ABSTRACT

In this paper, we consider a least square estimator ${\hat{\theta }}_T$ for the Ornstein-Uhlenbeck processes driven by fractional Brownian motion (fBm) with Hurst index $H\ge 1/2$ and exponential diffusion term. $d{X}_t=-\theta X_{t}dt+\sigma e^{ct}d{B}_t^H$ , we prove the strong consistent of ${\hat{\theta }}_T$ , and also obtain the asymptotic distribution of ${\hat{\theta }}_T-\theta$ when $1/2\le H\le 5/8$ , applying a central limit theorem for multiple Wiener integrals. This least square estimator can be used to study other estimators such as ${\tilde{\theta }}_T$ obtained by a function of ${\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{2}dt}$ .

Keywords:Parameter Estimation, Fractional Brownian Motion

带有指数型扩散项Ornstein-Uhlenback过程的参数估计

朱建慧，闫理坦

东华大学数学系，上海

收稿日期：2019年11月14日；录用日期：2019年11月27日；发布日期：2019年12月4日

摘 要

在本文中，我们研究带有指数型扩散项分数布朗运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的最小二乘估计 ${\hat{\theta }}_T$，其中Hurst指数 $H\ge 1/2$。$d{X}_t=-\theta X_{t}dt+\sigma e^{ct}d{B}_t^H$，我们讨论 ${\hat{\theta }}_T$ 满足相合性以及当 $1/2\le H\le 5/8$ 时应用多重维纳积分的中心极限定理得到 ${\hat{\theta }}_T-\theta$ 的渐进分布。这个最小二乘估计同时可以推导出其它类型的估计量，例如 ${\tilde{\theta }}_T$ 可由函数 ${\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^{2}dt}$ 进行表示。

关键词 :参数估计，分数布朗运动

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

由某种噪声 $Z_t$ (Levy过程)驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程可以看成郎之万微分方程的解

$\text{d}{X}_t=-\theta X_t\text{d}t+\sigma \text{d}{Z}_t$ (1)

如果该微分方程(1)由分数布朗运动驱动，存在唯一解

$X_t=X_0+\sigma {\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-\theta \left(t-s\right)}\text{d}{B}_s^H}$ (2)

这里的随机积分是Itô型积分或者是轨道型Riemann-Stieltjies积分。一个重要的问题是在过程 $\left\{X_t,t\in \left[0,T\right]\right\}$ 被观测下，对参数 $\theta$ 的估计一般会使用极大似然法或者是最小二乘法。在2010年，Yaozhong Hu和David Nualart [1] 对于分数布朗运动在 $H\ge 1/2$ 时，讨论了上述参数估计的问题。在2019年Yaozhong Hu、David Nualart和Hongjuan Zhou [2] 完成了在Hurst指数一般意义下各种情况的讨论。Kleptsyna和Le Breton [3] 用极大似然法得到估计量。

本文用最小二乘法研究如下方程中 $\theta$ 的参数估计 $c\ge 0$

$\text{d}{X}_t=-\theta X_t\text{d}t+\sigma {\text{e}}^{-ct}\text{d}{Z}_t$ (3)

可以看出当 $c=0$ 时，方程(1)与方程(3)相同，并且存在唯一解

$X_t=X_0+\sigma {\text{e}}^{-\theta t}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(\theta +c\right)s}\text{d}{B}_s^H}$ (4)

最小二乘估计的目的是使得目标函数到达最小，受到下面二次函数的启发

${\displaystyle {\int }_0^T{\left|{\stackrel{\dot{}}{X}}_t+\theta X_t\right|}^2\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^T{\stackrel{\dot{}}{X}}_t^2\text{d}t}+2\theta {\displaystyle {\int }_0^T{X}_t\text{d}{X}_t}+{\theta }^2{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}$

虽然公式 ${\displaystyle {\int }_0^T{\stackrel{\dot{}}{X}}_t^2\text{d}t}$ 不存在，然而当 $\theta =-\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t\text{d}{X}_t}}{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}}$ 时，二次函数可以达到最小。通过这样一个简单的讨论，我们初步得到了估计量的形式，把微分方程(3)代入计算得到

${\hat{\theta }}_T=\theta -\sigma \frac{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t{\text{e}}^{ct}\text{d}{B}_t^H}}{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}}$ (5)

如果我们把上述随机积分 ${\displaystyle {\int }_0^T{X}_t\text{d}{X}_t}$ 看作Riemann-Stieltjies积分，则 ${\hat{\theta }}_T=-\frac{X_T^2}{2{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}}$。这个估计量在后面的证明中知道不满足相合性。基于这个原因，在(5)中的随机积分 ${\displaystyle {\int }_0^T{X}_t{\text{e}}^{ct}\text{d}{B}_t^H}$ 理解为散度型积分或者Itô-Skorohod积分。这样当T趋于无穷时， ${\hat{\theta }}_T$ 几乎必然收敛于 $\theta$。其次证明，在 $1/2\le H\le 5/8$ 情况下得到 ${\hat{\theta }}_T-\theta$ 的渐进分布。另一个推导的估计量 ${\tilde{\theta }}_T$ 的相合性由下面的引理3.3收敛得到

$\frac{2c}{{\text{e}}^{2cT}}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}\to {\sigma }^2{\left(\theta +c\right)}^{-2H}H\Gamma \left(2H\right)a.s.$ (6)

所以 ${\tilde{\theta }}_T$ 的表达式为

${\tilde{\theta }}_T={\left(\frac{2c}{{\sigma }^2{\text{e}}^{2cT}H\Gamma \left(2H\right)}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}\right)}^{-\frac{1}{2H}}-c$ (7)

最后证明 ${\tilde{\theta }}_T-\theta$ 的渐进分布。从方差角度来看 $\theta +c<2H\theta$ 时， ${\tilde{\theta }}_T$ 比 ${\hat{\theta }}_T$ 好。

2. 预备知识

首先引进一些针对分数布朗运动涉及到的Malliavin分析 [4] 做阐述。分数布朗运动 $B_t^H$ 定义在完备概率空间 $\left(\Omega ,{\mathcal{F}}^H,P\right)$ 上，它的协方差函数为

$E\left(B_s^H{B}_t^H\right)=R_H\left(s,t\right)=\frac{1}{2}\left({\left|s\right|}^{2H}+{\left|t\right|}^{2H}-{\left|s-t\right|}^{2H}\right)$ (8)

定义在 $\left[0,T\right]$ 上的实值阶梯函数集合为 $\mathcal{E}$，并且在给定内积 ${\langle 1_{\left[0,s\right]},1_{\left[0,t\right]}\rangle }_{\mathcal{H}}=R_H\left(s,t\right)$ 下的闭包为希尔伯特空间 $\mathcal{H}$。这样线性对偶映射 $1_{\left[0,t\right]}\to B_t^H$ 可以拓展到 $\phi \to B^H\left(\phi \right)$。当 $H=1/2$ 时， $\mathcal{H}=L^2\left(\left[0,T\right]\right)$ ；当 $H\ge 1/2$ 时， $\mathcal{H}\supset L^{\frac{1}{H}}\left(\left[0,T\right]\right)$。任意 $\phi ,\psi \in L^{\frac{1}{H}}\left(\left[0,T\right]\right)$，${\alpha }_H=H\left(2H-1\right)$，有

${\langle \phi ,\psi \rangle }_{\mathcal{H}}={\alpha }_H{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^T{\phi }_s{\psi }_t{\left|t-s\right|}^{2H-2}\text{d}s\text{d}t}}$ (9)

公式(9)是公式(8)的推广形式，之后的所有内积都可以理解为公式(9)。令S是光滑圆柱随机变量 $F=f\left(B^H\left({\phi }_1\right),\cdots ,B^H\left({\phi }_n\right)\right)$，$f\in C_b^{\infty }\left({\mathcal{R}}^n\right)$ 构成的空间。对于随机变量F，定义它的Malliavin导数是 $\mathcal{H}$ -值随机变量

$DF=\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(B^H\left({\phi }_1\right),\cdots ,B^H\left({\phi }_n\right)\right){\phi }_i$ (10)

通过迭代，m重导数 $D^{m}F$ 是空间 $L^2\left(\Omega ,{\mathcal{H}}^{\otimes m}\right)$ 中的元素。 ${\mathbb{D}}^{m,2}$ 是S在范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{m,2}$ 下的闭包。

${\Vert F\Vert }_{m,2}^2=E\left[{\left|F\right|}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}E\left({\Vert D^{i}F\Vert }_{{\mathcal{H}}^{\otimes i}}^2\right)$

Malliavin导数D的伴随算子 $\delta$ 称为散度算子。随机变量 $u\in L^2\left(\Omega ,\mathcal{H}\right)$ 属于散度算子定义域 $Dom\left(\delta \right)$ 当且仅当任意 $F\in {\mathbb{D}}^{1,2}$ 时， $\left|E{\langle DF,u\rangle }_{\mathcal{H}}\right|\le c_u{\Vert F\Vert }_{L^2}$。如果 $u\in L^2\left(\Omega ,\mathcal{H}\right)$，随机变量 $\delta \left(u\right)$ 是由对偶关系得到，任意 $F\in {\mathbb{D}}^{1,2}$，有 $E\left(F\delta \left(u\right)\right)=E{\langle DF,u\rangle }_{\mathcal{H}}$。

在估计量的渐进分布计算时用到多重维纳随机积分的中心极限定理 [5] [6]。

引理 2.1：在p重维纳噪声中的随机序列 $F_n,n\ge 1$ 满足 ${\lim }_{n\to \infty }E\left(F_n^2\right)={\sigma }^2$，则以下两个条件等价：

1) $F_n$ 依分布收敛于 $N\left(0,{\sigma }^2\right)$

2) ${\Vert D{F}_n\Vert }_{\mathcal{H}}^2$ 是 $L^2$ 收敛于常数。

3. 估计量 ${\hat{\theta }}_T$ 的相合性与渐进性

3.1. 相合性

微分方程唯一解 $X_t$ 与估计量 ${\hat{\theta }}_T$ 密切联系，它的Malliavin导数 $D_s{X}_t$ 可以由定义(11)计算得到。现在引理3.1提供了估计量 ${\hat{\theta }}_T$ 另一种表现方式。

引理3.1：假设 $H\ge 1/2$，则

${\hat{\theta }}_T=-\frac{X_T^2}{2{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}}+\frac{{\sigma }^2{\alpha }_H{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{2ct}{\xi }^{2H-2}{\text{e}}^{-\left(\theta +c\right)\xi }\text{d}\xi \text{d}t}}}{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}}$ (11)

证明：利用散度积分和Riemann-Stieltjies积分之间的联系，计算得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t{\text{e}}^{ct}\circ \text{d}{B}_t^H}={\displaystyle {\int }_0^T{X}_t{\text{e}}^{ct}\text{d}{B}_t^H}+{\alpha }_H{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t{D}_s\left(X_t{e}^{ct}\right){\left(t-s\right)}^{2H-2}\text{d}s\text{d}t}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{X}_t{\text{e}}^{ct}\text{d}{B}_t^H}+{\alpha }_H\sigma {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(c-\theta \right)t+\left(\theta +c\right)s}{\left(t-s\right)}^{2H-2}\text{d}s\text{d}t}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{X}_t{\text{e}}^{ct}\text{d}{B}_t^H}+{\alpha }_H\sigma {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{2ct}{\xi }^{2H-2}{\text{e}}^{-\left(\theta +c\right)\xi }\text{d}\xi \text{d}t}}\end{array}$ (12)

另一方面，把微分方程(3)代入Riemann-Stieltjies积分，计算得到

$\sigma {\displaystyle {\int }_0^T{X}_t{\text{e}}^{ct}\circ \text{d}{B}_t^H}={\displaystyle {\int }_0^T{X}_t\circ \text{d}{B}_t^H}+\theta {\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}=\frac{1}{2}{X}_T^2+\theta {\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}$ (13)

结合(12)和(13)代入公式(5)即可得到结论。

下面将叙述四个引理，并得到相合性定理。

引理3.2：假设 $H\ge 1/2$，则

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\left(u+s\right)}{\left|u-s\right|}^{2H-2}\text{d}s\text{d}u}}=\Gamma \left(2H-1\right)$ (14)

证明：通过变量替换 $u-s=x$，

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\left(u+s\right)}{\left|u-s\right|}^{2H-2}\text{d}s\text{d}u}}=2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^u{\text{e}}^{-\left(u+s\right)}{\left(u-s\right)}^{2H-2}\text{d}s\text{d}u}}\\ =2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^u{\text{e}}^{-2u+x}{x}^{2H-2}\text{d}x\text{d}u}}\\ =2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{\text{e}}^{-2u+x}{x}^{2H-2}\text{d}u\text{d}x}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-x}{x}^{2H-2}\text{d}x}\end{array}$

Gamma函数计算完毕，在之后的运算中会多次用到，有关计算将省略。

引理3.3：假设 $H\ge 1/2$，则当T趋于无穷时

$\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{\sigma }^2{\text{e}}^{-2\theta t}{\left({\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\theta s}\text{d}{B}_s^H}\right)}^2\text{d}t}\to {\sigma }^2{\theta }^{-2H}H\Gamma \left(2H\right)a.s.$

和

$\frac{2c}{{\text{e}}^{2cT}}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}\to {\sigma }^2{\left(\theta +c\right)}^{-2H}H\Gamma \left(2H\right)a.s.$

证明：现在考虑随机过程 $\left\{Y_t,t\ge 0\right\}$

$Y_t=\sigma {\text{e}}^{-\theta t}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^t{\text{e}}^{\theta s}\text{d}{B}_s^H}$ (15)

该过程是高斯平稳遍历过程。根据遍历性定理 [7]

$\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{Y}_t^2\text{d}t}\to E\left(Y_0^2\right)$

这里我们知道当 $H=1/2$ 时， $E\left(Y_0^2\right)={\sigma }^2/2\theta$ ；当 $H>1/2$ 时，用分数布朗运动的内积公式

$E\left(Y_0^2\right)={\alpha }_H{\sigma }^2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\left(u+s\right)}{\left|u-s\right|}^{2H-2}\text{d}s\text{d}u}}$

把公式(15)与公式(2) (4)对比发现只有较少的区别，这样暗示了该引理的结论。

引理3.4 [7]：如果随机过程 $\left(Y_t,t\ge 0\right)$ 满足： $E\left(Y_0\right)=0$，$E\left(Y_s{Y}_t\right)=r\left(t\right)=1-C{\left|t\right|}^{\alpha }+o\left(t^{\alpha }\right),\alpha >0$ 和 ${\text{sup}}_{0\le t\le 1}{\left|t\right|}^{-\alpha }\left(1-r^2\left(t\right)\right)>0$，则

$P\left\{\underset{t\to \infty }{\lim \sup }{\left(2\log t\right)}^{1/2}\left(Y_t-{\left(2\log t\right)}^{1/2}\right)/\log \log t\le \frac{1}{2}+\frac{1}{\alpha }\right\}=1$

引理3.5 [1]：假设 $H\ge 1/2$，随机过程 $Y_t$ 为公式(17)，当T趋于无穷，任意 a>0

$\frac{Y_T}{T^{\alpha }}\to 0a.s.$

则

$\frac{X_T}{{\text{e}}^{cT}{T}^{\alpha }}\to 0a.s.$

定理3.1：假设 $H\ge 1/2$，则当T趋于无穷时

${\hat{\theta }}_T\to \theta a.s.$

证明：从引理3.3知道

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{X_T^2}{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}}=2c$

引理3.1中看出只要计算 ${\hat{\theta }}_T$ 的第二部分收敛

$\begin{array}{c}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{2ct}{\xi }^{2H-2}{\text{e}}^{-\left(\theta +c\right)\xi }\text{d}\xi \text{d}t}}}{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\xi }^{2H-2}{\text{e}}^{-\theta \xi }\text{d}\xi }}{2c{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}/{\text{e}}^{2cT}}\\ =\frac{{\left(\theta +c\right)}^{1-2H}\Gamma \left(2H-1\right)}{{\sigma }^2{\left(\theta +c\right)}^{-2H}H\Gamma \left(2H\right)}\\ =\frac{\theta +c}{{\sigma }^2{\alpha }_H}\end{array}$

定理证毕。

3.2. 渐进性

引理3.6 [1]：下面两个无穷积分存在：

$C_{\theta ,H}={\displaystyle {\int }_{{\left[0,\infty \right)}^3}{\text{e}}^{-\theta x_1-\theta \left|x_2-x_3\right|}{x}_3^{2H-2}{\left|x_1-x_2\right|}^{2H-2}\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\text{d}{x}_3}$ (16)

和

$C_{\theta ,H,c}={\displaystyle {\int }_{{\left[0,\infty \right)}^3}{\text{e}}^{-\theta x_1-\theta \left|x_2-x_3\right|}{\text{e}}^{-c\left(x_1+x_2+x_3\right)}{x}_3^{2H-2}{\left|x_1-x_2\right|}^{2H-2}\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\text{d}{x}_3},c>0$ (17)

证明：可以看出 $0<C_{\theta ,H,c}<C_{\theta ,H}$，若公式(16)存在，则公式(17)也存在。

$C_{\theta ,H}={\theta }^{1-4H}{\displaystyle {\int }_{{\left[0,\infty \right)}^3}{\text{e}}^{-x-\left|y-z\right|}{z}^{2H-2}{\left|x-y\right|}^{2H-2}\text{d}x\text{d}y\text{d}z}={\theta }^{1-4H}{d}_H$

变量替换 $w=y-x$

$\begin{array}{c}{d}_H={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_{-x}^{\infty }{\text{e}}^{-x-\left|x+w-z\right|}{z}^{2H-2}{\left|w\right|}^{2H-2}\text{d}w\text{d}x\text{d}z}}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_{z-x}^{\infty }{\text{e}}^{-\left(2x+w-z\right)}{z}^{2H-2}{\left|w\right|}^{2H-2}\text{d}w\text{d}x\text{d}z}}}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_{-x}^{z-x}{\text{e}}^{-\left(z-w\right)}{z}^{2H-2}{\left|w\right|}^{2H-2}\text{d}w\text{d}x\text{d}z}}}\\ =f_H+\left(2H-1/2\right)\Gamma {\left(2H-1\right)}^2\end{array}$

变量替换 $z-w=x$，把等式 ${\left(w+x\right)}^{2H-2}\Gamma \left(2-2H\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\xi \left(w+x\right)}{\xi }^{1-2H}\text{d}\xi }$ 代入 $f_H$

$\begin{array}{c}{f}_H={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^z\left(1+z-w\right){\text{e}}^{-\left(z-w\right)}{z}^{2H-2}{w}^{2H-2}\text{d}w\text{d}z}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(1+x\right){\text{e}}^{-x}{\left(w+x\right)}^{2H-2}{w}^{2H-2}\text{d}w\text{d}x}}\\ =\frac{1}{\Gamma \left(2-2H\right)}{\displaystyle {\int }_{\left[0,\infty \right)}\left(1+x\right){\text{e}}^{-x-\xi \left(w+x\right)}{w}^{2H-2}{\xi }^{1-2H}\text{d}\xi \text{d}w\text{d}x}\\ =\left(4H-1\right)\frac{\Gamma \left(2H-1\right)\Gamma \left(3-4H\right)\Gamma \left(4H-2\right)}{\Gamma \left(2-2H\right)}\end{array}$

引理3.7 [1]：假设 $X_t$ 为公式(4)，则有

$E\left[{\displaystyle {\int }_s^T{\text{e}}^{-\left(\theta -c\right)\xi }\text{d}{B}_{\xi }^H}{\displaystyle {\int }_t^T{\text{e}}^{-\left(\theta -c\right)\eta }\text{d}{B}_{\eta }^H}\right]\le {\text{e}}^{\left(\theta -c\right)\left(s+t\right)}{C}_{\theta -c,H}{\left|t-s\right|}^{2H-2}$ (18)

和

$E\left[X_s{X}_t\right]\le {\sigma }^2{\text{e}}^{c\left(s+t\right)}{C}_{\theta +c}{\left|t-s\right|}^{2H-2}$ (19)

定理3.2：假设 $1/2\le H<5/8$，则 ${\hat{\theta }}_T-\theta \stackrel{\mathcal{L}}{\to }N\left(0,J_{\theta ,c}\right)$。

证明：只需要证明满足引理3.1的条件即可。由于引理3.6只给出 $C_{\theta ,H,c}$ 存在，未能给出 $J_{\theta ,c}$ 具体数值，但可以通过 $C_{\theta ,H}$ 判断大致取值范围。

$\begin{array}{c}{\hat{\theta }}_T-\theta =-\sigma \frac{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t{\text{e}}^{ct}\text{d}{B}_t^H}}{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}}\\ =-{\sigma }^2\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-\theta \left(t-s\right)}{\text{e}}^{t+s}\text{d}{B}_t^H}}}{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}}\\ =-\frac{F_T}{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}/{\text{e}}^{2cT}}\end{array}$

$F_T$ 是二重随机积分

$F_T=\frac{{\sigma }^2}{2{\text{e}}^{2cT}}{I}_2\left({\text{e}}^{-\theta \left(t-s\right)}{\text{e}}^{t+s}\right)$

下面证明当T趋于无穷时， $E\left(F_T^2\right)$ 收敛于常数以及 ${\Vert D{F}_T\Vert }_{\mathcal{H}}^2$ 是 $L^2$ 收敛于常数。

$E\left(F_T^2\right)=\frac{{\sigma }^4{\alpha }_H^2}{2{\text{e}}^{2cT}}{I}_T$

其中，

$I_T={\displaystyle {\int }_{{\left[0,T\right]}^4}{\text{e}}^{-\theta \left|s_2-u_2\right|-\theta \left|s_1-u_1\right|}{\text{e}}^{c\left(s_1+s_2+u_1+u_2\right)}{\left|s_2-s_1\right|}^{2H-2}{\left|u_2-u_1\right|}^{2H-2}\text{d}u\text{d}s}$

可以由公式(18)知道，极限存在

$\begin{array}{l}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{I_T}{{\text{e}}^{4cT}}\\ =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{c{\text{e}}^{3cT}}{\displaystyle {\int }_{{\left[0,T\right]}^3}{\text{e}}^{-\theta \left(T-u_1\right)-\theta \left|s_1-u_1\right|}{\text{e}}^{c\left(s_1+u_1+u_2\right)}{\left(T-s_1\right)}^{2H-2}{\left|u_2-u_1\right|}^{2H-2}\text{d}{u}_1\text{d}{u}_2\text{d}{s}_1}\\ =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_{{\left[0,T\right]}^3}{\text{e}}^{-\theta x_1-\theta \left|x_2-x_3\right|}{\text{e}}^{-c\left(x_1+x_2+x_3\right)}{x}_3^{2H-2}{\left|x_1-x_2\right|}^{2H-2}\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\text{d}{x}_3}\\ =\frac{C_{\theta ,H,c}}{c}\end{array}$

另一方面，对 $F_T$ 求Malliavin导数

$\begin{array}{c}{D}_s{F}_T=\frac{{\sigma }^2}{2{\text{e}}^{2cT}}\left({\displaystyle {\int }_0^s{\text{e}}^{\left(c-\theta \right)s}{\text{e}}^{\left(\theta +c\right)w}\text{d}{B}_w^H}+{\displaystyle {\int }_s^T{\text{e}}^{\left(c+\theta \right)s}{\text{e}}^{\left(c-\theta \right)w}\text{d}{B}_w^H}\right)\\ =\frac{\sigma }{2{\text{e}}^{2cT}}\left({\text{e}}^{cs}{X}_s+\sigma {\text{e}}^{\left(c+\theta \right)s}{\displaystyle {\int }_s^T{\text{e}}^{\left(c-\theta \right)w}\text{d}{B}_w^H}\right)\end{array}$

计算 $H>1/2$ 时的范数

$\begin{array}{c}{\Vert D{F}_T\Vert }_{\mathcal{H}}^2=\frac{{\sigma }^2{\alpha }_H}{4{\text{e}}^{4cT}}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^T(X_u{X}_s{\text{e}}^{c\left(u+s\right)}+2\sigma X_u{\text{e}}^{\left(\theta +c\right)s}{\displaystyle {\int }_s^T{\text{e}}^{\left(c-\theta \right)w}\text{d}{B}_w^H}}}\\ +{\sigma }^2{\text{e}}^{\left(c+\theta \right)\left(u+s\right)}{\displaystyle {\int }_s^T{\text{e}}^{\left(c-\theta \right)w}\text{d}{B}_w^H}{\displaystyle {\int }_u^T{\text{e}}^{\left(c-\theta \right)w}\text{d}{B}_w^H}){\left|u-s\right|}^{2H-2}\text{d}u\text{d}s\\ =\frac{{\sigma }^2{\alpha }_H}{4{\text{e}}^{4cT}}\left(C_T^{\left(1\right)}+C_T^{\left(2\right)}+C_T^{(3)}\right)\end{array}$

只需要计算第一项，另外两项相同计算过程

$\begin{array}{c}{V}_T=E\left({\left|C_T^{\left(1\right)}-E\left(C_T^{\left(1\right)}\right)\right|}^2\right)\\ =2{\displaystyle {\int }_{{\left[0,T\right]}^4}E\left(X_s{X}_t\right)E\left(X_u{X}_v\right){\text{e}}^{c\left(s+t+u+v\right)}{\left|u-s\right|}^{2H-2}{\left|v-t\right|}^{2H-2}\text{d}u\text{d}v\text{d}s\text{d}t}\end{array}$

引理3.7结论中公式(18)和(19)代入

$\begin{array}{c}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{V_T}{{\text{e}}^{8cT}}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{c{e}^{8cT}}{\displaystyle {\int }_{{\left[0,T\right]}^3}E\left(X_T{X}_t\right)E\left(X_u{X}_v\right){\text{e}}^{c\left(T+t+u+v\right)}{\left(T-u\right)}^{2H-2}{\left|v-t\right|}^{2H-2}\text{d}u\text{d}v\text{d}t}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{{\left[0,T\right]}^3}{\left(T-t\right)}^{2H-2}{\left|u-v\right|}^{2H-2}{\left(T-u\right)}^{2H-2}{\left|v-t\right|}^{2H-2}\text{d}u\text{d}v\text{d}t}\\ \le C{T}^{8H-5}{\displaystyle {\int }_{{\left[0,1\right]}^3}{\left(1-t\right)}^{2H-2}{\left|u-v\right|}^{2H-2}{\left(1-u\right)}^{2H-2}{\left|v-t\right|}^{2H-2}\text{d}u\text{d}v\text{d}t}\end{array}$

这样最终得到

$\begin{array}{l}E\left[{\left({\Vert D{F}_T\Vert }_{\mathcal{H}}^2-E\left({\Vert D{F}_T\Vert }_{\mathcal{H}}^2\right)\right)}^2\right]=\frac{{\sigma }^2{\alpha }_H}{4{\text{e}}^{4cT}}E\left({\left|C_T^{\left(1\right)}+C_T^{\left(2\right)}+C_T^{\left(3\right)}-E\left(C_T^{\left(1\right)}+C_T^{\left(2\right)}+C_T^{\left(3\right)}\right)\right|}^2\right)\\ \le 9\frac{{\sigma }^2{\alpha }_H}{4{\text{e}}^{4cT}}\underset{i=1}{\overset{3}{{\displaystyle \sum }}}E\left({\left|C_T^{\left(i\right)}-E\left(C_T^{\left(i\right)}\right)\right|}^2\right)\to 0\end{array}$

事实上还有

$\underset{T\to \infty }{\lim }E\left({\Vert D{F}_T\Vert }_{\mathcal{H}}^2\right)=p\underset{T\to \infty }{\lim }E\left(F_T^2\right)$

其中p为随机积分积分重数，这里 $p=2$。

4. 估计量 ${\tilde{\theta }}_T$ 的渐进性

估计量 ${\tilde{\theta }}_T$ 由引理3.3启发得到，相合性显然。 ${\tilde{\theta }}_T$ 与 ${\hat{\theta }}_T$ 之间密切联系，下面用 ${\hat{\theta }}_T$ 研究估计量 ${\tilde{\theta }}_T$ 的渐进性。再次呈现公式(7)

${\tilde{\theta }}_T={\left(\frac{2c}{{\sigma }^2{\text{e}}^{2cT}H\Gamma \left(2H\right)}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}\right)}^{-\frac{1}{2H}}-c$

定理3.1：假设 $1/2\le H<5/8$，${\hat{\theta }}_T-\theta \stackrel{\mathcal{L}}{\to }N\left(0,J_{\theta ,c}\right)$，则

${\tilde{\theta }}_T-\theta \stackrel{\mathcal{L}}{\to }N\left(0,J_{\theta ,c}{\left(\frac{\theta +c}{2H\theta }\right)}^2\right)$

证明：利用估计量 ${\hat{\theta }}_T$ 公式(11)可以有

${\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}=\frac{{\sigma }^2{\alpha }_H{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{2ct}{\xi }^{2H-2}{\text{e}}^{-\left(\theta +c\right)\xi }\text{d}\xi \text{d}t}}-X_T^2/2}{{\hat{\theta }}_T}$

代入公式(7)

${\tilde{\theta }}_T={\left(\frac{{\sigma }^{2}H\Gamma \left(2H\right){\text{e}}^{2cT}}{-X_T^2+2c{\sigma }^2{\alpha }_H{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{2ct}{\xi }^{2H-2}{\text{e}}^{-\left(\theta +c\right)\xi }\text{d}\xi \text{d}t}}}\right)}^{\frac{1}{2H}}{\hat{\theta }}_T^{\frac{1}{2H}}-c={\gamma }^{\frac{1}{2H}}{\hat{\theta }}_T^{\frac{1}{2H}}-c$

另一方面， ${\theta }_T^{*}$ 为 ${\hat{\theta }}_T$ 与 $\theta$ 之间的一个随机变量

${\hat{\theta }}_T^{\frac{1}{2H}}-{\theta }^{\frac{1}{2H}}=\frac{1}{2H}{\theta }^{\frac{1}{2H}-1}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)+\frac{1}{2}{\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)}^2{\theta }_T^{*}$

从下面的分解看，得到相应的结论。

${\tilde{\theta }}_T-\theta =\left[{\gamma }^{\frac{1}{2H}}-\left(\theta +c\right){\theta }^{-\frac{1}{2H}}\right]{\hat{\theta }}_T^{\frac{1}{2H}}+\left(\theta +c\right){\theta }^{-\frac{1}{2H}}\left[{\hat{\theta }}_T^{\frac{1}{2H}}-{\theta }^{\frac{1}{2H}}\right]$

基金项目

国家自然科学基金(No.11571071)。

文章引用

朱建慧,闫理坦. 带有指数型扩散项Ornstein-Uhlenback过程的参数估计
Parameter Estimation for Fractional Ornstein-Uhlenbeck with Exponential Diffusion Term[J]. 统计学与应用, 2019, 08(06): 872-880. https://doi.org/10.12677/SA.2019.86098

参考文献