基于ROF模型的修正半光滑牛顿法 The Modified Semismooth Newton Algorithm Based on the ROF Model

doi:10.12677/pm.2011.11006

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Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 21-25

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.11005 Published Online April 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

Two Splitting Least-Squares Mixed Element Methods

for Burgers Equations

Haiming Gu1, Huining Qu2

1International College, 2Department of Mathematics, Qingdao Univers ity of Science and Technology, Qingdao

Email: guhm@ n s.q d.sd.cn; qhn4173@163.com

Received: Mar. 21st, 2011; revised: Mar. 26th, 2011; accepted: Mar. 28th, 2011.

Abstract: Two splitting least-squares mixed element methods are proposed to simulate Burgers equation in

this paper. The advantage of this methods is that the coupled system can be split into two independent

sub-systems and then reduce the difficulty and scale of primal problems. Theoerical analysis shows that the

methods yield the approximate solutions for the primal problems with optimal accuracy in norm.



L

Keywords: Burgers Equation; Least-Squares Functional; Mixed Finite Element Method; Error Estimation

解Burgers 方程的分裂型最小二乘混合元方法

顾海明 1，曲慧宁 2

1青岛科技大学国际学院，青岛；2青岛科技大学数理学院，青岛

Email: guhm@ n s.q d.sd.cn; qhn4173@163.com

收稿日期：2011 年3月21日；修回日期：2011 年3月26 日；录用日期：2011 年3月28 日

摘要：本文对 Burgers 方程提出了 Euler 型分裂的最小二乘混合元格式，该格式最大的优点是将耦合的

方程组系统分裂成为两个独立的子系统进行求解，从而在很大程度上降低了原问题的求解难度和规模，

并通过引入适当的最小二乘泛函，得到原未知量的最优阶







模误差估计。

关键词：Burgers 方程；最小二乘函数；混合元方法；误差估计

1. 引言

Burgers 方程曾被 J. M. Burgers[1]作为流体的一

类运动现象的数学模型加以研究，而且方程本身具

有流体动力学 Navier-Stokes 方程的性质，可以作为

Navier-Stokes 方程的简单模型方程，还可以作为浅

水波问题，交通流动力学等问题的数学模型，具有

广泛的应用背景。近年许多学者及工程技术人员对

其进行了深入的理论研究和数值计算，其中差分格

式居多[2]。本文用分裂型最小二乘混合有限元方法来

研究该问题。最小二乘混合有限元法的一个重要优

点就是可以通过最小二乘函数将一个非自共轭的问

题转化成一个对称正定问题，而且该方法不需要有

限元空间满足 LBB条件[3-6]。但是用最小二乘混合元

方法求解抛物问题时，最终离散格式通常需要求解

一个耦合的方程组，在一定程度上比较复杂，而分

裂型最小二乘混合有限元法[7]的最大优点就是能

将耦合的方程组系统分裂成为两个独立的子系统求

解，从而极大的降低了原问题的求解难度和规模.本

文将此方法应用到 Burgers 方程中，提出了 Euler 型

分裂的最小二乘混合元格式，并通过引入适当的最

小二乘泛函，得到原未知量的最优阶





模误差

估计。

本文的主要内容为：第二部分给出了 Burgers 方

程的最小二乘形式：Euler 型格式Ⅰ及Euler 型格式Ⅱ

（即分裂型最小二乘混合元格式）；第三部分引入适当

的最小二乘泛函，证明了问题的解存在唯一。第四部

分关于 Euler型格式Ⅱ对未知量得到了最优阶







模误差估计。

顾海明等解方程的分裂型最小二乘混合元方法

22 | Burgers

本文使用 Sobolev空间通常的定义和记号，







和及相应的范数



H



L

 ，





 。M

表示一般意义上的可变正常数。

2. 抛物方程的最小二乘形式

考虑如下方程：

,(, )(0,)

(,) 0,(,)(0,)

(,0) (),

tx xx

uuuu xtt

uxt xtt

uxx x





 











(2.1)

其中为一多边形区域，为它的 Lipschitz 连

续边界，

R

(



)



为已知函数，。

10t

现定义如下两个Hilbert 空间：



VH

 



22 2

():divWL L



 

(2.2)

令为时间剖分步长，N为整数，ttTN ，记

，n = 0，1，2，…，N。在(2.1)式中取

ntntn



，

用一阶向后 Euler 差分对其关于时间离散得：

nn n

uu uu uR









(2.3)

其中

nuu u















。可知为项，可

以省略。引入未知量，则(2.3)式变为：



Ot





nnn nn

utut u







 



 



 (2.4)

用12

()t



去乘(2.4)中的第二式，得：

()( )0

nnn nn

utut u







 







 (2.5)

在求第 n层时，我们用a来表示 n - 1层上 u的

值，可知 a是与时间层有关的常数，不妨记为 a(t)，

且有。至此，我们定义如下最小二乘泛

函：

()aata





对于，



,VW







()( )

nnn nn

Jututu

 





 

  (2.6)

从而相应的(2.5) 的最小二乘问题为：求

，满足：















,inf

Ju J









 (2.7)

根据最小二乘泛函









，定义如下双线性泛函：







,;,

(), ()

()( ),

nnn

utattvtat t





 





  

 

(2.8)

求解(2.7)就等价于求解









,;, (), ()

Auat vtatt



 



  (2.9)

设是区域





上两有限元网格剖分族，

分别为网格步长参数，相应的有限元空间为

，由[8]可以知道有限元空间有如下逼

近性质：对任意的



WWV

V









，，

有















inf

huhu m

hMh



 



  (2.10)

inf











(2.11)

inf div()









(2.12)

对于







，定义椭圆投影，满足：

Ru V









Ru u





 

， (2.13)

vV

由[8]知下面估计式成立：











 



tt ut

ut RutMhut

ut RutMhutut

















 





(2.14)

假设初始近似满足：







0000 10

00 10

hhu

hHdiv

uuhuuMh u



 









 









(2.15)

则问题(2.1)的Euler型最小二乘混合元格式(Euler型格

式Ⅰ)为：已知 1





，求 ,

hhhh

uV W





，使











,;, (), (),

hhhhhh h

hhh h

Auat vtatt



 





 (2.16)

Euler 型格式Ⅰ是传统意义上的最小二乘混合元

格式，我们在本文中主要研究分裂型Euler 最小二乘

混合元格式：(称Euler 型格式Ⅱ)，在定义之前，我们

先看一个引理：

顾海明等解方程的分裂型最小二乘混合元方法23

| Burgers

引理 1 对任意的,,,uvVW







有



,;,(,)(, ())

(,)((),)

((),) (,)

Auuvu tat

mtatv

 

 

 





 uv

(2.17)

其中



()mtat t



 。

证明：由(2.8)可得：











 

 



 

,;,(), ()

()( ),

,(), ,

,() (),()

,() ,

() ,,

(),(),

(), (),

Auu tattv tatt

uvtatvtv

u tattattat

ttatut

ta tttt

ttu



 

 





 

 



 

 

 

 

  

 

   

 

 

利用 Green公式，第二个等号右端，第三项和第

十二项相加为零，第六项和第八项相加为零，第七项

和第十一项相加为零。由此，



,;,(,)(,())( ,)

((),)(() ,

(,)

Auuvu tatm

ta tvt

tuv

)



 







 

 

 

其中



()mtat t



 。

结合引理 1，我们在Euler 型格式Ⅰ中 0





，则

得到：



(,)( (),)(,)(),

hhhhhhh

uvtatvtuvat







 (2.18)

若取 0



，得到



(,())(,)(( ),)

(), ()

hhhh h

utat mt

at ttat



 



 

 (2.19)

这样，就得到了分裂型 Euler 最小二乘混合元格

式(称Euler 型格式Ⅱ)：已知 1





，求

hhhh

uV W





，使





(,)( (),)(,)

(),

(,())(,)(( ),)

(),()

hhhhhh

hhhh h

uvtatvtuv

utatmt

at ttat









 



 







 







(2.20)

其中



()mtat t



 。

3. 解的存在唯一性

我们首先证明一个定理，其中仍采用标准范数意

义，对



div,H





，有



div,

222

div







， (3.1)



div,H



 



定理 1双线性泛函满足连续性和强制性

条件，即对任意



,;,A

,W,uvV







和，存在正常数





和，

使得









12 12

22 22

div, div,

,;, HH

Au uv

 











div ,

,;, H

Au u

 





证明：由双线性泛函知



,;,A







22 2

,;,(,)(,())( ,)( (),)

((),)(,)

()

Auuuuuta tmta tu

ttuu

umtt u

 





 

 

 

所以存在 M，使得：







22 2

,;, 2

uuMu u

 



由Poincare 不等式： 2

uMu

及(3.1)式，我们可

以得到







div ,

,;, H

Au uMu

 





因为双线性形式





,;,Au





是对称的，所以有

 

12 12

,;,,;, ,;,AuAu uAv



 



即连续性得证。

下证强制性：

由连续性可知：







222

,;,

()

Au u

umtt u





 

从而也存在 M，使得









div,

22 2

222

,;,

uuMu u

Muu















强制性得证。

由Lax-Miligram 引理可知(2.9)式存在唯一解。因

为(2.20)式与(2.9)式是等价的，所以 Euler 型格式Ⅱ存

在唯一解。

顾海明等解方程的分裂型最小二乘混合元方法

24 | Burgers

4. 误差估计

对于一般的混合元方法，引入椭圆投影算子

，有

Ru V



,0,u

Ru uV





同样会有(2.13)、(2.14)式成立。用一般的最小二乘混

合元方法，可以得到基于此椭圆投影原未知量的最优

阶误差估计：（为近似解）







2( 1)

NNnnm

uutuu Mht







 



(4.1)

我们现在来讨论分裂型 Euler 格式Ⅱ的误差估计。

定理 2：假设 ,uV W



为问题(2.1)的解， ,



为分裂型 Euler 格式Ⅱ的解，则有下列先验误差估计：





NNnn m

hhu

uutuu Mht









(4.2)

证明：由(2.9)可得误差方程：



,;,

,()

nnn n

hhhh

hhh h

hhh

Au u

uuvtat t

tRvta tt













 

(4.3)

由引理 1可得







,;,

nnn n

hhhh

nn nn

hhh h

nn nn

hh hh

nn nn

hh hh

Au u

uuvuutat

mtatv

ttu





 

 



 

 



(4.4)

在(4.3)(4.4)中分别取τh = 0，并令两式的右端相等，得















nn n

hh h

nnn n

hhh h

uuvtRv

uuvtatv

tuu v









 

 

(4.5)

令u为u的伴随椭圆投影，并假设 nn

uu n



 ，

，整理 (4.5)，考虑到边界条件并利用Green

公式得：

uue

















nn nn

nn n

eetetat e

ta ttR





 

 





 

 



(4.6)

记(4.6)式左端项分别为,右端记为

，取检验函数

12 3

,,LL L

1234

,,RR RRh



，则













22 2

,dd

nn nnnn

nn nn

Leee exeex

ex exee









 





 2









2,d

nn nn

Lteetexte

 



 















nnn n

Ltateetatee

ta ee





 





x

则有







4.6 2

Lee

ta ta













 







(4.7)

右端项：



 

nnn n

Rete

ttex te











 











 











2,2

nnn n

Rt ee



 



 



3,2

nnn n

Rtate e







 



nn n

uu u

RtRe te

ttte











 













 







由此可得：



(4.6)222

22 2

ttta

tta t

ttt











 









 

 











 







(4.8)

顾海明等 | 解Burgers方程的分裂型最小二乘混合元方法

由(4.6) (4.7) (4.8)可得：







222

1()

22 22

nnn

ee te

tt tta

ttae

tta u

et tt



































 







由(2.14)及(4.11)式，我们可以得到如下的估计：





NNnn m

hhu

uutuu Mht











(4.9)

(4.12)

这样我们得到了原未知量的最优阶误差估计。通

过比较(4.1)和(4.12)，我们可以看到，分裂型 Euler 格

式Ⅱ虽然比 Euler 型格式Ⅰ低一阶，但是在求解过程

中极大的降低了原问题的求解难度和规模，因此，分

裂型 Euler 格式Ⅱ在实际中有更广泛的应用。

将式(4.9)关于 n从1到N求和得：



22 2

eet e

ttae

tta

tta u

et tt











































 









 



 

 



 

参考文献 (References)

[1] J. M. Burgers. A Mathematical Model Illustrating the Theory of

Turbulence. New York: Adv in Appl Mech I, Academic Press,

1948: 171-199.

[2] D. J. Evans, M. S. Sahimi. The numerical solution of Burgers

equations by the alternation group explicit (AGE) m ethod. Inter J

Computer Math, 1989 , 29(1): 39-64.







[3] H. M. Gu. Characteristic Finite Element Methods for Nonlinear

Sobolev Equations. Applied Mathematics and Computation,

1999, 102(1): 51-62.

[4] H. M. Gu, D. P. Yang, S. L. Sui, et al. Least-squares Mixed Finite

Element Method for a Class of Stokes Equation. Applied

Mathematics a n d Mec h a n i cs , 2000, 21(5): 557-566.

(4.10)

由离散 Gronwall 引理得： [5] H. M. Gu, X. N. Wu. Alternating-direction Iterative Technique

for Mixed Finite Element Methods for Stokes Equations. Ap-

plied Mathema t ic s and Computation, 2005, 162(3): 1035-1047.



ete

Me ttt

ttt















 























(4.11)

[6] Z. Q. Cai, J. Korsawe, G. Starke. An Adaptive Least Squares

Mixed Finite Element Method for the Stress- Displacement

Formulation of Linear Elasticity. Numer Methods Partial Differ-

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[8] P. G. Ciarlet. The Finite Element Method for Elliptic Problems.

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