ABSTRACT

Considering the complexity of computing the multidimensional hyper geometric distribution of high order mixed moments with definition directly, we use the relationship between marginal distribution and joint distribution in multidimensional marginal distribution, to give the simple algorithm and recursive formulas for multi-dimensional hypergeometric distribution of high order mixed moment.

Keywords

Multivariate Hypergeometric Distribution [1] , High Order Mixed Moments, Recurrence

多维超几何分布高阶混合矩的算法

汪  芳

中国矿业大学，北京

Email: 1456199678@qq.com

收稿日期：2014年8月12日；修回日期：2014年9月14日；录用日期：2014年9月22日

摘  要

考虑到直接用定义计算多维超几何分布高阶混合矩的复杂性，利用多维超几何分布的边际分布与联合分布的关系，给出了多维超几何分布高阶混合矩的简单算法及递推公式。

关键词

多维超几何分布[1] ，高阶混合矩，递推

1. 引言

在抽样调查中，我们经常遇到定性资料问题，为此有人曾探讨过“多维超几何分布协方差阵的简单求法[2] ”，下面我们就以抽样调查为背景来研究如何计算多维超几何分布高阶混合矩。假设总体含有个个体，其中一等品有个，二等品有个，……，等品有个。从总体中不放回地抽取容量为的样本，其中获得一等品个，二等品个，……，等品个。那么，服从多维超几何分布，记为，即有，

其中，。

2. 预备知识

引理1[3] 设服从超几何分布，记为，则

引理2[4] 设离散型随机变量服从超几何分布，记为，则的阶原点矩可由公式

计算得出。

其中为组合数学中的第二类Stirling数[5] ，其初始值为：

为的下阶层，并且

引理3 设离散型随机变量服从多维超几何分布，记为，为求的阶原点矩，可将其视为两类与，则根据引理2所述，的阶原点矩仍可由公式

计算得出。

引理4[6] 设服从多维超几何分布，是其中任意个分量，则仍然服从超几何分布。

3. 高阶混合矩的算法

时，，即等价为一维超几何分布，由引理2知

从而

记为

记为

记为。

推广到时超几何分布任意高阶混合矩：

记为。

时，，同样地我们有，

(*)

由引理3我们知道，

    ①

    ②

    ③

从而将①②③式代入到(*)式中得：

记为。

同理，我们将之推广到时超几何分布任意高阶混合矩：

同样，由引理3我们知道

时，任意高阶混合矩为：

其中

以此类推，可以得到：当求维超几何分布任意高阶混合矩时，需要化成求维任意高阶混合矩来计算，即有如下形式的递推公式：

其中为常数系数。

从上面的计算中我们可以得知，变化后随机变量的幂指数有如下规律，如表1：

系数据有如下规律，如表2：

对于公式中部分有如下规律：

时，，

其中。

综上所述，我们得到计算多维超几何分布高阶混合矩的递推公式如下：

，

，

，

将其记为式。其中

。

下面用数学归纳法证明上式成立：

时，假设时式成立，即有：

其中。

则时，

这样一直把括号中的项拆分下去，并且根据假设，我们可以知道：

其中

。

从而式得证。

基金项目

本文得到国家大学生创新训练项目(No. 201311413053)资助以及中央高校基本科研业务费(2009QS02)的资助。

参考文献 (References)