ABSTRACT

By combining the fractional transform with Cn-expansion method, we give the improved elliptic expansion method to solve the generalized fraction KDV equations, and obtain some new periodic solution and solitary wave solutions.

Keywords:Complex-Transform-Cn Expansion Method, Modified Riemann-Liouville Derivative, Fractional Generalized KDV Equation

分数阶广义KDV方程的精确解

王小娇^*，周贤林，韦方棋

四川师范大学数学与软件科学学院，四川 成都

收稿日期：2017年8月17日；录用日期：2017年8月31日；发布日期：2017年9月6日

摘 要

本文将分数阶复变换方法和椭圆函数展开法相结合，给出了求解分数阶广义KDV方程的复变换椭圆函数展开法。进而得到了分数阶广义KDV方程的周期波解和孤立波解。

关键词 :复变换椭圆函数展开法，修正Riemann-Liouville函数，分数阶广义KDV方程

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1. 引言

自然科学中的定律及原理是用偏微分方程来表达的，因而偏微分方程是联结数学与自然科学的关键性纽带，求解偏微分方程的显示解，特别是行波解，在理论和实际中有重要的作用，并受到数学和物理学家的广泛关注。许多数学工具和方法被用来求解非线性偏微分方程的行波解。如反散色法 [1] ，Backlund法 [2] ，Darboux变换法 [3] ，Hirota双线性法 [4] ，延拓法 [5] ，Painleve分析法 [6] ，有限差分法 [7] ，Tanh法 [8] 和Sin-Cos法 [9] ，首次积分法 [10] ，试探函数法 [11] 等。由于非线性偏微分方程形式和特征的多样性，尚无一种适用于求解所有类型偏微分方程的方法。

本文研究如下广义KDV方程的行波解

(1)

其中，分数阶微分算子是Jumarie的修正Riemann-Liouville导数 [12] ，其定义如下：

(2)

为Gamma函数，定义为：

(3)

Jumarie的修正Riemann-Liouville导数有如下性质：

(4)

显然，方程(1)为一类典型的非线性偏微分方程。分数阶非线性偏微分方程是整数阶非线性偏微分方程的自然推广，可以解释许多整数阶非线性偏微分方程无法解释的现象，因而得到了生物、化学、物理、数学等领域学者的广泛关注和高度重视。现已广泛运用到流体力学 [13] 、生物医学 [14] 、固态物理 [15] 等工程领域，并对这些领域的发展产生了深远的影响。寻求分数阶微分方程的精确解已成了数学工作者的重要研究课题，得到了一些求解分数阶非线性方程的方法。如分数阶展开法 [16] ，分数阶子方程法 [17] ，分数阶微分变换法 [18] ，分数阶同伦扰动法 [19] 等。

最近，Li Zheng Biao和He Ji Huan等人提出了分数阶复变换法 [20] ，运用该方法可将分数阶偏微分方程转化为整数阶偏微分方程。本文将分数阶复变换法与Cn函数展开法 [21] 相结合，求解了分数阶广义的KDV方程(1)。最终，我们获得了方程(1)的周期解和孤立波解，当分数阶导数时，所得到的精确解就是通常的行波解，大大丰富了此方程的解系，为专家学者在某些问题的研究上提供了帮助。

2. 复变换-Cn函数展开法

基于复变换方法和Cn函数展开法，得到下面的复变换-Cn函数展开法，该方法主要步骤如下：

第一步，考虑如下分数阶微分方程：

(5)

其中是代数函数关于自变量t和x的Jumarie的修正Riemann-Liouville导数，P是关于函数u及偏导数的多项式，P中含有最高阶导数和非线性项。

作分数阶复变换：

(6)

其中是常数，当时，式(6)就是通常的行波变换，在式(6)的作用下，式(5)变为：

(7)

第二步，假设(7)式的解u可以表示为C的多项式形式：

(8)

其中是待定常数，。正整数K通过式(7)中的最高阶导数项和非线性项来确定。

记，由椭圆函数的导数公式有：

(9)

若以表示u的最高幂次的次数K，则最高幂次的次数应为：

(10)

而的最高幂次的系数为

(11)

将(8)式代入(7)式，平衡方程(7)中的最高阶导数项和非线性项的幂次，可以确定参数K的值，同时利用(9)式等可以导出代数方程

(12)

其中和为C的多项式，令和中C的各幂次系数为零，便得到确定及和的代数方程组。运用Wu消元法求解这个代数方程组，就得到(5)式的形如(8)的周期波解。特别地，令模数，就可以得到相应的孤立波解。

3. 分数阶广义KDV方程

考虑如下分数阶广义KDV方程：

(13)

对(13)式作复变换：

(14)

经过整理变形，方程(14)化为

(15)

假设。对方程(15)积分，并忽略积分常数，得到关于的二阶常微分方程

(16)

平衡式(16)中的最高阶导数项和非线性项得到

(17)

所以

(18)

情况3.1 当时，方程(16)化为

(19)

令，代入到(19)中得到

(20)

假设式(20)具有如下形式解

(21)

平衡式(20)中最高阶导数项和非线性项得到K = 1，将(21)代入式(20)，其中

(22)

合并C相同幂次，并令每一项系数为零，得到一组关于的方程组

(23)

借助Wu消元法求解方程组得到

(24)

其中

(25)

(26)

于是

(27)

特别的，当时

(28)

其中，的值由上给出，因此得到广义KDV方程精确解如下：

(29)

(30)

情况3.2当时，方程(16)化为

(31)

令，代入到(31)得到

(32)

假设式(31)具有如下形式解

(33)

平衡式(32)中最高阶导数项和非线性项得到K=1，将(33)代入式(32)，合并C的相同幂次，并令每一项系数为零，得到一组关于的方程组

(34)

借助Wu消元法求解方程组得到

(35)

于是

(36)

特别的，当时

(37)

其中，的值由上给出.因此得到广义KDV方程精确解如下：

(38)

(39)

4. 结语

将分数阶复变换方法和Cn函数展开法相结合，得到了求解分数阶非线性方程的精确解的一种新方法。本文求解了广义KDV方程，得到了此方程的新的精确解。当分数阶导数时，所得到的精确解就是通常的行波解。

基金项目

四川省杰出青年基金(2014JQ0039)，国家自然科学基金(11501395)。

文章引用

王小娇,周贤林,韦方棋. 分数阶广义KDV方程的精确解
Travelling Wave Solution of the Generalized KDV Equation[J]. 理论数学, 2017, 07(05): 378-385. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.75049

参考文献 (References)