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PureMathematics理论数学,2020,9(11),1044-1050
PublishedOnlineNovember2020inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2020.1011124
复射影空间CP
2
中辛曲面的平均曲率流
曹顺娟
浙江农林大学数学系，浙江杭州
Email:caoshunjuan@126.com
收稿日期：2020年10月19日；录用日期：2020年11月9日；发布日期：2020年11月16日
摘要
本文主要研究复射影空间CP
2
中辛曲面的平均曲率流，证明了若初始辛曲面满足一定的曲率积分
拼挤条件，则平均曲率流将在[0,∞)上存在光滑解，且当t→∞时光滑收敛到CP
1
。
关键词
辛曲面,平均曲率流,曲率积分拼挤,光滑收敛性
TheMeanCurvatureFlowofSymplectic
SurfacesintheComplexProjective
SpaceCP
2
ShunjuanCao
DepartmentofMathematics,ZhejiangAgricultureandForestryUniversity,HangzhouZhejiang
Email:caoshunjuan@126.com
Received:Oct.19
th
,2020;accepted:Nov.9
th
,2020;published:Nov.16
th
,2020
文章引用:曹顺娟.复射影空间CP
2
中辛曲面的平均曲率流[J].理论数学,2020,9(11):1044-1050.
DOI:10.12677/pm.2020.1011124
曹顺娟
Abstract
Inthispaper,westudythemeancurvatureflowofsymplecticsurfacesinthecomplex
projectivespaceCP
2
,andprovethatiftheinitialsymplecticsurfacesatisfiescertain
integralcurvaturepinchingcondition,thenthemeancurvatureflowhasasmooth
solutionon[0,∞),andconvergestoCP
1
ast→∞.
Keywords
SymplecticSurface,MeanCurvatureFlow,IntegralCurvaturePinching,
SmoothConvergence
Copyright© 2020byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.引言
设Σ是(n+p)-维黎曼流形M
n+p
中的浸入子流形,并设浸入映射为F
0
:Σ→M.以F
0
为初
值的平均曲率流是一个单参数族的浸入映射F:Σ×[0,T)→M,满足
∂
∂t
F(x,t)=H(x,t),(x,t)∈Σ×[0,T),
F(x,0)=F
0
(x),x∈Σ,
这里H表示Σ的平均曲率向量.
设M是Kähler曲面,ω表示M上的Kähler形式,J是与ω相容的复结构,则M上的黎曼
度量¯g可表示为¯g(X,Y)=⟨X,Y⟩=ω(X,JY),其中X,Y是M上的光滑向量场.对M中的实2
维可定向曲面Σ,令g表示其上的诱导度量,dµ
Σ
表示Σ的体积形式.Σ在M中的Kähler角α
定义为ω|
Σ
=cosαdµ
Σ
.如果cosα>0,则称Σ为辛曲面;如果cosα=1,则称Σ为全纯曲线.
辛几何中一个非常有意义的问题是能否将Kähler曲面中的辛曲面形变为全纯曲线[1].研究
这个问题的一个可能的途径是用平均曲率流形变这个辛曲面,并证明极限曲面为全纯曲线[2][3].
陈-李-田[3]证明了如果辛曲面是个图,则辛平均曲率流的长时间解存在,且收敛到全纯曲线.韩
-李[4]证明了在具有正数量曲率的Kähler-Einstein曲面中,如果初始曲面充分接近于全纯曲线,那
DOI:10.12677/pm.2020.10111241045理论数学
曹顺娟
么辛平均曲率流长时间解存在且收敛到全纯曲线.韩-李-杨[5]证明了复射影空间中辛曲面的平均
曲率流解的长时间存在性和光滑收敛性.
定理1󲣵CP
2
󰍦󱯦󳒙󰐩󱂾k>0󱎻󱞱󳌫,Σ
0
󰍦CP
2
󱎻󱩞󱼫󰌗󲳰󲳒󰐩󳒙.󰓓
Σ
0
󱎻󱡣󰑣A,󰐩󱂾󲼆HKähler󲜉α󰰘󲫪󰒘:
(1)󰔇λ∈

1
2
,
2
3

,󰑀|A|
2
6λ|H|
2
+
2λ−1
λ
k,cosα>

7λ−3
3λ
;
(2)󰔇ε∈

0,
14
265

,󰑀|A|
2
6
2
3
|H|
2
+
4
5
kcosα,cosα>1−ε.
󲷚Σ
0
󱎻󰐩󱂾󰩸[0,∞)󰰈󲜚,t→∞󰌭󰰈󰉭󰊒󱯦󰐩󱯶
Σ
∞
.
曹-张-赵[6]进一步研究了定理1的条件下Σ
t
的渐近性质,证明了下述定理.
定理2󲣵CP
2
󰍦󱯦󳒙󰐩󱂾k>0󱎻󱞱󳌫,Σ
0
󰍦CP
2
󱎻󱩞󱼫󰌗󲳰󲳒󰐩󳒙.󰓓
Σ
0
󰰘󲫪󱄽1󱎻(1)(2),󲷚󰌭τ>0,t∈[τ,∞),󰑀
|ϕ|
2
6ρ
τ
e
−δk(t−τ)
,
󰒸󳎇󰐩󳒙Σ
∞
󰍦CP
1
.󲴐󲼃ϕ󲖟󱙱Σ
0
󱎻󰌗󲴰󱡣󰑣,ρ
τ
=σmax
Σ
τ
|ϕ|
2
,σ,δ󰍦󱰔󰢚
󰊧.
本文主要研究了曲率积分拼挤条件下CP
2
中辛曲面的平均曲率流的光滑收敛性,证明了下述
结论。
定理3󲣵CP
2
󰍦󱯦󳒙󰐩󱂾k>0󱎻󱞱󳌫,Σ
0
󰍦CP
2
󱎻󱩞󱼫󰌗󲳰󲳒󰐩󳒙.󲣵
Σ
0
󱎻󱡣󰑣A󰰘󲫪|A|6Λ,Kähler󲜉α󰰘󲫪cosα>
√
3
3
+δ,Λδ󰢚󰊧,
󲷚󲪍n,Λ,δ󱎻󰢚󰊧ϵ,󲀜

Σ
0
|A|
2
dµ
0
<ϵ,
Σ
0
󱎻󰐩󱂾󰩸[0,∞)󰰈󲜚,t→∞󰌭󰰈󰉭󰊒󱯦󰐩󱯶CP
1
.
2.准备工作
Σ是Kähler曲面M中的浸入曲面,F
0
:Σ→M为浸入映射.令F:Σ×[0,T)→M表示以
F
0
为初值的平均曲率流,并记Σ
t
=F
t
(Σ)。
约定指标范围为
16A,B,C,···64,16i,j,k,···62,36α,β,γ,···64.
选取{e
i
},{e
α
}分别为切丛TΣ和法丛NΣ的局部单位正交基,并令{ω
A
}为{e
A
}的对偶基.
令g
ij
表示Σ
t
上的诱导度量,dµ
t
表示Σ
t
上相应的体积形式.令A和H分别表示Σ
t
的第二基
DOI:10.12677/pm.2020.10111241046理论数学
曹顺娟
本形式和平均曲率向量,并设A=

i,j,α
h
α
ij
ω
i
⊗ω
j
⊗e
α
,H=

α
H
α
e
α
,则有H
α
=

i
h
α
ii
.我们有
引理4([5])󰧶󰐩󱂾󰩸,󰑀
∂
∂t
g
ij
=−2

α
H
α
h
α
ij
,
∂
∂t
dµ
t
=−|H|
2
dµ
t
.
󰢛󰑀
∂
∂t

Σ
t
dµ
t
=−

Σ
t
|H|
2
dµ
t
.
|A|
2
和|H|
2
沿平均曲率流满足如下发展方程.
引理5([5])󰧶󰐩󱂾󰩸,󰑀
∂
∂t
|A|
2
=∆|A|
2
−2|∇A|
2
+

α,i,j,k
h
α
ij
(
¯
R
αijk k
+
¯
R
αkikj
)
−4

α,i,j,k,l
¯
R
lijk
h
α
lk
h
α
ij
+8

α,β,i,j,k
¯
R
αβjk
h
β
ik
h
α
ij
−4

α,i,j,k,l
¯
R
lijk
h
α
lk
h
α
ij
+8

α,β,i,j,k
¯
R
αβjk
h
β
ik
h
α
ij
+2

α,β,i,j


k
(h
α
ik
h
β
jk
−h
α
jk
h
β
ik
)

2
+2

α,β


i,j
h
α
ij
h
β
ij

2
,(1)
∂
∂t
|H|
2
=∆|H|
2
−2|∇H|
2
+2

α,β
¯
R
αkβk
H
α
H
β
+2

i,j


α
H
α
h
α
ij

2
.
(2)
引理5中,
¯
R
ABCD
表示M的黎曼曲率张量,
¯
R
ABCDE
表示
¯
R
ABCD
的一阶协变微分.
令ω表示M上的Kähler形式,J表示M上与ω相容的复结构.Σ在M中的Kähler角α
定义为ω|
Σ
=cosαdµ
Σ
.cosα满足如下发展方程.
引理6([5])󰧶󰐩󱂾󰩸,󰑀

∂
∂t
−∆

cosα=


∇J
Σ
t


2
cosα+Rc(Je
1
,e
2
)sin
2
α,
󲴐󲼃|∇J
Σ
t
|
2
=|h
3
1k
−h
4
2k
|
2
+|h
3
2k
+h
4
1k
|
2
,Rc󲖟󱙱M󱎻Ricci󰐩󱂾󲼆.
∇J
Σ
t
不依赖于局部标架的选取,且满足
|∇J
Σ
t
|
2
>
1
2
|H|
2
,|∇cosα|
2
6sin
2
α|∇J
Σ
t
|
2
.(3)
设M为常全纯截面曲率为k>0的复射影空间CP
2
,则有
¯
R
ABCD
=−
k
4
[(δ
AD
δ
BC
−δ
BD
δ
AC
)+(J
AD
J
BC
−J
BD
J
AC
)−2J
AB
J
CD
].
DOI:10.12677/pm.2020.10111241047理论数学
曹顺娟
因此CP
2
是对称的Einstein流形,且Ricci曲率张量满足Rc=
3
2
k¯g.因此cosα满足

∂
∂t
−∆

cosα=


∇J
Σ
t


2
cosα+
3
2
kcosαsin
2
α.(4)
根据极值原理,cosα>0沿平均曲率流保持.
我们需要用到下述引理.
引理7([7])󲣵Σ󰍦󳰅󰐳󰩸M
n+p
󱎻n󱰫󰪯󰩸.󰓓M󱎻󰰘󲫪inj(M)>
ι
0
>0,󳰅󰐳󰐩󱂾󲼆|
¯
Rm|6K
0
,Σ󱎻󱡣󰑣󰰘󲫪|A|6Λ
0
,󲷚󲪍n󱎻󰢚
󰊧k
0
󲪍n,p,ι
0
,Λ
0
,K
0
󱎻󰢚󰊧r
0
,P∈Σ,ρ6r
0
,󲚸B(P,ρ)⊂Σ,
󰑀vol(B(P,R))>k
0
ρ
n
.
3.定理的证明
在节中我们给出主要定理的证明.
证明根据(4)和极值原理,cosα>
√
3
3
+δ在平均曲率流下是保持的.由(1)和(2),我们有
∂
∂t
|A|
2
6∆|A|
2
−2|∇A|
2
−k|A|
2
−
k
2
(3cos
2
α+1)|A|
2
+2k|H|
2
+2

i,j,α,β


k
(h
α
ik
h
β
jk
−h
α
jk
h
β
ik
)

2
+2

α,β


ij
h
α
ij
h
β
ij

2
6∆|A|
2
−2|∇A|
2
+2k|A|
2
+3|A|
4
.
这里我们用到了
2

i,j,α,β


k
(h
α
ik
h
β
jk
−h
α
jk
h
β
ik
)

2
+2

α,β


ij
h
α
ij
h
β
ij

2
=2

α,β
N(A
α
A
β
−A
β
A
α
)+2

α,β
[tr(A
α
A
β
)]
2
62|A|
4
,
这可由[8]中的李-李不等式得到.
由极值原理可得,存在T
1
=T
1
(k,Λ)>0,使得平均曲率流的光滑解在[0,T
1
]上存在,且对
t∈[0,T
1
]有|A|62Λ.根据体积形式的发展方程，我们有
∂
∂t

Σ
t
|A|
2
dµ
t
=

Σ
t

∂
∂t
|A|
2

dµ
t
−

Σ
t
|A|
2
|H|
2
dµ
t
6

Σ
t
(−2|∇A|
2
+2k|A|
2
+3|A|
4
)dµ
t
6(2k+12Λ
2
)

Σ
t
|A|
2
dµ
t
.
DOI:10.12677/pm.2020.10111241048理论数学
曹顺娟
令f(t)=

Σ
t
|A|
2
dµ
t
,则由上式可得
∂
∂t
f6(2k+12Λ
2
)f.
根据极值原理,有
f(t)6f(0)e
(2k+12Λ
2
)t
,t∈[0,T
1
].
若t∈

0,
ln2
2k+12Λ
2

,则e
(2k+12Λ
2
)t
62.假设

Σ
0
|A|
2
dµ
0
<ϵ,其中ϵ待定.则对t∈[0,T
2
]有

Σ
t
|A|
2
dµ
t
6e
(2k+12Λ
2
)t

Σ
0
|A|
2
dµ
0
62ϵ,
其中T
2
=min

T
1
,
ln2
2k+12Λ
2

.
由引理7,对任意t∈[0,T
2
],存在绝对正常数κ和常数r
0
=r
0
(k,Λ)>0,使得只要ρ6r
0
且
B
t
(P,ρ)⊂Σ
t
,那么vol(B
t
(P,ρ))6κρ
2
.
选取ϵ使得ϵ6r
4
0
/2.我们可假设
max
Σ
t
|A|6

1
√
κ
+
¯
C

(2ϵ)
1
4
,t∈[T
2
/2,T
2
],
其中
¯
C为仅依赖于k,Λ的正常数.事实上,假设在点x
t
∈Σ
t
处|A|取得最大值,且|A|(x
t
)>

1
√
κ
+
¯
C

(2ϵ)
1
4
,那么选取ρ=(2ϵ)
1
4
6r
0
,有
¯
Cρ=
¯
C(2ϵ)
1
4
<|A|(x
t
).根据对A的高阶导数的估
计,我们有max
Σ
t
|∇A|6
¯
C,t∈[T
2
/2,T
2
],
¯
C=C(k,Λ)是仅依赖于k,Λ的正常数.从而对任意点
x∈B(x
t
,ρ),我们有
|A|(x)>|A|(x
t
)−
¯
Cρ>0.
由引理7,
2ϵ>

Σ
t
|A|
2
dµ
t
>

B(x
t
,ρ)
|A|
2
dµ
t
>[|A|(x
t
)−
¯
Cρ]vol(B(x
t
,ρ))
>[|A|(x
t
)−
¯
Cρ
2
]κρ
2
.
这与|A|(x
t
)>

1
√
κ
+
¯
C

(2ϵ)
1
4
矛盾.因此max
Σ
t
|A|6
˜
Cϵ
1
4
,t∈[T
2
/2,T
2
],
˜
C=2
1
4

1
√
κ
+
¯
C

.
因为对t∈[T
2
/2,T
2
]有cosα>
√
3
3
+δ,从而存在常数λ=λ(δ)∈

1
2
,
2
3

,使得cosα>

7λ−3
3λ
.
事实上,我们选取λ=
1
7
3
−
(
√
3
3
+δ
)
2
=
1
2−
2
3
√
3δ+δ
2
即可得

7λ−3
3λ
=
√
3
3
+δ,而且

2λ−1
λ
是仅依赖于
δ的正常数,我们用
˜
λ记之.我们选取ϵ=min{r
4
0
/2,(
˜
λk/
˜
C)
4
}.因此对t∈[T
2
/2,T
2
]和λ∈

1
2
,
2
3

,
有|A|
2
6λ|H|
2
+
2λ−1
λ
k,且cosα>

7λ−3
3λ
.从而由定理2和平均曲率流光滑解的唯一性可得,初
DOI:10.12677/pm.2020.10111241049理论数学
曹顺娟
始曲面为Σ
0
的辛平均曲率流在t∈[0,∞)上存在光滑解Σ
t
,且当时间t→∞时Σ
t
收敛到CP
1
.
2
基金项目
本研究得到浙江省自然科学基金资助，项目编号:LQ16A010012！
参考文献
[1]Tian, G.(2001)SymplecticIsotopyinFourDimension.First International CongressofChinese
Mathematicians,Beijing,1998,143-147.AMS/IPStudiesinAdvancedMathematics,Vol.20,
AmericanMathematicalSociety,Providence,RI.
https://doi.org/10.1090/amsip/020/09
[2]Chen,J.andLi,J.(2001)MeanCurvatureFlowofSurfacein4-Manifolds.Advancesin
Mathematics,163,287-309.
https://doi.org/10.1006/aima.2001.2008
[3]Chen,J.,Li,J.andTian,G.(2002)Two-DimensionalGraphsMovingbyMeanCurvature
Flow.ActaMathematicaSinica(EnglishSeries),18,209-224.
https://doi.org/10.1007/s101140200163
[4]Han,X.andLi,J.(2005)TheMeanCurvatureFlowApproachtotheSymplecticIsotopy
Problem.InternationalMathematicsResearchNotices,26,1611-1620.
https://doi.org/10.1155/IMRN.2005.1611
[5]Han,X.,Li,J.andYang,L.(2013)SymplecticMeanCurvatureFlowinCP
2
.Calculusof
VariationsandPartialDifferentialEquations,48,111-129.
https://doi.org/10.1007/s00526-012-0544-x
[6]Cao,S.,Zhang, X.and Zhao,E. (2016)The AsymptoticBehaviorof SymplecticMean Curva-
tureFlowwithPinchedCurvatures inCP
2
.Journal ofMathematical AnalysisandApplications,
434,633-637.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2015.09.008
[7]Han,X.andSun,J.(2012)ε
0
-RegularityforMeanCurvatureFlowfromSurfacetoFlat
RiemannianManifold.ActaMathematicaSinica(EnglishSeries),28,1475-1490.
https://doi.org/10.1007/s10114-012-9271-7
[8]Li,A.M.andLi,J.M.(1992)AnIntrinsicRigidityTheoremforMinimalSubmanifoldsina
Sphere.ArchivderMathematik(Basel),58,582-594.
https://doi.org/10.1007/BF01193528
DOI:10.12677/pm.2020.10111241050理论数学

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