Pure Mathematics
Vol.4 No.05(2014), Article ID:14051,6 pages
DOI:10.12677/PM.2014.45026
An Elementary Proof for the Uniqueness (up to Isomorphism) of the Simple Groups of Order 360 and 504
1Department of Mathematics, Hubei University, Wuhan
2Department of Mathematics, Peking University, Beijing
Email: thoufeng@163.com, *ghliu@hubu.edu.cn
Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Received: Jul. 12th, 2014; revised: Aug. 10th, 2014; accepted: Aug. 19th, 2014
ABSTRACT
Only by using Sylow’s theorem, basic permutation computation and linear algebra theory, we prove that a simple group of order 360 is isomorphic to PSL (2,9) and a simple group of order 504 is isomorphic to PSL (2,8).
Keywords:Sylow’s Theorem, Simple Group, PSL (2,9), PSL (2,8)
360阶和504阶单群的唯一性的初等群论证明
周 峰1,于浩然2,王 杰2,刘合国1*
1湖北大学数学系,武汉
2北京大学数学系,北京
Email: thoufeng@163.com, *ghliu@hubu.edu.cn
收稿日期:2014年7月12日;修回日期:2014年8月10日;录用日期:2014年8月19日
摘 要
仅用Sylow定理、最基本的置换计算和线性代数重新证明了360阶单群同构于PSL (2,9)及504阶单群同构于PSL (2,8)。
关键词
Sylow定理;单群;PSL (2,9),PSL (2,8)
1. 引言
本文采用的符号和术语都是标准的,见文献[1] 。
我们知道,对阶的非交换单群,当时,只能是60、168、360、504、660,并且阶不超过1000的非交换单群只有5个:60阶单群、168阶单群、360阶单群、504阶单群和660阶单群。运用Sylow定理不难证明60阶单群同构于,见文献[2] 和[3] 。在文献[2] 和[3] 中,Huppert和Smith分别用不同的初等群论方法证明了168阶单群同构于,而360阶单群同构于的初等群论证明见[4] [5] ,[6] 利用文献[2] 的方法证明了660阶单群同构于。对于504阶单群同构于,在[5] 中,Cole利用置换群的技巧给出了证明。这样,阶不超过1000的非交换单群同构唯一性都有了初等的群论证明。而本文将利用[2] 和[6] 里的方法,从射影线性群的角度出发,将360阶单群及504阶单群里的某些元素与射影线性群里的元素对应起来,从而将给定阶的单群嵌入射影线性群里,再通过比较群的阶,重新证明360阶单群同构于及504阶单群同构于。除了Sylow定理和最基本的群论知识外,本文是完全自包含的,这个证明对初学者来说是容易理解的,作者希望它对群论教学具有借鉴和启发作用。
2. 360阶单群同构于的初等群论证明
证明:设G是360阶单群。
(1)。由Sylow第三定理知1,6或36。由G是单群,不可能为1。谬设,由G是360阶单群,,而,矛盾!
(2) 若且,则。谬设,则。从而。从而。由于G是360阶单群,。不难看出中之4阶子群正规,设,则。不难看出或4,且,从而。若,则中有9阶子群正规,进而知中9阶子群正规,矛盾!若,则,矛盾于G是360阶单群!
(3)。由Sylow第三定理知或40。由G是360阶单群,不可能为1或4。若,则由1、2知G中至少有个元素,矛盾!故。取定,则。
(4) G中无6阶元及10阶元。谬设G中有6阶元x。注意到G依共轭作用在上诱导G到的群嵌入。承2知引起的置换同形于。从而x引起的置换同形于,是奇置换,矛盾!谬设G中有10阶元y,同样注意到G依共轭作用在上诱导G到的群嵌入,且由3知y引起的置换无不动点。从而y引起的置换同形于,是奇置换,矛盾!
(5)且是Frobenius群,在中的补群是4阶循环群。谬设。由于,故中有6阶元,矛盾于(4)。亦承(4)知是36阶Frobenius群,进一步地,在中的补群是4阶循环群。
(6)依共轭正则地作用在上。从而在上的传递的共轭作用置换同构于9元域上的射影空间上的置换群
。
的行列式都是中的平方元,故嵌入。
(7) 首先证明G之Sylow 2-子群同构于。取定,谬设交换,由于G中有4阶循环子群,故或。由4知,且之任一非单位元都满足,进而在G中的共轭类长。如果使得。则,从而。从而G共有个2-元素。G中至少有个元素,矛盾!谬设,设诱导的置换是。使得。则引起的置换的不动点只有,引起的置换对换。从而诱导的置换同形于,是奇置换,矛盾!故。
(8) 由于,故使得,则对换。以下简记为。则诱导的置换:
由于诱导的是偶置换,故或。
若,则,且,故可以用替代。
若,则,同理以用替代。
若,则,同理以用替代。
故无妨设,。
同理或。
若,则
考虑平移(中某3阶元诱导):
则(先作用,后作用):
即,是21阶元,但21不整除360,矛盾!
若,则
即,是奇置换,矛盾!
若,则
即,亦是奇置换,矛盾!
从而,
亦即。可由诱导。由于是中之平方元,故嵌入。由于,从而,可嵌入中,再比较群的阶,得。
3. 关于
为了讨论504阶单群的唯一性,我们从的元素和Sylow子群入手。
首先注意到,我们通过弄清的结构来得到的相关信息。
(1)是的单位元。
(2)为的一个2阶元,若有使,则,因此,,。考虑到,,此时,,,,所在的共轭类长为63。
(3)为上不可约多项式,不妨设,令,则为7阶元。当时,;当时,;当时,。令,,,易知,,均为7阶元,若有使,则,此时,因此,其中。容易得到,所在的共轭类长72,同样的计算可得,所在的共轭类长分别为72。
(4)上首一2次的常数项为1的不可约多项式有
,,,
四个多项式对应的相伴矩阵分别为
,,,
可选取的一个生成元使,此时,且,因此,,,均可表成形如的矩阵。
若有使则,,另外,。令,由于当且仅当,因此。令,若(其中),里的每个元都是平方元,故存在使,此时,,此时的取法种数为。因此,即,,,,所在的共轭类长都是56。
综上所述,考虑到、、、、、、和具有不同的迹,它们彼此不相似,而,这说明我们已经找出了的所有共轭类,综合(1)、(2)、(3)、(4),我们得到的元素的信息(如表1)。
由于,所以也具有同样的共轭类。
现在,我们能够很快证明是一个单群。事实上,任取的正规子群,的阶整除504,且,其中或1,、1、2或3,、1、2、3或4。不难验证或504,即或,是单群。
(5) 令,此时为初等Abel群且,由于为的7阶元且,故7整除,再考虑到8整除及是单群,所以,的Sylow 2-子群的个数。
(6) 由于有9阶元,故的Sylow 3-子群为循环群,包含6个9阶元,而含有个9阶元,我们得到的Sylow 3-子群的个数,。
(7)的Sylow 7-子群为循环群,包含6个7阶元,而含有个7阶元,我们得到的Sylow 7-子群的个数,。
综上所述,我们得到的Sylow子群的如下信息:
这些信息有助于我们弄清504阶单群的Sylow子群及其正规化子的结构。
表1. SL(2,8)的共轭类
4. 504阶单群同构于的初等群论证明
证明:设是504阶单群,此时。
(1)。令,由Sylow定理知和,因此或36。注意到为单群,或36。谬设,则,为的指数为8的子群,这时容易验证嵌入。容易知道的7阶元有个,的Sylow 7-子群有
个,进一步地,,而,这是不可能的!所以只能有,,这时,有个7阶元。
(2)。取,由Sylow定理或28。注意到是单群,所以或28。谬设,则同构于的一个子群,而,故是的指数为5的子群,此时,是单群,只能有,即,此时的7阶元全部在里,而含有个7阶元,含有216个7阶元,矛盾!于是只能有,。
(3)的任意两个不同的Sylow 3-子群有平凡的交。选取不同的。谬设,则且,显然都是的Sylow 3-子群,的Sylow 3-子群个数
且9整除。又,。考虑到的真子群指数
大于7,不难验证或63。如,的Sylow 7-子群正规,而的Sylow 7-子群的正规化子为14阶,这是不可能的!如,是12阶群,的Sylow 3-子群肯定不是正规的,由Sylow定理知,包含4个Sylow 3-子群,它包含8个3阶元,故的Sylow 2-子群是正规的。设是的Sylow 2-子群,,取的Sylow 2-子群,是4阶群,。从知,,是的中心。当时,是的Sylow 2-子群,故,是18阶群,它有正规的Sylow 3-子群,这将导致含有正规的Sylow 3-子群,矛盾,因此只能有。当时,是12阶Abel群,是的特征子群,。又取的包含的Sylow 2-子群,当然,从而,能被整除,或7,这是不可能的!因此,这表明的任意两个不同的Sylow 3-子群有平凡的交,含有个3-元。
(4)。取,,谬设的Sylow 2-子群正规,则为14阶循环群,含的14阶元,故一共包含个14阶元,而含有216个7阶元,224个3-元,,矛盾!因此的Sylow 2-子群的个数。
(5)所含的2-元均为2阶元。考虑作用在,含有一个7阶子群并含有7个2阶子群,其中任意2阶元将7阶元映到它的逆,任意7阶元在上引起的置换为5个不相交轮换的乘积,我们可以得到这个2阶元刚好在其中3个轮换中各有一个不动点,这样,这个2阶元刚好有4
个不动点。此时,这个2阶元所在的共轭类长为,我们得到63个共轭的2阶元。由于含有
216个7阶元,224个3-元,剩下个非单位元,所以这63个非单位元全为2阶元,并且它们彼此共轭。
(6)。令,由于所含的2-元均为2阶元,因此为初等Abel群。由Sylow定理知和,因此或63。注意到为单群,或63。谬设,则。由Sylow定理得或4,最多含有个3阶元,但,含有7个2-元,,这表明一定包含6阶元,由前面的讨论知这是不可能的!谬设,则。取不同的2阶元,由前面的讨论,有使,考虑到为初等Abel群,,而,故,即,而,因此,,这就得到了,矛盾!这时只能有,。
(7) 首先证明。由于含有63个2阶元,9个Sylow 2-子群,因而的不同的Sylow 2-子群交平凡,由于,谬设,则有个56阶元,故一共包含个56阶元,而含有216个7阶元,224个3-元,,矛盾!因此的Sylow 7-子群的个数。
从而在上的传递的共轭作用置换同构于8元域上的射影空间上的置换群
设是的7阶子群,则,取2阶元,由于与不交换,故,按照[6] 同样的方法,可得作用在上的置换为,由里的所有元都是平方元及
所以、、对应的线性分式映射属于。
令,作为的子群可嵌入,其中为56阶群且为不属于的2阶元,故,即是的指数小于9的子群,再注意到为单群,于是,故可嵌入,而,因此。
基金项目
国家自然科学基金(11371124)、湖北省高层次人才工程基金(070-016533)。
参考文献 (References)
- [1] Isaacs, I.M. (2008) Finite group theory. American Mathematical Society, Providence.
- [2] Huppert, B. (1967) Endliche gruppen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.
- [3] Smith, G. and Tabachnikova, O. (2000) Topics in group theory. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.
- [4] 周峰, 徐行忠, 廖军, 刘合国 (2014) 360阶单群同构于A6的初等群论证明. 理论数学, 1, 31-37.
- [5] Cole, F.N. (1893) Simple groups as far as order 660. American Journal of Mathematics, 15, 303-315.
NOTES
*通讯作者。