Pure Mathematics
Vol.4 No.06(2014), Article
ID:14365,5
pages
DOI:10.12677/PM.2014.46035
Boundedness of Solutions of a Second Order Differential Equation via Bellman’s Inequality
School of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan
Email: *645063914@qq.com
Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
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Received: Oct. 13th, 2014; revised: Oct. 31st, 2014; accepted: Nov. 4th, 2014
ABSTRACT
By using Bellman’s inequality, the boundedness of solutions of a second order differential equation is investigated. Two different forms of Bellman inequality are given, which can be used to get the boundedness of differential equations.
Keywords:Bellman Inequality, Differential Equation, Boundedness
基于Bellman不等式的一类二阶微分
方程的解的有界性
卢 明,王蔚敏*,吴 磊,刘少辉
武汉科技大学理学院,武汉
Email: *645063914@qq.com
收稿日期:2014年10月13日;修回日期:2014年10月31日;录用日期:2014年11月4日
摘 要
由Bellman不等式证明一类二阶微分方程的解的有界性,给出了两种不同形式的Bellman不等式,由此可得出有关微分方程解的有界性结论。
关键词
Bellman不等式,微分方程,有界性
1. 引言
早在1957年,欧阳亮在文[1] 中利用给出了如下引理:
若:
则
利用该引理,证明了这类二阶微分方程的解的有界性,并给出了相关的结论。在2014年,Qusuay H. Alqifiary和Soon-Mo Jung在文[2] 中利用Bellman引理证明了一类二阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性结论。而本文则是用Bellman引理1和引理5,在欧阳亮[1] 的基础上简化其证明过程,同时也减弱了文[1] 中对二阶微分方程的系数的要求,即只需要文[1] 中定理一中的条件(i)。除此之外,本文也与文[2] 中的定理2中对的要求不同,即不需要当时,。从而对于证明微分方程的Hyers-Ulam稳定性起到了重要作用。
2. 正文
在本文中我们只讨论方程
(1)
的解的有界性。
引理1 [2] :若:是可积函数,为常量且,如果满足不等式
(2)
则
(3)
证明:由(2)式可得
(4)
对(4)式两边同时从0到积分可得
(5)
整理可得
(6)
综合(2)式可得
(7)
利用引理1,我们可以证明如下定理,即
定理2:若方程(1)的系数,和是可积函数,则当时,(1)式的所有解有界。
证明:对(1)式两边同乘,可得
(8)
对(8)式从0到积分并且利用分部积分可得
(9)
(10)
令可得
(11)
那么
(12)
对(12)进行变形可得
(13)
利用引理1有
(14)
即
(15)
由于为常量,也为一常量,故。因而(1)式的解是有界的。
我们来考虑方程
(16)
利用上述的(15)式我们就可以得到如下的定理,即
定理3:若(16)满足条件,时,则当时,(16)的所有解有界。
证明:令,那么由(15)式可得
(17)
这里的。
引理4 [Biernacko]:若方程的所有的解及其一阶微商有界,则方程的所有的解在条件时保持有界。
引理5 [3] :若,和是定义在的实连续函数,对所有的,如果有不等式
(18)
那么就有
(19)
引理6:若是可积函数,为常量且,如果满足不等式
(20)
那么有
(21)
证明:设,则。将上式带入(19)可得
根据数学分析中的young不等式可得
(22)
令,根据引理5可得
从而
(23)
定理7:若方程
(24)
满足下列条件
(i),
(ii)
则当方程(21)所有的解保持有界。
证明:显然我们只需证明(16)式的解的一阶微商在时有界。给(16)式两边同乘,再从0到积分且利用分部积分可得:
(25)
因而
(26)
由定理3以及引理5可得
(27)
再根据引理4,一阶微商有界,就可以得到方程(24)是有界的。从而证得定理7成立。
定理8:若方程
(28)
满足条件,则当时其所有的解保持有界。
证明:给(28)两边同乘,且从0到积分,再利用分部积分,整理得
则
(29)
令
由引理1可得:。从而可证得定理8。
致 谢
本文是在冯育强教授的精心指导下完成的。从本科入学以来,无论在学习上还是在生活中冯老师都给予我们大量的关心,鼓励和帮助,对本文的写作进行悉心的指导,提出了宝贵的意见。在此,我们想冯老师表示深深的敬意和感谢!
基金项目
武汉科技大学优秀科技人才培育项目(2008RC01)武汉科技大学大学生科技创新项目(13ZRA067)。
参考文献 (References)
- [1] 欧阳亮 (1957) 有关分数阶微分方程的解的有界性. 数学进展, 3, 409-415.
- [2] Alqifiary, Q.H. and Jung, S.-M. (2014) On the Hyers-Ulam stability of differential equations of second order. Abstract and Applied Analysis, 2014, Article ID: 483707.
NOTES
*通讯作者。