蒋浩

西华大学理学院，四川 成都

收稿日期：2023年4月28日；录用日期：2023年5月21日；发布日期：2023年5月30日

摘要

本文的主要内容是基于T. Bag和S. K. Samanta于2003年建立的模糊赋范线性空间；我们根据 $\alpha$ -范数是上升集簇的性质，选取确界逼近的方式，定义了1-范数的概念，并研究其连续性、收敛性等相关性质。

关键词

模糊赋范线性空间，1-范数，1-范收敛，1-闭集

1-Norm of Fuzzy Normed Linear Space

—Fuzzy 1-Norm

Hao Jiang

School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan

Received: Apr. 28^th, 2023; accepted: May 21^st, 2023; published: May 30^th, 2023

ABSTRACT

The main content of this paper is based on the fuzzy normed linear space established by T. Bag and S. K. Samanta in 2003; Based on the property that $\alpha$ -norm is an ascending cluster, we select the way of approximation to define the concept of 1-norm, study continuity, convergence and its related properties.

Keywords:Fuzzy Normed Linear Space, 1-Norm, Convergence of 1-Norm, 1-Closed Set

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

2003年，T. Bag和S. K. Samanta [1] 建立了一类模糊赋范线性空间，模糊赋范线性空间中的模糊范数可以导出 $\alpha$ -范数( $\alpha \in \left(0,1\right)$ )。它们研究了模糊范数与 $\alpha$ -范数之间关系，得到了模糊收敛与 $\alpha$ -范数收敛等价的结论。随后，T. Bag和S. K. Samanta [2] 给出模糊赋范空间中线性算子连续性的诸多概念并研究了这些概念之间关系。同时它们又研究了泛函分析中的模糊概念，把泛函分析中的四大基本定理(如一致有界定理、开映射定理)推广到更加一般的模糊环境中，形成了模糊泛函分析。随后，许多学者研究了模糊赋范线性空间中的拓扑性质如模糊不动点问题、模糊连续映射等，进一步丰富发展了模糊泛函分析。模糊赋范空间的拓扑性质可参考文献 [3] [4] [5] [6] 。在T. Bag和S. K. Samanta建立的模糊赋范线性空间中，由模糊范数导出的1-范数可能是不存在的。因此，我们根据 $\alpha$ -范数是上升集簇的性质，选取确界逼近的方式定义了1-范数的概念，并研究1-范数是否是经典范数、1-范数的连续性质、点列依1-范数收敛与点列模糊收敛之间关系、1-闭集和模糊闭集之间关系。

2. 预备知识

模糊赋范线性空间

定义2.1 [1] ：(模糊范数的定义)设X是线性空间， $\theta$ 为其零元，N为 ${\rm X}\times R$ 上的模糊子集。如果对 $\forall x,y\in {\rm X}$ ， $c\in R$ ，有

(N1) $\forall t\le \text{0}$ ，有 $N\left(x,t\right)=0$ ；

(N2) $\forall t\in R$ 且 $t>\text{0}$ ，有 $N\left(x,t\right)=1$ 当且仅当 $x=\theta$ ；

(N3) $\forall t\in R$ 且 $t>\text{0}$ ，如果 $c\ne 0$ ，有 $N\left(\left|c\right|x,t\right)=N\left(x,t/\left|c\right|\right)$ ；

(N4) $\forall s,t\in R$ ，有 $N\left(x+y,s+t\right)\ge \min \left\{N\left(x,s\right),N\left(y,t\right)\right\}$ ；

(N5) $N\left(x,\cdot \right)$ 为R上的不减函数且 $\underset{t\to +\infty }{\text{lim}}N\left(x,t\right)=1$ .

则称N为X上的模糊范数， $\left({\rm X},N\right)$ 为模糊赋范线性空间。

注 [2] ： $N\left(x,t\right)$ 表示x的范数是实数t的真值。

例子2.2 [1] 设 $\left(\text{X},\Vert \cdot \Vert \right)$ 为赋范线性空间，对 $\forall x\in {\rm X}$ ， $\forall t\in R$ ，定义：

$N\left(x,t\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & t\le \Vert x\Vert \hfill \\ 1,\hfill & t>\Vert x\Vert \hfill \end{array}$ ,

则 $\left({\rm X},N\right)$ 是模糊赋范线性空间。

例子2.3 [1] 设 $\left(\text{X},\Vert \cdot \Vert \right)$ 为赋范线性空间，对 $\forall x\in {\rm X}$ ， $\forall t\in R$ ，定义：

$N\left(x,t\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{t}{t+\Vert x\Vert },\hfill & t>0\hfill \\ 0,\hfill & t\le 0\hfill \end{array}$ ,

则 $\left({\rm X},N\right)$ 是模糊赋范线性空间。

定义2.4 [1] 设 $\left({\rm X},N\right)$ 为模糊赋范线性空间， $\left\{x_n\right\}$ 是X中的点列，如果 $\exists x\in {\rm X}$ ，使得

$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}N\left(x_n-x,t\right)=1$ ， $\forall t>\text{0}$ ，

则称 $\left\{x_n\right\}$ 模糊收敛且模糊收敛到x，记为 $x_n\stackrel{N}{\to }x$ 。x称为 $\left\{x_n\right\}$ 的模糊极限。

注 [1] ：模糊极限如果存在，那么极限唯一。

定义2.5设 $\left({\rm X},N\right)$ 为模糊赋范线性空间，A为X的子集。

1) A中所有模糊收敛点列的模糊极限所成之集称为A的导集，记为 $A^{\prime }$ 。

2) 若 $A^{\prime }\subseteq A$ ，则称A为模糊闭集。

3) 称 $A\cup A^{\prime }$ 为A的模糊闭包，记为 $\bar{A}$ 。

定理2.6 [1] 在 $\left({\rm X},N\right)$ 是模糊赋范线性空间，(N6)：若 $\forall t>\text{0}$ ，有 $N\left(x,t\right)>0$ ，则 $x=\theta$ 。对 $x\in {\rm X}$ ， $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，令

${\Vert x\Vert }_{\alpha }=\wedge \left\{t>0|N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}$ ，

则 ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$ 为X上的范数,且 ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{\beta }$ ， $0<\alpha \le \beta <1$ 。

(N7)： $\forall x\in X\left(x\ne \theta \right)$ ， $N\left(x,\cdot \right)$ 关于t连续且在 $\left\{t:0<N\left(x,t\right)<1\right\}$ 上严格递增。

定理2.7 [1] 设 $\left({\rm X},N\right)$ 是模糊赋范线性空间，模糊范数N满足条件(N6)和(N7)，X中的点列模糊收敛当且仅当该点列依 $\alpha$ 范数收敛 $\left(\forall 0<\alpha <1\right)$ 。

(N8)：在模糊赋范线性空间 $\left(X,N\right)$ 中，对 $\forall x\in X$ ，有 $\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }<\infty$ 。

定义2.8设 $\left({\rm X},N\right)$ 是模糊赋范线性空间，模糊范数满足(N8)：对 $x\in {\rm X}$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ ，令 ${\Vert x\Vert }_{\alpha }$ ：

${\Vert x\Vert }_{\alpha }=\{\begin{array}{ll}\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}\hfill & \alpha \in \left(0,1\right)\hfill \\ \underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }\hfill & \alpha =1\hfill \end{array}$ ，称 ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$ 为X上的 $\alpha$ -范数。

定义2.9 设 $\left({\rm X},N\right)$ 为模糊赋范线性空间， $\left\{x_n\right\}$ 是X中的点列，如果 $\exists x\in {\rm X}$ ，使得

$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{\Vert x_n-x\Vert }_1=0$ .

则称 $\left\{x_n\right\}$ 依1-范收敛且1-范收敛到x，记为 $x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_1}{\to }x$ ， $x$ 称为 $\left\{x_n\right\}$ 的1-极限。

定义2.10 设 $\left({\rm X},N\right)$ 为模糊赋范线性空间，A是X的子集，

1) A中所有依1-范收敛点列的1-极限所成之集称为A的1-导集，记为 ${A^{\prime }}_{\alpha }$ 。

2) 若 ${A^{\prime }}_1\subseteq A$ ，则称A为1-闭集。

3) 称 $A\cup {A^{\prime }}_1$ 为A的1-闭包，记为 $\overline{A_1}$ 。

3. 模糊赋范线性空间的1-范数

本节，我们讨论了1-范数与M-范数的关系、1-范数的连续性以及1-范数的收敛性。

在模糊赋范线性空间 $\left(X,N\right)$ 中，我们在提出(N8-1)条件，如果模糊范数满足(N7)条件，那么(N8)条件与(N8-1)条件是等价的。

(N8-1)： $\forall x\in X$ ，存在 $t_x>0$ ，使得 $N\left(x,t_x\right)=1$ 。

性质3.1 在模糊赋范线性空间 $\left(X,N\right)$ 中，模糊范数满足(N7)条件，那么

(i) 对 $\forall x\in X\left(x\ne \theta \right)$ ， $\left\{{\Vert x\Vert }_{\alpha }:\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ 是X上的严格上升集簇。

(ii) (N8)条件与(N8-1)条件等价。

证：(i) 在模糊赋范线性空间中，任意选取的 $x\in X\left(x\ne \theta \right)$ ，

对 $\forall 0<{\alpha }_1<{\alpha }_2<1$ ，我们令 $A_1=\left\{t:N\left(x,t\right)\ge {\alpha }_1\right\}$ ， $A_2=\left\{t:N\left(x,t\right)\ge {\alpha }_2\right\}$ ，那么，

$A_1\supseteq A_2$

由(N7)知，

$\exists t_0\in A_1$ , $t_0<\underset{t\in R}{\inf }{A}_2\Rightarrow \underset{t\in R}{\inf }{A}_1<\underset{t\in R}{\inf }{A}_2$

即， ${\Vert x\Vert }_{{\alpha }_1}<{\Vert x\Vert }_{{\alpha }_2}$ 。

(ii) 必要性：当 $x=\theta$ 时，显然。

设 $\left\{{\alpha }_n\right\}$ 是 $\left(0,1\right)$ 内一严格单增数列且 ${\alpha }_n\to 1\left(n\to \infty \right)$ ，由(i)知，对 $\forall x\in X\left(x\ne \theta \right)$ 有， ${\Vert x\Vert }_{{\alpha }_n}<{\Vert x\Vert }_{{\alpha }_{n+1}}$

令 $t_n={\Vert x\Vert }_{{\alpha }_n}$ ，则 $\left\{t_n\right\}$ 严格单增且 $t_n\to {\Vert x\Vert }_1\left(n\to \infty \right)$ ，那么，

$N\left(x,t_{n+1}\right)\ge {\alpha }_n$

因为 $N\left(x,\cdot \right)$ 关于t连续，当 $n\to \infty$ 时，

$N\left(x,{\Vert x\Vert }_1\right)=1$

充分性：对 $\forall 0<\alpha <1$ ， $x\in X$ ，

${\Vert x\Vert }_{\alpha }=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}\le \underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge 1\right\}=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)=1\right\}<\infty$

所以，

${\Vert x\Vert }_1=\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }<\infty$ ，即证。

定理3.2：在模糊赋范线性空间 $\left({\rm X},N\right)$ 中，模糊范数N满足(N7) (N8)条件，令 $M_x$ ：

$M_x=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)=1\right\}$ $\forall x\in X$ ，那么 $N\left(x,M_x\right)=1$ (称 $M_x$ 为x在X中的M-范数)。

证：因为对 $\forall 0<\alpha <1$ ， $x\in X$ ，

${\Vert x\Vert }_{\alpha }=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}\le \underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge 1\right\}=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)=1\right\}=M_x$

所以，

${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le M_x\left(1\right)$ ，

若 $N\left(x,M_x\right)<\alpha$ ，由(N7)知

$\exists m_x\in R$ ， $M_x<m_x$ ，

$N\left(x,M_x\right)<N\left(x,m_x\right)<\alpha$

所以，

$M_x<m_x\le {\Vert x\Vert }_{\alpha }$ ，与(1)式矛盾，

因此，

$N\left(x,M_x\right)\ge \alpha ,\forall \alpha \in \left(0,1\right)$

即，

对 $\forall x\in X$ ， $N\left(x,M_x\right)\ge \sup \left\{\alpha :\alpha \in \left(0,1\right)\right\}=1$ 。

定理3.3：如果模糊赋范线性空间 $\left({\rm X},N\right)$ 满足(N7) (N8)条件，那么 ${\Vert x\Vert }_1=M_x$ 。即：

$\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)=1\right\}$ 。

证：因为对 $\forall 0<\alpha <1$ ，

${\Vert x\Vert }_{\alpha }=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}\le \underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge 1\right\}=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)=1\right\}=M_x$

所以， $M_x$ 是 $\left\{{\Vert x\Vert }_{\alpha }:0<\alpha <1\right\}$ 的上界，因此， ${\Vert x\Vert }_1\le M_x$ 。

下证 ${\Vert x\Vert }_1<M_x$ 不成立，

如果 ${\Vert x\Vert }_1<M_x=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)=1\right\}$ ，那么 $N\left(x,{\Vert x\Vert }_1\right)<1$ 。

则存在 ${\alpha }_0\in \left(0,1\right)$ ， $N\left(x,{\Vert x\Vert }_1\right)<{\alpha }_0$

由 $\alpha$ -范数的定义知， ${\Vert x\Vert }_{{\alpha }_0}=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge {\alpha }_0\right\}$ ，

对 $\forall t\in \left\{t:N\left(x,t\right)\ge {\alpha }_0\right\}$ ，有

${\Vert x\Vert }_1\le t$

因此， ${\Vert x\Vert }_1$ 是集合 $\left\{t:N\left(x,t\right)\ge {\alpha }_0\right\}$ 的下界，那么 ${\Vert x\Vert }_1\le \underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge {\alpha }_0\right\}={\Vert x\Vert }_{{\alpha }_0}$

由性质3.1(i)知， $\exists {\alpha }_1\in \left({\alpha }_0,1\right)$ ，使得

${\Vert x\Vert }_1\le {\Vert x\Vert }_{{\alpha }_0}<{\Vert x\Vert }_{{\alpha }_1}$

这与 ${\Vert x\Vert }_1=\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }$ 矛盾，因此 ${\Vert x\Vert }_1=M_x$ 。

例3.4设 $\left(\text{X},\Vert \cdot \Vert \right)$ 为赋范线性空间，对 $\forall x\in {\rm X}$ ， $\forall t\in R$ ，令

$N\left(x,t\right)=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & t>\Vert x\Vert \hfill \\ \frac{2t}{t+\Vert x\Vert },\hfill & 0<t\le \Vert x\Vert \hfill \\ 0,\hfill & t\le 0\hfill \end{array}$

则N为X上模糊范数，并且模糊范数N满足(N7) (N8)条件。

证：验证N为模糊范数：

(N1) 易见，当 $t\le 0$ 时，有 $N\left(x,t\right)=0$ ， $\forall x\in {\rm X}$ 。

(N2) 对 $\forall t>0$ ，如果 $N\left(x,t\right)=1$ ，则从N的定义知： $\Vert x\Vert =0$ ，即 $x=\theta$ 。反之，从N的定义知：若 $x=\theta$ ，则 $\forall t>0$ ，有 $N\left(x,t\right)=1$ 。

(N3) 由于 $\Vert cx\Vert \le t\iff \Vert x\Vert \le \frac{t}{\left|c\right|}$ ， $\Vert cx\Vert \ge t\iff \Vert x\Vert \ge \frac{t}{\left|c\right|}$ ，所以

$N\left(cx,t\right)=N\left(x,t\frac{t}{\left|c\right|}\right)$ .

(N4) (a) $s+t<\text{0}$ ,不妨设 $s\le t$ ，那么 $s\le 0$ ，显然有

$N\left(x+y,s+t\right)\ge \min \left\{N\left(x,s\right),N\left(y,t\right)\right\}$ ；

(b) $s=t=\text{0}$ ，显然有 $N\left(x+y,s+t\right)\ge \min \left\{N\left(x,s\right),N\left(y,t\right)\right\}$ ；

(c) $s+t>\text{0}$ ： $s>\text{0}$ ， $t<\text{0}$ ； $s<\text{0}$ ， $t>\text{0}$ 以上两种情况显然满足 $N\left(x+y,s+t\right)\ge \min \left\{N\left(x,s\right),N\left(y,t\right)\right\}$ ；

(d) $\text{0}<s+t<\Vert x+y\Vert$ ， $0<s<\Vert x\Vert$ ， $0<t<\Vert y\Vert$ 。不妨设 $N\left(x,s\right)\le N\left(y,t\right)$ ，则有

$\frac{2s}{s+\Vert x\Vert }\le \frac{2t}{t+\Vert y\Vert }\Rightarrow t\Vert x\Vert \ge s\Vert y\Vert$ .

$\Rightarrow \left(t+s\right)\Vert x\Vert \ge s\left(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert \right)\ge s\Vert x+y\Vert$

$\Rightarrow \frac{\Vert x\Vert }{s}\ge \frac{\Vert x+y\Vert }{s+t}$

故

$N\left(x+y,s+t\right)-N\left(x,s\right)=\frac{2}{1+\frac{\Vert x+y\Vert }{s+t}}-\frac{2}{1+\frac{\Vert x\Vert }{s}}\ge 0$ .

则

$N\left(x+y,s+t\right)\ge \min \left\{N\left(x,s\right),N\left(y,t\right)\right\}$ .

(e) $\text{0}<s+t<\Vert x+y\Vert$ ， $0<s<\Vert x\Vert$ ， $t>\Vert y\Vert$ ，则有 $N\left(x,s\right)\le N\left(y,t\right)$ 且 $\frac{2t}{t+\Vert y\Vert }>1>N\left(x,s\right)$ ，所以，

$s\Vert y\Vert -t\Vert x\Vert \le 0$ 。同上可得： $N\left(x+y,s+t\right)\ge \min \left\{N\left(x,s\right),N\left(y,t\right)\right\}$ 。

(f) $s+t>\Vert x+y\Vert$ ， $s>\Vert x\Vert$ ， $t>\Vert y\Vert$ ，则有 $N\left(x+y,s+t\right)=\text{1}=N\left(x,s\right)=N\left(y,t\right)$ 满足(N4)。

(N5) 从定义易得： $N\left(x,\cdot \right)$ 为R上的不减函数且 $\underset{t\to +\infty }{\text{lim}}N\left(x,t\right)=\text{1}$ 。

(N7)显然， $\forall x\in X\left(x\ne \theta \right)$ ， $N\left(x,\cdot \right)$ 关于t连续且在 $\left\{t:0<N\left(x,t\right)<1\right\}$ 上严格递增。

(N8) $\forall x\in X$ ， $t_x>\Vert x\Vert$ 时， $N\left(x,t_x\right)=1$ 。

在例子2.2 [1] 中，虽然 ${\Vert x\Vert }_1=M_x$ ，但模糊范数却不满足(N7)条件。因此，在模糊赋范线性空间中，模糊范数满足(N7) (N8)是 ${\Vert x\Vert }_1=M_x$ 的充分不必要条件。

定理3.5 如果模糊赋范线性空间 $\left({\rm X},N\right)$ 满足(N7) (N8)条件，那么1-范数为X上的范数。

证：(i) 对 $\forall x\in X$ ， ${\Vert x\Vert }_1=\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }$ ，当 $t<0$ 时， $N\left(x,t\right)=0$

$\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}\ge 0,\alpha \in \left(0,1\right)\Rightarrow {\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge 0,\alpha \in \left(0,1\right)$

则 ${\Vert x\Vert }_1=\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge 0$ 。

(ii) 由定理3.3得 ${\Vert x\Vert }_1=M_x=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)=1\right\}$

若 ${\Vert x\Vert }_1=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)=1\right\}=0$ ，那么 $\forall t>0$ ， $N\left(x,t\right)=1\stackrel{(\text{N}2)}{\Rightarrow }x=\theta$ .

若 $x=\theta$ ，那么 $\forall t>0$ ， $N\left(x,t\right)=1\Rightarrow \underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)=1\right\}=0$

因此，

${\Vert x\Vert }_1=0\iff x=\theta$ .

(iii) 如果 $c\ne 0$ ，那么

$\begin{array}{c}{\Vert cx\Vert }_1=\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(cx,t\right)\ge \alpha \right\}=\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t/\left|c\right|\right)\ge \alpha \right\}\\ =\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }\underset{t\in R}{\inf }\left\{\left|c\right|t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}=\left|c\right|\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}=\left|c\right|{\Vert x\Vert }_1\end{array}$

如果 $c=0$ ，

${\Vert cx\Vert }_1={\Vert 0\Vert }_1=0=0{\Vert x\Vert }_1=c{\Vert x\Vert }_1$

(iv) 对 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，

$\begin{array}{c}{\Vert x\Vert }_{\alpha }+{\Vert y\Vert }_{\alpha }=\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}+\underset{s\in R}{\inf }\left\{s:N\left(y,s\right)\ge \alpha \right\}\\ =\underset{t,s\in R}{\inf }\left\{t+s:N\left(x,t\right)\ge \alpha ,N\left(y,s\right)\ge \alpha \right\}\\ \stackrel{由(\text{N}4)得}{\ge }\underset{t+s\in R}{\inf }\left\{t+s:N\left(x+y,t+s\right)\ge \alpha \right\}\\ =\underset{t\in R}{\inf }\left\{t:N\left(x+y,t\right)\ge \alpha \right\}={\Vert x+y\Vert }_{\alpha }\end{array}$

因为对，

$\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ， $\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }\left({\Vert x\Vert }_{\alpha }+{\Vert y\Vert }_{\alpha }\right)\ge {\Vert x\Vert }_{\alpha }+{\Vert y\Vert }_{\alpha }\ge {\Vert x+y\Vert }_{\alpha }$

所以，

$\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }\left({\Vert x\Vert }_{\alpha }+{\Vert y\Vert }_{\alpha }\right)\ge \underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x+y\Vert }_{\alpha }$

又因为，

$\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ $\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge {\Vert x\Vert }_{\alpha },\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert y\Vert }_{\alpha }\ge {\Vert y\Vert }_{\alpha }\Rightarrow \underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }+\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert y\Vert }_{\alpha }\ge {\Vert x\Vert }_{\alpha }+{\Vert y\Vert }_{\alpha }$

所以，

$\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }+\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert y\Vert }_{\alpha }\ge \underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }\left({\Vert x\Vert }_{\alpha }+{\Vert y\Vert }_{\alpha }\right)$

则 $\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x\Vert }_{\alpha }+\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert y\Vert }_{\alpha }\ge \underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }{\Vert x+y\Vert }_{\alpha }$ ，因此， ${\Vert x\Vert }_1+{\Vert y\Vert }_1\ge {\Vert x+y\Vert }_1$

综上， ${\Vert x\Vert }_1$ 为X上的范数。

定理3.6 如果模糊赋范线性空间 $\left({\rm X},N\right)$ 满足(N8)条件，那么对 $\forall x\in X$ ， ${\Vert x\Vert }_{\alpha }$ 在 $\alpha =1$ 处连续，即

$\underset{\alpha \to 1}{\lim }{\Vert x\Vert }_{\alpha }={\Vert x\Vert }_1\left(\forall x\in X\right)$ 。

证：任意给定的 $x\in X$ ， ${\Vert x\Vert }_{\alpha }$ 在 $\alpha \in U_{-}^0\left(1,\delta \right)$ 上有定义， ${\Vert x\Vert }_1$ 是 $\left\{{\Vert x\Vert }_{\alpha }:\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ 的上确界，

所以，

对 $\forall \epsilon >0$ ， $\exists {\alpha }_0\in \left(0,1\right)$ ，使得 ${\Vert x\Vert }_1-\epsilon <{\Vert x\Vert }_{a_0}<{\Vert x\Vert }_1+\epsilon$

对 $\forall {\alpha }_n\uparrow 1\left({\alpha }_n>0,n=1,2,\cdots \right)$ ， $\exists n_0\in N^{+}$ ，当 $n>n_0$ 时， ${\Vert x\Vert }_{{\alpha }_0}\le {\Vert x\Vert }_{{\alpha }_n}$

因此，

${\Vert x\Vert }_1-\epsilon <{\Vert x\Vert }_{{\alpha }_n}<{\Vert x\Vert }_1+\epsilon$

即

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert x\Vert }_{{\alpha }_n}={\Vert x\Vert }_1\Rightarrow \underset{\alpha \to 1}{\lim }{\Vert x\Vert }_{\alpha }={\Vert x\Vert }_1$ (归结原则)。

定理3.7如果模糊赋范线性空间 $\left(X,N\right)$ 满足(N8)条件，对点 $\left\{x_n\right\}$ $\exists x_0\in X$ ， $\left\{x_n\right\}$ 依1-范数收敛到 $x_0$ ，那么 $\left\{x_n\right\}$ 依模糊范收敛到 $x_0$ 。 $x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_1}{\to }{x}_0\Rightarrow x_n\stackrel{N}{\to }{x}_0$ .

证：对 $\forall t>\text{0}$ ， $\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，由于 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert x_n-x_0\Vert }_1=0$ ，故 $\exists n_0=n_0\left(t\right)$ ，对 $\forall n\ge n_0$ ，有，

$\underset{s\in R}{\inf }\left\{s:N\left(x_n-x_0,s\right)\ge \alpha \right\}\le \underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\sup }\underset{s\in R}{\inf }\left\{s:N\left(x_n-x_0,s\right)\ge \alpha \right\}={\Vert x_n-x_0\Vert }_1<t$ .

即：对 $\forall n\ge n_0$ ，有

${\Vert x_n-x_0\Vert }_{\alpha }=\underset{s\in R}{\inf }\left\{s>\text{0}|N\left(x_n-x_0,s\right)\ge \alpha \right\}<t$ .

如果 $N\left(x_n-x_0,t\right)<\alpha$ ，那么由(N5)易知t是 $\left\{s:N\left(x_n-x_0,s\right)\ge \alpha \right\}$ 的一个下界，这与 ${\Vert x_n-x_0\Vert }_{\alpha }$ 是 $\left\{s:N\left(x_n-x_0,s\right)\ge \alpha \right\}$ 的下确界矛盾，则 $N\left(x_n-x_0,t\right)\ge \alpha$

因此，对 $\forall n\ge n_0$ ，有

$N\left(x_n-x_{\text{0}},t\right)\ge \alpha$

由 $\alpha$ 的任意性知

$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}N\left(x_n-x_{\text{0}},t\right)=1$

故

$x_n\stackrel{N}{\to }{x}_0$

推论3.8：在 $\left({\rm X},N\right)$ 是模糊赋范线性空间，模糊范数N满足(N8)条件，那么模糊闭集是1-闭集。

证：集合A是 $\left({\rm X},N\right)$ 的任意模糊闭集，则对

$\forall \left\{u_n\right\}\subset A$ ,若 $u_n\stackrel{N}{\to }u$ 则 $u\in A$ .

在模糊赋范线性空间中，若 $x\in {A^{\prime }}_1$ ，则 $\exists \left\{x_n\right\}\subset A$ 。

$x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_1}{\to }x$

由定理3.7知

$x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_1}{\to }x\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\text{lim}}N\left(x_n-x,t\right)=1\left(\forall t>0\right)$

所以，

$x_n\stackrel{N}{\to }x$

因此 $x\in A$ 。由x的任意性知 ${A^{\prime }}_1\subset A$ ,所以A是1-闭集。

推论2.9：在是模糊赋范线性空间 $\left({\rm X},N\right)$ 中，模糊范数N满足(N8)条件，如果1-范极限存在，那么极限唯一。

证：由( [1] ，注2.1)知，如果模糊极限如果存在那么极限唯一，结合定理3.7，显然。

4. 结论

本文以T. Bag和S. K. Samanta于2003年提出的模糊范数为研究对象，定义了1-范数的概念，讨论了1-范数的连续性、收敛性等性质；得到了点列依1-范收敛的极限点是唯一的，以及如果模糊范数满足(N7) (N8)条件那么1-范数等于M-范数并且1-范数是经典范数等结论。下一步，我们将结合函数逼近理论，在模糊赋范线性空间中，引入1-最佳逼近的概念，讨论把模糊赋范线性空间 $\left(X,N\right)$ 的逼近问题转化成经典赋范线性空间 $\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 的逼近问题。

致谢

我要感谢我的导师，从本文的撰写到定稿，都给予了我极大的支持。再次向您致以最崇高的谢意。

文章引用

蒋 浩. 模糊赋范线性空间的1-范数——模糊1-范数
1-Norm of Fuzzy Normed Linear Space—Fuzzy 1-Norm[J]. 应用数学进展, 2023, 12(05): 2402-2409. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.125242

参考文献