ABSTRACT

This paper studies a class of nonlinear elliptic equations with growth in the gradient. By discussing the fixed point for a class of Volterra integral operator, we use symmetric technique to prove the existence of bounded solutions.

Keywords:Nonlinear Elliptic Equation, Gradient Term, Bounded Solution, Symmetric Technique

关于梯度具有一般增长的非线性椭圆问题 有界解的存在性

田玉娟¹，马超²

¹山东师范大学数学科学学院，山东 济南

²济南大学数学科学学院，山东 济南

Email: tianyujuan0302@126.com

收稿日期：2015年6月30日；录用日期：2015年7月10日；发布日期：2015年7月16日

摘 要

本文研究了一类关于梯度具有增长的非线性椭圆方程。通过对一类Volterra型积分算子不动点的讨论，我们应用对称技术证明了有界解的存在性。

关键词 :非线性椭圆方程，梯度项，有界解，对称技术

1. 引言

本文研究如下非线性椭圆方程Dirichlet问题有界弱解的存在性：

(1.1)

其中是中的有界区域，非线性项关于梯度具有增长，即。

对于的情形，问题(1.1)解的存在性已被众多学者通过各种方法在附加结构条件的情况下进行了研究。例如，若满足符号条件，Bensoussan等[1] 讨论了弱解的存在性；Boccardo等[2] 在方程存在上下解的前提下证明了有界解的存在性；而在具有正零阶项的结构条件下，文献[3] [4] 得到了类似结论。近些年，对于没有附加结构条件的问题(1.1)，有界解的存在性也得到了广泛研究。这些研究基于对称技术进行讨论，利用Schwarz对称建立原方程与对称方程解之间的比较结果，进而获得解的先验估计，以此证明存在性。文献[5] -[8] 考虑了的情形。之后，Ferone和Messano在[9] 中结合特殊不等式将结论推广至的情形，然而其证明需要，该条件对于存在有界解来说较强。

因此，本文的工作主要是研究在一般的假设下，问题(1.1)有界解的存在

性。通过对一类Volterra型积分算子不动点的研究，获得了问题(1.1)与一类对称问题解之间的比较结果，进而证得结论。本文的安排如下：第二节将给出一些预备知识，第三节给出假设与主要结果，第四节给出主要结果的证明。

2. 预备知识

为方便起见，我们记为区域的Lebesgue测度，，，以后不再说明。

定义2.1：设是上的可测函数，是的分布函数，称，为函数的单调递减重排。

令，称为函数的单调递减球对称重排，也称为Schwarz对称。这里表示单位球体积，表示球心位于原点且与具有相同测度的球。

注2.1 [10] ：Schwarz对称保持函数的范数不变，即。

设为Carathéodory函数，为如下Volterra型积分算子 [11] ：

(2.1)

定义2.2：设，，若存在三常数，和使得对任意，都有

则称算子具有性质(l)。

引理2.1 (比较原理)：设为由(2.1)给出的Volterra型积分算子，且具有性质(l)。若对，为非减函数，则对任意满足，，都有

(2.2)

证明：采用反证法。若(2.2)不成立，则必存在和使得，且

。记，其中是性质(l)中的常数。对

上式两端关于取最大值且注意，得

产生矛盾。所以假设不成立，(2.2)得证。

3. 假设与主要结果

本文研究非线性椭圆问题(1.1)，其中，为Carathéodory函数且对及满足以下假设条件：

(i)，其中；

(ii)，其中为常数，且；

(iii)，其中为常数，，且。

定义3.1：函数称为问题(1.1)的弱解，如果以下等式成立：

首先，考虑(1.1)的对称问题

(3.1)

其中为的Schwarz对称。讨论该对称问题对称解存在的条件，定理如下。

定理3.1设，其中，，。

若

(3.2)

则问题(3.1)必存在对称解，即。且有如下估计：

这里、是仅与已知量有关的常数。

其次，给出问题(1.1)的解与问题(3.1)的对称解之间的比较结果。

定理3.2：假设(i)~(iii)成立。若是问题(1.1)的解，是问题(3.1)的对称解，则

(3.3)

(3.4)

最后，得到问题(1.1)有界弱解的存在性。

定理3.3：假设(i)~(iii)和(3.2)成立。若

则问题(1.1)至少存在一个解。

4. 主要结果的证明

对于Volterra型积分算子(2.1)，更具体地，我们令，

则。记是的值域。

引理4.1：设(3.2)成立，在中令，则算子在中必有不动点。

证明：首先可证。事实上，对于及，由Hölder不等式得

由的具体形式以及容易计算得，故

，即

. (4.1)

又，由(3.2)可知。所以，说明。

其次，因，故。从而，对任意

因此当时，一致地收敛于0，故等度连续。此外，由(4.1)得

，从而是一致有界的。于是由Ascoli-Arzela定理知是中的列紧集，即是中的紧算子。注意到是有界闭凸集，且是紧算子。

根据Schauder不动点定理得，在中必有一个不动点。

引理4.2 [9] 设是问题(1.1)的解，是问题(3.1)的对称解，则对，有

(4.2)

(4.3)

定理3.1的证明：令

(4.4)

其中为引理4.1中的不动点。显然且。

又

注意到，故

而

于是，。此外，易验证满足问题(3.1)弱解的定义。从而(4.4)给出的正是问题(3.1)的一个对称解。

定理3.2的证明：令

(4.5)

等式两边关于s求导，得

(4.6)

由(4.2)知，带入(4.6)中有

上式在上积分，并注意，可得。同理，若令

(4.7)

则有以下等式成立：。

由(4.5)和(4.7)计算可得。又对，任取，

注意到，所以

令，则，从而算子具有性质(l)。

于是由引理2.1可知，。

上式结合(4.2)和(4.3)可得，，即

注意到，因此

，即

此外，(3.4)的证明完全类似于文献[9] 中定理4.1的证明，这里不再赘述。

定理3.3的证明：

对于，考虑以下逼近问题

(4.8)

其中，则满足条件(iii)且。

从而问题(4.8)存在解。又由定理3.1知问题(3.1)存在对称解且有估计和。

因此，根据定理3.2有：且。于是。注意到，所以。从而

最后，利用文献[3] [4] 中经典的逼近理论，可证问题(1.1)至少存在一个解。

基金项目

山东省中青年科学家科研奖励基金(BS2012SF026)；数学天元青年基金(11426146)；济南大学博士基金(XBS1337)。

文章引用

田玉娟,马 超, (2015) 关于梯度具有一般增长的非线性椭圆问题有界解的存在性
Existence of Bounded Solutions to a Class of Nonlinear Elliptic Problems with General Growth in the Gradient. 理论数学,04,143-149. doi: 10.12677/PM.2015.54022

参考文献 (References)