有限个线段映射的笛卡尔乘积的局部变差增长与局部拓扑熵 Pointwise Variation Growth and Entropy of the Descartes Product of a Few of Interval Maps

doi:10.12677/pm.2011.13036

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Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 184-188

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.13036 Published Online October 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

Pointwise Variation Growth and Entropy of the

Descartes Product of a Few of Interval Maps*

Risong Li, Zengxiong Cheng

School of Science, Guangdong Ocean University, Zhanjiang

Email: gdoulrs@163. com

Received: Jul. 2nd, 2011; revised: Aug. 10th, 2011; accepted: Aug. 12th, 2011.

Abstract: In this paper, the definition of pointwise variation growth of interval maps was extended to con-

tinuous self-maps on k-dimensional spacek



, where i

is a closed interval. Li

et :

II

be a continuous map and the total variation





f be bounded fo 2,, k. It was

proved that the in equali

Var r all,

0n1,i















12 2

,,,,

kk1

,, 12

xx fsxx





ffx fffholds for any



121 2

,,,

xxII



I and that the functions









f k

x x







,,,

xx x

ff









,,,

xf f and



















1 1

,, ,

f kkk12

,,,

kf 1

xxs

 xxsf f 



xx

 , which maps a point



,,,

xx

to its local growth rate of variation and its local topological entropy respectively, are both upper semi-con-

tinnuous. The variational princeple which is corresponding to a variational principle on mappings on an in-

terval was obtained. When the map :

ii i

II is topologically transitive, 1, 2,i,k



, the corresponding

result of mappings on an interval was also extended.

Keywords: Product; Bounded Variation; Variational Principle; Topological Entropy; Local Growth Rate of

Vari ation; Total Growth Rate of Variat ion

有限个线段映射的笛卡尔乘积的局部变差增长与

局部拓扑熵*

黎日松，陈增雄

广东海洋大学理学院，湛江

Email: gdoulrs@163. com

收稿日期：2011 年7月2日；修回日期：2011 年8月10 日；录用日期：2011 年8月12 日

摘要：本文把线段映射的局部变差增长的概念推广到 k维空间 12 k



上的连续自映射

12 k

ff的情形，其中 i

为闭区间。设 :

ii i

II的各次迭代的变差有限，。证明1, 2,,ik













,,,1212

,,, 12

, ,

kkk k



ff sxxf  fxff对所有





1 212

,,,

xxII I

成立，且局部变差增长映射















111

,,, ,

fkffk k

 



,, ,

xff







与局部拓扑熵映射

fkffk k

xx sxxf

 



ii i

f

 均是上半连续的，得到一个与线段映射的变分原理

相对应的变分原理。当

IIk拓扑传递时， 1, ,i



，也得到了线段映射相应结果的一个推广。

关键词：乘积；有界变差；变分原理；拓扑熵；局部变差增长；全局变差增长

1. 引言

*基金项目：广东自然科学基金博士启动项目(10452408801004217)，湛江市科技攻关项目(2010C3112005)。

黎日松等有限个线段映射的笛卡尔乘积的局部变差增长与局部拓扑熵185

1]证明了。文献[2]表明了变差集









Varfn 









文献[的有界性与线段自映射 f的周期点的分

布情形有关，特别地，射 f分段单调时，

当线段自映









hf(见文献



[1,3,4])。同时





[8]

也可应用到对混沌

的讨论[2]，与此有关的针对变差与一维波动方程动力性参考文献[5-7]。文献主要致力于讨论局

部变差增长 ,

状的讨论可以



f的基本性质，并且将局部变差增长与局部拓扑熵















,lim ,,

xfsxxIf





作比较。

在这里，局 Bowen的拓扑熵的定义直接导出。该文考虑有限的

连续自映射 ,



I上各



了闭区间次迭代变差部

拓扑熵由文献[9]的



CII的局部变差增长





与局部拓扑熵





,hxf 的关系，证明了：1)







fhxf对

所有



I均成立；增长映射2) 局部变差



和局部拓扑熵映射

均是上半连续的；3) 至多

局部变长

除了一个不动点外，

差增



f与局部拓扑熵 hx 间0





,f在开区

内恒为还得到一个变分原理：局部变差增长常值。且



f与局部拓的上确界变差增长



扑熵



,hxf 分别等于全局







与拓扑熵





hf。本文在文献[8]的基础上试

有关的重要关的重要结果推广到 k12 k

图把其中的概念及其相维空间



上，其中 i

为闭区间，

1, 2,,ik。

识



2. 预备知

个闭区间，把I上所有连续自映射所成之集记为设 I是任一





0,CII。设





CII，对任一子区间





,ab I

和任一整数 0n，n

在





,ab上的变差







,ab

Varf 定义为











sup ，其中 取遍





,ab的所有分割

割



01 1

, ,ax xx，



 

，对于分

,, mm

x b





 

nnn

Vf f

，

fx x







。特别地





Var f称为n

的全变差，把之简

记为可。



Var f。以上概念的定义参考一般的实变函数的教科书

对于任一闭子区间定义为



,limsupln(







)

fVa







I，其上的变差增长 rf。若

数集，则显然





Var fnR

J是有界的





,0Jf





。

定义 1[8] 点

I处的局部变差增长定义为













, ,

im,l

fxx



f。

量空





设f为紧致度间



d上的连续自映射和 1n



，对 0





，若对紧的子集 F中任两个不同

的点

集KX

y均满足









max: 01dfyi n



 ，则称 F是关于 f的







分离集。以





表示 K中

的基数最大







分离集的基见文[6])。数(

定义 2[8



] 令



,limlimsupln n



1, ,













,lim ,,

xfsBx f





称为 f在

X

Kf s





Kf



，则处的局部拓扑

熵，其中



,Bx



为以 x为中心、以



为半径的闭球。

设



limsup lnn

Var f









CII的各次迭代变差有限，则其全局变差增长定义，其在 I上的局部

变差增长映射



定义为









xfxI



。

设,



0定义为









xsxfxX





CXX，则扑熵其在 X上的局部拓映射

。

定义 3 设i

为任意给定的闭区间， ii

I为任一闭子区间，连续映射 :

ii i

II的各次迭代的变差有界，





为i

在i

上的变差增长，。定义

[8] 1, 2,,ik12 k



在12 k



上的变差增长为



12 1i

JJff fJf



 





 。

定义 4 点



121 2

,,,

xxII I





处的局部变差增长定义为





1 21

, ,



,,,

xx ，其中ff fxf





 











为点 ii



处的局部变差增长[8]。

定义 5 设i

为任意给定的闭区间， i

I为任间，映射 :

ii i

fI I的各次迭

一闭子区连续代的变差有界，

f

f f的全局变差增长定义为





f f



 



。 

黎日松等有限个线段映射的笛卡尔乘积的局部变差增长与局部拓扑熵

186 |

3. 结果及其

引理 1



证明



121 21

(, ,,),,

xxx f ffxf





 



 。

证明对于 0



，由文献[9]知，







11 2nn2

12 12

12121 212

,, ,,

,,,, ,,,, ,

nkk

nkknk k

xf sBxfsBxf

kk k

sBxBxBxf ff

kk k

,,sB

BxxxfffsBxBxBxf ff

sBx

 



  

 



  









 





 

 



 







 



122

,,,,,

nnkk

fsBxfsBxf

 



，

故ii





 

 





11 1

,, ,,

xxf fxf





 



 。

定理 1 若连续线段映射i

II的各次迭代的变差有限，1,2,,ik



，则









1212

,,,,

xxff f







1212

,,,,



xxxfff

，





121 2

,,,

xxII I





，其中局部拓扑熵



xf的定义如文献[8]，

1,i2,, k。

[8] 1 2

,, ,

iiii

xf ffxfsxf



 

12 11

,,,





证明由条件、引理 1及文献中的定理 1知，



 











1212

,,,,k

xxf ffx。

定理 2 对于各次迭代的变续线段映射i

注记 1：定理 1是文献[8]中的定理1的推广。

差有限连 :

II，1, 2,,ik



，局部变差增长的映射









212

:0,

f k

II I



是上半连续的，其中













11 2

2 12

12 12

,,,,,,,

ffk fffkk

xxxxxff









，





,, 1 2

xxII I



。

0 12k





,,,

证明任意给定一点 (1)(2)( )k

xxIII



，由文献 [8]的定理2知，





:0,



和正数是上

半连续的， 1, 2,,ik。于是对于 ()



和0



，必存在 0



，使 )

得对所有 i



(

() ()ii





均成

立.取



min1,2, ,

iik



，则对











()

(1)(1)

00 0

,,Bx xx

)(2) ()k









 



中的任一点 



(1) (2)

,,,

( )k



(1) kk

x f

x，均有

(2)( )12

,,,,xxff



 

(()(1)(2)

 



fff

( )

,xf k







 



 

 。由

(2) (



是点



(1) )

000

,,,

 

于B

xx的邻域且此点的任一邻域包含这种形式的邻形如 B域，故 12 12

ff k











0,是上半连续的。

注记 2[8]中的定理2的推广。

3设



iii

：定理 2是文献

定理 ,1,2,,

CIIi k，局部拓扑熵映射





12 12

ff fk

sIII

,



 

是上半连续的，且

121 2kk

















fff ff

ss s



，其中

12 12

k12 1212

,,,,

ff kkfff k



xfsxxxff









，i



是i

的

证明由引理1和文献[理3即可证得。

献[8] 定理 3的推广。

局部拓扑熵映射

8]中的定

注记 3：定理3是文中的

[8]，1, ,ik。

推论 1 设线段映射:

ii i

II的各次迭代的变差有 ,1,2,,

Ii k



，则对

的闭包中的任一点，均有

限，





12121 2

,,,,

kk k

xxxf fff ff  





,,, :0

Orbxxxn



,,,

zz z











12121212

,,, ,,,,,

kk kk

x xffzz zff f f



 。

黎日松等有限个线段映射的笛卡尔乘积的局部变差增长与局部拓扑熵187

证明由于



 







 

121 21 12211

,,, ,,,,,

nnn

kk k

OrbxxxffffxfxffOrb x  

: 0,

xnOrb xf 



Orb xf



 

,,,1,2,

ii ii

zOrbx，均有 ,

fzfi



。故由文献[8]中的推论 4知，对于任意k。

从而



,有



 

iii







f，即















12121212

,,, ,,,,,

kk k



k

x xfffzz zfff



 。故推论获

证。

4：推论 1是文献[8]中论 4的推广。

定理 4设线段映射的各次迭代的变差有限，

注记的推

fI Ii1, 2,,ik



，则









, , ,

xxx



12 12

sup, ,:k

ffxfffIII



 



(1)

12 12kk



(2)( )

,,,

, ,xx



 ，且存在点

0 1

xxIII，使得



(1) (2)





( )

00012

,,,

kkk



xf ff 

，对每个 1, 2,,ik

ff f





。

证明由文献[8]的定 ，理6知













:sup ,()

0ii



iiiii

xfx I



 ，且存在点，使得



()

0iii



，故





12 12







()(1)(2)()

000 0

,,,,



ff ff 



1 2

,:: ,

kk iii

fffIx Ii











,,,xx x

xfxxx









1 21

sup ,

k k

I Ixf





f 

。因

1,2,,



sup ,,,xx





 















i i

 



sup, :

fxI f









，而













121212

, ,,:,

xf ffxx1 2k

I Isup ,



, ,xxx k



 



 



)

(1) (2)(

,,,



fff，因此定理获证。

注记 5：定理4是文献[8]中的定推广。

定理 5 若线段映射

理6的

ii i

II的， 1, 2,,ik



，则局部变差增长各次迭代变差有限





121212kkk

1 2

,,,,:(,,,)k

xxff fxxxPff f



 的上确界等于全局变差增长 



12 k

ff，且存



在一点



(1)(2)( )

00 01

,,,

k2k

xxPf，使得f f





(1)(2)( )

0 12

, ,

kk00



xff f



12 k



。

证明由文献[8]的推论 8知，

 





sup,:,1,2, ,

ii iii

fxPf fik



 ，且存在一点



()

0ii

Pf，使得



()

0,,,

iii

1,2

ffi



k。故



()

iii











12kk

，即



00 0 12

,,,,

k(1)(2)( )

xxff



fff f



 。因





 



 





1212

sup, ,,,12 1

:, ,,

k21

sup, :

kiiii

xxff







fxxxP



ff fxfxPf





 



，而 



 











(1)(2)( )

1212

sup, ,,,121

:,,, k20 001 2

,,,,

k kkk

xxff



fxxxPff fxxxfff



  

，且

 



121 2kk

Pf ffPfPfPf

。于是定理获证。

注记 6：定理 5是文献[8]中的推论 8的推广。

定理 6若线段映射 i

II拓扑混合， 1, 2,,ik



，则 12 k

f f

s在12 k



的内部



12 k

II处

处等于某一个常数；假如 i

的各次迭代变差有限， 1,2,,ik



，则局部变差增长函数 12 k



在



12 k

II

内也处处



等于某一个常数。另外，这两个函数在



k12

II处处为正。

证明由文献[8]的定 i

理10 知，

在0

内一个常 ,1i,2,,

c k



处处等于某数。由于



000

11k

III，故在



12 k

II内，有 12 k

fff i





。

由文献[8]的定理 10 知， i



在

内处处等于某一个常数,1,2,,k

di ，则 12 11



fi





。因

0,0,1,2, ,



，故

黎日松等 | 有限个线段映射的笛卡尔乘积的局部变差增长与局部拓扑熵

188

，



。

12 1

ff ff









定理 7 设:

12 1

f f









的定理 10 的



注记 6：定理 6是文献[8]中推广。

II为拓扑传递的线段映 i

恒为常值的 0

为局部拓扑熵映射i

射，的最大开子集，

1, 2,,ik，则12 k

在12 k

s

II

 

内恒为 n

变差极限，设i

为局部变差增长映射 i



常值；假如各次迭代

12 k



在12 k





 



恒为常值的 0

的最大开子集， 1, 2,,ik，则局部变差增长映射内恒为常值。并且

[8]

这两个函数处处为正。

文献的定理11，i

证明根据 或者为0

或者为从 0

中去掉i

的一个不动点所得可假设

fi iii

的开集。故



i if



,,1,2

i i

xcxI



 xdxJi



k。则对任意





121 2

,, kk

xxII I





 ，有



12 12

,,,









121 2

,,,

xxJJJ





 





ffkfi i

xx x



s xc







；对任意，有



,,, kk

12 12

ffkfi i

xxx。又因为 0,0,1,2, ,











 以k

；

，所 12 1

ff f

 





12 1

ff ff











注记 7：定理 7

4. 致谢

作者十分感谢审

教授

参考文献 (Refer

[1] A. Katok, B. Hasselblat t .

Chaos, 2004, 14(7): 2161-

[3] M. Misiurewcz, W.

。因此定理获证。

献[8]中的定理1

稿人提出有益的修改意见！

ences)

Introduction to the modern th

uang. Chaotic behavior

2186.

Szlenk. Entropy of piecewise m

monotone ma

是文

也衷心感谢左再思教授、沈文淮教授和南京大学数学系代雄平

eory of dynamical systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

of interval maps and total vaiations of iterates. International Journal of Bifurcation and

onotone maps. Studia Mathematica, 19 80, 67: 45-63.

ppings on an interval. Lecture Notes in Mathematics 1347. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag,

ove chaotic

rol of nonlinear distributed parameter

1的推广。

的鼓励及有益建议。

[2] G. Chen, T. Huang and Y. H

[4] C. Preston. Iterates of piecewise

1988.

[5] G. Chen, S. B. Hsu and T. Huang. Analyzing displacement term's memory effect in a Vander Pol type boundary condition to pr

vibration of the wave equat i o n . International Jo urnal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, 2002, 12(5): 965-981.

[6] G. Chen, T. Huang, J. Juang and D. Ma. Unbounded growth of total variations of snapshots of the ID linear wave equation due to the chaotic

behavior of iterates of composite nonlinear boundary reflection relation. In: G. Chen, et al., (Ed.), Cont

systems. New York: Marcel Dekker Lecture Notes on Pure & Applied Mathematics, 2001: 15-43.

[7] Y. Huang. Growth rates of total variations of snapshots of the 1D linear wave equation with composite nonlinear boundary reflection. Interna-

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[8] 黄煜, 罗俊, 周作领. 线段映射的局部变差增长与局部拓扑熵[J]. 数学学报, 2006, 49(2): 311-316.

[9] P. Walters. An introduction to ergodic theory, graduate texts in mathematics 79. New York: Springer-Verlag, 1982.