Pure Mathematics
Vol.4 No.06(2014), Article ID:14365,5 pages
DOI:10.12677/PM.2014.46035

Boundedness of Solutions of a Second Order Differential Equation via Bellman’s Inequality

Ming Lu, Weimin Wang*, Lei Wu, Shaohui Liu

School of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan

Email: *645063914@qq.com

Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Received: Oct. 13th, 2014; revised: Oct. 31st, 2014; accepted: Nov. 4th, 2014

ABSTRACT

By using Bellman’s inequality, the boundedness of solutions of a second order differential equation is investigated. Two different forms of Bellman inequality are given, which can be used to get the boundedness of differential equations.

Keywords:Bellman Inequality, Differential Equation, Boundedness

基于Bellman不等式的一类二阶微分
方程的解的有界性

卢  明,王蔚敏*,吴  磊,刘少辉

武汉科技大学理学院,武汉

Email: *645063914@qq.com

收稿日期:2014年10月13日;修回日期:2014年10月31日;录用日期:2014年11月4日

摘  要

由Bellman不等式证明一类二阶微分方程的解的有界性,给出了两种不同形式的Bellman不等式,由此可得出有关微分方程解的有界性结论。

关键词

Bellman不等式,微分方程,有界性

1. 引言

早在1957年,欧阳亮在文[1] 中利用给出了如下引理:

若:

利用该引理,证明了这类二阶微分方程的解的有界性,并给出了相关的结论。在2014年,Qusuay H. Alqifiary和Soon-Mo Jung在文[2] 中利用Bellman引理证明了一类二阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性结论。而本文则是用Bellman引理1和引理5,在欧阳亮[1] 的基础上简化其证明过程,同时也减弱了文[1] 中对二阶微分方程的系数的要求,即只需要文[1] 中定理一中的条件(i)。除此之外,本文也与文[2] 中的定理2中对的要求不同,即不需要当时,。从而对于证明微分方程的Hyers-Ulam稳定性起到了重要作用。

2. 正文

在本文中我们只讨论方程

(1)

的解的有界性。

引理1 [2] :若是可积函数,为常量且,如果满足不等式

(2)

(3)

证明:由(2)式可得

(4)

对(4)式两边同时从0到积分可得

(5)

整理可得

(6)

综合(2)式可得

(7)

利用引理1,我们可以证明如下定理,即

定理2:若方程(1)的系数是可积函数,则当时,(1)式的所有解有界。

证明:对(1)式两边同乘,可得

(8)

对(8)式从0到积分并且利用分部积分可得

(9)

(10)

可得

(11)

那么

(12)

对(12)进行变形可得

(13)

利用引理1有

(14)

(15)

由于为常量,也为一常量,故。因而(1)式的解是有界的。

我们来考虑方程

(16)

利用上述的(15)式我们就可以得到如下的定理,即

定理3:若(16)满足条件时,则当时,(16)的所有解有界。

证明:令,那么由(15)式可得

(17)

这里的

引理4 [Biernacko]:若方程的所有的解及其一阶微商有界,则方程的所有的解在条件时保持有界。

引理5 [3] :若是定义在的实连续函数,对所有的,如果有不等式

(18)

那么就有

(19)

引理6:若是可积函数,为常量且,如果满足不等式

(20)

那么有

(21)

证明:设,则。将上式带入(19)可得

根据数学分析中的young不等式可得

(22)

,根据引理5可得

从而

(23)

定理7:若方程

(24)

满足下列条件

(i)

(ii)

则当方程(21)所有的解保持有界。

证明:显然我们只需证明(16)式的解的一阶微商在时有界。给(16)式两边同乘,再从0到积分且利用分部积分可得:

(25)

因而

(26)

由定理3以及引理5可得

(27)

再根据引理4,一阶微商有界,就可以得到方程(24)是有界的。从而证得定理7成立。

定理8:若方程

(28)

满足条件,则当时其所有的解保持有界。

证明:给(28)两边同乘,且从0到积分,再利用分部积分,整理得

          

(29)

由引理1可得:。从而可证得定理8。

致  谢

本文是在冯育强教授的精心指导下完成的。从本科入学以来,无论在学习上还是在生活中冯老师都给予我们大量的关心,鼓励和帮助,对本文的写作进行悉心的指导,提出了宝贵的意见。在此,我们想冯老师表示深深的敬意和感谢!

基金项目

武汉科技大学优秀科技人才培育项目(2008RC01)武汉科技大学大学生科技创新项目(13ZRA067)。

参考文献 (References)

  1. [1]   欧阳亮 (1957) 有关分数阶微分方程的解的有界性. 数学进展, 3, 409-415.

  2. [2]   Alqifiary, Q.H. and Jung, S.-M. (2014) On the Hyers-Ulam stability of differential equations of second order. Abstract and Applied Analysis, 2014, Article ID: 483707.

NOTES

*通讯作者。

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