一类微分方程解和小函数的关系 The Relation between Solutions of a Class of Differential Equations with Functions of Small Growth

doi:10.12677/pm.2011.13035

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Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 177-183

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.13035 Published Online October 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

The Relation between Solutions of a Class of Differential

Equations and Functions of Small Gr owth*

Wei Liu, Zongxuan Chen

School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou

Email: lw010094@163.com; chzx@vip.sina.com

Received: Jun. 27th, 2011; revised: Aug. 5th, 2011; accepted: Aug. 6th, 2011.

Abstract: In this paper, we investigate the relation between solutions, their 1st derivatives of equations

and and functions of small growth, where

0fAfAf

 

00fAf

  01

A are entire functions

with finite orders and not identically zero. The exponent of convergence of the zero-sequence of

is less

than the order of

, and the order of 01

A equals the maximum of the orders of 0

and 1

Keywords: Differential Equation; Entire Function; Function of Small Growth; Exponent of Convergence

一类微分方程解和小函数的关系*

刘薇，陈宗煊

华南师范大学数学科学学院，广州

Email: lw010094@163.com; chzx@vip.sina.com

收稿日期：2011年6月27日；修回日期：2011年8月5日；录用日期：2011 年8月6日

摘要：在文中研究了微分方程和

0fAfAf

 

00fAf





的解以及它们的一阶导数与小函数

的关系，其中和 0

和1

是不恒为零的有限级整函数，其零点收敛指数小于其增长级，且 01

A的增长

级等于 0

与1

增长级的最大值。

关键词：微分方程；整函数；小函数；收敛指数

1. 引言与结果

本文使用值分布理论的标准记号[1-3]，并用







，







分别表示亚纯函数





z的零点及不同零点序列的

收敛指数，





表示亚纯函数



z的增长级，degP表示多项式





pz的次数。还使用









表示亚纯函数



z取小函数



的零点收敛指数。

文[4]中，陈宗煊首次建立了二阶零点收敛指数，二阶不动点收敛指数的概念，考虑了二阶复域微分方程的

不动点与超级，得到了不动点个数的精确估计，并用超级、二阶零点收敛指数和二阶不动点收敛指数进一步精

确估计了无穷级解的增长率，零点密度及不动点密度。曹春雷和陈宗煊在[5]中证明了：

定理 A假设 01 1

,,,



是不全恒等于零的有限级整函数，。若对每个2k

(j为整数， )，

如果，有

01jk

A



 



，且对有0, 0

AA



















ij j

max

AAAi









，那么微分方程

 

110

fAf AfAf







 (1.1)

的任一超越解f满足。进一步，如果按





 01 1

,,,



的顺序，第一个不恒等于零的系数为

，则(1.1)

最多出现次数不超过的多项式解，其余解均为无穷级；若

1j00A



，则(1.1)的任一非零解f均为无穷级。

*国家自然科学基金资助项目(NO.10871076)。

刘薇等一类微分方程解和小函数的关系

178 |



定理 B假设



01 1

,,, ,0

AAA F





为有限级整函数，，2k01 1

,,,



不全恒等于零，若对

，有





0,1,,1k 0,0 ,

AAij















及















j i



ij max



Aij





，那么对于非齐次

微分方程

 

110

AfAfAf F









(1.2)

(a) 若为复常数，则方程(1.2)的任一解f满足



,Fz cc













fff





。

(b) 若

 



Fz Qz，其中







Pz z



 为非常数多项式，





0Qz





为级小于 n的整函数，对

，

A









max ,

AF A











0,1,,1F jk







，且存在某个整数 v：01vk





，使 ev

AB，其中

为非常数多项式，





 

Pz 211



，0



且









，则方程(1.2) 的任一解 f满足

 

fff







。

本文研究了微分方程 10

0fAfAf







和00fAf





的解以及它们的一阶导数与小函数的关系得到了如

下结果：

定理 1假设 0,A



是不恒等于零的有限级整函数且











，那么对于微分方程

00fAf





 (1.3)

的任一非零解f满足







fff



 

。

定理 2假设 01

,,AA



是不恒等于零的有限级整函数，且有











及









max ,

ijj i



A





。那么对于微分方程



ij

0fAfAf







 (1.4)

任一非零解f满足





 。若









 

，那么方程(1.4)的任一非零解f满足







。

2. 引理

引理 1[6]假设



01 1

,,, ,0

AAA F







是有限级亚纯函数，如果f是方程(1.2)的亚纯解，并且







，则

有

 



ff



 。

引理 2[7] 假设f是超越亚纯函数且







，

 









112 2

,,, ,,,

kj kjkj是不同整数对的有限集

合，满足。



01,2,,

kj iq 





是一给定常数，那么

(1) 存在一线测度为零的集合，如果





0, 2πE





0, 2π\E



，那么存在常数，使得对所有

满足



00 1RR





arg z



和0

zR的z以及对所有



,kj H



，



 

kkj









， (2.1)

(2) 存在一集合有有限对数测度，使得对所有满足



1,E







0, 1zE的z，及对所有



,kj H



 

kkj









， (2.2)

(3) 存在一集合有有限线测度，使得对所有满足



0,E





的z及对所有，



,kj H



 

kkj









. (2.3)

引理 3[5]设是次数为 n的非常数多项式，







0wz





是亚纯函数，其级







，令 e

w，则存在

零测度集，对每一





0, 2π

H









0, 2π\2



及给定常数









，当



0,rr







时，有

(1) 如果，那么





0





















exp 1,(eexp 1,

Pr grPr



  



， (2.4)

刘薇等一类微分方程解和小函数的关系179

0(2) 如果，那么









 

















exp1,( eexp1,

Pr grPr



  



， (2.5)

其中











20, 2π;, 0HP



 是有限集。

引理 4[8,9] 假设





Gr与



r为两个定义在







内的非减实函数。

(1) 若除去一个有穷线测度的集合 E外有那么对任意的 1



，存在使得对所有都有

rr







Gr Hr



。

(2) 若存在一个集合 E，其对数测度lmE





 (集合 E的对数测度定义为lmE



lmEt tt







rE

，其

中)，使得当时

















HrGr ，那么对任意常数









，当时有1r

 

GrH r



。

引理 5[3] 假



z与



z为开平面上非常数亚纯函数，其级分别为







与







。如果









，则

 



，









 。

3. 定理 1的证明

假设 f为方程(1.3) 的任一非零解，则由定理 A知









。令0





，那么









和











。将 0



代入方程(1.3)，得到



000 0

gAg A





 

. (3.1)

由于方程(1.3)的所有非零解具有无穷级而



是有限级整函数，可知 00A









。对方程(3 .1)的无穷级解 0

，

由引理 1有



gf gf



 。

下面证明







。令 1







，那么有













gff







和















对方程(1.3)

的两边微分，得到

0fAfAf



 





. (3.2)

由方程(1.3)得到



 ， (3.3)

将式(3.3)代入式(3.2) 得到

ffAf



 



. (3.4)

将11 1

,,fgfgf g

 



 

 



代入式(3.4)得到

1101

gAgh



 



， (3.5)

其中 0









 



 





。

若，那么 0h







 



， (3.6)

对(3.6)的两边同时除以



，整理得到





 

. (3.7)

由于



，0

为有限级整函数，从而除去一个线测度为有穷的集合





0,H外，有

刘薇等一类微分方程解和小函数的关系

180 |



,lo

mrO r















g (3.8)

及



,lomrOr











 g





r . (3.9)

由式(3.8)和(3.9)



,,,,log

mrmrmrmrO r

 

 



 

 

 

 

 

 





,rrH . (3.10)

由于 0

为整函数，根据式(3.7 )和(3.10) 得到





,, ,lo

TrAmrA mrOr







 











g矛盾，这个矛

盾表明。

0



对于方程(3.5)，由于 0h



和，并由引理 1，有



















gf g







 。

4. 定理 2的证明

假设 f为方程(1.4) 的任一非零解，则由定理 A知









。令0





，那么











和











。将 0



代入方程(1.4)得到





010001 0

gAgAgA A





 

 . (4.1)

由于方程(1.4) 的所有非零解具有无穷级而



是有限级整函数，可知 10

0AA













。对方程(4.1)的无穷

级解 0

，由引理 1有







gf f

 



 。



下面证明







。令 1







，那么有













gff









和















对方程(1.4)

的两边微分，得到





1100

0fAfAAfAf

 

. (4.2)

由方程(1.4)得到







 ， (4.3)

将式(4.3)代入式(4.2) 得到

1101

fAfAA Af





 

 





. (4.4)

将1





，1



 

，1



 

代入式(4.4)，得到

11101

AgAAAg





 

 





h， (4.5)

其中 00

110

hA AAA













 











。

由于，则由 Hadamard-Borel定理知

 



0,1

AAj







 





Az hz，为整函数，







Pz为

非常数多项式，且







deg





PhA



 。于是得到





1111

AhPh



 . (4.6)

刘薇等一类微分方程解和小函数的关系181

若，那么 0h

1101

AAAA









 







. (4.7)

对(4.7)的两边同时除以



，并且将

 





Az hz与式(4.6)代入式(4.7)中整理得到

 

Pz Pz

BBB0



， (4.8)

其中

11111 1

BhhhPh







 

























(4.9)

若时，则

10B



BB0



，使用类似于定理 1的证明方法，可得到一个矛盾，从而。

0h



若时，下面分两种情况讨论：

10B



(i) 若，由于

deg degP1



，0

为有限级整函数，从而除去一个线测度为有穷的集合外，有





10,H



,lo

mrO r













g (4.10)

及



,lomrO r











 g





r . (4.11)

由式(4.9)~(4.11)

 









11 11

,3,,,, ,

3, ,,,log

4,log.

mrBmrhmrmrmrhmrPO

Trh TrhmrmrOr

TrhOr









 

















 







(4.12)

由于



 

，从而

,,Nr Nr1













，于是



,, ,2,NrB NrNrNr1



 





 





 



. (4.13)

对任意的 0



，当 r充分大时



Trh r







 (4.14)

及



Nr r













 . (4.15)

所以由式(4.12)~(4.15)，当，r充分大时

rH











 



111

,,,

42log.

TrBmrB NrB

rrO

 





 r

刘薇等一类微分方程解和小函数的关系

182 |

由引理





4i及上式得



























101 1

max,max,BAhA

 



A. (4.16)

由式(4.9)~(4.10)，当，r充分大时

rH



 

,,,

log, ,.

mrBmrA

mr mrmr

Orr rH







 











 

 





 

 











,, ,2,NrB NrNrNr1



 





 





 







所以

 

,,,2, loTrBmrB NrBNrOr



 



 g

。

由引理





4i及上式得













BA A





. (4.17)

由于

 









000 0

BhhAA





及







edeg







，故根据引理 5，有













(4.18)

如果，即

deg degPP





。由式 (4.16)可知，



















110

max ,BAA



1

A，根据引理5，

有















A. (4.19)

由式(4.18)~(4.19)及引理5，有









011

01 1

ee e

PPP

BB BA



 



. (4.20)

由式(4.8)和(4.2 0)，有，与式(4.17) 矛盾。



BBBA

 





如果，即

deg degPP0



。由式 (4.16)可知，



















110

max ,BAA



0

A，根据引理 5，

有









0

A. (4.21)

由式(4.18)，(4.20) 及引理 5











010

01 0

ee PP P

BBBe A



 



. (4.22)

由式(4.8)和(4.2 2)，有









01 0

eee

BBBBA

 

 

与式(4.17)矛盾。这两个矛盾表明 0h



。

(ii) 若，由于和

deg degP















 ，故根据引理 2知，存在子集有线测度零，

如果，那么存在常数，对所有满足 arg





10, 2πE









2π\E





1z





和zR的z，有















1, 2j (4.23)

及



Az z



， (4.24)

刘薇等 | 一类微分方程解和小函数的关系

183

其中







max ,



。

由式(4.9)、(4.2 3)和(4.24)，对于满足





arg0, 2\z



 E且zr



充分大的 z，有

  

Bzzz

 







 

 ， (4.25)

其中





max ,



。

记











0, 2π|,0EP



 ，显然能取到



满足







0。记



























210 00

0, 2π|, 00,2π|, ,EP P



 

 ，

则为有限集。考虑

B，由式(4.16)可知

















110

max ,degBAA





，并且















de 0



，得到



deg



。设





2πej

G为应用引理 3于

B时存在的零测度例外集，则

线测度仍为零。现在取定

1

EGG





0123

\zEEEEarg，则









,0P



，







00 10

,,PP





和

。令



,0P











max ,





，因为









,,PP





0，则



且有唯一的，使得



0, 1













00 10

0min ,



，不妨设



为









。对于任意的 2

 

































，当 zr充分大时，有







0 0

deg

eexp1 ,



 0

. (4.26)

若，由引理 3当时





r







1 1

deg

eexp1,



 0

r. (4.27)

由式(4.8)，(4.25)，(4.26)和(4.27) ，有











01 1

deg 2d

00 10

exp 1,2exp 1,

Peg

Pr rPr



 

，得到10



，

矛盾。

若，由引理 3当时





0r







1 1

deg

110

eexp1 ,

BPr





. (4.28)

由式(4.9)，(4.25)，(4.26)和(4.2 8)，有





deg 2

exp 1,21

Pr r







，得到10



，这两个矛盾表明 0h



。













对于方程(4.5)，由于 0h



和，并由引理 1，有





 '

gf g





 。

参考文献 (References)

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