关于不定方程（an-1）（bn-1）= X2解的研究 On the Diophantine Equation（an-1）（bn-1）= X2

doi:10.12677/pm.2011.13034

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Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 172-176

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.13034 Published Online October 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

On the Diophantine Equation









ab x



#

Lei Wu*, Zhaojun Li

Department of Mathematics, Anhui Normal University, Wuhu

Email: wulei508310@126.com

Received: Jun. 21st, 2011; revised: Jul. 29th, 2011; accepted: Aug. 1st, 2011 .

Abstract: In 2002, F. Luca and P. G. Walsh studied the diophantine equations of the form

, for all in the range



abx



100



,ab 2ba



 with sixty-nine exceptions. In this paper,

we study two of the exceptions. In fact, we consider the equations of the form



 

abx



, with

 

,33,3,3ab 3,

Keywords: Diophantine Equation; Legendre Symbol

关于不定方程







ab x



解的研究#

吴磊*，李召君

安徽师范大学数学系，芜湖

Email: wulei508310@126.com

收稿日期：2011 年6月21日；修回日期：2011 年7月29 日；录用日期：2011 年8月1日

摘要：2002 年，F. Luca和P. G. Walsh研究了不定方程









ab x



 在范围内

解的情况(除69 种例外)。在本文中，我们研究了其中的两种例外。也就是，我们考虑的是不定方程

在时解的情况。

2ba100





ab

 

,33,3,33,ab 

关键词：不定方程；Legendre符号

1. 引言

2000 年，Szalay[1]证明了不定方程







2131

在,nx N



范围内无解，



 

2151

在,nx N



范围内仅有唯一解和1, 2nx





212 1



在,,knxN



范围内仅有唯一解。2000

年，Hajdu 和Szalay[2]证明了不定方程



2, 3,knx 21





2161

在,nx N



范围内无解和

的正整数解仅有

 

nkn

aa 

2,1,xak1,kn2











 

,22 , 7,1,4,120,an, ,2,3kx ,2,21 ,3,1,5。

2002 年，F. Luca和P. G. Walsh[3]证明了不定方程









11ab

kk n



 仅有有限多组正整数解







,, 1knx n。

此外，他们考虑了在范围内，除 69 种情况以外其他所有数组2ba100





,ab 满足不定方程

的解的情况，得到下列结论：



ab

x,,kn



, 1x k

定理 A([3]，定理 3.1) 令2都是正整数，假设100ba





,ab 不是下列情况之一：

1. ；





22,2;22,4

#基金项目：国家自然科学基金(1090102)。









2nn 173

11ab x吴磊等 | 关于不定方程



 解的研究



2. 是平方数，

 



,; 11ab ab





mod 2ab且















,9,3,64,8ab ；

3. 是平方数，

 



,; 11ab ab







1mod2ab，且







0mod4ab 。

若，则。当



11ab 2n







,4,ab 

2nn 2时，方程在 3n



时有解。 x

对于其他相关问题，参见[4-7]。

在本文中，我们考虑两种例外：











,13,4,28,1ab 3，并且得到以下结论：

定理 1 如果不定方程

 

91331

在,nx N



范围内有解，那么





1 mod13440n。

定理 2 如果不定方程

 

31331 2nn

在,nx N



范围内有解，那么





1 mod3600n。

设a和m是互素的两个正整数，我们称满足





1moda

xm的最小正整数 n为a对模 m的阶，记作





orda 。

设p是奇素数，a是整数，用





定义 Legendre 符号。

2. 定理的证明

2.1. 定理 1的证明

容易验证当时不定方程4n

 

91331

仅有唯一解： 1, 16nx



。

假设是方程



,nx n





 

913312nn

的一组解，现在我们分成下列18 种情况来讨论。

情况 1. 。此时 n可以唯一地表示成



0mod4n



l45



，其中。通过对 k运用数学归纳法，

我们有

5| ,0lk







45 5 12

912415mod5

klk



  k

， (1)





45 712

331217109 5mod5

klk



 k

. (2)

由假设以及(1)和(2)式，我们得到





222122

521741109mod5

 ，这和







12 2

2174110953 51l



矛

盾。

情况 2. 。由



3mod4n







92, 33ordord4，我们有











413 13mod5x



，这与



35 1



矛

盾。

情况 3. 。由



5 mod12n







93, 336ord ord，我们有







 





2552 5

91331 21516mod7x ，

这与



67 1矛盾。

情况 4. 。由



2,10 mod12n







13 13

93, 3312ord ord



，我们有









222 1010

91331,91 331x



 

，这些都和



5,11 mod13



513 11131矛盾。

情况 5. 。即



13,21mod24n







5mod8 ,1 mod2nn。由









17 17

98,332ord ord



，我们有

，这与



91x



3313mod17





317 1



矛盾。

情况 6.





18,33,42,49,57,73,78,97,102 md120n。即





3,12, 4,13, 7mod15n，。由

，我们有



3, 2, 4,3, 2mod 5n





31 91ord

 

5, 335ord





















 





, 91

233

91 331x 



3,6,26,27 mod31

12244

1 331,91 33 133

1 ,91331, 9 

，这些都和



33 1 12,



















112 313316 3126 312731



  矛盾。

情况 7. 。即



6,9,54,66,114 mod120n









2,1 mod4 ,6,14,9mod20nn 。由







41 41

94, 3320ord ord，

我们有

 



 













,9 1 33122,35,34mod41 

21x

26 214

91 331,91 33 ，这些都和







22 413541



134 41矛盾。

情况 8. 。即



81,105 mod120n







9mod24,1mod8nn，我们有







9133176 mod97x 



，这

与



176 97矛盾。

情况 9. 。即



25,90,121,145,150 mod240n





25,30,1,25 mod60n，。由

，我们有



25,10,70,41,65 mod80n



241 96ord

 

241

0, 3380ord

































2 41

9331, 

252530

1 331,91 33

103070

1 ,91331 ,91 x









吴磊等 | 关于不定方程 2nn

174 11ab x



 解的研究



 



25 65

91331140,62,227,210,224 mod241，这些都







140 24162241227241210 2412242411   矛盾。

情况 10.





210,241,270,481,510,961,1170,1201,1410,1470 mod1680n。即 42,17,46, 33, 6, 9, 50, 25, 10, n







14 mod56，





98,17,46,33,62,65,50,81,66,14 mod112n。由





113

6,33112ord 2

113

d95or ，我们有



 















 





62 965 50

331,91 331,91

42 98

91 33



17174646 3333 6

1,91 331,91 331,91 331,9 1































50 25

331 ,981 10661414

1 331,91331,9133173,65,17,59,  103,110,101,46,43,42 mod113，这些

都和























73113110113101113 46113 43113 42 

1

65 1131711359113103 113113

矛盾。

情况 11.

。即

1710,5070,750,4110,2670,6030, 1230,4590,2130,5490,690,4050,2610,5970,16 50,5010,1441,n



1,4081,5041 mod67202401,3121,336









2,6,1 mod8 ,18,50,14,46,33,49mod64nn 。由





193

ord 98,



，我们有



193 33 6ord 4









































2218 250614 64633

91 331,91 331,91 331,91 331,91 33x  



152,174,120,44,114,146 mod193

1 ,

，这些都和



9 1 33











52 193174 193120 19344 193114 193146 1931矛盾。

情况 12. 。即



30,3390,2430,5790,2910,6270,450,3810,930,4290,3330,6690,721,5761 mod6720n30,n



，



49 mod8478,54,30,6,54,





30,78,222,114,258,306,49 mod336n。由





337 337

984, 33d ord



336or ，我们

有

















































2 30

9 1x



3078 7854 222301146 25854

331, 91331,91331,91331,91331,91  



306 133 ,





1218,284,183,284,124,5,264 mod337

49 49

91 33 ，这些都和











218 337284 3371831337124 3375337264 337矛盾。

情况 13.





4530,2370,1681,4801,6481mod6720n。即





94,130,113,97,209mod224n，

。由

381,130,337,n



448



321,209 mod





449 449

9224,33448ord ord，我们有

















2 94318

91331x 130 130

9 1331 ,,











355,119,363,326 mod449

113 337

91 3397321 209209

1 ,91331 ,9133168,，这些都和



68 449335 449119449363 4491

矛盾。

情况 14. 。即



7710,5730,6721 mod13440n





30,290,1 mod320,30,610,321 mod640nn



。由

，我们有



641 9 3ord

 

641

20,33640ord























30 290610321

1 331,91 331,9 1 331 



9 614,418,369

，这些都和



mod641







413696411614 641418 6矛盾。

情况 15.





990,25890 mod26880n。即









6,18 mod24 ,222,34mod256nn。由







769 769

924, 33ord ord

，我们有256

 









331412,567 mod769

2 622218

91331 ,9x1，这些都和



412 769567 7691

矛盾。

情况 16.





14430,41310,39330,66210 mod80640n。即





66,18 mod84n，。

由，我们有



318,990,18,690 mod1008n



1009 9ord

 

1009

84,33 1008ord















 





990 1818 18

331,91331,9

2 66

x318 66

33 1,91911











53,792,138,513 mod1009

690

331 6 ，这些都和













653 1009792 1009513 10091



矛盾。

情况 17.





12450,93090,254370,335010,68190,148830,310110,390750mod403200n



od105

。即

，60,45 mn





900,690,270,60,990,780,360,150 mod1050n。由





1051 910ord



1051

5, 331050ord，我

们有













































2 60

x



900 60690 60270 606045

9133 1,9133 1,9133 1,91331,91   



990 45

33 1,91



 





45360 45 150

1 331,91 331166,637,519,78,728,368,331,166mod1051 

780

331 ,9，这些都和











637 1051519 105105178 1051728105136810513311 1矛盾。

情况 18. 。即



173730,229470 mod403200n









30,120 mod150,930,270 mod1200nn。由





1021 9ord



，我们有



3 1200



1201

150, 3ord

















120 270

1 ,913311010,542mod1201 

2 30

91 33x 930 ，这些都和



1010 12015427691。









2nn 175

11ab x吴磊等 | 关于不定方程



 解的研究

定理证毕。

猜想不定方程

 

91331

在,nx N



范围内仅有唯一解： 1, 16nx



。

2.2. 定理 2的证明

容易验证当时不定方程4n

 

31331

仅有唯一解： 1,8nx



。

假设是方程



,nx n





 

31331 2nn

的一组解，现在我们分成下列15 种情况来讨论。

情况 1. 。此时 n可以唯一地表示成



0mod6n



l67



，其中。通过对 k运用数学归纳法，

我们有

7| ,0lk







67 312

312137mod7

klk



k

， (1)





67 612

3312171511123 7mod7

klk



 k

. (2)

由假设以及(1)和(2)式，我们得到





222 92

721317151 1123mod7

 ，这和





213 17151 11237l 





57 1 矛盾。

情况 2. 。由



2,4mod6n







333ord ord6



，我们有







 

223 44

31331,313313,3x 

，这与(mod7 )



37 1 矛盾。

情况 3. 。即。由



5,11 mod12n



2mod3n











13 13

33,331ord ord2



，我们有







22 5

31331x ,



，这些都和



3133





12,8mod13







131213 8



 矛盾。

情况 4. 。即



7,13,15,27,31,39,43,45 mod48n











7,11,13,15mod16,1 mod2nn。由





17 316,ord 





17 33 2ord ，我们有



























13 15

, 31331, 3133114,  



7 mod17

2 711

31331 ,31x33 15,12,，这

些都和



14 1751712 177 171矛盾。

情况 5.





19,33,37 mod48n。即





3,1,5 mod8n。由





97 97

348, 338ord ord





，我们有2



 









19 3

31 3311 33od97 

33 37

, 31331,3 5156,30,21 m ，这些都和













56 9730 972197

1

矛盾。



情况 6.





3,9,69,73,97,99,153,193,213,217mod240n。即





3,9,13,7mod 30n，。由

，我们有



3,4,3,2 mod5n



31 33ord

 

0, 335ord





















 

7 2

, 3133127, 

23 3

31331, 3x



1 17, 

4 133

331 ,31331 

，这些都和



6,17 mod31







27 3117316311矛盾。

情况 7. 。即



21,121,169,201 mod240n





21,1,49,81 mod120 ,21,41,9,41 mod80nn



。由





241 3ord







241

120, 33ord 80



，我们有

 

















1 418141

1 ,31331 ,31331222,173,139  



mod241

313x

3,220 ，

这些都和







241139241220 2411 222 241173矛盾。

情况 8. 。即



49,195mod240n









1,3 mod8 ,9,15mod20nn。由





41 41

38, 3320ord ord，我们有

，这些都和





3 13x 



293

331 ,31331 



,29 mod41









341 29411



 矛盾。

情况 9. 。即



25,51,57,105,117,145,165 mod240n





5,1,7 mod10 ,5,11,17 mod20nn



。由





61 310,ord 

，我们有



61 33ord 20

 



















11 717

1 ,3133124,54,24mod 



25 5

31331 ,31x 3361，这些都和









24 6154 611矛盾。

情况 10. 。即



241,481 mod720n









7,13mod18 ,7,4mod9nn。由





37 37

3 18,339ord ord



，我们

有







18,32 mod37

3 11x 

7 134

331 ,3133 ，这些都和









18 3732 371



 矛盾。

情况 11. 。即



387 mod720n









27 mod45,27 mod90nn。由









181 181

3 45,33 90ord ord



，我们有

，这与



227

3 1x

 



33174 mod181





74 1811



矛盾。

情况 12.





627,867,1441,2067,2161,2881,3027 mod3600n



 

101 101

3100, 3350ord ord

。即

。由，我们有



27,67,41,61,81 mod100,27,17,41,nn



11,31 mod50





















22727 6717 41

31331 ,31331 ,31x













ab x吴磊等 | 关于不定方程



 解的研究

176

























41 61118131

331,31331,3133151,94,27,18,10mod101 ，这些都和









51 1019410127101



18 10110 1011矛盾。

情况 13. 。即



307,2787,3507mod36001587,2n









37,7 mod50 ,3 mod6nn。由

，我们有



151 151

350,ord ord



33 6





















146,7 mod151

3x37373

1 331,31 33 1，这些都和





146 1517 1511矛盾。

情况 14. 。即



mod3600147,13 47n









147 mod400,67 mod80nn。由







401 401

3400, 3380ord ord，

我们有











011139 mo d4 ，这与





139 4011



矛盾。

2 14767

31 33x





情况 15. 721 modn3600 。即







46mod75,121 mod600nn。由









601 601

3 24,33600ord ord，我们

有，这与



2 46121

31 331x



224 mo



601d





224 6011



矛盾。

定理证毕。

猜想不定方程

 

331

在,nx N



范围内仅有唯一解： 1,8nx



。

参考文献 (References)

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