 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 198-204 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.13038 Published Online October 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Studying of Property of the Solution of the Nonlinear Difference Equation 2 1 1 d n n n nn bx xax cx x Limin Yan*, Xiaojie Xu, Jing Liu Department of Mathematics, China University of Petroleum, Qingdao Email: limin_613@ 163.com Received: Sep. 2nd, 2011; revised: Sep. 27th, 2011; accepted: Oct. 5th, 2011. Abstract: In paper [1], some proper ties are investigated about difference equation 2 1 1 d n nn nn bx xax cx x ， where and the initial conditions 0,0, 0,0abcd 01 ,0,xx , such as the boundedness of the solution and the properties of the equilibrium point. In this paper we will prove that some methods used in paper [1] are wrong at first. Then we continue to study some properties of the difference equation under dif- ferent circumstances. We get some interesting conclusions. At last, we use some numerical examples to verify the conclusions that we get in this paper. Keywords: Rational Di f ference Equation; Asymptotical Stability; Gl obal Attractivity 差分方程 2 1 1 d n n n nn bx xax cx x 的解性质的研究 颜丽敏*，许晓婕，刘 静 中国石油大学(华东)理学院，青岛 Email: limin_613@ 163.com 收稿日期：2011 年9月2日；修回日期：2011 年9月27 日；录用日期：2011 年10 月5日 摘 要：文献[1]中研究了差分方程 2 1 1 d n nn nn bx xax cx x (是正实数)解的有界性、平衡点的局 部及全局吸引性，并给出了其几类特殊情形下的解的表达式。本文首先指出文献[1]中的第 2、3段的 讨论方法是不正确的。然后本文中我们对平衡点的性质进行了讨论，分为两种情况进行研究，分别为 ,,,abcd 1acd b 及 。在第一种情况中可以得到平衡解在适当的条件下是全局吸引的， 1acd b 在第二种情况下得到任意实数都是平衡解且是不渐进稳定的。在每种情况中举了一些数值例子，并用 相应的软件画出其图像，从而进一步证明了结论的正确性。 关键词：有理性差分方程；渐进稳定性；全局吸引性 1. 引言 考虑差分方程 11 ,,,,0,1, nnnnk xfxx xn (1) 其中 ，初值 1 ,, k kNfCR R 10 ,, , k x xx 为任意实数，则对给定的初值 10 ,, , k x xx ，方程(1)存在唯  颜丽敏 等 | 差分方程 2 11 d n nn nn bx xax cx x 的解性质的研究 Copyright © 2011 Hanspub PM 199 0 一的解序列 。 , nnk xn 满足平衡方程 定义 1：若 x x ,,fx x则 x 称为差分方程(1)的平衡解。 定义 2：设 x 方程(1)的一平衡解 (1) 平衡点 x 称作稳定的，如果 0, 0 ，当 ,10 ,, k x xx R 且1k xxxx 时，解序列 ，对一切 ， nnk x 0nn xx 。 (2) 平衡点 x 称作渐进稳定的，如果它是稳定的且 0 ，当 10 , k x xx R ,且1k xxxx 时， lim n n x x 。 (3) 平衡点 x 称作一全局吸引子，如果对任意的 10 , k x xx R ,，有 lim n n x x 。 (4) 平衡点 x 称作全局渐进稳定的，如果它是稳定的且为一全局吸引子。 是方程(1)的一平衡点且 11 , k fCR R ，记 ,, ,,0,1,, ii fxxx pi x 定义 3：设 x k 这里 01 ,,, k f xx x是方程(1)中的函数。称方程 10 11,0,1, nnn knk ypypy pyn , (2) 为方程(1)关于平衡点 x 的变分方程。方程(2)的特征方程为 11 01 1 kk k pp p k p (3) 定理 A[2] 假设 ， ，如果 12 k ,,,ppp R 1, 2,k 1 1 k i i p ，则差分方程 ， 是渐进稳定的。 11nknkk n 0xpx px 0, 1, n 定理 B[2] 如果 1 f C，方 程 (1)的变分方程（2）的特征方程(3)的所有根满足 1 ，则方程(1)的平衡解 x 是 渐进稳定的；如果至少一个根满足 1 ，则平衡解 x 是不稳定的。 定理 C[3] 考虑下述差分方程 1,,0,1, nnnk xFxxn (4) 其中 为整数。设1k , I pq为某一实数区间，且 :, ,, f pq pqpq为满足如下条件的连续函数。 (a)对每个固定的 ,vpq， . f uv 关于 u不减，对每个固定的 ,upq， . f uv 关于v不增。 (b)若 ,,mMpqpq,是方程组 , , mfmM M fMm 的解，则 mM 。 那么，方程(4)具有唯一的平衡点 x 且方程(4)所有解均收敛于 x 。 有理差分方程是非线性差分方程的重要类型，由于其对一般非线性差分方程研究的启示作用、有些科学和 工程问题的模型即是有理差分方程(离散虫口模型 11 nnn x xx 就是一个有理差分方程)以及这类方程本身具 有的复杂性质，近几年来引起广泛的关注(见文献[4]、文献[1]及其引用的参考文献)。 文献[5]中研究了时滞差分方程 1n nnk y yA y 解的性质，从文中结论可见，参数A的取值范围对于方程解 的性质有着实质性的影响。 文献[1]中对差分方程 2 11 d n nn nn bx xax cx x (5) 的局部渐进稳定性，作了如下的讨论： 方程(5)的平衡方程  颜丽敏 等 | 差分方程 2 11 d n nn nn bx xax cx x 的解性质的研究 Copyright © 2011 Hanspub PM 200 2 d bx xaxcx x (6) 改写为，该文得出结论：如果 1acd b 1acd b ，则得到唯一的平衡点 0x，并且令： ，定义为 :0,f 0, 2 2 ,d bu fuvau cu v 则 22 2 2d d ,, dd uv bcu buvbu fuv afuv cu vcu v 2 (7) 因此 2 2d d ,, uv bc bb fxx afxx cd cd 2 (8) 得到方程(1-5)关于平衡点 x 的变分方程为： 1 22 2d d0 nn bc bb yay y cd cd 1n (9) 问题是：在 0x处，由(7)的偏导数 ,, , uv f uvfuv无法直接得到(8)中的 ,0,0,, uuv f xxff xx 。事实上，函数 0,0 v f , f uv 在点 处没有定义。即便补充定义 0,0 0,0 0f (这样定义时， , f uv 在点 0,0 处连续)，成立的也是 22 2 00 00 ,0 0,0 0,0 limlim 0, 0,0 0 0,0 limlim0 uuu vvv fu facubuac b fuc cu fvf fvv 得不到方程(9)，因此，方程(9)并不是原方程在 0x 处的变分方程。 2. 方程(10)平衡解的渐进稳定性 设 2,,0,0 ,d 0,, 0,0 bu auu v fuv cu v uv 考虑(5)的扩充差分方程，我们把它记为(10)，即 11 ,,0,1, nnn xfxxn (10) 初值 10 , x x 是任意实数。 设方程(10)的平衡点为 x ，即 2 ,d bx xfxx ax cx x 由于时方程成为简单方程0b1nn x ax ，解的性质是周知的，下面考虑 的情形。如果 ，我们得到唯一的平衡解 0b 1ac b d0x ；如 果 acd b1 则每个点 x R 都是平衡点。下面分两种 情形讨论。 情形 1 1acd b 当 时，(10)唯一的平衡解是 1acd b 0x 。方程(10)的变分方程  颜丽敏 等 | 差分方程 2 11 d n nn nn bx xax cx x 的解性质的研究 Copyright © 2011 Hanspub PM 201 10 n ac b yy c n (11) 特征根 ac b c ，取 为任意的实数，则(11)的解为 00y0,1,2, n nac b yyn c 因此，(11)的平衡解 0y ，当 1 ac b c 时，是全局吸引的； 1 ac b c 是常值解； 1 ac b c 时，非零解都 是无界的。对方程(10)有 定理 1 设 ，则 1acd b 1) 当1 ac b c ，方程(10)的平衡解 0x是全局吸引的； 2）当 1 ac b c 时，方程(10)的平衡解 0x 是不稳定的。 证明： 1) 下面验证定理C的条件满足，从而结论 1)成立。在定理 C中，取 0, 0pq 是任意正实数，则当 1 ac b c 时，对任意的 ,0,0,uvq q， 2 0, d bubuacu bu f uv auauq cu vc c 显然， , f uv 关于 ,uv 在 第一象限是连续函数，关于u是增函数，关于 v是减函数。如果对 ,0, f mM q , , M fMm mMmf 则可得 22 22 1caMmbMm 由1 ac b c ，得 ，进而，于是，必有 ac bc 1bc a mM 。由定理 C即知，方程(2-1)是全局吸引的， 事实上，此时，解序列 2 10 1 d nn nn n nn bxbx n ac b x ax axx cx xcc 单调减少地收敛于 0。 2) 当1 ac b c 时，可取 充分小使得0d1 ac b cd ，如果初值 10 , x x 则 22 000 100000 01 00 dd bxbxbx ac badac b0 x axaxaxxx x cxxcxxcdcdcd 用归纳法证明， 22 1 0 1 dd n nnn nnnnn n nn nn bxbxbx ac b adac bacb xaxaxaxxxx n cxxcx xcdcdcdcd 注1 由于变分方程(2-2)不同于文[1]中的方程(9)，对应于定理 1，文 献 [1]中的定理2，提出的条件是 1bc a ， 是通过验证定理 C的条件来证明的，但是，证明中并未指出如何选取 pq 使得上面定义的函数 , f uv 满足 :, ,, f pq pqpq。当时，是否存在这种是存疑的。 1bc a ,pq 注2 值得注意的是，由于 22 22 2d d ,, dd uv bcu buvbu fuv afuv cu vcu v 直接计算，有 2 22 0 2d 2d lim d vku bcubuvbc bk aa cuvcu kd 上述极限因 k而异，因此， ,0,0 lim , u uv f uv 不存在，于是， , u f uv 在 0,0 点不连续，定理 B的条件 1 f C 往往被忽略而导致推理出错。当 1 ac b c 时，方程(10)的不稳定性并不能从定理 B得出。  颜丽敏 等 | 差分方程 2 11 d n nn nn bx xax cx x 的解性质的研究 Copyright © 2011 Hanspub PM 202 下面通过数值例子来直观地说明定理 1。 考察方程 2 1 1 0.5 3d n nn nn x xx x x 则0.5 3 12.51 33 ac b c 取0, 1,5ddd ，初值 ，可 分别得到图形如下(图1) 10 1, 2xx 10 20304050 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 1 020 30 4 0 5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0d 2d 5d Figure 1. The solut i o n of 2 11 0.5 3d n nn nn x xx xx , when 0,1,5ddd , 10 1, 2xx 图1. 当 ，0, 1, 5ddd10 1, 2xx 时， 2 11 0.5 3d n nn nn x xx xx 的图形 考察方程 2 1 1 3 0.5 2 n nn nn x xx x x 有41 3 ac b cd ，数值例子图形为(图2) 10 20 30 40 50 1´109 2´109 3´109 4´109 Figure 2. The solution of 2 11 3 0.5 2n nn nn x xx xx , when 10 1, 2xx 图2. 当时， 10 1, 2xx 2 11 3 0.5 2n nn nn x xx xx 的图形 如果 1 ac b c ，当取 充分大时，数值例子0d 2 1 1 4 0.5 28 n nn nn x xx x x 其图形为(图3) 图形 2和图形 3说明，当 时，仅有条件 1acd b 1cab 不能保证解序列收敛到平衡解 0x ， 从而，文[1]中的定理 2是不正确的。 情形 2 。 1acd b 定理 2 如果 ，则任意的实数 1acd bb,0 x 都是方程(10)的平衡解。因此，任何非零的平衡解都不 是渐进稳定的。  颜丽敏 等 | 差分方程 2 11 d n nn nn bx xax cx x 的解性质的研究 Copyright © 2011 Hanspub PM 203 10 2 0 3 0 4 0 5 0 0.5 1 1.5 2 Figure 3. The solution of 2 11 4 0.5 2n nn nn x xx xx , when 10 1, 2xx 图3. 当时， 10 1, 2xx 2 11 4 0.5 2n nn nn x xx xx 的图形 证明：由前面的讨论，方程(10)的平衡方程是 2 d bx xaxcx x 因此， 时，任意的非零 1acd bb,0 x 都是平衡解，从而平衡解不唯一。 当初值 10 0xxx 时，解为常值序列，当 01 x xx 时 22 00 10 0 01 00 dd bx bx 0 x axax x cx xcxx 归纳 地可得，对任意的 ， 2n11101nnn x xxxxx x 。因此，解序列是单调增加的。大量的数值例子 都表明，此时解序列是有界的，一般结论尚待证明。 当01 x x x时， 22 00 10 0 01 00 dd bx bx 0 x axax x cx xcx x 同理归纳地可得，对任意的 2n 11101nnn x xxxxx x 在此初值条件下，方程的解序列单调减少，是有界的。总之，方程(10)的任何非零平衡解都不是渐近稳定的， 解的性质与两个初值 10 , x x 的大小关系相关。 注3 定理2刻画的事实可以表述为，在条件 1acd bb,0 下，方程具有局部单调性，即对任意的 01 0xx ，存在 0 ，非负初值 10 , x x 满足 11 00 ,xx xx 时，解序列 n x 单调增加。事实上，当 01 0xx 时，取0111 00 0, , 2 xx xxxx 时， 01 11 0 2 xx 0 x xx x ，从而，以10 , x x 为初值的解序列 n x 单调增加。 同理，对任意的 0 01 x x ，存在 0 ，初值 10 , x x 满足 1100 ,xx xx 时，解序列 n x 单调减 少。 数值例子 2 1 1 3 0.5 24 n nn nn x xx x x 取初值，其图形为图 4。 10 1, 2xx 如取初值，则其图形为图 5。 10 2, 1xx 3. 致谢 本论文的完成离不开各位老师、同学和朋友的关心与帮助，在这里我特别要感谢我的导师费祥历教授，本 文在导师的指导之下完成的，在此我向我的导师表示深切的谢意与祝福！  颜丽敏 等 | 差分方程 2 11 d n nn nn bx xax cx x 的解性质的研究 Copyright © 2011 Hanspub PM 204 10 2030 4050 2.79355 2.79365 2.7937 2.79375 2.7938 2.79385 2.7939 Figure 4. The sol u tion of 2 11 3 0.5 2n nn nn x xx xx , when 10 1, 2xx 图4. 当时， 10 1, 2xx 2 11 3 0.5 2n nn nn x xx xx 的图形 10203040 50 0.71586 0.71588 0.71592 Figure 5. The sol u tion of 2 11 3 0.5 2n nn nn x xx xx , when 10 2, 1xx 图5. 当时， 10 2, 1xx 2 11 3 0.5 2n nn nn x xx xx 的图形 参考文献 (References) [1] E. M. Elsayed. Qualitative behavior of difference equation of order two. Mathematical and Computer M odelling, 2009, 50(7-8): 1130-1141. [2] V. L. Koci, G. Ladas. Behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993. [3] V. L. Koci, G. Ladas. Behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993. [4] H. E. Wan-Sheng, L. I. Wan-Tong. G lo b a l a tt ractivity of a second order nonlinea r difference equation. 大学数学, 2005, 21(2): 47-51. [5] 时宝, 张德存, 盖明久. 微分方程及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2005. |