上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2023年3月20日；录用日期：2023年4月21日；发布日期：2023年4月28日

摘要

利用集中紧性原理、极大极小值方法和Gagliardo-Nirenberg不等式，研究了在L²-次临界和L²-临界的情况下，二维Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov (BO-ZK)方程的规范解的存在性和稳定性问题。首先通过限制 $M\left(Q\right)=\frac{a^2}{2}$ ，证明能量泛函 $H\left(Q\right)$ 极小值的存在性，然后证明其稳定性，最终证明了在L²-次临界下泛函 $S_a\left(Q\right)$ 可以取到最小值，从而证明存在基态解。本文所得到的结论，即证明BO-ZK方程解的存在性和稳定性，在物理学领域中有着广泛的应用。

关键词

BO-ZK方程，基态解，存在性，稳定性，集中紧性原理

Normalized Solitary Waves of the Two-Dimensional Generalized Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov Equation

Yuanshun Wang

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Mar. 20^th, 2023; accepted: Apr. 21^st, 2023; published: Apr. 28^th, 2023

ABSTRACT

The existence and stability of the solution for normalized solitary waves of the two-dimensional generalized Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov Equation were studied by using concentration compactness principle, minimax theory and Gagliardo-Nirenberg in equality in the L²-subcritical case and the L²-critical case. Firstly, the existence of minimum to the energy functional under the condition of $M\left(Q\right)=\frac{a^2}{2}$ , then the stability is verified. Thus, it is proved that the minimum value of functional $S_a\left(Q\right)$ can be obtained in the L²-subcritical case and there exist ground state solutions. The conclusion of this article, that the existence and stability of the solution of BO-ZK equation, is widely applied in physics.

Keywords:BO-ZK Equation, Ground States, Existence, Stability, Concentration-Compactness Principle

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

因Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov (BO-ZK)方程有一定的物理背景，研究它的规范解的存在性、稳定性和其它一些性质是一个具有物理意义的问题。

研究二维Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov (BO-ZK)方程：

$\{\begin{array}{l}{\phi }_t-\mathcal{H}{\phi }_{xx}+{\phi }_{xyy}+{\partial }_x\left({\phi }^{p+1}\right)=0,\left(x,y\right)\in R^2,t>0,\hfill \\ \phi \left(x,y,0\right)={\phi }_0,\hfill \end{array}$ (1)

其中 $\phi =\phi \left(x,y,t\right)$ 是波函数。 $\mathcal{H}$ 表示x-方向上的Hilbert变换，定义为

$\mathcal{H}\phi \left(x,y,t\right)=p.v.\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_R\frac{\phi \left(z,y,t\right)}{x-z}\text{d}z}$ ,

可以得到

${\displaystyle {\iint }_{R^2}\phi \mathcal{H}{\phi }_x\text{d}x\text{d}y}={\Vert D_x^{\frac{1}{2}}\phi \Vert }_{L^2}^2$ (2)

这是因为

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\iint }_{R^2}\phi \mathcal{H}{\phi }_x\text{d}x\text{d}y}=C{\displaystyle {\iint }_{R^2}\phi }{\displaystyle {\int }_R\frac{{\phi }_x\left(z,y,t\right)}{x-z}\text{d}z\text{d}x\text{d}y}\\ =C{\displaystyle {\iint }_{R^2}\phi }{\displaystyle {\int }_R\frac{\phi \left(x,y,t\right)-\phi \left(z,y,t\right)}{{\left|x-z\right|}^2}\text{d}z\text{d}x\text{d}y}\\ =C{\displaystyle {\iint }_{R^2}\phi D_x\phi \text{d}x\text{d}y}\\ =C{\Vert D_x^{\frac{1}{2}}\phi \Vert }_{L^2}^2\end{array}$

$D_x^{\frac{1}{2}}$ 表示在x-方向上的 $\frac{1}{2}$ -阶导数算子，它由Fourier变换定义： $\widehat{D_x^{\frac{1}{2}}Q}\left(\xi ,\eta \right)={\left|\xi \right|}^{\frac{1}{2}}\hat{Q}\left(\xi ,\eta \right)$ ，定义能量空间 $H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ ，赋予范数

${\Vert Q\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}:={\left\{{\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert Q\Vert }_{L^2}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}$

已经有不少作者研究过类似的方程，例如V. Georgiev和Y. Li研究了二维质量临界半波方程的非分散解(见文献 [1] )，Y. Bahri和S. Ibrahim研究了半波Schrodinger方程的孤立波解和Cauchy问题 [2] ，J. Bellazzini和V. Georgiev等研究了在单空间维度上四次聚焦半波方程的行波解 [3] ，C. Alysson和P. Ademir研究了在加权各向异性的Sobolev空间中离散的BO-ZK方程的守恒性 [4] ，Nascimento, A. C.研究了BO-ZK方程解的特殊正则性 [5] 。

事实上，在Esfahani等(2015) [6] 的论文中，利用二维各向异性Gagliardo-Nirenberg不等式：

${\Vert Q\Vert }_{L^{p+2}}^{p+2}\le C{\Vert Q\Vert }_{L^2}^{\frac{4-p}{2}}{\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^p{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^{\frac{p}{2}}$ , $Q=Q\left(x,y\right)\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$

作者研究了BO-ZK方程(1)规范解的存在性，并证明了当 $0<p<4$ 时，当速度为 $\omega =1$ 时，方程(1)有形如 $\phi \left(x,y,t\right)=Q\left(x-t,y\right)$ 的非平凡规范解。在Esfahani等(2017) [7] 中，作者研究了各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式中最佳常数C满足的条件。假设Q在无穷远点递减，那么Q应当满足

$Q^{p+1}-\mathcal{H}{Q}_x+Q_{yy}=\omega Q$ (3)

这里所说的方程(1)的解，是指保持能量H和质量M守恒的解，

$H\left(\phi \left(t\right)\right)=H\left({\phi }_0\right)$ ， $M\left(\phi \left(t\right)\right)=M\left({\phi }_0\right)$ ，对所有的 $t\in I_{\max }$ (4)

其中 $I_{\max }$ 表示解存在的最大时间和

$M\left(Q\right):=\frac{1}{2}{\Vert Q\Vert }_{L^2\left(R^2\right)}^2$

$H\left(Q\right):=\frac{1}{2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}\left(\mathcal{H}{Q}_x\left(x,y\right)\overline{Q\left(x,y\right)}+{\left|{\partial }_{y}Q\left(x,y\right)\right|}^2\right)\text{d}x\text{d}y}-\frac{1}{p+2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q\left(x,y\right)\right|}^{p+2}\text{d}x\text{d}y}$

在Jorge等(2005) [8] , Latorre等(2006) [9] 的论文中，方程(1)作为一个模型来描述在薄微导体电迁移介质上解的存在性。BO-ZK方程(1)也可以被视为二维通用的Benjamin-Ono (BO)方程：

${\phi }_t-\mathcal{H}{\phi }_{xx}+{\partial }_x\left({\phi }^{p+1}\right)=0,x\in R,t>0$ (5)

在长型内部重力波中，方程(5)是深层次流体中的模型。

在Esfahani and Pastor (2009) [10] ，Esfahani et al. (2015) [6] 中也证明了，当 $0<p<\frac{4}{3}$ 时有任意速度的孤立波是非线性稳定的；当 $\frac{4}{3}<p<4$ 时孤立波是非线性不稳定的。其中，稳定性的定义见定义1。 $p=\frac{4}{3}$ 是方程(3)的“临界值”。如果 $\phi$ 满足方程(1)有初始值 ${\phi }_0$ ，那么

${\phi }_{\lambda }\left(x,y,t\right)={\lambda }^{\frac{1}{p}}\phi \left(\lambda x,{\lambda }^{\frac{1}{2}}y,{\lambda }^{2}t\right)$

满足方程(1)，且有初始值 ${\phi }_{\lambda }\left(x,y,0\right)={\lambda }^{\frac{1}{p}}{\phi }_0\left(\lambda x,{\lambda }^{\frac{1}{2}}y\right)$ ，对任意的 $\lambda >0$ 。如果 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^{s_1,s_2}:={\stackrel{\dot{}}{H}}^{s_1,s_2}\left(R^2\right)$ 表示齐次各向异性Sobolev空间，那么

${\Vert {\phi }_{\lambda }\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^{s_1,s_2}}={\lambda }^{s_1+\frac{1}{2}{s}_2+\frac{1}{p}-\frac{3}{4}}{\Vert {\phi }_0\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^{s_1,s_2}}$

因此，L²是BO-ZK方程规模不变的Sobolev空间当且仅当 $p=\frac{4}{3}$ 。

根据Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov方程，方程(3)在静态问题上也出现(见 [6] [11] )。注意到如果定义变量 $S\left(Q\right)$ 为

$\begin{array}{c}S\left(Q\right):=H\left(Q\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}\left(\mathcal{H}{Q}_x\bar{Q}+{\left|{\partial }_{y}Q\right|}^2\right)\text{d}x\text{d}y}-\frac{1}{p+2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q\right|}^{p+2}\text{d}x\text{d}y}\\ =\frac{1}{2}{\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+\frac{1}{2}{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2-\frac{1}{p+2}{\Vert Q\Vert }_{L^{p+2}}^{p+2}\end{array}$ (6)

令 $S^{\prime }\left(Q\right)=0$ 可以得到 $S\left(Q\right)$ 的极小值点 $Q_0$ ，那么 $Q_0\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 是方程(3)的解当且仅当 $Q_0$ 是泛函 $S\left(Q\right)$ 的临界点(极小值点)。在这篇论文中，我们关注基态解的情况。所谓基态解就是极小化泛函 $S\left(Q\right)$ 的解，也就是方程(3)的非平凡解。本文研究基态解的存在性，得到以下定理。

定理1：当 $0<p<\frac{4}{3}$ 时，当 $0<a\le {\left(4-p\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(p^{\frac{3p}{4}}{2}^{\frac{p}{2}}\right)}^{\frac{2}{4-3p}}$ 时，存在基态解 $Q_0\ne 0$ 极小化以下约束极小化问题：

$m_a=\inf \left\{S_a\left(Q\right)|Q\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}\right\}$

其中

$S_a\left(Q\right)=\left\{S\left(Q\right)|{\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q\right|}^2}=a^2\right\}$

当 $p=\frac{4}{3}$ 时，当 $0<a<a^{*}$ 或 $a>a^{*}$ 时，不存在这样的基态解。

注记1：由Esfahani等 [6] 的结果，在x-轴和y-轴上方程(3)的基态解Q是对称的，即 $Q\left(x,y\right)=Q\left(-x,y\right)$ ， $Q\left(x,y\right)=Q\left(x,-y\right)$ ，对于所有的 $\left(x,y\right)\in R^2$ 。

第二部分给出一些预备知识和几个基本引理：1) 稳定性和轨道稳定性的定义；2) 在L²-次临界情况下，当a满足一定的条件时，能量泛函 $H\left(Q\right)$ 可以取到极小值，从而 $\Sigma \left(\mu \right)$ 非空并且是稳定的；3) 在L²-临界情况下，当a满足一定的条件时， $\Sigma \left(\mu \right)=\varnothing$ ；4) 给出了各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式。其中 $\Sigma \left(\mu \right)$ 的定义由(8)给出。

第三部分证明了在L²-次临界情况下，当a满足一定的条件时， $\Sigma \left(\mu \right)$ 是非空和稳定的。先证明能量泛函 $H\left(Q\right)$ 的下确界的有界性，利用集中紧性原理和Gagliardo-Nirenberg不等式排除解的消失性和二分性，从而得到解是列紧的，推出解的存在性，然后证明解的稳定性。

第四部分证明了在L²-临界情况下，当a满足一定的条件时， $\Sigma \left(\mu \right)=\varnothing$ 。通过Gagliardo-Nirenberg不等式和极大极小值原理，证明了a在不同的取值范围中，能量泛函 $H\left(Q\right)$ 分别为取不到极小值和下无界，从而得到 $\Sigma \left(\mu \right)=\varnothing$ 。

最后，本文给出定理1的证明，在L²-次临界情况下，当a在限定取值范围内时，方程(3)的基态解存在并且是稳定的，从而方程(1)有归一化解；在L²-临界情况下，当a在限定取值范围内时，方程(3)不存在基态解。

本文研究了在L²-次临界和L²-临界情况下BO-ZK方程解的存在性和稳定性，给出了方程在什么条件下存在解、什么条件下解不存在以及解的稳定性。BO-ZK方程在物理学领域有广泛的应用，读者可以在物理学上找到它的应用举例。

2. 预备知识和基本引理

稳定性的定义如下：

定义1：1) 令 $\sum \subset H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ ，称 $\sum$ 是稳定的，如果对于任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得如果 ${\phi }_0\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 满足 ${\inf }_{u\in \sum }{\Vert {\phi }_0-Q\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}<\delta$ ，那么在整个定义域上方程(1)的解 $\phi \left(t\right)$ 存在，有初始条件 ${\phi |}_{t=0}={\phi }_0$ ，且满足

$\underset{t\in R}{\sup }\underset{u\in \sum }{\inf }{\Vert \phi \left(t\right)-Q\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}<\epsilon$

否则， $\sum$ 是不稳定的。

2) 称 $T\left(\omega t\right)Q_{\omega }$ 是轨道稳定的，如果它的轨道

$O_{\omega }=\left\{T\left(\theta \right)Q_{\omega }\left(\cdot +{\tau }_1,\cdot +{\tau }_2\right)|\theta \in R,\left({\tau }_1,{\tau }_2\right)\in R^2\right\}$

是稳定的。

首先，我们考虑L²-次临界情况 $0<p<\frac{4}{3}$ 。在这种情况下，使用Cazenave和Lions [11] 的方法，来证明一些包含了基态解的轨道的子集是稳定的。为了说明结果，这里引入一些记号。对每个 $\mu >0$ ，考虑以下极小化问题：

$I\left(\mu \right):=\inf \left\{H\left(Q\right)|M\left(Q\right)=\mu \right\},\mu =\frac{a^2}{2}\left(a>0\right)$ (7)

记 $\sum \left(\mu \right)$ 为极小化子组成的集合，即

$\sum \left(\mu \right):=\left\{Q\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}|H\left(Q\right)=I\left(\mu \right),M\left(Q\right)=\mu \right\}$ (8)

为研究 $L^2$ -次临界和 $L^2$ -临界情况下基态解的存在性问题，需要研究 $\sum \left(\mu \right)$ 是否非空及其稳定性。

定理2：当 $0<p<\frac{4}{3}$ 时，那么对于任意的 $0<a\le {\left(4-p\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(p^{\frac{3p}{4}}{2}^{\frac{p}{2}}\right)}^{\frac{2}{4-3p}}$ ，可得集合 $\sum \left(\mu \right)$ 非空并且是稳定的。

定理3：当 $p=\frac{4}{3}$ 时，当 $0<a<a^{*}$ 或 $a>a^{*}$ 时， $\sum \left(\mu \right)=\varnothing$ 。

下面是各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式。

引理1：(各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式)令 $0<p<4$ ，存在常数C使得

${\Vert Q\Vert }_{L^{p+2}}^{p+2}\le C{\Vert Q\Vert }_{L^2}^{\frac{4-p}{2}}{\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^p{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^{\frac{p}{2}}$ (9)

对所有的 $Q\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 。这里的最佳常数C有方程(3)的基态解给出，即

$C^{-1}=\frac{4-p}{2\left(p+2\right)}{\left(\frac{p}{4-p}\right)}^{\frac{3p}{4}}{2}^{\frac{p}{2}}{\Vert Q\Vert }_{L^2}^p$ (10)

(见 [7] ，定理1.3)。

引理2：(集中紧性原理)设 ${\left\{{\mu }_m\right\}}_{m=1}^{+\infty }$ 是 $R^n$ 上的测度序列，即 ${\mu }_m\ge 0$ ， ${\displaystyle {\int }_{R^n}\text{d}{\mu }_m}=1$ 。存在子列 ${\left\{{\mu }_m\right\}}_{m=1}^{+\infty }$ ，仍然记为 ${\left\{{\mu }_m\right\}}_{m=1}^{+\infty }$ ，使得以下三个条件之一成立：

1) (列紧性)存在序列 ${\left\{{\mu }_m\right\}}_{m=1}^{+\infty }\subset R^n$ ，使得对于任意的 $\epsilon >0$ 存在半径 $R>0$ 有以下性质：

${\displaystyle {\int }_{B_R\left(x_m\right)}\text{d}{\mu }_m}\ge 1-\epsilon$ 对于所有的m；

2) (消失性)对于所有的 $R>0$ ，存在

$\underset{m\to \infty }{\lim }\left(\underset{x\in R^n}{\sup }{\displaystyle {\int }_{B_R\left(x\right)}\text{d}{\mu }_m}\right)=0$ ;

3) (二分性)存在 $\lambda$ ， $0<\lambda <1$ ，使得对于任意的 $\epsilon >0$ 存在 $R>0$ 和序列 ${\left\{x_m\right\}}_{m=1}^{+\infty }\subset R^n$ 有以下性质：给定 $R^{\prime }>R$ 存在非负测度 ${\mu }_m^1$ ， ${\mu }_m^2$ 使得

$0\le {\mu }_m^1+{\mu }_m^2\le {\mu }_m$ ,

使得 ${\mu }_m^1\subset B_R\left(x_m\right)$ ，使得 ${\mu }_m^2\subset R^n\backslash B_{R^{\prime }}\left(x_m\right)$ ，

$\underset{m\to \infty }{\lim \sup }\left(\left|\lambda -{\displaystyle {\int }_{R^n}\text{d}{\mu }_m^1}\right|+\left|\left(1-\lambda \right)-{\displaystyle {\int }_{R^n}\text{d}{\mu }_m^2}\right|\right)\le \epsilon$ 。(见 [12] [13] )

引理3：设 $1<q<\infty$ ，令 $\left\{u_n\right\}$ 是 $L^q\left(R^d\right)$ 上的有界序列，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n\left(x\right)=u_{\infty }\left(x\right)$ 对几乎所有的 $x\in R^d$

对于函数 $u_{\infty }\in L^q\left(R^d\right)$ 。那么，有

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{R^d}\left|{\left|u_n\right|}^q-{\left|u_n-u_{\infty }\right|}^q-{\left|u_{\infty }\right|}^q\right|\text{d}x}=0$ (见 [14] )

3. 次临界的结果

在这部分，研究在( $0<p<\frac{4}{3}$ )次临界情况下方程(3)基态解的存在性和稳定性。用集中紧性原理来证明方程(3)解的存在性，为此要证明消失性和二分性的情形不成立，从而得到列紧性的情形成立。首先，证明能量泛函 $H\left(Q\right)$ 的下确界 $I\left(\mu \right)$ 是负的和有限的。

引理4：对于任意的 $0<p<\frac{4}{3}$ ， $0<a\le {\left(4-p\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(p^{\frac{3p}{4}}{2}^{\frac{p}{2}}\right)}^{\frac{2}{4-3p}}$ ，有 $-\infty <I\left(\mu \right)<0$ 。

证明：首先，证明 $I\left(\mu \right)<0$ 。令 $Q\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 有 ${\Vert Q\Vert }_{L^2}^2=a^2=2\mu$ 。考虑以下 $L^2$ -伸缩变换：

$T_{\lambda }Q\left(x,y\right)={\lambda }^{\frac{3}{4}}Q\left(\lambda x,{\lambda }^{\frac{1}{2}}y\right),\lambda >0$ (11)

那么，可得 ${\Vert T_{\lambda }Q\Vert }_2={\Vert Q\Vert }_2$ ，

$\begin{array}{c}H\left(T_{\lambda }Q\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}\left(\mathcal{H}{\left(T_{\lambda }Q\right)}_x\left(x,y\right)\overline{T_{\lambda }Q\left(x,y\right)}+{\left|{\partial }_y{T}_{\lambda }Q\left(x,y\right)\right|}^2\right)\text{d}x\text{d}y}-\frac{1}{p+2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|T_{\lambda }Q\left(x,y\right)\right|}^{p+2}\text{d}x\text{d}y}\\ =\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}\left(\mathcal{H}{\left(T_{\lambda }Q\right)}_x\left(\lambda x,{\lambda }^{\frac{1}{2}}y\right)\overline{T_{\lambda }Q\left(\lambda x,{\lambda }^{\frac{1}{2}}y\right)}+{\left|{\partial }_{y}Q\left(\lambda x,{\lambda }^{\frac{1}{2}}y\right)\right|}^2\right)\text{d}\lambda x\text{d}{\lambda }^{\frac{1}{2}}y}\\ -\frac{{\lambda }^{\frac{3p}{4}}}{p+2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q\left(\lambda x,{\lambda }^{\frac{1}{2}}y\right)\right|}^{p+2}}\text{d}\lambda x\text{d}{\lambda }^{\frac{1}{2}}y\\ =\frac{\lambda }{2}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)-\frac{{\lambda }^{\frac{3p}{4}}}{p+2}{\Vert Q\Vert }_{L^{p+2}}^{p+2}\end{array}$

当 $0<p<\frac{4}{3}$ 时， $\frac{3p}{4}<1$ 。因此，令 $\lambda >0$ 充分小以致 $H\left(T_{\lambda }Q\right)<0$ 可得 $I\left(\mu \right)<0$ 。

接下来，证明 $I\left(\mu \right)>-\infty$ 。由Gagliardo-Nrenberg不等式(9)和 $M\left(Q\right)=\frac{a^2}{2}$ ，有

$\begin{array}{c}H\left(Q\right)=\frac{1}{2}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)-\frac{1}{p+2}{\Vert Q\Vert }_{L^{p+2}}^{p+2}\\ \ge \frac{1}{2}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)-\frac{C}{p+2}{\Vert Q\Vert }_{L^2}^{\frac{4-p}{2}}{\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^p{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^{\frac{p}{2}}\\ \ge \frac{1}{2}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)-\frac{C}{p+2}{\left(2M\left(Q\right)\right)}^{\frac{4-p}{4}}{\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)}^{\frac{3p}{4}}\\ =\frac{1}{2}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)-\frac{C}{p+2}{a}^{\frac{4-p}{2}}{\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)}^{\frac{3p}{4}}\end{array}$

当 $0<p<\frac{4}{3}$ 时， $\frac{3p}{4}<1$ ， $\frac{4}{3}<\frac{4-p}{2}<2$ 。利用Young不等式，可得

$\begin{array}{c}H\left(Q\right)\ge \frac{1}{2}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)-\frac{C}{p+2}{a}^{\frac{4-p}{2}}\left[\frac{1}{C_1}+\frac{3p}{4}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)\right]\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\frac{C}{p+2}{a}^{\frac{4-p}{2}}\frac{3p}{4}\right)\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2}^2\right)-C_1\end{array}$

当 $\frac{1}{2}-\frac{C}{p+2}{a}^{\frac{4-p}{2}}\frac{3p}{4}\ge 0$ 时，即当 $0<a\le {\left(4-p\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(p^{\frac{3p}{4}}{2}^{\frac{p}{2}}\right)}^{\frac{2}{4-3p}}$ 时，

$H\left(Q\right)\ge -C_1$ (12)

其中 $C>0$ 是最佳常数由(10)给出， $C_1>0$ 是常数，这不依赖于 $Q\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 。可推出 $I\left(\mu \right)>-\infty$ 。证毕。

接下来，证明方程(3)的解满足列紧性，即消失性的情形不成立。

引理5：令 $\left\{Q_n\right\}\subset H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ ，满足 ${\sup }_{n\in N}{\Vert Q_n\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}<\infty$ 和 ${\inf }_{n\in N}{\Vert Q_n\Vert }_{L^{p+2}}>{\delta }_0\left({\delta }_0>0\right)$ 。那么，存在子列 $\left\{Q_n\right\}$ (仍然记为 $\left\{Q_n\right\}$ )，序列 $\left\{\left(x_n,y_n\right)\right\}\subset R^2$ 和 $Q_{\infty }\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}\backslash \left\{0\right\}$ 使得在 $H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 中，当 $n\to \infty$ 时， $Q_n\left(\cdot +x_n,\cdot +y_n\right)\rightharpoonup Q_{\infty }$ 。

证明：根据Holder不等式，有

${\delta }_0<{\Vert Q_n\Vert }_{L^{p+2}}\le {\Vert Q_n\Vert }_{L^2}^{\theta }{\Vert Q_n\Vert }_{L^{\frac{10}{3}}}^{1-\theta }\lesssim {\Vert Q_n\Vert }_{L\frac{10}{3}}^{1-\theta }$

其中 $\theta =\frac{4-3p}{2\left(p+2\right)}$ ，第二个不等式是由于 ${\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q_n\right|}^{p+2}}\le {\left({\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q_n\right|}^{p+2}}\right)}^{\frac{4-3p}{4}}{\left({\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q_n\right|}^{\frac{10}{3}}}\right)}^{\frac{3p}{4}}$ 。因此，存在 ${\delta }_1>0$ ，这不依赖于 $n\in N$ ，使得对于所有的 $n\in N$ ，有 ${\Vert Q_n\Vert }_{L^{\frac{10}{3}}}>{\delta }_1$ 。

对于所有的 $\left(k,m\right)\in Z^2$ ，令

$S_{k,m}:=\left(k,k+1\right)\times \left(m,m+1\right)$

那么，由Gagliardo-Nirenberg不等式(9)，有

$\begin{array}{c}{\Vert Q_n\Vert }_{L^{\frac{10}{3}}\left(Q_{k,m}\right)}^{\frac{10}{3}}\le C{\Vert Q_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^{\frac{4}{3}}{\Vert D_x^{\frac{1}{2}}{Q}_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^{\frac{4}{3}}{\Vert {\partial }_y{Q}_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^{\frac{2}{3}}\\ \le C{\Vert Q_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^{\frac{4}{3}}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}{Q}_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^2+{\Vert {\partial }_y{Q}_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^2\right)\end{array}$

对 $\left(m,n\right)\in Z^2$ 求和，有

$\begin{array}{c}{\delta }_1<{\Vert Q_n\Vert }_{L^{\frac{10}{3}}\left(R^2\right)}^{\frac{10}{3}}\\ \le C{\displaystyle \underset{\left(m.n\right)\in Z^2}{\sum }{\Vert Q_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^{\frac{4}{3}}}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^2\right)\\ \le C\underset{\left(k,m\right)\in Z^2}{\sup }{\Vert Q_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^{\frac{4}{3}}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}Q\Vert }_{L^2\left(R^2\right)}^2+{\Vert {\partial }_{y}Q\Vert }_{L^2\left(R^2\right)}^2\right)\\ \le C\underset{\left(k,m\right)\in Z^2}{\sup }{\Vert Q_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}^{\frac{4}{3}}\end{array}$

因此存在 $\left(k_n,m_n\right)\in Z^2$ 和 ${\delta }_2>0$ ，使得 ${\delta }_2\le {\Vert Q_n\Vert }_{L^2\left(Q_{k,m}\right)}$ 。令 $\widetilde{Q_n}\left(\cdot ,\cdot \right)=Q_n\left(\cdot +k_n,\cdot +m_n\right)$ ，可得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert \widetilde{Q_n}\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}<\infty$ ， ${\Vert \widetilde{Q_n}\Vert }_{L^2\left(Q_{0,0}\right)}\ge {\delta }_2$ 。因此，存在 $\left\{Q_n\right\}$ 的子列(仍然记为 $\left\{Q_n\right\}$ )， $Q_{\infty }\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 在 $H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 中满足 $\widetilde{Q_n}\rightharpoonup Q_{\infty }\left(n\to \infty \right)$ 。而且，由Rellich定理(见 [15] )，有 ${\Vert Q_{\infty }\Vert }_{L^2\left(Q_{0,0}\right)}\ge {\delta }_2$ ，因此 $Q_{\infty }\ne 0$ 。

为了利用集中紧性原理来证明方程(3)解的存在性，下面证明二分性的情形不成立。

引理6：令 $0<p<\frac{4}{3}$ ， $a_i>0$ ( $i=1,2$ )使得 $a_1^2+a_2^2=a^2$ ，那么 $I\left(\mu \right)<I\left({\mu }_1\right)+I\left({\mu }_2\right)$ ，其中 ${\mu }_i=M\left(Q_i\right)=\frac{1}{2}{a}_i^2$ 。

证明：令 $a>0$ 和 $\theta >1$ ，令 $\left\{Q_n\right\}\subseteq S$ 是 $I\left(\mu \right)$ 的极小化序列。那么

$\begin{array}{c}I\left(\theta \mu \right)\le H\left(\sqrt{\theta }{Q}_n\right)=\frac{\theta }{2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}\left(\mathcal{H}{\left(Q_n\right)}_x\overline{Q_n}+{\left|{\partial }_y{Q}_n\right|}^2\right)}-\frac{{\theta }^{\frac{p+2}{2}}}{p+2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q_n\right|}^{p+2}}\\ <\frac{\theta }{2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}\left(\mathcal{H}{\left(Q_n\right)}_x\overline{Q_n}+{\left|{\partial }_y{Q}_n\right|}^2\right)}-\frac{\theta }{p+2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q_n\right|}^{p+2}}\\ \le \theta H(\; Q\; n\; )\end{array}$

因为 $\theta >1$ ， $p>0$ 。所以 $I\left(\theta \mu \right)<\theta I\left(\mu \right)$ ，等号成立当且仅当 ${\displaystyle {\iint }_{R^2}{\left|Q_n\right|}^{p+2}}\to 0\left(n\to \infty \right)$ 。但是这是不可能的，否则的话存在 $0>I\left(\mu \right)=\underset{n\to \infty }{\lim }H\left(Q_n\right)\ge \underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{1}{2}{\displaystyle {\iint }_{R^2}\left(\mathcal{H}{\left(Q_n\right)}_x\overline{Q_n}+{\left|{\partial }_y{Q}_n\right|}^2\right)}\ge 0$ 矛盾，其中第一个不等式由引理4得到。因此，有严格的不等式

$I\left(\theta \mu \right)<\theta I\left(\mu \right)$ (13)

接下来，证明 $I\left(\mu \right)<I\left({\mu }_1\right)+I\left({\mu }_2\right)$ 。假设 ${\mu }_1\ge {\mu }_2$ ，分为两种情况。

情况1： ${\mu }_1>{\mu }_2$ 。在这种情况下，有

$I\left(\mu \right)=I\left(\frac{\mu }{{\mu }_1}{\mu }_1\right)<\frac{\mu }{{\mu }_1}I\left({\mu }_1\right)=I\left({\mu }_1\right)+\frac{\mu -{\mu }_1}{{\mu }_1}I\left({\mu }_1\right)=I\left({\mu }_1\right)+\frac{{\mu }_2}{{\mu }_1}I\left(\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}{\mu }_2\right)<I\left({\mu }_1\right)+I(\; \mu \; 2\; )$

情况2： ${\mu }_1={\mu }_2$ 。在这种情况下，有

$I\left(\mu \right)=I\left(2{\mu }_1\right)<2I\left({\mu }_1\right)=I\left({\mu }_1\right)+I\left({\mu }_2\right)$ .

然后证明方程(3)解的存在性。

引理7：假设 $\left\{Q_n\right\}\subset H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }M\left(Q_n\right)=\frac{a^2}{2}$ ， $\underset{n\to \infty }{\lim }H\left(Q_n\right)=I\left(\mu \right)$ 。那么，存在 $\left\{\left(x_n,y_n\right)\right\}\subset R^2$ 使得 $\left\{Q_n\left(\cdot +x_n,\cdot +y_n\right)\right\}$ 在 $H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 中是相对紧的。特别地， $\sum \left(\mu \right)\ne \varnothing$ 。

证明：根据方程(12)，当 $0<a\le {\left(4-p\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(p^{\frac{3p}{4}}{2}^{\frac{p}{2}}\right)}^{\frac{2}{4-3p}}$ 时， $\left\{Q_n\right\}$ 在 $H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 中有界。因为 $H\left(Q_n\right)<\frac{I\left(\mu \right)}{2}<0$ ， $M\left(Q_n\right)=\mu =\frac{a^2}{2}$ ，这可推出

$\frac{1}{2}I\left(\mu \right)\ge H\left(Q_n\right)\ge -\frac{1}{p+2}{\Vert Q_n\Vert }_{L^{p+2}}^{p+2}$

这可推出

${\Vert Q_n\Vert }_{L^{p+2}}^{p+2}>0$ 。

这和引理5推出存在 $\left\{Q_n\right\}$ 的一个子列(仍然记为 $\left\{Q_n\right\}$ )，序列 $\left\{\left(x_n,y_n\right)\right\}\subset R^2$ ， $Q_{\infty }\in H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}\backslash \left\{0\right\}$ 使得在 $H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 中 $Q_n\left(\cdot +x_n,\cdot +y_n\right)\rightharpoonup Q_{\infty }\left(n\to \infty \right)$ 。下证 $M\left(Q_{\infty }\right)=\mu$ 。令 $\widetilde{Q_n}\left(\cdot ,\cdot \right)=Q_n\left(\cdot +x_n,\cdot +y_n\right)$ 。由弱下半连续性，有

$M\left(Q_{\infty }\right)\le \underset{n\to \infty }{\lim \inf }M\left(Q_n\right)=\mu$

相反，假设 $M\left(Q_{\infty }\right)<\mu$ 。由弱收敛性，根据引理3，有：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{{\Vert \widetilde{Q_n}\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}^2-{\Vert \widetilde{Q_n}-Q_{\infty }\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}^2-{\Vert Q_{\infty }\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}^2\right\}=0$ (14)

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{M\left(\widetilde{Q_n}\right)-M\left(\widetilde{Q_n}-Q_{\infty }\right)-M\left(Q_{\infty }\right)\right\}=0$ (15)

这可推出

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{H\left(\widetilde{Q_n}\right)-H\left(\widetilde{Q_n}-Q_{\infty }\right)-H\left(Q_{\infty }\right)\right\}=0$ (16)

令 ${\nu }_n=M\left(\widetilde{Q_n}-Q_{\infty }\right)$ ， ${\mu }_{\infty }=M\left(Q_{\infty }\right)$ 。因为序列 $\left\{{\nu }_n\right\}\subset R_{\ge 0}$ 有界，存在子列 $\left\{{\nu }_n\right\}$ (仍然记为 $\left\{{\nu }_n\right\}$ )， ${\nu }_{\infty }\ge 0$ 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\nu }_n={\nu }_{\infty }$ 。由(15)式，假设 ${\mu }_{\infty }<\mu$ ，推出 $\mu ={\nu }_{\infty }+{\mu }_{\infty }$ 和 ${\nu }_{\infty }>0$ 。由(16)式和引理6有 $\theta =\mu /{\nu }_n$ ， $\mu /{\mu }_{\infty }\left(>1\right)$ ， $\underset{n\to \infty }{\lim }{\nu }_n={\nu }_{\infty }$ ，有

$\begin{array}{c}I\left(\mu \right)\ge \underset{n\to \infty }{\lim }I\left({\nu }_n\right)+I\left({\mu }_{\infty }\right)\\ >\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\nu }_n}{\mu }I\left(\mu \right)+\frac{{\mu }_{\infty }}{\mu }I\left(\mu \right)\\ =\frac{{\nu }_n}{\mu }I\left(\mu \right)+\frac{{\mu }_{\infty }}{\mu }I\left(\mu \right)=I(\; \mu \; )\end{array}$

矛盾。因此，推出 $M\left(Q_{\infty }\right)=\mu$ 。

由 $I\left(\mu \right)$ 的定义，可得 $I\left(\mu \right)\le H\left(Q_{\infty }\right)$ 。根据 $M\left(Q_{\infty }\right)=\mu$ 和(15)式，得到 $\underset{n\to \infty }{\lim }M\left(\widetilde{Q_n}-Q_{\infty }\right)=0$ 。这和 $\left\{\widetilde{Q_n}\right\}$ 在 $H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 中的有界性，可推出 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert \widetilde{Q_n}-Q_{\infty }\Vert }_{L^{p+2}}=0$ 。进一步，由弱下半连续性得

$H\left(Q_{\infty }\right)\le \underset{n\to \infty }{\lim \inf }H\left(\widetilde{Q_n}\right)=I(\; \mu \; )$

因此，得到 $H\left(Q_{\infty }\right)\in \sum \left(\mu \right)$ 。进一步，有

$\begin{array}{c}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}\widetilde{Q_n}\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_y\widetilde{Q_n}\Vert }_{L^2}^2\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{H\left(\widetilde{Q_n}\right)+\frac{1}{p+2}{\Vert \widetilde{Q_n}\Vert }_{L^{p+2}}^{p+2}\right\}\\ =H\left(Q_{\infty }\right)+\frac{1}{p+2}{\Vert Q_{\infty }\Vert }_{L^{p+2}}^{p+2}\\ =\frac{1}{2}\left({\Vert D_x^{\frac{1}{2}}{Q}_{\infty }\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_y{Q}_{\infty }\Vert }_{L^2}^2\right)\end{array}$

这推出在 $H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ 中 $\underset{n\to \infty }{\lim }\widetilde{Q_n}=Q_{\infty }$ 。证毕。

现在证明定理2。

定理2的证明：由引理7，可得 $\sum \left(\mu \right)\ne \varnothing$ ，即证明了解的存在性。下证 $\sum \left(\mu \right)$ 的稳定性。反证：假设 $\sum \left(\mu \right)$ 是不稳定的，下面推出矛盾。存在 ${\epsilon }_0>0$ ，序列 $\left\{{\phi }_{0,n}\right\}\subset H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}$ ， $\left\{t_n\right\}\subset R$ 使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{\phi \in \sum \left(\mu \right)}{\inf }{\Vert {\phi }_{0,n}-Q\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}=0$ (17)

$\underset{\phi \in \sum \left(\mu \right)}{\inf }{\Vert {\phi }_n\left(t_n\right)-Q\Vert }_{H^{\left(\frac{1}{2},1\right)}}\ge {\epsilon }_0$ (18)

其中 ${\phi }_n\left(t\right)$ 是方程(1)的解，满足 $Q_n\left(0\right)=Q_{0,n}$ 。由方程(17)和守恒法则(4)，有

$\underset{n\to \infty }{\lim }M\left({\phi }_n\left(t_n\right)\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }M\left({\phi }_{0,n}\right)=\mu$ (19)