 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 215-223 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.13041 Published Online October 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM The Order and Zeros of the Solutions of the Differential Equation with Polynomial Coefficients Peixiong Ding, Zongxuan Chen School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou Email: rongws14@126.com; chzx@vip.sina.com Received: Jul. 26th, 2011; revised: Aug. 30th, 2011; accepted: Sep. 1st, 2011. Abstract: This paper investigates the properties of solutions to a linear differential equation , whose coefficients 1 10 =0 kk k fAf Af j A are polynomial. If s A plays a main role and satisfy some particular conditions, we draw a conclusion that s A make a compact connection with the solutions of this equation. Keywords: Linear Differential Equation; Order; Linearly Independent 多项式系数的齐次微分方程解的级与零点 丁培雄，陈宗煊 华南师范大学数学科学学院，广州 Email: rongws14@126.com; chzx@vip.sina.com 收稿日期：2011年7月26日；修回日期：2011年8月30日；录用日期：2011 年9月1日 摘 要：本文研究的是齐次线性微分方程 1 10 =0 kk k fAf Af 的解的性质，其中系数 j A 是多 项式， s A 起控制作用，在满足某些条件的情况下，我们得到了：该方程的若干个线性无关解的级与零 点收敛指数跟 s A 有紧密联系。 关键词：齐次线性微分方程；级；线性无关 1. 结论与说明 本文使用值分布理论的标准记号(见[1])，分别用 f 和 f 表示亚纯函数 f的级和零点收敛指数。许多 学者研究了以下齐次线性微分方程 1 10 =0, kk k fAf Af (1) 后，得到了一些深刻有趣的结论，例如在文献[2]中陈述了如下结论。它由S. Bank 和J. Langley 所证明。 定理 A 设 是整函数，满足对某 0 2,,, k kAA 1,0 2,ssk (i) s A 是超越的； (ii) 对任一 ，或者>js j A 是多项式或者 < j s A A 。则(a)对于方程(1)的任意 个线性无关解2s 1 ,, 2 s f f ，存在 p满足12ps ，使得 1p f f是无穷级。(b)并且，如果 12 ,ff max < ，则解 1 = p f af bf满足 ，其中 均为非零常数。 f =,ab 根据这个定理，自然而然会提出这样的两个问题：(1) 既然在该定理的条件下 1p f f是无穷级，那么其超级  丁培雄 等多项式系数的齐次微分方程解的级与零点 216 | 的值是多少，相应地，解 1 = p f af bf是否等于这个值；(2) 假如该方程的系数没有一个是超越整函数，全是多 项式，也是 s A 起控制作用，结论会怎样。 本文主要考虑的是第二个问题，并得到了相应的比较好的结论，如下： 定理 1.1 假如齐次线性微分方程(1)的系数 01 1 ,,, 2 k AAA k 都是多项式，存在正整数 ，使 得 ,0 2ssk deg deg >, max j s js A A ksk j 则(a)对于方程的任意个非平凡线性无关解2s12 2 ,,, s f ff ，存在某正整数 ,2 2pps ，使得 1 deg =1 . p s f A f ks (b)更进一步如果 1,< 1deg max s p A ff ks ，则解 1 = p f af bf 满足 deg =1 . s A fks 其中 是任意非零常数。 ,ab 2. 必要的引理 证明中用到以下几个引理，在相关的值分布理论的书籍或线性微分方程的文章经常可见。利用类似于文献 [3]中引理 2.2 的证明方法，可以证明本文的引理 2.1。 引理 2.1 设 g z是整函数， ，则存在无穷的对数测度的集 g < 1,D使得 log , lim lo g rD Tr loglog,log , ===, lim lim log log rr r rD rD gMrg vrg g rrr 其中 是 ,vrg g z的中心指标。 引理 2.2 设 F r与 是 中的非减函数。如果(i)在除去一个有限测度的 r集外， Gr 0, F rGr，或 (ii)当 0,1rH 时， F rGr，其中 1,H是一对数测度有限的集合。则对任给常数 >1 ，存在 当 时有 0 r>0 0 >rr F rGr 。 引理 2.3[4] 设 f z是超越整函数， 是常数满足 0< <18 ，z是圆周 =zr上使得 18 >,fz Mrfvr 的点，则除去对数测度有限的r值集外有 () =1 kk k fz vr z fz z , 其中 18 kvr=zO ，k为任一正整数。 引理 2.4[5] 设 f z是开平面上有限级 级超越亚纯函数， 112 2 =,,,,,, mm kjkjk j是由不同整数对 组成的有限集，满足 ，又设 >0,=1, ii kj i,m>0 是给定的常数。则 (i) 存在零测度集 ，使得如果 0, 2π 1 E 0 0, 2πE 1 ，则存在常数 000 =RR >0，对满足 0 arg =z 及 0 zR的所有 z及所有 ,kj ，都有 1. kj kj ff z (ii) 存在对数测度为有限的集合 ，使得对满足 1, 2 E 20,1zE 的所有 z及所有 ，上式成 立。 ,kj 引理 2.5[6] 假如齐次线性微分方程(1)的系数 01 1 ,,, k A AA 都是多项式，存在正整数,1 s sk，使得 Copyright © 2011 Hanspub PM  丁培雄 等多项式系数的齐次微分方程解的级与零点217 | deg deg >, max j s js A A ksk j 则对于方程的任一非平凡解f有 deg 1. s A fks 3. 定理 1.1 的证明 证明：(a)由引理2.5，方程(1)的解的级都小于等于 deg 1 s A ks 。假如定理的结论不成立，则对任意的 2ppk2，只能有 1 deg <1 ps fA fks 。 记degA =1 s ks ，并定义 1 deg max,1 |, 22, pj fA js ps fkj 则容易得到 < 。 以下分(I) (II) (III) 三部分证明： (I) 做一系列的变换。 设12 2 ,,, s f ff 是方程(1)的 个线性无关解，并对方程(1)做一系列变换： 2s 首先，令 1 =vff 1 ，代入方程(1)中，整理可得新方程 12 11,21 1,01 =0, kk k vAv Av (2) 其中系数 1, =0,1,2, ,2 j Aj k 满足 21 12 11 1,12 211 11 =, kj kj kj kj jjjjk kk ff AACA CAC ff 1 1 1 f f (3) 且32 2 1,11,21, 1 11 =,=,,= s s ff f vv v 1 f ff 1是方程(4)的 s 个线性无关解。 继续令 211,1 =vvv ，并代入方程(2)整理得新方程 23 22,32 2,02 =0, kk k vAv Av (4) 其中系数 2, =0,1,2, ,3 j Aj k ，满足 32 1,11,1 1,1 13 2,1,121,221, 21 1,11,1 1,1 ' =, kj kj kj kj jjjjk kk vv AA CACAC vv 2 v v (5) 且1,21,31, 1 2,1 2,22, 1,1 1,11,1 =,=,,= s s vv v vv v vv v 是方程(4)的s个线性无关解。 一般地，重复以上步骤，当做到第 mm s 次变换时得到方程 1 ,1 ,0 =0, km km mmkmm mm vAv Av 然后令 1 = mmm vvv ,1 ，且代入该方程作第 1m 次变换得到新方程 12 11,21 1,01 =0, km km mmkmm mm vAv Av (6) 其中系数 满足 1, =0,1,2, ,2 mj Aj km 21 ,1,1 ,1 12 1,, 12,21,1 ,1,1 ,1 =, kmj kmj mm kmj kmj m jmjjmjkmmkmkm mm vv AACA CAC vv 1 m m v v (7) 且,2, 2 1,11, 1 ,1 ,1 =,, = mm mmsm mm vv vv vv sm 1 是方程的 s m个线性无关解。 Copyright © 2011 Hanspub PM  丁培雄 等多项式系数的齐次微分方程解的级与零点 218 | (II) 对系数进行估计。 由 的定义， 1 p f f ，通过简单运算可知以上各方程(包括(2)(4)(6)) 的解 也满足 ,ij v ,ij v 。根据 引理 2.4，对任意的 >0 ，存在对数测度为有限的集合 11,E，使得对满足 =1zr 1 ,E的所有z有 1,1 1 =1 ,1 , =1,2,, j stj tt vrj v k 为方便描述，记 =1 ，则上式可写为 1,1 =1 ,1 =, =1,2, j stj tt vOr jk v , (8) 在 1 =1,zr E的所有z处，分别对方程(2)( 4)(6)的一部分系数进行估计，分三部分(i)(ii)(iii)(值得一提 的是,我们并不需要对每一个系数做估计，这跟用到的证明方法有关)： (i)首先，对方程(2)的一部分系数进行估计。 根据 的定义，当 时，js deg 1 j Akj ，所以 1, kj j A rj s 或 =, jkj A Orj s (9) 于是根据(3)式，当 时， =js1 1 11 11 1, 11111 11 =, ks ks ks ks ssss kkk ff AACA CAC 1 1 f f ff 将(9)式代入上式得 1 111 1, 1 11 1 11 =1 11 1 11 =0 11 = = =, ks ks ks ks ss k pks ks ksp ks sk p pks ks ksp ks sk p ff AA OrOrC1 1 f f ff ff AOr C ff ff AOr C ff (10) 当 时，将(9)式代入(3)式 2sjk 21 12 1 11 1, 11 1 2 (1) 1 11 =0 11 = = kj kj kj kjkj j k pkj kj kjpkj k p ff f AOrOrOrC ff ff Or C ff 1 1 f (11) 综合起来即(在 1 =1,zr E的所有z处) 1 11 1, 1 =0 11 1 211 11 1, =0 11 =, =, pks ks ksp ks ss k p pkj kj kj pkj jk p ff AA OrC ff ff AOrC sjk ff 2, (12) (ii) 其次，对方程(4)的一部分系数进行估计(即(5)式)。 当 时，由(5)式得 =js2 1 1,11,1 1,1 11 2,21, 11,21,21 1,11,1 1,1 =, ks ks ks ks ssss kkk vv AACA CAC vv v v (13) Copyright © 2011 Hanspub PM  丁培雄 等多项式系数的齐次微分方程解的级与零点219 | 将(8)式(12)式代入(13)式得 1 12 11 111 1 2, 2 =0 =0 111 1 1 1 1111 =0 111 = = pkspks ks ks kspks p ks ks ss kk pp pks ks ks kskspks ksk p fff f AA OrCOrCOr fff f ff Or COrOrAOrC ff f f 3 (14) 当，根据(5)式 1sjk 32 1,11,1 1,1 13 2,1,121,221, 21 1,11,1 1,1 =, kj kj kjkj jjjjk kk vv AA CACAC vv 2 v v 把(8)式(12)式代入上式得 23 34 23 23 11 11 2, =0 =0 11 11 2 3 32 2 1 2 111 =0 111 = =, pkjpkj kj kj kjpkj p kj kj jk k pp pkj kj kjkjkj pkj k k p ff ff AOrCOrC Or ff ff ff Or COrOrOrC ff f f (15) 综合起来即(在 1 =1,zr E的所有z处) 1 11 2, 2 =0 11 2 322 11 2, =0 11 =, =, pks ks ksp ks ssk p pkj kj kj pkj jk p ff AAOr C ff ff AOrCsjk ff 13, (16) (iii)对比(12)(16)式可以看出： 与 2, 2s A1, 1 s A 的形式一致，或者说作用类似；相应地，当 时，=,1, ,2jss k 2, 1 j A与1, j A 形式一致，作用类似。其实可以认为：方程降一阶，相应的系数也向后平移了一个位置(当然有部分 系数我们是不考虑的，这跟我们用到的证明方法有关)。最后，基于这个思路，我们将用归纳法证明：当做到第 次变换时，得到的方程对应的系数 在 s10mm1,mj A 1 =1,zr E 的所有z处 1 11 1, 1 =0 11 1 211 11 1, =0 11 = =2 pks ks ksp ks msm sk p pkjm kmj kmj pkjm mj k p ff AAOr C ff ff AOr Csmjk ff m ， ，， (17) 首先，由(12)(16)式可知， 时，显然满足(17)式。 =0,1m 其次，假设，即做了 n次变换时系数=mn1,nj A 满足(17)式的形式，即 1 11 , =0 11 1 11 , =0 11 = =1 pks ks ksp ks ns nsk p pknj knj knjp knj nj k p ff AAOrC ff ff AOrC snjkn ff 1 ， ，， (18) 我们只需证：当，即做了 次变换时，系数 也是满足(17)式。当做到第 次变换时，由(7)式得 (令mn ) =mn 1n 1n1,nj A1n =,=js 1 ,1,1 ,1 11 1,1,1 ,11,1 ,1,1 ,1 =, ks ks nn ks ks n snnsnsnnsnknnknkn nn vv AACACA C vv n n v v 把(8)式(18)式代入上式，得 Copyright © 2011 Hanspub PM  丁培雄 等多项式系数的齐次微分方程解的级与零点 220 | 1 12 11 111 1 1, 1 =0 =0 111 1 1 1 1() 111 =0 111 = = pkspks ks ks kspks p ks ks nsnskk pp pks ks ks ksp ks ks ksk p fff f AAOrCOrC Or fff f ff Or COrOrAOrC ff f f (19) 而当 时，根据(7)式(令) 2sn jkn=mn 21 ,1,1 ,1 12 1,, 12,21,1 ,1,1 ,1 =, knj knj nn knj knj njnjjnjknnknkn nn vv AACA CAC vv 1 n n v v 把(8)式(18)式代入上式得 1 211 11 1, =0 11 2 322 11 =0 11 21 11 =0 1 = = pknj knj knj pknj nj k p pknj knjknj pknj k p k knj knj kp ff AOr C ff ff Or COr ff f Or COrOr f 1 211 11 11 pk nj knjpknj k ff Or C ff nj (20) 综合起来即 1 11 1, 1 =0 11 1 211 11 1, =0 11 = =2 pks ks ksp ks nsn sk p pknj knj knj pknj nj k p ff AAOrC ff ff AOr Csnjk ff n ， ，， (21) 由(21)式可以看出：当 时，得到的方程的系数满足(17)式的形式。 =mn 因此我们用归纳法证明了当第 次变换时，方程的系数满足(17)式。 1m1,mj A (III)推出矛盾，并完成证明。 将方程(6)的一个解 代入(6)式，得 1,1m v 12 1,11,21,11,0 1,1 =0, km km mmkmm mm vAv Av (22) 并由(17)式可知，在 1 =1,zr E的所有z处 1 11 1, 1 =0 11 1 211 11 1, =0 11 = =2 pks ks ksp ks msm sk p pkmj kmj kmj pkmj mj k p ff AAOr C ff ff AOr Csmjk ff m ， ，， (23) 利用(22)式和(23) 式，我们将推出矛盾，并完成证明。分两部分： (iv)首先证 1 f 。令，由(22)式(23)式得 =ms1 1 ,1,1 ,1,0,1 =0, ks ks sskss ss vAvAv (24) 以及(在 1 =1,zr E的所有z处) 1 11 ,0 =0 11 () 1 11 , =0 11 = =1 pks ks ksp ks ss k p ksj p ksj ksjp ksj sj k p ff AA OrC ff ff AOrCjks ff 1 ， ，， (25) Copyright © 2011 Hanspub PM  丁培雄 等多项式系数的齐次微分方程解的级与零点221 | 由(24)式变形得 1 ,1,1 ,1 ,0,1, 1 ,1,1 ,1 = ks ks ss ss sks ss vv AA A vv s s v v 将(8)式和(25)的第二个等式代入(26)式，得 (26) 1' 2 = ks AO 1 1 11 11 1 ,0 =0 11 1 1 pks ks pks ks ks sk k p p ks ksp ff f rC OrOrCOrOr ff f Or 1 f =0 1 =, pf 另一方面，由(25)式的第一个式子我们又得 (27) 1 11 ,0 =0 11 = p ks ks ksp ks ss k p ff AA OrC f f 由(27)式(28)式我们得 (28) 1 11 =0 11 p = ks sksp ks p ff OrC k sk A f f (29) 假如 1 f 不成立，则 1<f 数测度集 E，对上述的。由引理 1.4，存在一个有限对 ，在 2 1 =1,zr EE 2 的所有 z处 1 11 1 , =1,2,, jjf frj f ks 3 max 1 < ,f 为 ，则上式可写取 12 1 1 =, =1,2, jj fOrjk s f , (30) 由于 deg =1 s A ks ，当r足够大时， ，对上述的 1 >ks s Ar (31) 注意到 =1< 12 ，并将(30)式代入(29)式，可得 (32) 以上各式在 12 121212 == ks ksp pksks s AOrOr OrOr =0p 12 =1,zr EE的所有z处都成立。 2)式两端取绝对值，并对(3 除以 s A 得 1212 12 EE (33) 1 1<=10, , || ks ks ks s OrOr Orrr Ar 于是 ks 1 f 。 不可能成立。 (v)其次，我们证 1 f 。令，=ms 由(22)式得 由(23)式得(注意这时候没有(23)式的第一个等式， 12 1,11,2 1,11,0 1,1 =0, ks ks sskssss vAvAv (34) 02jks ，) 1 211 11 1, j =0 11 =, pksj ksj ksj pksj s k p ff AOrC ff (35) 由(34)式变形得 21 1,1 1,1 0= ks ss vv AA 1,1 1,01,11, 2 1,11,1 1,1 ks s ss sks sss v A vvv (36) Copyright © 2011 Hanspub PM  丁培雄 等多项式系数的齐次微分方程解的级与零点 222 | 将(8)式(35)式代入(36)式，得 12 23 12 12 1111 =0 111 1 2 211 111 =0 111 = pksp ks ks ks ks pksp ks ks kk p ks ksksks p k k p ff ff OrCOrC Or fff f ff Or COrOrOrC fff (37) =0 0= pp 1 11 k s ks f 或者写为 121 111 =0 11 = ks p ks ksp ks kp f f COr f f (38) 假如 1 f 不成立，则 1>f ，对上述的 ，取 1 <3f ，利用引理2.1，存在无穷对数测 度集 3 E，使得 1 31 log =, lim log r rEE vr f r 其中 是 vr 1 f 的中心指标。即在 31 =zrE E的所有z处有 2 1> f vr rr (39) 于是， 12 >= vr rr z (40) 利用引理2.3，除去一个有限对数测度的集，在 4 E 4 =1,zrE11 =,zMrf的z处， f 且 1 1 =1 j j fz vro fz z 1, (41) 因此，在 31 4 11 =, f zMrf的所有 z处，以上(38)(40 )(41)式都成立。最后对(38)式两端取 =zrE EE且 1 11 ks kf C ，并结合(4)式， 1 ks f 1得到 绝对值并同时除以 1 21 =0 1 1 ks p ks ks p p Or vr z (40)式，得 再考虑到 1 1 1< 1 ks p ks ks O 22 11 31 4 =0 =0 0, , ks pks p pp Orrrr EEE r 不可能成立，所以 1 f 。 然而综合(iv)与(v)所得的结论 1 f ，这与 > 矛盾。于是部分(a)证毕。 (b)如果 1 deg max ff ,< 1= s p A ks 。可令 1 11 =e,= e h h p pp fuf u <f ，并且要证的不成立，即， 其中 1, p hh是多项式，1, p uu是典型乘积。于是可以把解 1 = p fafbf 写为 ，其中 1 1 =e h fwe h p w 11 =,=, pp wauw buh。并 1且由部分(a)已经证明= p hh 1 = p f f ，可知 1 e=. p ww h ) (42 利用 Nevaninna 第二基本定理，有 Copyright © 2011 Hanspub PM  丁培雄 等 | 多项式系数的齐次微分方程解的级与零点 Copyright © 2011 Hanspub PM 223 11 4 1 11 11,e<,e,,,, ee1 pp hh pp oT rwwN rwwNrNrrE ww ww (43) 其中是测度有限的r值集。 又由于 1 hh 4 E 11 ,e,1 , h p NrwwNrw 1 1 ,,1 ep h p NrNr w ww , 1 1 ,, e1 h p NrNrf ww 1, 结合(43)式得 11 11,e<,1,1,1, h pp oTrwwNrwNrwNrfrE 4 , (44) 再利 2，有 用引理2. 11 e<max,,< h, p f f p ww f 这与(42)式矛盾。因此部分(b)得证。 。 [1] 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982. 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