Pure Mathematics
Vol.06 No.05(2016), Article ID:18558,7
pages
10.12677/PM.2016.65056
On Odd Deficient-Perfect Numbers with Four Distinct Prime Divisors
Lan Cui, Cong Zhang, Ying Li
Department of Mathematics and Finance, ABa Teachers University, Wenchuan Sichuan
Received: Sep. 1st, 2016; accepted: Sep. 15th, 2016; published: Sep. 20th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
For a positive integer n, let σ(n) denote the sum of the positive divisors of n. Let d be a proper divisor of n, we call n a deficient-perfect number if. On the basis of the references, we characterize some properties of odd deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors. We prove that if is an odd deficient-perfect number, then p1 = 3, p2 ≤ 13, and improve the result of the references.
Keywords:Deficient-Perfect Numbers, The Sum of the Positive Divisors, Prime Factors, Order
具有四个素因子的奇亏完全数
崔兰,张聪,李颖
阿坝师范学院数学与财经系,四川 汶川
收稿日期:2016年9月1日;录用日期:2016年9月15日;发布日期:2016年9月20日
摘 要
设n为自然数,σ(n)表示n的所有正因子和函数。令d是n的真因子,若n满足,则称n为亏因子为d的亏完全数。在参考文献的基础上,本文讨论了具有四个素因子的奇亏完全数的一些性质,证明了为具有四个不同素因子的奇亏完全数,则有p1 = 3, p2 ≤ 13。
关键词 :亏完全数,因子和函数,素因子,阶
1. 引言与主要结果
对任意,设n的标准分解式为,令ω(n),σ(n)分别表示n的相异素因子个数以及约数和函数,则
,。
约数和函数σ(n)是一类基本而又重要的数论函数,历史上许多著名数学难题都与它关 [1] [2] ,例如,著名的完全数问题。若正整数n满足σ(n) = 2n,则称n为完全数(perfect number)。若σ(n) < 2n,则称n为亏数(deficient),若σ(n) > 2n,则称n为过剩数(abundant)。设d是n的真因子,若,则称n为盈因子为d的盈完全数。如果,则称n为拟完全数(quasi-perfect)。若
, (1)
则称n为亏因子为d的亏完全数。特别地,如果,则称 为殆完全数(almost perfect),关于以上完全数的各类问题,以及σ(n)与Euler函数φ(n)的迭代等等问题,可参见文献 [3] - [16] 。
关于亏完全数,文献 [17] 刻画了素因子个数不超过2的所有亏完全数的结构,若n为亏完全数且ω(n) ≤ 2,则
或,
其中,且为奇素数。文献 [18] 证明不存在具有三个素因子的奇亏完全数。最近,文献 [19] 研究具有四个素因子的奇亏完全数,证明了若为具有四个不同素因子的奇亏完全数,其中为奇素数,则有,且。
在文献 [19] 的基础上,本文进一步研究具有四个素因子的奇亏完全数,略微改进了文献 [19] 中的结论,证明了
定理 若为具有四个不同素因子的奇亏完全数,则有
。
2. 一些引理
引理1 若,则,若,则
证明:若,则
。
同理可得,若,则,若,则。若,则。
引理2 若是奇亏完全数时,亏因子,其中,,令
,
则均为偶数,且
。 (2)
证明:由于为奇亏完全数,则由(1)可得,
(3)
其中
,,。
则
。
由于d为奇数,则根据(3)式,有
因此
,
则根据(1)式,有
(4)
当,时,若,则
矛盾,则。
引理3 若是奇亏完全数,,则
(5)
证明:由引理2知,当时,,则和,,由(3)式可得
。
引理4 令
,
,
则
。 (6)
证明:由引理3知
所以
则(6)式成立。
3. 主要结果的证明
设m > 2为正整数,a为整数,若(a,m) = 1,称满足的最小正整数x为a对模m的阶,记作ordma。
若时,则
,
矛盾,因此,
。
情形1。当时,
,
矛盾,因此。由于ord35 = 4,如果,则
,
则,矛盾,因此。同理,由于,则
,
这与(5)式矛盾。
情形2。当时
,
矛盾,因此
当时,计算和的值如下,
由引理4得,与(6)式矛盾。当时,,与(5)式矛盾。
情形3。当时
,
矛盾,因此,。由于,则
。
由引理1知,要使则必使,所以。当,且时,有
,
,
与(6)式矛盾。若,,与(5)式矛盾。
情形4。当时
矛盾,因此,。
当时,计算和的值如下,
由引理4得,与(6)式矛盾。当时,,与(5)式矛盾。
情形5,当时,有
,
矛盾,则。由于,ord295 = 2,由引理1知,若要使,则必须使,所以
当,且时,当,且时,分别计算和的值如下:
由引理4得,与(6)式矛盾。
当时,,与(5)式矛盾。
情形6,当时,有
,
矛盾,则。由于,同理由引理1知,使则必使,所以。
当,,时,由于,则有
。
由引理4得,与(6)式矛盾。
当,,以及时,,,,与(5)式均为矛盾。
情形7:。当时,由于,则有
。
由引理4得,与(6)式矛盾。
当时,,与(5)式矛盾。
因此,定理得证。
基金项目
阿坝师范学院科研课题项目(JXYY201507),四川省教育厅自然科学研究项目(15ZA0337)。
致谢
作者衷心感谢阿坝师范学院杨仕椿教授的悉心指导和热情帮助!
文章引用
崔 兰,张 聪,李 颖. 具有四个素因子的奇亏完全数
On Odd Deficient-Perfect Numbers with Four Distinct Prime Divisors[J]. 理论数学, 2016, 06(05): 411-417. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.65056
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