
1
1
kt
=
，
()
2
0.5
kt
=
，
()()
1sin
ntt
=+
，
()()
4sin
dtt
=+
，时
()
1
j
dt
=
，
*
0.06011
R
=<
，捕食者种群灭绝
(
见图
4)
。
6
.3
.
R
∗
与
R
∗
对幼年捕食者成熟期时滞
τ
的敏感度分析
除时滞
τ
外，当其它参数取值同
图
1
情形时，
*
R
与
*
R
对幼年捕食者成熟期时滞
τ
的敏感度分析如
图
5
。
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 905
理论数学
Figure
2.
Basic behavior of solutions of system (2) with
6
τ
=
,
*
5.33831
R
=>
图
2.
系统
(2)
在
6
τ
=
,
*
5.33831
R
=>
时的解的基本性态
Figure
3.
Basic behavior of solutions of system (2) with
6
τ
=
,
*
1
R
>
图
3.
系统
(2)
在
6
τ
=
,
*
1
R
>
时的解的基本性态
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 906
理论数学
Figure
4.
Basic behavior of solutions of system (2) with
2
τ
=
,
*
0.06011
R
=<
图
4
.
系统
(2)
在
2
τ
=
,
*
0.06011
R
=<
时的解的基本性态
F
igure 5.
The relationships between
*
*
,
RR
and parameter
τ
, respectively
图
5.
*
*
,
RR
与
τ
的关系
7.
结论
本文提出了一个基于时变系数和阶段结构的
Beddington
-
DeAngelis
型的时滞捕食
–
食饵模型。通过
应用微分方程比较原理和度理论的连续性定理，对模型进行了定性的理论分析。
在定性理论分析的同时，通过定义两个正常数
*
R
和
*
R
，得到当
*
1
R
>
时，系统
(2)
是持久的
(
见定理
1
和图
1~3)
；当
*
1
R
<
时，捕食者是灭绝的
(
见定理
2
和图
4)
。
当
*
1
R
>
时，系统是持久的，本文证明了食饵和成年捕食者存在正的下界
(
见定理
1)
。同时，基于食
饵和成年捕食者的正的下界，得到了时变参数下食饵和成年捕食者的种群数量随
*
R
和
*
R
的变化关系。本
文中系统
(2)
持久性的充分条件弱于文献
[17]
中相应定理的条件。当系统
(2)
所有的参数都为常数时，
*
R
和
*
R
就还原为相应自治系统的基本再生数
(
见注
1)
。当系统
(2)
的解持久时，利用度理论中的连续性定理，
得到了系统
(2)
至少存在一个正
ω
周期解
(
见图
1~3)
。
卢旸
等
DOI:
10.12677/pm.2019.98116 907
理论数学
数值模拟中的敏感度分析显示了较短的幼年捕食者成熟期对系统解的持久性是有益的，反之较长的
成熟期会导致捕食者种群的灭绝
(
见图
5)
。
值得注意的是系统
(2)
的动力学行为对于
*
*
1
RR
<<
的情形仍然是不清楚的，本文就此情形并未给出
定性的理论分析证明以及数值模拟。关于模型
(2)
中成年捕食者方程中含有密度制约项，以及模型
(2)
存在
多少个正周期解的问题都将留给未来去研究解决。
致
谢
在此特别感谢哈工大的刘胜强教授对本文前期工作的建设性意见，以及东北石油大学校引导性基金
(
项目代码：
15011030604
)
的支持。
参考文献
[1]
Aiello
,
W. and Freeman
,
H.I.
(1990)
A
T
ime
-D
elay
M
odel of
S
ingle
-S
pecies
G
rowth with
S
tage
-Structure
.
Mathema
t-
ical BioSciences
,
101
, 139-153.
https://doi.org/10.1016/0025-5564(90)90019-U
[2]
Al
-omari,
J. and
Gourley,
S.
(2003)
Stability and
Traveling F
ronts in Lotka
-Volterra Co
mpetition
M
odels with
S
tage
Structure.
SIAM
Journal on Applied Mathematics
,
63
, 2063-2086. https://www.jstor.org/stable/4096076
https://doi.org/10.1137/S0036139902416500
[3]
Liu
,
S.
,
Chen
,
L.
, Luo,
G.
and
Jiang
,
J.
(2002)
Asymptotic
B
ehavior of
C
ompetitive Lotka
-Volterra S
ystem with
S
tage
Structure.
J
ournal of Mathematical Analysis and Applications
,
271
, 124-138.
https://doi.org/10.1016/S0022-247X(02)00103-8
[4]
Liu
,
S.
,
Chen
,
L.
and
Agarwal
, R. (2002)
Recent
P
rogress on
Stage-Structured Population D
ynamics
.
Math
ematical
and Comput
er
Modelling
,
36
, 1319-1360.
https://doi.org/10.1016/S0895-7177(02)00279-0
[5]
Liu
, S.,
Chen
,
L.
and
Luo,
G.
(2002)
Extinction and
P
ermanence in
C
ompetitive
Stage
Structure S
ystem with
T
ime
D
elays
.
Nonlinear Anal
ysis
,
51
, 1317-1361.
https://doi.org/10.1016/S0362-546X(01)00901-4
[6]
Ou
,
L.
, Lou, Y.,
Jiang
,
Y.
and
Li
,
Y.
(2003)
The
A
symptotic
B
ehaviors of a
Stage Structured Autonomous Pred
a-
tor-P
rey
S
ystem with
T
ime
D
elay
.
J
ournal of Mathematical Analysis and Applications
,
283
, 534-548.
https://doi.org/10.1016/S0022-247X(03)00283-X
[7]
Liu
,
Z.
and
Yuan
, R. (2004)
Stability and
B
ifurcation in a
Delayed Predator-Prey S
ystem with Beddington
-
DeAngelis
Functional R
esponse
.
J
ournal of Mathematical Analysis and Applications
,
296
,
521
-537.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.04.051
[8]
Liu
,
S. and
Edoardo, B. (2010) Predator-P
rey
M
odel of Beddington
-
DeAngelis
T
ype with
M
aturation and
G
estation
D
elays
.
N
onlinear Anal
ysis
,
11
,
4072-4091.
https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2010.03.013
[9]
Cushing,
J.M. (1997)
Periodic T
ime
-Dependent Predator-P
rey
S
ystem
.
SIAM J
ournal on
Appl
ied
Math
ematics
,
32
,
82-95.
https://doi.org/10.1137/0132006
[10]
Yang
,
S.J.
and
Shi
,
B. (2008)
Periodic Solution f
or a Three
-
Stage
-
Structured Predator
-
Prey System
w
ith Ti
me
Delay
.
J
ournal of Mathematical Analysis and Applications
,
341
, 287
-294.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.10.025
[11]
Zhang,
T. and
Teng,
Z. (2009)
Permanence and
E
xtinction for a
N
onautonomous SIRS
E
pidemic
M
odel with
T
ime
D
ela
y.
Applied
Mathematical Modelling
,
33
,
1058-1071.
https://doi.org/10.1016/j.apm.2007.12.020
[12]
Wang,
X.,
Liu,
S. and
Song,
X. (2013)
Dynamic of a
N
onautonomous HIV
-1 Infection M
odel with
D
elays
.
Interna-
tional of Bio
mathematics
,
6
,
Article ID
: 1350030.
https://doi.org/10.1142/S1793524513500307
[13]
Song,
X. and
Chen,
L.
(2001)
Optimal
H
arvesting and
S
tability for a Two
-
Species
Competitive S
ystem with
Stage
-Structure
.
Mathematical Biosciences
,
170
, 173-186.
https://doi.org/10.1016/S0025-5564(00)00068-7
[14]
Liu
,
S.
and
Edoardo, B. (2006)
A
Stage-Structured Predator-Prey Model
of Beddington
-
De
Angelis Type.
SIAM J
ou
r-
nal on Appl
ied
Math
ematics
,
4
, 1001-1129.
https://doi.org/10.1137/050630003
[15]
Gaines
,
R.E.
and
M
awhin
,
J.L
. (1977)
Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations
. Springer-
Verlag
,
Berlin.
https://doi.org/10.1007/BFb0089537
[16]
Zhang,
Z.
and
Luo
,
J.
(2010)
Multiple
Periodic S
olutions of a
D
elayed
Predator-P
rey
S
ystem with
S
tage
S
tructure for
the Predator.
Nonlinear Anal
ysis
,
11
, 4109-4120.
https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2010.03.015
[17]
Xu
, R.,
Chaplain
,
M.A.J.
and Davidson,
F.A.
(2005)
Permanence and
P
eriodicity of a
D
elayed
R
atio
-D
ependent
Pr
e-
dator-P
rey
M
odel with
Stage Structure
.
J
ournal of Mathematical Analysis and Applications
,
303
,
602
-621.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.08.062
