 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 167-171 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.13033 Published Online October 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Sums of Frames in Hilbert Modules* -*C Haili Wang, Pengtong Li Department of Mathematics, Nanjing Universit y of Aeronautics and Astronautics, Nanjing Email: woaibeijing0@ 16 3.com; pengtongli@nuaa.edu.cn Received: Sep. 19th, 2011; revised: Oct. 21st, 2011; accepted: Oct. 22nd, 2011. Abstract: In this paper, we investigate the sums of Hilbert module frames. Several results on the sums of modular frames (Bessel sequences) being still frames are given. *-C Keywords: Hilbert Modules; Fram es; Be ssel Sequences; Sums of Fram es; Frame Operat ors *-C Hilbert 模框架的和* -*C 王海丽，李鹏同 南京航空航天大学数学系，南京 Email: woaibeijing0@ 16 3.com; pengtongli@nuaa.edu.cn 收稿日期：2011 年9月19日；修回日期：2011 年10 月21 日；录用日期：2011 年10 月22 日 摘 要：本文研究了 Hilbert 模框架的和，得到了模框架(或Bessel 序列)之和还是模框架的几个结 果。 *-C 关键词：Hilbert 模；框架；Bessel 序列；框架和；框架算子 *-C 1. 引言和预备知识 Hilbert 模是 Hilber 空间的自然推广，但它们的理论性质却有很大差别，例如：在 Hilbert 模中， 每个闭子模不一定可补，有界线性算子不一定可伴，连续线性泛函的 Ries 表示定理也不一定成立，等等。 *-C*-C Hilbert 模首先由 I. Kaplansky 介绍[1]，它在算子代数、算子 K理论、群表示论以及算子空间理论等方 面起重要的作用，已成为算子理论与算子代数研究者的必要工具，关于它的详细介绍见[2]。 *-C Hilbert 空间(向量)框架首先是由 R. Duffin和A. Schaeffer为研究非调和 Fourier 级数及其一些重要的应用而 引入的[3]；近 20 年来，它在理论研究和应用方面都得到迅速发展，文献[4]对其作了比较详细的介绍。 Hilbert 空间框架有几种不同形式的推广，例如 - g 框架、融合框架、算子值框架和Hilbert 框架等[5-7]， 这些推广在理论和应用上已经得到人们的广泛重视。本文将考虑最后一种推广，即 Hilbert 模框架。从表面 上看，H ilbert 模框架的定义和某些结果[8-11]类似于Hilbert 空间框架的情形，但其证明要复杂的多，并不是 平凡的推广。文章[12]对Hilbert 空间框架的和进行了研究，得到了使得两个框架之和仍然是框架的几个必要或 充分条件，本文将在 Hilbert 模框架中研究类似问题。下面介绍 Hilbert 模和 Hilbert 模框架的基 本定义和简单性质。 *-C *- *-C C *-C *-C*-C 定义 1.1 设是代数， 是(左)模使得 和上的线性结构是相容的，即： (复数域) , a *-C ,x axa x ax 。若存在 -值内积.,. : ，使得对任意 a ， 有 ,,xyz *国家自然科学基金资助课题(No.11171151)。  王海丽 等模框架的和 168 | Hilbert *-C (1) ,0, ,=0xxxx x并且 0； (2) * ,, x yyx； (3) ,,ax yax y； (4) ,,, x yzxz yz。 则称为准 Hilbert -模；进一步，若 关于范数12 ,xxx是完备的，则称 为代数 上的 Hilbert 模，简称为 Hilbert -模。下面是几个 Hilbert -模的例子。首先，代数 本身即是一个 *- *-C *-C C Hilbert -模，如果在其中定义内积* ,ab ab。其次，有限个Hilbert -模 1 n j j 的直和 1 n j j 也是一个 Hilbert -模，如果定义内积1 ,, n j j j x yx y，这里 1, n jj xx 1 1 n n j j j n*- j yy ；特别地，n个Hilbert -模的直和记为 。再者，对 C代数 ，定义 2* 1 * 11 :, j jjj j ajj jj bab j la aa 范数收敛 则 2 l成为Hilbert -模，通常称其为标准 Hilbert -模，它在 Hilbert 模及其框架理论中起着重要作用。 *-C 设,是Hilbert -模。称映射T: 为可伴算子，如果存在映射 T*:使得 * ,,Txyx Ty， ，。利用闭图像定理容易证明，任何可伴算子一定是有界 -线性映射，但反之不成立。记到 的可伴算子全体为 x y ,En * d，并简记 * End。在通常算子范数 sup 1x:TTx 下， * End是 一个 代数。 *C 定义 1.2 设为 Hilbert -模。若存在 1,, n xx，使得每个 x 可以表示成一个-线性组合 ，则称 为有限生成的 Hilbert -模。类似地，称为可数生成的 Hilbert -模，如果生成 元 1 n jj j xax 1,, n x x替换成可数集。 根据 G. G. Kasparov稳定性定理[13]，如果 是有单位元的代数，那么任何可数生成的Hilbert -模必 可嵌入到标准 Hilbert -模 *-C 2 l中，成为 2l的一个正交直和项。 定义 1.3 设是有单位元的 代数，Hilbert 模，有限或可数指标集。称 f (标准)框架，如果存在正常数 , *-C为是为 的- jj A B满足 ,,,,, jj j Afffff fBfff . (1.1) 这里级数是按范数收敛，最优的常数 , A B分别称为框架的下界和上界。称 j j f是紧框架，如果 A B ； 称 j j f为Parseval 框架，如果 1 A B；进一步，若(1.1 )式中仅有右边不等式成立，则称 j j f是Bessel 序 列，常数 称为 Bessel 界。 B 设是有单位元的 代数，是有限或可数生成的Hilbert -模， *-C jj f 是Bessel 序列。定义 j j f的分析算子 : 2 l为 ,, jj fff f ，则 *2 ,lEnd ，并且 。 , j f *2 j al jj j aa 定义框架算子* S ，则且为正算子。容易证明S可逆的充分必要条件为 * SEndj j f是框架， 并且当 j j f是框架时，对任意 有，f11 12 ,, 12 , j jjj j jj j j f fS ffffS ffSfSf 。 2. 主要结果及证明 下面将介绍 Hilbert -模中框架和的一些性质。在本文中我们总设 是有限或可数生成的 Hilbert -模， 是有单位元的 代数。 *-C 命题 2.1 若 j j f是Hilbert -模中的框架，且框架的界为 , A B。 是任意不为零的常数，则 j f j Copyright © 2011 Hanspub PM  王海丽 等模框架的和169 | Hilbert *-C 是Hilbert -模框架，框架界是22 , A B 。 容易验证上述命题是成立的。下面讨论 为数列的情况。 命题 2.2 若 j j f是Hilbert -模中的框架，且框架的界为 , A B。 j j 是一个数列，且 0j ab，则 jj j f 是Hilbert -模的框架，框架界是 。 22 ,aAbB 下面是上述两个命题的推广。 命题 2.3 若 j j f是Hilbert -模中的框架，且框架的界为 , A B。 是代数 中的正可逆元，则*-C 12 j j f 是Hilbert -模框架。 是代数 中的正可逆元，故存在 *-C,aa0 ，满足 ,aI I证明：由于 是中的单位元。又根据 模框架的定义，有 * 1212 12 , ,,,, jj jj jj j 12 ,, jj x ff xxf fxxffxaAxx 。另一方面， 有 * 12121/212 ,,, ,,,,, jj jj jjjj jj jj , x ffxxffxxffxxffxBx x。故 12 j j f 是Hilbert -模框架。 下面讨论 为Hilbert -模中序列的情况。 命题 2.4 若 j j f是Hilbert -模中的框架，且框架的界为, A B。 j j 是代数 中的数列，且*-C 0j aI bI ，I是的单位元。则 jj j f 是Hilbert -模的框架，框架界是 。 2 ,aA 2 Bb 命题 2.5 若 j j f是Hilbert -模中的框架，且框架的界为 , A B。 j j T 是Hilbert -模上的有界 可伴 -线性算子序列，且该算子序列满足 1 inf inf0 jj jx Tx ，则 jj j Tf 是Hilbert -模的框架。 证明：根据模框架的定义，对任意 ，有x,,, jj j , A xxxffxBxx 。 由于 * j T是Hilbert -模上的有界-线性映射，故,MM0 满足 ** , jj TxTxMxx, [14]。因而有 2 **** ,, ,,,, jjjjjjjjjj jj x TfTfxTxffTxBTxTxBMxxBMx . 故 jj j Tf 是Hilbert -模的Bessel 序列，框架的上界条件满足。 又令 * inf j j aT对，有x* j Tx ax；进一步有 22 *** ,, ,, jjjjjjjjj jj 2 x TfTfxTxffTxATxAax . 故框架的下界条件也满足。因此 jj j Tf 是Hilbert -模的框架。 命题 2.6 若 j j f和 j j g是Hilbert -模的框架，且框架的界为,;, f fgg A BAB则 jj j j jj ghf ，是 的模框架，框架界为, f gfg A ABB 。 定理 2.7 若 j j 是Hilbert -模中的框架，且框架的界为 , A B， f gj j 是中以 M为界的Bessel 序列， 是一个复数，且 12 AM ，则 jj j fg 也是 的框架，并且框架的界为： 2 12 A 1AM , 2 12 1BMB 。 证明：根据模框架的定义，对任意 ，有x,,, jj A , j xxxffxBxx 。又因为 j j g是中以 M为界的 Bessel 序列，有 ,, , jj j x ggxMxx 。应用 Minkowski 不等式，进一步有 12 12 2 ,,,,,, jjjj jjjj jjj xfg fgxxf fxxggx Copyright © 2011 Hanspub PM  王海丽 等模框架的和 170 | Hilbert *-C 12 12 22 BxMxBM x 故框架的上界条件满足。由于 12 AM ，有 1212 2 12 12 22 ,,,,, . jjjj jjjj jjj xfgfgxxf fxxggx AxM xAMx , 故框架的下界条件也满足，因此 jj j fg 是的框架，框架界为 2 12 1AMA ， 2 12 1BMB 。 推论 2.8 若 j j f和 j j g是Hilbert -模中的框架且框架的界为 ,;, f fgg A BAB。 是一个复数，且 12 fg AB ，则 jj j fg 是的框架，且框架的界为 2 12 1gf ABA , 2 12 1gf BBB 。 在上述推论中，如果令1 ，可以得到下列推论。 推论 2.9 若 j j f和 j j g是Hilbert -模中的框架，且框架的界分别为 ,;, f fgg A BAB。若 , ff gg AB A ,B ，则 jj j fg也是 的框架。 (1) 当 g f BA时，框架界为 2 12 1 fgf ABA ， 2 12 1 fgf BBB ； (2) 当 f g BA时，框架界为 2 12 1 gfg ABA ， 2 12 1 gfg BBB 。 在定理 2.7 中，如果令 1 ，得到下列命题。 命题 2.10 若 j j f是Hilbert -模中的框架，框架的界为 , A B， j j g 是中的序列且满足 jj j fg 是中以M为界的 Bessel 序列，如果 M A ，则 j j g 是的框架，框架界为 2 12 1AMA ， 2 12 B 1BM。 由于 , j jjj x fg xfg，由上述命题可以得到下列定理。 定理 2.11 若 j j f是Hilbert -模的框架，框架的界为 , A B， j j g 是中的序列，若满足 2 jj j M fg A ,则 j j g 是的框架，框架界为 2 12 , 2 12 1BMB 。 1AMA 证明：对任意 ，下列不等式成立x,,, jjjj jjjj, x fgfgxfgfg xx 。进而有 ,,,, jjjjjjjj jj , x fgfgxfgfg xxMxx . 可见， jj j fg 是以M为界得 Bessel 序列，且 M A ，由命题2.10 知， j j g是的框架，框架界为 2 12 1AMA ， 2 12 1BMB 。 推论 2.12 若 j j f是Hilbert -模中的框架，框架的界为, A B, j j g 是中的序列，若满足 2 j j M g A，则 jj j fg 是的框架，框架界 2 12 ， 2 12 1BMB 。 1AMA 下面命题是定理 2.7推广。 定理 2.13 若 j j f是Hilbert -模中的框架，且框架的界为, A B， j j g 是中以 M为界的 Bessel 序列， 是代数 中的正可逆元，且*-C 12 AM ，则 12 jj j fg 也是 的框架，并且该框架界为 2 12 12 1AMA ， 2 12 12 1BMB 。 Copyright © 2011 Hanspub PM  王海丽 等 | Hilbert *-C模框架的和 Copyright © 2011 Hanspub PM 171 x证明：根据模框架的定义，对任意 ，有,,, jj j , A xxxffxBxx 。又因为 j j g是中以 M为界的 Bessel 序列，有 ,,, jj j x ggxMxx 。应用 Minkowski 不等式，进一步有 12 12 212 12 12 12 22 ,,,,, jjjjjjj j jjj xfgfg xxff xxggx BxMxBM x , . 故框架的上界条件满足。由于 12 AM ，有 12 12 12 12 12 12 2122 12 ,,,,, jjjj jj j j xf gf gxxffxxggx jj j AxM xAMx , . 故框架的下界条件也满足,因此 12 jj j fg 是的框架，框架下界为 2 12 12 1AMA ，上界 2 12 12 1BMB 。 推论 2.14 若 j j f和 j j g是Hilbert -模中的框架，且框架的界分别为,;, f fgg A BAB。 是 代 *-C 数中的正可逆元，且 f g A B ，则 12 jj j f g 也是 的框架，并且框架界分别为 2 12 12 1 fgf ABA ， 2 12 12 1 fgf BBB 。 3. 小结 本文主要介绍了 Hilbert 模框架的和，得到了模框架(或Bessel 序列)之和还是模框架的几个结果。即对 Hilbert -模中框架的稳定性理论的研究，它是对 Hilbert 空间框架的稳定性理论的进一步推广。 *-C 本文有待解决的问题是：在模上目前没有定义类似于 Hilbert 空间的P范数的定义。如果有合适的定义，那 么与 Hilbert -模相关的理论将得到更进一步的发展。 参考文献 (References) [1] I. 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