整函数与其差分或平移分担一个小函数 Entire Functions Sharing a Small Function with Its Difference Operators or Shifts

doi:10.12677/pm.2011.13039

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Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 205-207

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.13039 Published Online October 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

Entire Functions Sharing a Small Function with Its

Difference Operators or Shifts#

Qiuying Li, Tiantian Shen*, Qingquan Wang

Department of Mathematics, China University of Petroleum, Qingdao

Email: shentiantian1023@ 1 63.com

Received: Jun. 29th, 2011; revised: Aug. 5th, 2011; accepted: Aug. 10th , 2011.

Abstract: In this paper, we investigate an entire function of finite order share a small function with its differ-

ence and shift. Two theorems will be got, that is, if





z and







 share





az CM (counting multi-

plies), then





; if



z and













az CM, then







 or

 

fz fz



. The

results we obtai n improve some know n results of Li Sheng and Gao Zon gsheng in [1].

Keywords: Difference; Shift; CM Share; Small Function

整函数与其差分或平移分担一个小函数#

李秋颖，申田田*，王庆泉

中国石油大学(华东)，青岛

Email: shentiantian1023@ 1 63.com

收稿日期：2011 年6月29日；修回日期：2011 年8月5日；录用日期：2011 年8月10 日

摘要：本文研究有穷级整函数





z与其差分算子







或移位算子









计数分担一小函数





az的唯一性问题。得到两个重要结论：如果





z和







计数分担





az 1，则





。如果





和





计数分担





az，则





或









zfz f





。这些结论推广了李昇和高宗升在[1]中的结

论。

关键词：差分；移位；计数分担；小函数

1. 引言与结果

在本文中，我们使用值分布理论的基本概念和标准记号[2-5]。特别地，我们分别用记号





和





表示亚

纯函数



z的增长级和下级(见[5]) 。对于非常数的亚纯函数





z，我们用表示满足

的量，其中例外集



,Sr



 





,, ,Srfrfrr E



oT





0,E具有有穷对数测度。如果亚纯函数





az满足

则称为

 

,,Traf





,Sr

z的一个小函数。此外，两个亚纯函数





z与





zCM 分担小函数





az是指

a与

a的零点完全相同且有着相同重数。对于非零复常数



，我们定义差分算子：













zfzfz



 2n，当时











1nn

zfz









 ，nN



。如果 1





，我们采用一般的差分记号

 

zfz



。

1977 年，Rubel 和杨重骏[6]开始讨论亚纯函数与其导数分担公共值的唯一性问题，此后，关于这方面的结果

[5]层出不穷。自 2006 年以来，有大量文献涉及亚纯函数与其移动，差分的值分布性质[7-10]。人们发现，对于有

穷级亚纯函数而言，其移动和差分某些程度上类似导数，比如说，













,mrf zcf z有类似于对数导数引理

#资助信息：本项目由中国石油大学(华东)研究生自主创新工程资助项目资助。

李秋颖等整函数与其差分或平移分担一个小函数

206 |

的结果成立。很自然地，关于亚纯函数与其差分或移动分担值的唯一性就成为研究的新热点。近来，Heittokangas

等[11]证明了：

定理 A 假设



z为级不超过 2的亚纯函数， C





。如果





z和









CM 分担和，则存在某

常数

aC 



使得

 



za fz



 a。

李昇和高宗升[1]证明了下面的结果：

定理 B 假设



z为非周期超越整函数，且具有有穷级。如果





z和







CM 分担非零有穷复数，则

。

 







11a

本文中，我们试图讨论





z与





或









CM 分担小函数





az时的唯一性，得到下面两个定理。

定理 1 假设



z为有穷级的超越整函数，





az为其小函数。如果





z和





CM 分担





az，则





。

定理 2 假设





z为有穷级的超越整函数，





az为其小函数。如果





z和







CM 分担





az，则





或

 





。

2. 主要引理

引理 1[8] 设





z为亚纯函数且满足









，则对于任意给定的 0



和整数，存在有穷线性

测度集合，使得对于满足

0jk



1,E





0,1zrE 的所有 z，有

 









1kj

fzfz z









 . (2.1)

引理 2[12] 设



z为超越亚纯函数且级小于 1。令，则存在

0h

etE





使得对于，有

\zC

E







'0,gz gz













0,gz gz



 (2.2)

对于满足 h



的



一致成立。甚至，E可以满足对于充分大的 zE



，





z在zh



内无零点和极点。

其中，我们称平面上可数多个小圆盘的并集未一个





，这些圆盘均不包含圆点，且这些圆盘所对角度的总

和为有限数。

引理 3[13] 设



z为非常数整函数且具有有穷下级，





1, 2,,

jjm



为关于



z的小函数，则存在一个

对数密度为 1的集合 E使得



 

,,0,1,2, ,

rMrf jm





同时对成立。 ,rEr

3. 定理 1的证明

不失一般性，假设 1



。首先由定理 1的条件，有

 



 







nfz zfz z



 (3.1)

其中为多项式，且







deg pz f







。接下来将用反证法证明









。假设 1



，从而不难看出





必为常数 c。由引理 1，对于任意给定







 2，存在具有有穷对数测度的集合，使得对于满足





zrE 0,1的所有 z，有







nfz fzz









. (3.2)

利用引理 3，存在一对数密度为 1的集合使得









,,Mr Mrf



0

1

， (3.3)

对成立。显然，集合仍然具有下对数密度1。将(3.1)改写为可以取到一列点



使

2,rEr 2

\EEek





李秋颖等 | 整函数与其差分或平移分担一个小函数

207

得

 

,, \

kkk

zMrfrEE。将(3 .2 ) 、(3.3)代入上式，得到





co1，这是矛盾的。综上所述，得







，

定理 1得证。

4. 定理 2的证明

首先由定理 2的条件，有















fzz fz



 ， (4.1)

其中为多项式且







degpz f







。假设 1





，不难看出





pz必为常数 c。由引理 2，对于任意给定





 2



，存在 3

et E



使得对于 3

\zCE



，有









1fz fz





. (4.2)

令



:,EzzEz



1，则集合具有有穷对数测度。将(4.1)改写为





























使得











zre1

zfzzfzzfz

 

 可以取到一列点

zMrf



rEE

。

将(3.3)和(4.2)代入上式，得到 e1 ，故这意味着 eoc



，即















fz f





。综上所述，知道或

 

fz fz



，定理 2得证。

5. 致谢

本项目由中国石油大学研究生自主创新工程资助项目(编号 CXYB11-17)资助。

参考文献 (References)

[1] S. Li, Z. S. Gao. A note on the Bruck conjecture. Archiv Der Mathematik, 2010, 95(3): 257-268.

[2] W. Hayman. Meromorphic function. Oxford: Clarendon Press, 1964.

[3] I. Laine. Nevanlinna theory and complex differential equation. Berlin: Walter de Gruyter, 1993.

[4] 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.

[5] 仪洪勋, 杨重骏. 亚纯函数唯一性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1995.

[6] L. A. Rubel, C. C. Yang. Values shared by an entire function and its derivative. Complex Analy s is , Lecture Notes in Math, 1977, 599: 101-103.

[7] Y.-M. Chiang, S.-J. Feng. On the Nevanlinna characteristic of ()fz





and difference equations in the complex plane. The Ramanujan

Journal, 2008, 16 (1): 105-129.

[8] Y.-M. Chiang, S.-J. Feng. On the growth of logarithmic differences, difference quotients and logarithmic derivatives of meromorphic functions.

Transaction o f Ame rican Mathematical Society, 2009, 361(7): 3767-3791.

[9] R. G. Halburd, R. J. Korhonen. N evanlinna theory for the difference operator. Annals Academy Scientiarum Fennicy Mathematical, 2006; 31(2):

463-478.

[10] R. G. Halburd, R. J. Korhonen. Difference analogue of the lemma on the logarithmic derivative with applications to difference equations. Jour-

nal of Mathematical Analysis and Applications, 2006, 314(2 ): 477-487.

[11] J. Heittokangas, R. Korhonen, I. Laine, J. Rieppo and J. L. Zhang. Value sharing results for shifts of meromorphic functions, and sufficient

conditions for periodicity. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2009, 355(1): 352-363.

[12] W. Bergweiler, J. K. Langley. Zeros of differences of meromorphic functions. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Soci-

ety, 2007, 142: 133-147.

[13] J. Wang. Growth and poles of meromorphic solutions of some difference equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011,

379: 367- 377.