Advances in Applied Mathematics
Vol.04 No.01(2015), Article ID:14858,7
pages
10.12677/AAM.2015.41004
A Note on LS Berry-Esseen Estimator in Simple Linear EV Regression Model
Jiao Meng, Mingming Yu
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing Jiangsu
Email: zbmengjiao@sina.com, mengyilianmeng@163.com
Received: Jan. 26th, 2015; accepted: Feb. 11th, 2015; published: Feb. 17th, 2015
Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
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ABSTRACT
In this paper, we study the convergence rate of the central limit theorems for LS estimator in simple linear errors-in-variables (EV) regression model. Further, its application has been introduced detailedly by Miao, Yang and Shen in [1] .
Keywords:Central Limit Theorem, Convergence Rate, EV Regression Model, LS Estimator
简单线性EV回归模型中最小二乘估计量的Berry-Esseen估计
孟娇,于明明
南京航空航天大学,江苏 南京
Email: zbmengjiao@sina.com, mengyilianmeng@163.com
收稿日期:2015年1月26日;录用日期:2015年2月11日;发布日期:2015年2月17日
摘 要
本论文的目的是研究简单线性存在误差项(EV)退化模型的最小二乘估计量中心极限定理的收敛速度。进一步,Miao,Yang和Shen在[1] 中对其实际应用做了详细的介绍。
关键词 :中心极限定理,收敛速度,EV退化模型,最小二乘法估计量
1. 介绍
本文我们讨论下面EV模型[2] :
(1)
并且满足下列假设:
(1)是未知常数;
(2)是独立同分布随机变量,是,是,且
(3)是可观测值。
根据(1),我们可得出
(2)
其中(2)是关于的常见的退化模型,我们得到和的最小二乘法估计量
(3)
其中,我们可用相同的方法去定义。
很多学者讨论了估计量的渐近性质和应用。Miao和Liu在[3] 中给出了它的中偏差原理,Miao,Yang和Shen在[1] 中得到其中心极限定理,有如下结论:
定理A:令,假设
(4)
并且存在一个常数,使得且,
则得到的渐进性质,即
其中是标准正态分布。
定理B:当满足定理A的所有假设且满足条件:,则的渐进性质为:
上述结论我们可以参见[4] -[6] ,本文我们讨论定理A和定理B中的收敛速度,也就是中心极限定理的收敛速度。本文中C表示一个正常数。
我们有如下重要的结论:
定理1.1:满足定理A的所有假设,当n充分大时
(5)
其中是标准正态分布的分布函数且.
定理1.2:满足定理B的所有假设,当n充分大时
(6)
其中
注1.1(1)满足定理A的所有假设,我们得到
且。因此,根据定理1.1有
(2) 满足定理B的所有假设,我们知道,。随即可以得到
所以有
因此
为了证明定理内容,我们给出以下引理。其中(1)的证明方法比较简单,(2)的证明可以参见[7] 。
引理1.1:令是定义在概率空间上的三个随机变量,并且。则对于任意的,有
(1)
(2)
2. 定理的证明
下面为了计算方便,我们令
(7)
和
(8)
为了证明定理内容,我们引入下面引理
引理2.1:对于任意的,我们得到
证明:对于所有的,根据Holder不等式即可得到
所以有
根据马尔可夫不等式可得
引理2.2:对于任意的,我们得到
证明:根据简单的计算,我们得到
因此有
最后,根据马尔可夫不等式得到
因为是,根据[8] 中第五章定理6,我们可以得到
引理2.3:假设存在一个常数使得和,则有
引理2.4:当引理2.3的条件满足时,我们得到
其中
证明:对于任意的,根据(7)和引理1.1(2)
(9)
其中
根据引理2.2即可得到
(10)
现在我们只需去估计的值。因为,所以。
所以根据引理1.1(1),有
所以
(11)
其中
根据引理2.1和引理2.2,我们可以得到
(12)
令,结合(9),(10),(11),(12),我们可以得到引理2.4的证明。
引理2.5:当引理2.3的条件成立时,我们得到
其中
证明:通过(8)和引理1.1(1),对于任意的,
(13)
其中
对于,根据[8] 中第五章的定理4,我们可以得到
(14)
下面我们只需去估计的值。首先我们知道
(15)
其中
根据不等式,其中是一个常数。因此根据定理1.1
进一步通过Chebyshev不等式,我们有
(16)
令,结合(13),(14),(15),(16)和的估计,我们可以证明引理2.5。
定理1.1和定理1.2的证明:因为因此根据引理2.4,当充分大时,
(17)
因此我们可以证明定理1.1。
对于定理1.2,当充分大时,
结合引理2.5和(17),我们可以得到定理1.2.
基金项目
本论文是在我的老师和同学于明明的协助下完成的,感谢南京航空航天大学数学系的各位老师给予我的指导和帮助,感谢各位文献作者的成果给予我们的借鉴。
文章引用
孟娇,于明明, (2015) 简单线性EV回归模型中最小二乘估计量的Berry-Esseen估计
A Note on LS Berry-Esseen Estimator in Simple Linear EV Regression Model. 应用数学进展,01,29-36. doi: 10.12677/AAM.2015.41004
参考文献 (References)
- 1. Miao, Y., Yang, G.Y. and Shen, L.M. (2007) The central limit theorem for LS estimator in simple linear EV regression models. Communications in Statistics-Theory and Methods, 36, 2263-2272.
- 2. Liu, J.X. and Chen, X.R. (2005) Consistency of LS estimator in simple linear EV regression model. Acta Mathematica Scientia, 25B, 50-58.
- 3. Miao,Y. and Liu, W.A. (2009) Moderate deviations for LS estimator in simple linear EV regression model. Journal of Statistical Planning and Inference, 139, 3122-3131.
- 4. Cui, H.J. (1997) Asymptotic normality of M-estimator in the EV model. Journal of System Science and Mathematics, 10, 225-236.
- 5. Deaton, A. (1985) Panel data from a time series of cross-sections. Journal of Econometrics, 30, 109-126.
- 6. Gleser, L.J. (1981) Estimation in a multivariate “error in variables” regression model: Large sample results. Annals of Statistics, 9, 24-44.
- 7. Michel, R. and Pfanzagl, J. (1971) The accuracy of normal approximation for minimum contrast estimates. Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 18, 73-84.
- 8. Petrov, V.V. (1975) Sums of independent random variables. Springer, Berlin.