n-强-F-Ding投射模 n-Strongly-F-Ding Projective Modules

doi:10.12677/PM.2021.118166

Pure Mathematics
Vol. 11 No. 08 ( 2021 ), Article ID: 44497 , 6 pages
10.12677/PM.2021.118166

n-强-F-Ding投射模

钟魁晨

●How to Cite this Article

西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州

收稿日期：2021年6月30日；录用日期：2021年8月4日；发布日期：2021年8月11日

摘要

引入n-强-F-Ding投射模，给出n-强-F-Ding投射模的等价刻画和基本性质，证明了一个模M是n-强-F-Ding投射模当且仅当M同构于某个n-强-F-Ding投射模与投射模的直和。

关键词

Ding投射模，n-强Ding投射模，n-强-F-Ding投射模

n-Strongly-F-Ding Projective Modules

Kuichen Zhong

College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu

Received: Jun. 30^th, 2021; accepted: Aug. 4^th, 2021; published: Aug. 11^th, 2021

ABSTRACT

In this paper, we introduce n-Strongly-F-Ding projective module, give its equivalent characterization and basic properties, and prove that a module is n-Strongly-F-Ding projective module if and only if it is isomorphic to a direct sum of a n-Strongly-F-Ding projective module and a projective module.

Keywords:Ding Projective Module, n-Strongly-F-Ding Projective Module, n-Strongly-F-Ding Projective Module

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

1995年，在文献 [1] 中，Enochs等人在任意结合环上引入了Gorenstein投射(内射，平坦)模的定义，推广了G-维数为0的有限生成模。2007年，Bennis和Mahdou在文献 [2] 中，引入了特殊的Gorenstein模，即强Gorenstein投射(内射，平坦)模的概念，给出强Gorenstein投射模的等价刻画，并且证明了一个模M是Gorenstein投射模当且仅当它是某个强Gorenstein投射模的直和项。在文献 [3] 中，Zhao和Huang引入n-强Gorenstein投射(内射，平坦)模的概念，研究这类模的性质。

2009年，在文献 [4] 中，Mao和Li等定义了强Gorenstein平坦模，即Ding投射模。证明了在凝聚环下，Ding投射模是Gorenstein平坦模。同年在文献 [5] 中，Xing定义了n-强Ding投射模的概念，证明了在交换环的情况下，一个模M是n-强Ding投射模，那么模M与投射模的张量是n-强Ding投射模。

2011年，在文献 [6] 中，作者引入了X-Gorenstein投射和Y-Gorenstein内射(平坦)模及它们的维数，研究了这类模的性质，给出了X-Gorenstein投射和Y-Gorenstein内射(平坦)维数的等价条件。

受以上启发，本文引入n-强-F-Ding投射模，研究它的性质，并给出它的等价条件。

本文中的环R均指有单位元的结合环，模指左R-模。Proj，Flat分别表示投射模类，平坦模类。

2. 预备知识

定义1.1 [1] 称R-模M是Gorenstein投射模，如果存在投射模的正合序列

$\dots \overset{f_{- 1}}{\to} P_{- 1} \overset{f_{0}}{\to} P_{0} \overset{f_{1}}{\to} P_{1} \overset{f_{2}}{\to} \dots$ ，

其中 $\forall P_{i} \in Proj$ ，使得 $M ≅ Ker (P_{1} \to P_{0})$ ，且对 $\forall P \in Proj$ ， ${Hom}_{R} (-, P)$ 保持以上序列正合。记M为GP模。所有GP模的类记为 $GP (R)$ 。

定义1.2 [4] 称R-模M是Ding投射模，如果存在投射模的正合序列

$\dots \overset{f_{- 1}}{\to} P_{- 1} \overset{f_{0}}{\to} P_{0} \overset{f_{1}}{\to} P_{1} \overset{f_{2}}{\to} \dots$ ，

其中 $\forall P_{i} \in Proj$ ，使得 $M ≅ Ker (P_{1} \to P_{0})$ ，且对 $\forall L \in Flat$ ， ${Hom}_{R} (-, L)$ 保持以上序列正合。记M为Ding投射模。所有Ding投射模的类记为 $DP (R)$ 。

定义1.3 [6] 设n是正整数。称R-模M是n-强Ding投射模，如果存在R-模的正合序列

$0 \overset{}{\to} M \overset{f_{n}}{\to} P_{n - 1} \overset{f_{n - 1}}{\to} \dots \overset{f_{1}}{\to} P_{0} \overset{f_{0}}{\to} M \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall P_{i} \in Proj$ ，且对 $\forall L \in Flat$ ， ${Hom}_{R} (-,L)$ 保持以上序列正合。记M为 $n -SDP$ 模。所有 $n -SDP$ 模的类记为 $n -SDP (R)$ 。

注： $P (R) \subseteq n -SDP (R) \subseteq DP (R) \subseteq GP (R)$ 。

3. 主要结果

定义2.1 设n是正整数，F是包含所有平坦模的类，称R-模M是n-强-F-Ding投射模，如果存在R-模的正合序列

$0 \overset{}{\to} M \overset{f_{n}}{\to} P_{n - 1} \overset{f_{n - 1}}{\to} \dots \overset{f_{1}}{\to} P_{0} \overset{f_{0}}{\to} M \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall P \in Proj$ ，且对 $\forall F \in F$ ， ${Hom}_{R} (-, F)$ 保持以上序列正合。记M为 $n - S - F - D P$ 模。所有 $n - S - F - D P$ 模的类记为 $n - S - F - D P (R)$ 。

注1： $Proj \subseteq n - S - F - D P (R) \subseteq n -SDP (R)$ 。

命题2.2 设 ${M_{j}}_{j \in I}$ 是一簇 $n - S - F - D P$ 模，那么 $\oplus_{j \in I} M_{j \in I}$ 是 $n - S - F - D P$ 模。

证通过定义对 $\forall j \in I$ 有正合列

$0 \overset{}{\to} M_{j} \overset{}{\to} P_{n - 1}^{j} \overset{}{\to} \dots \overset{}{\to} P_{0}^{j} \overset{}{\to} M_{j} \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall P_{i}^{j} \in Proj$ ，对 $\forall F \in F$ ， $Hom (-, F)$ 作用下依旧正合。所以有正合列

$0 \overset{}{\to} \oplus_{j \in I} M_{j} \overset{}{\to} \oplus_{j \in I} P_{n - 1}^{j} \overset{}{\to} \dots \overset{}{\to} \oplus_{j \in I} P_{0}^{j} \overset{}{\to} \oplus_{j \in I} M_{j} \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall \oplus_{j \in I} P_{i}^{j} \in Proj$ ，对 $\forall F \in F$ ， $Hom (-, F)$ 作用下依旧正合。通过定义知 $\oplus_{j \in I} M_{j}$ 是 $n - S - F - D P$ 模。

引理2.3 如果存在正合列

$0 \overset{}{\to} M \overset{h_{n}}{\to} P_{n - 1} \overset{h_{n - 1}}{\to} \dots \overset{h_{1}}{\to} P_{0} \overset{h_{\ 0}}{\to} M \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall P_{i} \in Proj$ 且 $M \in n - S - F - D P (R)$ ，那么 $\forall Im h_{i} \in n - S - F - D P (R)$ 。

对照文献 [7] 的定义我们可以定义R-模M的F-投射维数 $F - p d (M) = \inf {n | 存在 F - 分解 0 \overset{}{\to} F_{n} \overset{}{\to} \dots \overset{}{\to} F_{0} \overset{}{\to} M \overset{}{\to} 0 ，其中 \forall F_{i} \in F}$ 。当n不存在时记 $F - \dim = \infty$ ，下面给出n-强F-Ding投射模的等价刻画：

命题2.4 n是正整数，设M是R-模，则以下等价：

1) $M \in n - S - F - D P (R)$ 。

2) 存在R-模的短正合列

$0 \overset{}{\to} M \overset{f_{n}}{\to} P_{n - 1} \overset{f_{n - 1}}{\to} \dots \overset{f_{1}}{\to} P_{0} \overset{f_{\ 0}}{\to} M \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall P_{i} \in Proj$ ，且对 $\forall F - p d (H) < \infty$ ， $E x t_{R}^{i > 0} (M, H) = 0$ 。

3) 存在R-模的短正合列

$0 \overset{}{\to} M \overset{f_{n}}{\to} P_{n - 1} \overset{f_{n - 1}}{\to} \dots \overset{f_{1}}{\to} P_{0} \overset{f_{0}}{\to} M \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall P_{i} \in Proj$ ，且对 $\forall F \in F$ ， $E x t_{R}^{i > 0} (M, F) = 0$ 。

证 $(1) \Leftrightarrow (3)$ ， $(2) \Rightarrow (3)$ 显然。现在证 $(3) \Rightarrow (2)$ 。

假设 $\forall F - p d (H) = m < \infty$ 。则有正合列

$0 \overset{}{\to} F_{m} \overset{}{\to} F_{m - 1} \overset{}{\to} \dots \overset{}{\to} F_{0} \overset{}{\to} H \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall F_{i} \in F$ 。取 $k_{i} = K e r (F_{i} \to F_{i - 1})$ ， $i = 0, 1, \dots, m - 3, m - 2$ ，其中 $F_{- 1} = H$ 则有短正合列

$0 \to k_{0} \to F_{0} \to H \to 0$ ， ${(1)}^{0}$

$0 \to k_{1} \to F_{1} \to k_{0} \to 0$ ， ${(2)}^{0}$

$\dots$

$0 \to k_{m - 2} \to F_{m - 2} \to k_{m - 3} \to 0$ ， ${(m - 1)}^{0}$

$0 \to F_{m} \to F_{m - 1} \to k_{m - 2} \to 0$ ， ${(m)}^{0}$

对短正合列 ${(1)}^{0}, {(2)}^{0}, \dots, {(m - 1)}^{0}, {(m)}^{0}$ 用 ${Hom}_{R} (M, -)$ 作用并由长正合列定理及维数转移可得

$E x t_{R}^{m + j} (M, F_{m}) ≅ E x t_{R}^{j} (M, H) = 0$ ，

故 $E x t_{R}^{i > 0} (M, H) = 0$ 。

我们回顾一下投射可解的定义，称R-模类X是投射可解的，那么对于R-模的短正合列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ ，若 $C \in X$ ，则 $B \in X$ 当且仅当 $C \in X$ 。而我们知道n-强Gorenstein模类通常情况下并不投射可解。那么我们思考当在什么情况下有相似于投射可解的结论呢？于是我们有如下结果：

命题2.5 设 $0 \to N \to M \to P \to 0$ ，是R-模的短正合列，其中P是投射模，则 $N \in n - S - F - D P (R)$ 当且仅当 $M \in n - S - F - D P (R)$ 。

证 $\Rightarrow)$ 因为 $N \in n - S - F - D P (R)$ ，则通过定义存在R-模的正合列

$0 \overset{}{\to} N \overset{}{\to} P_{n - 1} \overset{}{\to} \dots \overset{}{\to} P_{0} \overset{}{\to} N \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall P_{i} \in Proj$ ，且对 $\forall F \in F$ ， $Hom (-, F)$ 作用下依旧正合。那么有R-模的正合列

$0 \overset{}{\to} N \oplus P \overset{}{\to} P_{n - 1} \oplus P \overset{}{\to} \dots \overset{}{\to} P_{0} \oplus P \overset{}{\to} N \oplus P \overset{}{\to} 0$ ，

通过定义知 $N \in n - S - F - D P (R)$ 。

$\Leftarrow)$ 由于 $M \in n - S - F - D P (R)$ ，且 $M ≅ N \oplus P$ ，则通过定义知存在R-模的正合列

$0 \overset{}{\to} N \oplus P \overset{f_{n}}{\to} P_{n - 1} \overset{f_{n - 1}}{\to} \dots \overset{f_{1}}{\to} P_{0} \overset{f_{0}}{\to} N \oplus P \overset{}{\to} 0$ ，

取 $M_{1} = K e r f_{0}$ ， $M_{n - 1} = c o K e r f_{n}$ ，由引理2.4 $M_{0}, M_{n - 2} \in n - S - F - D P (R) \subseteq D P (R)$ 。

由推出图

考虑短正合列

$0 \overset{}{\to} N \overset{}{\to} Q_{n} \overset{}{\to} M_{n - 1} \overset{}{\to} 0$ ，

用 $Hom (-, P)$ 作用并由长正合列定理以及维数转移可得

$E x t_{R}^{1} (Q_{n}, P) ≅ E x t_{R}^{1} (N, P)$

因为 $M ≅ N \oplus P \in n - S - F - D P (R) \subseteq n - S D P (R) \subseteq D P (R) \subseteq G P (R)$ ，则

$E x t_{R}^{1} (N \oplus P, P) = E x t_{R}^{1} (N, P) \oplus E x t_{R}^{1} (P, P) = 0$

所以 $E x t_{R}^{1} (Q_{n}, P) = 0$ 。即中间行的正合列可裂，可得 $Q_{n} \in Proj$ ，且有短正合列

$0 \overset{}{\to} N \overset{}{\to} Q_{n} \overset{}{\to} M_{n - 1} \overset{}{\to} 0$

对 $\forall F \in F$ ， $Hom (-, F)$ 作用下依旧正合。

由拉回图

考虑到短正合列 $0 \overset{}{\to} Q_{1} \overset{}{\to} P_{0} \overset{}{\to} P \overset{}{\to} 0$ 可裂，可得 $Q_{1} \in Proj$ 。且有短正合列

$0 \overset{}{\to} M_{1} \overset{}{\to} Q_{1} \overset{}{\to} N \overset{}{\to} 0$ ，

对 $\forall F \in F$ ， $Hom (-, F)$ 作用下依旧正合。从而有正合列

$0 \overset{}{\to} N \overset{}{\to} Q_{n - 1} \overset{}{\to} P_{n - 2} \overset{}{\to} \dots \overset{}{\to} P_{0} \overset{}{\to} Q_{1} \overset{}{\to} N \overset{}{\to} 0$ ，

对 $\forall F \in F$ ， $Hom (-, F)$ 作用下依旧正合。

命题2.6 设 $0 \overset{}{\to} N \overset{}{\to} P \overset{}{\to} M \overset{}{\to} 0$ ， $P \in Proj$ 是R-模的短正合列。若 $M \in n - S - F - D P (R)$ ，则 $N \in n - S - F - D P (R)$ 。

证由于 $M \in n - S - F - D P (R)$ ，则存在R-模的正合列

$0 \overset{}{\to} M \overset{g_{n}}{\to} P_{n - 1} \overset{g_{n - 1}}{\to} \dots \overset{g_{1}}{\to} P_{0} \overset{g_{0}}{\to} M \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall P_{i} \in Proj$ ，取 $M_{1} = K e r g_{0}$ ，由引理2.3知 $M_{1} \in n - S - F - D P (R)$ 。

考虑拉回图

因为短正合列 $0 \overset{}{\to} M_{1} \overset{}{\to} X \overset{}{\to} P \overset{}{\to} 0$ 可裂，所以 $X ≅ M_{1} \oplus P \in n - S - F - D P (R)$ ，由命题2.4知 $N \in n - S - F - D P (R)$ 。

推论2.7 设 $0 \to N \to P \to M \to 0$ ，是R-模的短正合列，其中 $P \in Proj$ ，则 $N \in n - S - F - D P (R)$ 当且仅当 $M \in n - S - F - D P (R)$ 。

命题2.8 设R是交换环， $Q \in Proj$ 。若 $M \in n - S - F - D P (R)$ ，则 $M \otimes_{R} Q \in n - S - F - D P (R)$ 。

证因为 $M \in n - S - F - D P (R)$ ，则存在R-模的正合列

$0 \overset{}{\to} M \overset{}{\to} P_{n - 1} \overset{}{\to} \dots \overset{}{\to} P_{0} \overset{}{\to} M \overset{}{\to} 0$ ，

其中 $\forall P_{i} \in Proj$ ，那么

$0 \overset{}{\to} M \otimes_{R} Q \overset{}{\to} P_{n - 1} \otimes_{R} Q \overset{}{\to} \dots \overset{}{\to} P_{0} \otimes_{R} Q \overset{}{\to} M \otimes_{R} Q \overset{}{\to} 0$ ，

因为R是交换环，所以 $\forall P_{i} \otimes_{R} Q \in Proj$ ，由于

$E x t_{R}^{i} (M \otimes Q, F) ≅ H o m_{R} (Q, E x t_{R}^{i} (M, F)) = 0$ ，

通过命题2.3知 $M \otimes_{R} Q \in n - S - F - D P (R)$ 。

文章引用

钟魁晨. n-强-F-Ding投射模
n-Strongly-F-Ding Projective Modules[J]. 理论数学, 2021, 11(08): 1482-1487. https://doi.org/10.12677/PM.2021.118166

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