量子环面代数及其上的李代数 Quantum Tori and Lie Algebras over Quantum Tori

doi:10.12677/PM.2021.114054

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PureMathematics理论数学,2021,11(4),419-427

PublishedOnlineApril2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm

https://doi.org/10.12677/pm.2021.114054

量子环面代数及其上的李代数

陆狄雷，常智华

华南理工大学数学学院，广东广州

Email:ludyray@126.com

收稿日期：2021年3月2日；录用日期：2021年4月2日；发布日期：2021年4月12日

摘要

量子环面代数在A型扩张仿射李代数的研究中起到重要作用.两个变量的量子环面代数C

在q

是一个m次本原单位根时，同构于m阶矩阵代数的一个有扭双重loop代数.为证明这一结果,

本文具体地构造了矩阵代数的双重loop代数的一个有限自同构群并将量子环面代数C

实现为矩

阵代数的双重loop代数在这一有限群作用下的不动点子代数.进一步将量子环面代数的结果应用

于以其为坐标环的特殊线性李代数sl

),我们得到sl

)在q是单位根时是基于有限维单李

代数sl

(C)的一个有扭双重loop代数.

关键词

量子环面，有扭双重loop代数，扩张仿射李代数

QuantumToriandLieAlgebrasover

QuantumTori

DileiLu,ZhihuaChang

SchoolofMathematics,SouthChinaUniversityofTechnology,GuangzhouGuangdong

Email:ludyray@126.com

文章引用:陆狄雷,常智华.量子环面代数及其上的李代数[J].理论数学,2021,11(4):419-427.

DOI:10.12677/pm.2021.114054

陆狄雷,常智华

Received:Mar.2

,2021;accepted:Apr.2

,2021;published:Apr.12

,2021

Abstract

QuantumtoriplayimportantrolesinthestudyofextendedaﬃneLiealgebraoftype

A.ThequantumtorusC

intwovariablesisisomorphictoatwisteddoubleloop

algebraofthem×m-matricesprovidedthatqisam-thprimitiverootofunit.In

ordertoprovethisresult,weconcretelyconstructaﬁnitegroupofautomorphismof

the doubleloop algebraofmatricesandrealizethequantum torus C

as itssub-algebra

ofﬁxedpointsunderthisaction.Wefurtherapplythisresulttothespeciallinear

Liealgebrasl

)coordinatedbythequantumtorusC

,andconcludethattheLie

algebrasl

)isalso atwisteddouble loopLiealgebra basedon theﬁnite-dimensional

simpleLiealgebrasl

(C)ifqisarootofunit.

Keywords

QuantumTorus,TwistedDoubleLoopAlgebra,ExtendedAﬃneLieAlgebra

This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1.介绍

有限维复单李代数可以通过有限型根系和Cartan矩阵进行分类.20世纪50年代后期,V.G.

Kac 和R. V.Moody分别推广了Cartan 矩阵的概念,引入了Kac-Moody代数的概念,并进一步对

其中的仿射型Kac-Moody代数给出了基于有限维李代数的(有扭)loop代数的实现.因为同时具

有Chevalley-Serre和loop实现,仿射李代数的结构和表示的研究近几十年取得了丰硕的成果(参

考文献[1]).

20世纪90年代初,S.Azam,B.Allison,S.Berman,Y.Gao和A.Pianzola在[2]中进一步将

仿射型Kac-Moody代数推广到扩张仿射李代数.事实上,论文[3]已证明零度为0的扩张仿射李代

数就是有限维可列单李代数,而零度为1的扩张仿射李代数恰为仿射Kac-Moody代数.对于零度

更大的情形,论文[4]证明了除A型外其它类型的扩张仿射李代数的无中心核同构于一个基于有限

维单李代数的多重(有扭)loop代数.A型的扩张仿射李代数较为特别,论文[5]指出当n>3时,

零度为ν的A

型扩张仿射李代数的无中心核同构于ν个变量的量子环面代数上的特殊线性李代

DOI:10.12677/pm.2021.114054420理论数学

陆狄雷,常智华

数.量子环面代数是一个非交换的含幺结合代数.

论文[6]对零度为2的扩张仿射李代数做了更为细致的研究,得到了它们的完整分类.特别地,

零度为2的A

型扩张仿射李代数的分类依赖于2个变量的量子环面代数的分类.从论文[5]可以

知道,当参数q不是一个单位根时,量子环面代数C

是一个单的结合代数.但q是一个单位根时,

量子环面代数C

不是单的,它的中心与两个变量的Laurent多项式代数C[u

±1

]同构.根据论

文[6]的结果,把量子环面代数C

看成其中心为基环的代数,通过基环的扩张可以得到C[u

±1

]

分式域上的一个有限维代数.通过证明这个有限维代数是中心单的结合代数，从而说明了量子环面

代数C

事实上是Larent多项式环C[u

±1

]上的全矩阵代数的一个扭形式(某个有限自同构群

作用下的不动点子代数).

本文我们具体地给出Laurent多项式环C[u

±1

]上的全矩阵的代数的有限自同构群,并证

明相应的不动点子代数与q是单位根时的量子环面代数C

同构.即,通过自同构的直接构造来说

明C

是矩阵代数的一个有扭双重loop代数(第2节).并进一步在第3节中说明以这样的量子环面

代数为坐标环的特殊线性李代数也是有限维单李代数的有扭双重loop代数.这些结果帮助我们更

为简单地理解以量子环面代数C

为坐标环的特殊线性李代数的有限维表示的分类的结果,也启发

我们借助于多重loop李代数的结论来对以量子环面代数为坐标环的李代数进行更为深入地研究.

2.量子环面代数

量子环面代数是多项式代数的非交换推广.我们在本节中回顾量子环面代数的定义和基本性

质,并通过构造矩阵代数上的一些有限阶自同构证明量子环面代数同构于矩阵代数的有扭双重loop

代数.

定义2.1.设Q=(q

)

i,j=1,...,ν

是一个ν×ν的复方阵且满足

=1,i=1,...,ν,且 q

−1

,1≤i,j≤ν.

定义复数域上ν个变量的量子环面代数C

±1

,...,x

±1

]为由生成元x

±1

,...,x

±1

和定义关系

−1

=1=x

−1

,i=1,...,ν,

,1≤i,j≤ν.

决定的结合代数.

特别地,当ν=2时,Q=



−1



由一个参数q决定,我们将C

±1

]简记为C

.即,

是由x

±1

和y

±1

生成的含幺结合代数,生成元满足定义关系

−1

x=1=yy

−1

y,xy=qyx.

量子环面代数的中心和导子等性质已在文献[5]中进行了详细的讨论,我们仅在这里列出本文

中所需的若干性质.

命题2.2.([5])󲣵Z(C

)󲼆󱃦󳒙󰊧C

󱎻.

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•{x

,i,j∈Z}󰍦C

󱎻󱯻,

•C

=[C

]⊕Z(C

•q󰍦󰕰󰌭,Z(C

)=C;C

󰍦󱰊󰊧.

•q󰍦m󰡘󰑣󰕰󰌭,

.(2.1)

Z(C

)󰒻x

±m

󱉖󱎻Laurent󳖰󰊧C[x

±m

我们这里考虑q是m次本原单位根的情形.由于其中心是交换的Laurent多项式代

数C[x

±m

],量子环面代数C

是C[x

±m

]上的有限型的结合代数,即C

作为交换

环C[x

±m

]的模是有限生成的.更进一步,C

是C[x

±m

]上的m×m矩阵代数

(C)⊗C[x

±m

]相对于环扩张C[x

±m

]⊆C[x

±1

]的扭形式(twistedform),也

称为C[x

±m

]上的Azumaya代数.文献[6]中通过说明C

在C[x

±m

]的分式域K上的

扩张C

⊗

C[x

±m

]

K是K上的有限维中心可除代数证明了这一事实,我们在这里通过矩阵代数

上的自同构具体地给出这个扭形式.

为此,我们引入矩阵







m−1







,Y=













容易验证,它们满足下列性质:

•X

=1=Y

•XY=qYX.

•{X

|0≤i,j≤m−1}是M

(C)的一组基.

矩阵X和Y可以给出矩阵代数M

(C)上的两个m阶自同构:

(C)−→M

(C),A−→XAX

−1

(C)−→M

(C),A−→YAY

−1

引理2.3.󱔠󳍬󰊧M

(C)󱎻󱼡󰒻σ

σ

󰰘󲫪

(i)σ

=σ

(ii)σ

)=q

,i,j=0,1,...,m−1.

(iii)σ

)=q

−i

,i,j=0,1,...,m−1.

引理可直接计算验证,我们在此略去细节.

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接下来我们考虑矩阵代数M

(C)相应于自同构σ

和σ

的双重有扭loop结合代数.记

C[u

±1

]为两个变量u和v的Laurent多项式代数.首先将自同构σ

和σ

延拓为无扭loop

代数M

(C)⊗C[u

±1

]上的自同构:

˜σ

(C)⊗C[u

±1

]→M

(C)⊗C[u

±1

],A⊗u

7→q

−j

(A)⊗u

˜σ

(C)⊗C[u

±1

]→M

(C)⊗C[u

±1

],A⊗u

7→q

(A)⊗u

自同构˜σ

和˜σ

同样满足:

˜σ

=˜σ

=1,˜σ

˜σ

=˜σ

˜σ

因此,它们定义了有限群Γ=Z/mZ×Z/mZ在M

(C)⊗C[u

±1

]上的作用.我们将证明

定理2.4.󲣵q󰍦m󰡘󱎻󰑣󰕰,󲼆󱎻󲼆󱃦󳒙󰊧C

󰒻loop󱰊󰊧

(C)⊗C[u

±1

]Γ󱉟󱎻󰷰󰊧.,

∼

(C)⊗C[u

±1

])

.(2.2)

Proof.因为{X

|i,j=0,1,...,m−1}是M

(C)的一组基,所以

⊗u

|i,j=0,1,...,m−1,r,s∈Z}

是M

(C)⊗C[u

±1

]的一组基.

由引理2.3,我们直接计算

˜σ

⊗u

)=q

j−s

⊗u

˜σ

⊗u

)=q

−i+r

⊗u

说明



ijr s

⊗u

∈(M

(C)⊗C[u

±1

])

当且仅当

ijr s

j−s

ijrs

,且 a

ijr s

−i+r

ijr s

即,a

ijr s

̸=0仅当j≡s(modm)且i≡r(modm).注意到X

=1,我们有loop代数

(C)⊗C[u

±1

]在Γ作用下的不动点子代数(M

(C)⊗C[u

±1

])

有一组基

⊗u

|i,j∈Z}.

它们的乘积满足

⊗u

)(X

⊗u

)=X

⊗u

i+k

j+l

−jk

i+k

j+l

⊗u

i+k

j+l

另一方面,由命题2.2,量子环面代数C

有一组基{x

|i,j∈Z},它们也满足

−jk

i+k

j+l

,i,j,k,l∈Z.

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陆狄雷,常智华

因此,

φ:C

→(M

(C)⊗C[u

±1

])

7→X

⊗u

,i,j∈Z.

是一个代数同构.

注记2.5.上述定理说明当q是一个单位根时,两个变量的量子环面代数C

是矩阵代数的一个有

扭双重loop代数.但对于ν>2个变量的量子环面代数C

,即便在Q=(q

)中所有元素q

都是

单位根的情形都不一定是一个有扭的多重loop矩阵代数.此时把C

看成是以其中心作为基环上

的代数是仍然有限维的,但这个有限维代数的结构目前仍不清楚.

3.量子环面上的特殊线性李代数

基于S. Berman,Y.Gao和Y.Krylyuk在论文[5]中的结果,零度为2 的A

-型扩张仿射李代

数与量子环面C

上的特殊线性李代数sl

)中心同源.这里的特殊线性李代数事实上可以对任

何一个含幺结合代数A定义,即,

(A)={A∈gl

(A)|tr(A)∈[A,A]},(3.1)

其中gl

(A)是元素在A中的全体n阶方阵在通常的换位运算下形成的李代数.

在上一节中,我们证明了参数q是m次本原单位根时,两个变量的量子环面代数C

同构于m

阶全矩阵代数M

(C)的双重loop代数在有限群Γ=Z/mZ×Z/mZ作用下的不动点子代数.此

时,

)=sl

((M

(C)⊗C[u

±1

])

).(3.2)

我们将进一步证明:sl

)是有限维李代数sl

(C)的一个多重有扭loop代数.

设A是一个含幺结合代数,Γ是A的自同构群的一个有限子群.则Γ可以通过在每个元素上

分别作用的方式作用在李代数gl

(A)上,且这一作用可以限制到sl

(A).我们仍然把这样得到的

李代数sl

(A)的自同构群的有限子群记为Γ.考虑结合代数A在Γ作用下的不动点子代数A

容易看出

)=gl

(A)

.(3.3)

但不动点子代数A

上的特殊线性李代数sl

)通常并不同构于李代数sl

(A)在Γ作用下的

不动点子代数sl

(A)

例3.1.在2阶矩阵代数M

(C)上定义自同构:

τ:M

(C)→M

(C),





7→











记Γ=⟨τ⟩为由τ生成的自同构群.则

(C)







a,b∈C



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容易验证:



(C)



=0.

但

(C),M

(C)]

=sl

(C)

=sl

(C)∩M

(C)







b∈C



但我们可以证明下面的引理:

引理3.2.󲣵A󰍦󱰊󰊧,Γ󰍦A󱎻󱼡󰒻󱳛󱎻󰑀󳎇󱳛.sl

)=sl

(A)





[A,A]∩A

=[A

].(3.4)

Proof.由特殊线性李代数的定义,



A∈gl

)



tr(A)∈[A

]





A∈gl

(A)



tr(A)∈[A

]



而

(A)

=sl

(A)∩gl

(A)



A∈gl

(A)



tr(A)∈[A,A]



当A∈gl

(A)

=gl

)时,自然有tr(A)∈A

.所以sl

(A)

可写为

(A)



A∈gl

(A)



tr(A)∈[A,A]∩A



因此,当[A,A]∩A

=[A

]时有sl

)=sl

(A)

,充分性得证.

下面证明必要性:设sl

)=sl

(A)

.记e

(a)为gl

(A)中(1,1)位置为a其余位置为

0的矩阵.则a∈[A

]当且仅当e

(a)∈sl

)=sl

(A)

,这等价于a∈[A,A]∩A

.因

此,[A,A]∩A

=[A

注记3.3.上述引理中在n=1时是自然成立的.事实上,

(A)

=sl

(A)∩A

=[A,A]∩A

,sl

)=[A

接下来回到量子环面C

上特殊线性李代数sl

)的讨论.在上一节中,我们定义了有限群

Γ=⟨˜σ

,˜σ

⟩在M

(C)⊗C[u

±1

]上的作用, 进而通过逐个位置作用到sl

(C)⊗C[u

±1

])

上.进而有下面的定理:

定理3.4.󲣵q󰍦m󰡘󰑣󰕰,󰑀󰒅󰊧󰒻

)

∼

(sl

(C)⊗C[u

±1

]))

∼



(C)⊗C[u

±1

]



.(3.5)

Proof.记A=M

(C)⊗C[u

±1

],Γ=⟨˜σ

,˜σ

⟩.则由定理2.4可知,C

∼

.我们验证结合

代数A满足上述引理的条件.

DOI:10.12677/pm.2021.114054425理论数学

陆狄雷,常智华

在定理2.4的证明过程中,我们已经说明M

(C)有一组基{X

|i,j=0,...,m−1}.因为



m−1



i,j=0



m−1



i=0

(1+q

+···+q

(m−1)i

)=ma

m−1



i=1

1−q

=ma

所以

m−1



i,j=0

∈sl

(C)=[M

(C),M

(C)]当且仅当a

=0.因此,sl

(C)有一组基

|i,j=0,...,m−1,且(i,j)̸=(0,0)}.

基于上述讨论,结合代数A=M

(C)⊗C[u

±1

]有一组基{X

⊗u

|i,j=0,...,m−

1,k,l∈Z}.因此,[A,A]=sl

(C)⊗C[u

±1

]的一组基为{X

⊗u

|i,j=0,...,m−

1,且(i,j)̸=(0,0),k,l∈Z}.注意到



ijkl

⊗u

∈A

当且仅当a

ijkl

非零时有k≡i

(modm)且l≡j(modm).因此,[A,A]∩A

的一组基为

⊗u

|i,j∈Z,m-i或m-j}.(3.6)

另一方面,由定理2.4有A

∼

.由命题2.2可得[C

]的一组基为{x

|i,j∈Z,m-

i或m-j}.通过同构A

∼

,(3.6)也是[A

]的一组基.

至此,我们验证了结合代数A在Γ的作用下满足引理3.2的条件.因此,

)

∼

)=sl

(A)

∼



(C)⊗C[u

±1

]



.(3.7)

即,sl

)是sl

(C)的一个有扭双重loop代数.

致谢

作者感谢汪永杰博士在论文写作过程中给予的建议。

基金项目

广东省基础与应用基础研究基金项目2020A1515011417。

参考文献

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