ABSTRACT

In this paper, the nonsingular associative form of finite-dimensional simple modular Lie superalgebra is given and proved, and the restrictiveness of is discussed.

Keywords:Simple Modular Lie Superalgebra, Associative Form, Restricted Lie Superalgebra

模李超代数的结合型和限制性

崔琪，张丽华

沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁 沈阳

收稿日期：2016年11月2日；录用日期：2016年11月19日；发布日期：2016年11月22日

摘 要

本文给出并证明了有限维单模李超代数具有非退化的结合型并且讨论了李超代数的限制性。

关键词 :单模李超代数，结合型，限制李超代数

1. 引言

目前，有限维单模李超代数的分类问题还没有解决，所以文献 [1] 构造了新的有限维单模李超代数，并确定了它的单性，文献 [2] 确定了的导子超代数。

为了将与已有的有限维单模李超代数进行比较，文本讨论了的结合型和限制性。

2.回顾

下面将文献 [1] 构造的有限维单模李超代数作简要回顾。用表示正整数集，是特征数为的域，设，为域上具有个未定元的外代数。

定义：，。

令。

对，令，且约定，则构成的一组-基底。

令，为满足，的截头多项式代数。表示整数模的剩余类环，，设，定义：，于是，为的-基底。

设，为模2的剩余类环，令：

于是是由的-阶化诱导出的结合超代数。

若，将简记为，于是是的一个-基底。令，则是-阶化的超代数，且。

令。

对，令为对的偏导子，则可以扩充为的导子，使得对，。

设，若，则令，使得；

设，若，约定，那么对任意的，有，于是，若，则，而若，则。

设，定义，那么：

令，那么为的导子超代数的子代数，为一组-基底。下面简记为。

令，其中：

,

那么是-阶化李超代数。

3. 结合型

引理3.1 [3] ：设是有限维单-阶化李超代数，置。假设是一个超对称双线性型，并且满足下列条件：

(a)是-不变的，即；

(b)，对；

(c)是-不变的，即。

那么是上的结合型。

本文定义，使得，其中，，显然是线性的。

定理3.2 [4] ：具有非退化的结合型。

证明：因为，其中,

所以：，

定义函数，显然是双线性和超对称的。又因为，所以。下面验证满足引理3.1中的三个条件：

先验证(a)，任取中的基向量、，中的基向量，其中且。

若，，或，有：

其中，，，且。

若，有：

若，有：

因此当时

若，有

若，因为，由定义，上式中除了第四项和第六项其余项均等于0。对于这两项，我们只需讨论，且的情况，其余情况这两项均等于0。若，由于，所以第四项和第六项相加等于0；若，由于，所以第四项和第六项相加也等于0。

若，因为，由定义，上式中第二项和第七项等于0。对于其余项，我们只需讨论如下几种情况：

①若且，则上式等于由于，则该式等于0。

②且，则上式等于

由于，则该式等于0。

③若，由①②可知上式等于0成立。

所以，是-不变的。

再验证(c)，任取中的基向量，中的基向量，，中的基向量，其中且，，有

若，则由定义，上式等于0。

若，则上式等于

由定义，该式等于0。

若，则上式等于

由定义，该式等于0。

若，则上式等于

由定义，该式等于0。

另一方面，

由定义，该式等于0。

综上所述，是-不变的。

最后验证(b)，任取中的基向量，中的基向量，其中，有，所以对任意的，成立。

综上，由引理3.1可知，是上一个结合型显然，。由的单性，知是非退化的。

4. 限制性

引理4.1 [5] ：设是域上的李超代数，是的一组-齐次基底。如果存在，使得对任意的，有，其中，若；，若，则是一个限制李超代数。

定理4.2：有限维模李超代数是限制李超代数。

证明：设与分别为和的一组基，下面证明为内导子。下面分两种情况讨论：

(1)，则。

对任意的，因是偶导子，由Leibniz公式，有：

又，而是特征为的域上的李超代数，所以有：

所以，。

(2)，则。

对任意的，因为：

所以。

由是偶导子及是特征为的域上的李超代数，仿照(1)，有

所以，

由于，所以都为内导子，因此有限维模李超代数是限制李超代数。

文章引用

崔 琪,张丽华. 模李超代数W⌒(n,m)的结合型和限制性
The Associative Form and Restrictiveness of Modular Lie Superalgebra W⌒(n,m)[J]. 理论数学, 2016, 06(06): 474-479. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.66065

参考文献 (References)