上海理工大学，上海

收稿日期：2022年4月20日；录用日期：2022年5月15日；发布日期：2022年5月23日

摘要

本文提出了一种非局部两分量耦合复可积无色散方程。利用达布变换方法得到了零种子解和非零种子解两种情况下，非局部两分量耦合复可积无色散方程的孤子解。

关键词

非局部两分量耦合复可积无色散方程，达布变换，孤子解

Soliton Solutions of Nonlocal Two-Component Coupled Complex Integrable Dispersionless Equations

Chenchen Fu

University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Apr. 20^th, 2022; accepted: May 15^th, 2022; published: May 23^rd, 2022

ABSTRACT

In this paper, a nonlocal two-component complex coupled integrable dispersionless equation is proposed. The soliton solutions of nonlocal two-component coupled complex integrable dispersionless equations are obtained by using darboux transformation method under two cases of zero seed solution and non-zero seed solution.

Keywords:The Nonlocal Two-Component Complex Coupled Integrable Dispersionless Equations, Darboux Transformation, Soliton Solutions

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

耦合可积无色散(CID)系统

$q_{xt}=\rho q$,${\rho }_t+q{q}_x=0$ (1)

是由Konno和Oono提出的 [1]。因为它是一个优质的可积系统 [2]，所以引起了人们对该系统的研究热情。并且它在物理应用方面有很多应用 [3]，例如，它可以描述三维欧几里德空间中电流与外部磁场的相互作用。接着Hirota、Tsujimoto [4]、Ishimori [5] 成功地将CID系统转化为Sin-Gordon方程。并且在 [6] 中证明了复的CID系统

$q_{xt}=\rho q$,${\rho }_t+\frac{{\left({\left|q\right|}^2\right)}_x}{2}=0$ (2)

等效于Pohlmeyer-Lund-Regge模型的规范。在 [7] 中，用IST方法研究了其柯西问题。实际上，实的CID系统(1)和复的CID系统(2)都是一般CID系统

$q_{xt}=\rho q$,$p_{xt}=\rho p$,${\rho }_t+\frac{{\left(pq\right)}_x}{2}=0$ (3)

在 $p=q$ 和 $p=q^{*}$ 的特殊情况。一般CID系统在群里论点 [8] 中被提出，它的孤子解也应用IST方法被求出。随着一些非线性方程的怪波解的出现 [9] [10] [11] [12] [13]，复CID系统(2)的怪波解也被求出。实际上，实CID系统(1)和复CID系统(2)都可以转化为实短脉冲方程和复短脉冲方程 [14] [15] [16]，该方程可以描述超短脉冲在光纤中的传播。利用相应的速矢图变换，还可以从复CID系统的解中得到复短脉冲方程的一些孤子解 [17] [18]。值得一提的是，多分量的复CID系统可以转化成

$q_{j,xt}=\rho q_j,j=1,2,\cdots ,n$

${\rho }_t+\frac{1}{2}{\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\epsilon }_j{\left|q_j\right|}^2}\right)}_x=0$, (4)

可以转化成多分量的短脉冲方程。

关于两分量复的CID系统

$q_{1,xt}=\rho q_1$,$q_{2,xt}=\rho q_2$

${\rho }_t+\frac{1}{2}{\left({\epsilon }_1{\left|q_1\right|}^2+{\epsilon }_2{\left|q_2\right|}^2\right)}_x=0$ (5)

的研究，也有了一些新的孤子解。例如，在背景解消失时的多峰孤子波解，这种解是局域波解，其振幅在传播过程中呈现周期性变化，同时它的呼吸II-型解、共振解、半有理性确定性奇异波解也相应被求出。

近年来，非局部可积方程引起了人们的广泛关注。非局部CID系统的对称性得到了证明，同时逆时空非局部CID系统的保对称不稳定孤子解以及经典CID系统的稳定孤子解都已经被求出。文献 [19] 构造了非局部Sine-Gordon方程的N-次Darboux变换，得到了该方程的多孤子解。并且文献 [19] 中还提到了非局部复的耦合无色散(CCD)方程。本文主要研究的是两分量复的CID系统(5)在 $q_1^{*}=q_1^{*}\left(-x,-t\right)$，$q_2^{*}=q_2^{*}\left(-x,-t\right)$ 时得到的非局部两分量复CID系统：

$q_{1,xt}=\rho q_1$

$q_{2,xt}=\rho q_2$

${\rho }_t+\frac{1}{2}{\left({\epsilon }_1{q}_1{q}_1^{*}\left(-x,-t\right)+{\epsilon }_2{q}_2{q}_2^{*}\left(-x,-t\right)\right)}_x=0$ (6)

在第二节中，构造非局部两分量复CID系统的达布变换(DT)，它是构造可积系统解的一种有效方法。在第三节中，利用1-次DT，得到了在非局部两分量复CID系统(6)中的孤子解。

2. 非局部两分量复CID系统的Darboux变换

在本节中，我们将构造非局部两分量复CID系统的达布变换(DT)。

令

$R=\left(\begin{array}{cc}{q}_1& q_2\\ -{\epsilon }_2{q}_2^{*}\left(-x,-t\right)& {\epsilon }_1{q}_1^{*}\left(-x,-t\right)\end{array}\right)$，$Q=\left(\begin{array}{cc}{\epsilon }_1{q}_1^{*}\left(-x,-t\right)& -q_2\\ {\epsilon }_2{q}_2^{*}\left(-x,-t\right)& q_1\end{array}\right)$ (7)

$I_2$ 是二阶单位矩阵(*表示复共轭)。方程(6)的Lax对表示为：

${\Phi }_x=U\Phi$,$U=\frac{1}{\lambda }\left(\begin{array}{cc}-i\rho I_2& -R_x\\ Q_x& i\rho I_2\end{array}\right)$

${\Phi }_t=V\Phi$,$V=\frac{i\lambda }{4}\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& I_2\end{array}\right)+\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}0& R\\ Q& 0\end{array}\right)$ (8)

其中 $\lambda$ 为光谱参数， $\Phi =\Phi \left(x,t;\lambda \right)={\left({\varphi }_1,\cdots ,{\varphi }_4\right)}^{\text{T}}$ (T表示矩阵转置)。

如果 $\Phi \left(x,t;{\lambda }_i\right)$ 是 $\lambda ={\lambda }_i$ 处Lax对(8)的列向量特征函数，此时很容易验证

$\Psi \left(-x,-t;{\lambda }_i\right)=\left(\begin{array}{c}{\varphi }_2^{*}\left(-x,-t;{\lambda }_i\right)\\ -{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\varphi }_1^{*}\left(-x,-t;{\lambda }_i\right)\\ {\epsilon }_1{\varphi }_4^{*}\left(-x,-t;{\lambda }_i\right)\\ -{\epsilon }_2{\varphi }_3^{*}\left(-x,-t;{\lambda }_i\right)\end{array}\right)$ 是 $\lambda =-{\lambda }_i^{*}$ 的Lax对(8)的列向量特征函数。为了方便起见，我们用

$\Phi \left({\lambda }_i\right)$，$\Psi \left({\lambda }_i\right)$，${\varphi }_l\left({\lambda }_i\right)$ 分别表示 $\Phi \left(x,t;{\lambda }_i\right)$，$\Psi \left(-x,-t;{\lambda }_i\right)$，${\varphi }_l\left(x,t;{\lambda }_i\right)$。

方程Lax对(8)的伴随问题是

${\theta }_x=-\theta U\left(-\lambda \right)=\theta M{\left[U\left({\lambda }^{*}\right)\right]}^{†}M$

${\theta }_t=-\theta V\left(-\lambda \right)=\theta M{\left[V\left({\lambda }^{*}\right)\right]}^{†}M$ (9)

其中 $M=diag\left(1,{\epsilon }_1{\epsilon }_2,-{\epsilon }_1,-{\epsilon }_2\right)$，( $†$ 表示矩阵的复共轭转置)，同时能够证明 $\theta \left(x,t;{\lambda }_i^{*}\right)=\Phi {\left({\lambda }_i\right)}^{†}M$ 是 $\lambda ={\lambda }_i^{*}$ 时(9)的解。

根据构造Darboux变换(DT)的过程，我们得到了lax对的一阶Darboux变换

$\Phi \left[1\right]=T\Phi =\Phi -\eta W^{-1}\Omega \left(\eta ,\Phi \right)=\left(I+\eta W^{-1}{\eta }^{†}M\right)\Phi$ (10)

其中

$\eta =\left(\Phi \left({\lambda }_1\right),\Psi \left({\lambda }_1\right)\right)$,$W=\Omega \left({\eta }_1,{\eta }_1\right)$,$\Omega \left(\eta ,\Phi \right)=\Omega \left({\eta }_1,\Phi \right)$

$\Omega \left({\eta }_i,{\eta }_j\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\Phi {\left({\lambda }_i\right)}^{†}M\Phi \left({\lambda }_j\right)}{{\lambda }_i^{*}-{\lambda }_j}& \frac{\Phi {\left({\lambda }_i\right)}^{†}M\Psi \left({\lambda }_j\right)}{{\lambda }_i^{*}+{\lambda }_j^{*}}\\ \frac{\Psi {\left({\lambda }_i\right)}^{†}M\Phi \left({\lambda }_j\right)}{-{\lambda }_i-{\lambda }_j}& \frac{\Psi {\left({\lambda }_i\right)}^{†}M\Phi \left({\lambda }_j\right)}{-{\lambda }_i+{\lambda }_j^{*}}\end{array}\right)$,$\Omega \left({\eta }_i,\Phi \right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\Phi {\left({\lambda }_i\right)}^{†}M\Phi \left(\lambda \right)}{{\lambda }_i^{*}-\lambda }\\ \frac{\Psi {\left({\lambda }_i\right)}^{†}M\Phi \left(\lambda \right)}{-{\lambda }_i-\lambda }\end{array}\right)$

变换(10)是非局部两分量复CID系统及其Lax对(8)的Darboux变换，变换后的谱问题和时间演化方程为

$\Phi {\left[1\right]}_x=U\left[1\right]\Phi \left[1\right]$,$U\left[1\right]=\frac{1}{\lambda }\left(\begin{array}{cc}-i\rho \left[1\right]I_2& -R{\left[1\right]}_x\\ Q{\left[1\right]}_x& i\rho \left[1\right]I_2\end{array}\right)$

$\Phi {\left[1\right]}_t=V\left[1\right]\Phi \left[1\right]$,$V\left[1\right]=\frac{i\lambda }{4}\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right)+\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}0& R\left[1\right]\\ Q\left[1\right]& 0\end{array}\right)$ (11)

其中

$\left(\begin{array}{cc}0& R\left[1\right]\\ Q\left[1\right]& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& R\\ Q& 0\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left[\eta W^{-1}{\eta }^{†}M,\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& I_2\end{array}\right)\right]$ (12)

$\left(\begin{array}{cc}-i\rho \left[1\right]I_2& -R{\left[1\right]}_x\\ Q{\left[1\right]}_x& i\rho \left[1\right]I_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-i\rho I_2& -R_x\\ Q_x& i\rho I_2\end{array}\right)+{\left(\eta W^{-1}{\eta }^{†}M\right)}_x$ (13)

$q_1\left[1\right]$，$q_2\left[1\right]$，$\rho \left[1\right]$ 和 $q_1$，$q_2$，$\rho$ 之间的关系是

$q_1\left[1\right]=q_1-\frac{{\epsilon }_1\left({\lambda }_1^{*}-{\lambda }_1\right)a_1}{{\varphi }_1{\varphi }_1^{*}\left(-x,-t\right)+{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\varphi }_2{\varphi }_2^{*}\left(-x,-t\right)-{\epsilon }_1{\varphi }_3{\varphi }_3^{*}\left(-x,-t\right)-{\epsilon }_2{\varphi }_4{\varphi }_4^{*}\left(-x,-t\right)}$

$q_2\left[1\right]=q_2-\frac{{\epsilon }_2\left({\lambda }_1^{*}-{\lambda }_1\right)a_2}{{\varphi }_1{\varphi }_1^{*}\left(-x,-t\right)+{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\varphi }_2{\varphi }_2^{*}\left(-x,-t\right)-{\epsilon }_1{\varphi }_3{\varphi }_3^{*}\left(-x,-t\right)-{\epsilon }_2{\varphi }_4{\varphi }_4^{*}\left(-x,-t\right)}$

$\rho \left[1\right]=\rho +i\left({\lambda }_1^{*}-{\lambda }_1\right){\left(\frac{a_3}{{\varphi }_1{\varphi }_1^{*}\left(-x,-t\right)+{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\varphi }_2{\varphi }_2^{*}\left(-x,-t\right)-{\epsilon }_1{\varphi }_3{\varphi }_3^{*}\left(-x,-t\right)-{\epsilon }_2{\varphi }_4{\varphi }_4^{*}\left(-x,-t\right)}\right)}_x$ (14)

其中：

$a_1=-{\epsilon }_2{\varphi }_4{\varphi }_2^{*}\left(-x,-t\right)-{\varphi }_1{\varphi }_3^{*}\left(-x,-t\right)$，$a_2={\epsilon }_1{\varphi }_3{\varphi }_2^{*}\left(-x,-t\right)-{\varphi }_1{\varphi }_4^{*}\left(-x,-t\right)$，

$a_3={\varphi }_1{\varphi }_1^{*}\left(-x,-t\right)+{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\varphi }_2{\varphi }_2^{*}\left(-x,-t\right)$。

3. 非局部两分量复CID系统的孤子解

本节利用达布变换得到了不同条件下非局部两分量复CID系统的孤子解，并分析它们的渐进行为。

3.1. 种子解为零时非局部两分量复CID系统的解

${\varphi }_1=c_1{\text{e}}^{{\bar{w}}_1}$,${\varphi }_2=c_2{\text{e}}^{{\bar{w}}_1}$,${\varphi }_3=c_3{\text{e}}^{-{\bar{w}}_1}$,${\varphi }_4=c_4{\text{e}}^{-{\bar{w}}_1}$ (15)

其中： ${\bar{w}}_1=-i\frac{{\rho }_0}{{\lambda }_1}x+\frac{i{\lambda }_1}{4}t$，${\bar{w}}_1^{\text{*}}=i\frac{{\rho }_0}{{\lambda }_1}x-\frac{i{\lambda }_1}{4}$。

令 $a_1=-{\epsilon }_2{c}_4{c}_2^{*}{\text{e}}^{{\bar{w}}_1^{*}-{\bar{w}}_1}-c_1{c}_3^{*}{\text{e}}^{{\bar{w}}_1-{\bar{w}}_1^{*}}$，$a_2={\epsilon }_1{c}_3{c}_2^{*}{\text{e}}^{{\bar{w}}_1^{*}-{\bar{w}}_1}-c_1{c}_4^{*}{\text{e}}^{{\bar{w}}_1-{\bar{w}}_1^{*}}$，$a_3=\left({\left|c_1\right|}^2\text{+}{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\left|c_2\right|}^2\right){\text{e}}^{{\bar{w}}_1^{*}\text{+}{\bar{w}}_1}$。

将其代入(14)可得出孤子解为：

$q_1\left[1\right]=2i{\lambda }_{1I}\frac{{\epsilon }_1{a}_1}{\left({\left|c_1\right|}^2+{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\left|c_2\right|}^2\right){\text{e}}^{{\bar{w}}_1^{*}\text{+}{\bar{w}}_1}+\left({\epsilon }_1{\left|c_3\right|}^2+{\epsilon }_2{\left|c_4\right|}^2\right){\text{e}}^{-\left({\bar{w}}_1^{*}\text{+}{\bar{w}}_1\right)}}$

$q_2\left[1\right]=2i{\lambda }_{1I}\frac{{\epsilon }_2{a}_2}{\left({\left|c_1\right|}^2+{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\left|c_2\right|}^2\right){\text{e}}^{{\bar{w}}_1^{*}+{\bar{w}}_1}+\left({\epsilon }_1{\left|c_3\right|}^2+{\epsilon }_2{\left|c_4\right|}^2\right){\text{e}}^{-\left({\bar{w}}_1^{*}+{\bar{w}}_1\right)}}$

$\rho \left[1\right]={\rho }_0+2i{\lambda }_{1I}{\left(\frac{a_3}{\left({\left|c_1\right|}^2+{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\left|c_2\right|}^2\right){\text{e}}^{{\bar{w}}_1^{*}\text{+}{\bar{w}}_1}+\left({\epsilon }_1{\left|c_3\right|}^2+{\epsilon }_2{\left|c_4\right|}^2\right){\text{e}}^{-\left({\bar{w}}_1^{*}\text{+}{\bar{w}}_1\right)}}\right)}_x$ (16)

当 $\left({\left|c_1\right|}^2+{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\left|c_2\right|}^2\right)\left({\epsilon }_1{\left|c_3\right|}^2+{\epsilon }_2{\left|c_4\right|}^2\right)>0$ 时这些解是非奇异的。当 $c_j$ 全不为0时，式(16)中的分量 $q_1$ 和 $q_2$ 都是沿 ${\theta }_{1R}=0$ 传播的局域波，具有周期性现象，可称为多峰孤子波。

3.2. 种子解不为零时非局部两分量复CID系统的解

容易验证非局部的两分量CID系统有平面波解 $\rho ={\rho }_0$ 、 $q_1=r_1{\text{e}}^{\left(k_{1}x-w_{1}t\right)}$ 、 $q_2=r_2{\text{e}}^{\left(k_{2}x-w_{2}t\right)}$，其中 ${\rho }_0=-k_i{w}_i$，$r_1,r_2$，${\rho }_0$ 都是常数，在这个种子解下，为了求解线性微分方程(1.7)，对 $\Phi$ 作变换

$\tilde{\Phi }=Q\Phi$

$Q=diag\left(1,{\text{e}}^{\left(k_{1}x-w_{1}t\right)+\left(k_{1}x-w_{1}t\right)},{\text{e}}^{\left(k_{1}x-w_{1}t\right)},{\text{e}}^{\left(k_{2}x-w_{2}t\right)}\right)$ (17)

则 $\tilde{\Phi }$ 满足，如下常系数的微分方程

${\tilde{\Phi }}_x=\tilde{U}\tilde{\Phi }$

${\tilde{\Phi }}_t=\tilde{V}\tilde{\Phi }$ (18)

其中

$\tilde{U}=\frac{1}{\lambda }\left(\begin{array}{cccc}-i{\rho }_0& 0& -k_1{r}_1& -k_2{r}_2\\ 0& -i{\rho }_0+\lambda \left(k_1+k_2\right)& k_2{r}_2{\epsilon }_2& -k_1{r}_1{\epsilon }_1\\ k_1{r}_1{\epsilon }_1& -k_2{r}_2& i{\rho }_0+\lambda k_1& 0\\ k_2{r}_2{\epsilon }_2& k_1{r}_1& 0& i{\rho }_0+\lambda k_2\end{array}\right)$

$\tilde{V}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{i\lambda }{4}& 0& \frac{i{r}_1}{2}& \frac{i{r}_2}{2}\\ 0& \frac{i\lambda }{4}-w_1-w_2& -\frac{i}{2}{r}_2{\epsilon }_2& \frac{i}{2}{r}_1{\epsilon }_1\\ \frac{i}{2}{r}_1{\epsilon }_1& -\frac{i{r}_2}{2}& \frac{i\lambda }{4}-w_1& 0\\ \frac{i}{2}{r}_2{\epsilon }_2& \frac{i{r}_1}{2}& 0& \frac{i\lambda }{4}-w_2\end{array}\right)$

矩阵 $\tilde{V}$ 的特征方程是

$Det\left[\tau I_4-\tilde{V}\right]=0$ (19)

其中四个特征根是 ${\tau }_j,j=1,2,3,4$。

当 $k_1=k_2$，$w_1=w_2$ 时，则特征方程(21)为

$\frac{b_1{b}_2}{256}=0$ (20)

其中

$b_1=\left({\lambda }_1+4i\tau \right)\left({\lambda }_1-4i\tau -4iw\right)+4\left(r_1^2{\epsilon }_1+r_2^2{\epsilon }_2\right)$

$b_2=\left({\lambda }_1+4i\tau +8i{w}_1\right)\left({\lambda }_1-4i\tau -4iw\right)+4\left(r_1^2{\epsilon }_1+r_2^2{\epsilon }_2\right)$ (21)

当 $b_1=0$ 时我们能得出方程的特征根是 ${\tau }_j=\frac{-2w_1\pm \sqrt{{\left(2w_1+i{\lambda }_1\right)}^2-4\left(r_1^2{\epsilon }_1+r_2^2{\epsilon }_2\right)}}{4},j=1,2$ 它对应的特征向量是 $v_j={\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{2r_1{\epsilon }_1}{{\lambda }_1-4i{\tau }_j-4i{w}_1}& \frac{2r_2{\epsilon }_2}{{\lambda }_1-4i{\tau }_j-4i{w}_1}\end{array}\right)}^{\text{T}}$。当 $b_2=0$ 时我们能得出方程的特征根是

${\tau }_l=\frac{-6w_1\pm \sqrt{{\left(2w_1-i{\lambda }_1\right)}^2-4\left(r_1^2{\epsilon }_1+r_2^2{\epsilon }_2\right)}}{4},l=3,4$，它对应的特征向量是

$v_j={\left(\begin{array}{cccc}0& 1& \frac{-2r_2}{{\lambda }_1-4i{\tau }_j-4i{w}_1}& \frac{2r_1}{{\lambda }_1-4i{\tau }_j-4i{w}_1}\end{array}\right)}^{\text{T}}$。

令 $\nu =\left(\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& v_3& v_4\end{array}\right)$，则可以得出 ${\lambda }_1$ 对应的线性问题(8)的通解是

$\Phi \left({\lambda }_1\right)=Q^{-1}\nu C$ (22)

其中：

$C={\left(\begin{array}{cccc}{c}_1{\text{e}}^{{\theta }_1}& c_2{\text{e}}^{{\theta }_2}& c_3{\text{e}}^{{\theta }_3}& c_4{\text{e}}^{{\theta }_4}\end{array}\right)}^{\text{T}}$，${\theta }_j=m_{j}x+{\tau }_{j}t$，$m_k=\frac{{\lambda }_1{k}_1-2i\left({\rho }_0-2i{\tau }_k\right)}{2{\lambda }_1},k=1,2$

$m_l=\frac{3{\lambda }_1{k}_1-2i\left(4kw+{\rho }_0+2k{\tau }_k\right)}{2{\lambda }_1},l=3,4$

则可以的得出特征函数是

$\Phi =\left(\begin{array}{c}{c}_1{\text{e}}^{{\theta }_1}+c_2{\text{e}}^{{\theta }_2}\\ {\text{e}}^{-2x{k}_1+2t{w}_1}\left(c_3{\text{e}}^{{\theta }_3}+c_4{\text{e}}^{{\theta }_4}\right)\\ \frac{c_1{\text{e}}^{{\theta }_1}{r}_1{\epsilon }_1}{l_1}+\frac{c_2{\text{e}}^{{\theta }_2}{r}_1{\epsilon }_1}{l_2}+r_2\left(-\frac{c_3{\text{e}}^{{\theta }_3}}{l_3}-\frac{c_4{\text{e}}^{{\theta }_4}}{l_4}\right)\\ \frac{c_1{\text{e}}^{{\theta }_1}{r}_2{\epsilon }_2}{l_1}+\frac{c_2{\text{e}}^{{\theta }_2}{r}_2{\epsilon }_2}{l_2}+r_1\left(-\frac{c_3{\text{e}}^{{\theta }_3}}{l_3}-\frac{c_4{\text{e}}^{{\theta }_4}}{l_4}\right)\end{array}\right)$ (23)

其中 $l_j=\lambda -4i{w}_1-4i{\tau }_j,j=1,2,3,4$。

将其代入(14)可得出孤子解为

$p\left[1\right]={\text{e}}^{k_{1}x-t{w}_1}-\frac{-{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\varphi }_4{\bar{g}}_2-{\epsilon }_1{\varphi }_1{\bar{g}}_3}{d}$

$q\left[1\right]={\text{e}}^{k_{1}x-t{w}_1}-\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\varphi }_3{\bar{g}}_2-{\epsilon }_1{\varphi }_1{\bar{g}}_4}{d}$

$\rho \left[1\right]={\rho }_0+I{\left(\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_2{\varphi }_2{\bar{g}}_2+{\varphi }_1{\bar{g}}_1}{d}\right)}_x$ (24)

其中 $d=-\left({\epsilon }_1{\epsilon }_2{\varphi }_2{\bar{g}}_2+{\varphi }_1{\bar{g}}_1+{\epsilon }_1{\varphi }_3{\bar{g}}_3+{\epsilon }_2{\varphi }_4{\bar{g}}_4\right)/2i{\lambda }_I$。当 $d\ne 0$ 时这些解是非奇异的。当 $c_j$ 不全为0时，式(24)中的分量 $q_1$ 和 $q_2$ 也都是孤子波。

4. 结论

本文研究的是非局部两分量复CID系统。我们给出了该方程的Lax对，并构造了其达布变换，利用Darboux的方法考虑零和非零种子解两种情况，得出非局部两分量复CID方程的孤子解。

文章引用

付晨晨. 非局部两分量耦合复可积无色散方程的孤子解
Soliton Solutions of Nonlocal Two-Component Coupled Complex Integrable Dispersionless Equations[J]. 应用数学进展, 2022, 11(05): 2703-2710. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.115286

参考文献