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PureMathematics
理论数学
,2021,11(4),477-484
PublishedOnlineApril2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2021.114061
关于某些连续函数的分数阶微积分的分形维数
估计
王含西
纽约大学文理学院，美国纽约
Email:hw1687@nyu.edu
收稿日期：
2021
年
3
月
6
日；录用日期：
2021
年
4
月
8
日；发布日期：
2021
年
4
月
15
日
摘要
在本文中，我们对分形函数的定义进行了初步的研究，接着讨论了分形函数分数阶微积分的分形
维数估计。我们使用新方法进行的估计表明分形函数的分形维数和分数阶微积分的阶之间存在
一定关系。如果分形函数满足
Hölder
条件，则这种分形函数的
Riemann-Liouville
分数阶积
分的上
Box
维数小于这些分形函数的上
Box
维数。这就意味着一个重要的结论：分形函数的
Riemann-Liouville
分数阶微积分的上
Box
维数不会增加。
关键词
分形函数，
Riemann-Liouville
分数阶微积分，分形维数
ARemarkonFractalDimension
EstimationofFractionalCalculus
ofCertainContinuousFunctions
HanxiWang
CollegeofArtsandScience,NewYorkUniversity,NewYorkUSA
Email:hw1687@nyu.edu
Received:Mar.6
th
,2021;accepted:Apr.8
th
,2021;published:Apr.15
th
,2021
文章引用
:
王含西
.
关于某些连续函数的分数阶微积分的分形维数估计
[J].
理论数学
,2021,11(4):477-484.
DOI:10.12677/pm.2021.114061
王含西
Abstract
Inthepresentpaper,wemakeresearchonthedefinitionoffractalfunctionselemen-
tary.Thenwediscussthefractaldimensionsoffractionalcalculusoffractalfunctions.
Theestimationusinganewmethodshowscertainrelationshipbetweenthefractal
dimensionsoffractalfunctionsandordersoffractionalcalculus.Ifthefractalfunc-
tionsatisfiestheHöldercondition,theupperBoxdimensionoftheRiemann-Liouville
fractionalintegralofsuchfractalfunctionshasbeenprovedtobelessthantheupper
Boxdimensionofthosefractalfunctions.Thismeansanimportantconclusionthat
theupperBoxdimensionoftheRiemann-Liouvillefractionalintegralofsuchfractal
functionswillnotincrease.
Keywords
TheFractalFunction,TheRiemann-LiouvilleFractionalCalculus,TheFractal
Dimension
Copyright© 2021byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License(CCBY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
引言
对于经典微积分来说，连续函数的
Riemann
积分一般比函数本身更光滑。所以我们感兴趣的
是，同样的结果是否对于分数阶微积分也成立。
许多学者们已经注意到分形函数的分数阶微积分的分形维数估计。这些研究具有十分重要的
意义，其中最早的研究可能属于
Tatom
的论文
[1]
。他讨论了
Koch
曲线的
Box
维数与
Grünwald
极限的阶之间的关系。虽然
Tatom
没有给出这种关系的证明，但是他展示了相关的图表和数值
结果。
Tatom
在他的论文中猜想分形曲线的分形维数与
Grünwald
极限的阶之间可能存在线性
关系。
Zähle
讨论了
Weierstrass
函数和它们的
Weyl-Marchaud
分数阶导数
[2,3]
。他认为如果
Weierstrass
函数的
Weyl-Marchaud
分数阶导数存在，在一定条件下对应关系应该是线性的。其它
结果可参见
[4–6]
。
姚奎讨论了
Weierstrass
函数的
Box
维数与
Riemann-Liouville
分数阶微积分阶之间的联
DOI:10.12677/pm.2021.114061478
理论数学
王含西
系
[7–9]
。他证明了相应线性关系的结论是正确的。阮火军证明了线性分形插值函数的
Box
维数与
Riemann-Liouville
分数阶积分的阶之间的线性关系
[10]
。周颂平讨论了
Besicovitch
函数的分形维
数与
Riemann-Liouville
分数阶微积分的阶之间的关系
[11]
。
梁永顺研究了分形函数
(Weierstrass
函数和
Besicovitch
函数
)
的
Weyl-Marchaud
分数阶导
数
[12–14]
。他还证明了闭区间上有界变差连续函数的
Riemann-Liouville
分数阶积分仍然是有界
变差的
[15]
。其它相关工作，可以参见
[16–18]
。分形曲线的相应结论
(Koch
曲线
)
可以参见
[19]
。
本文主要目的是探索分形函数的分形维数与分数阶微积分阶之间的关系。我们的目标是证明：
满足一定条件分形函数的
Riemann-Liouville
分数阶积分的分形维数不会增加。
在本文中
,
令
I
为单位区间
[0
,
1]
。
Γ(
f,I
)
表示函数
f
(
x
)
在区间
I
上的图像，这也可以表示为
Γ(
f,I
)=
{
(
t,f
(
t
)):
t
∈
I
}
.
令
C
表示一个正常数，并且在同一行中，在不同的位置也可能具有不同的值。本文讨论的函
数都是连续的，并在
I
上有定义。我们将它们写为
C
I
。
2.
分形函数
本文主要使用的分形维数是上、下
Box
维数。其定义如下
定义
2.1[20].
F
R
2
N
δ
(
F
)
F
δ
Box
dim
B
(
F
)=
lim
δ
→
0
log
N
δ
(
F
)
−
log
δ
(2
.
1)
dim
B
(
F
)=
lim
δ
→
0
log
N
δ
(
F
)
−
log
δ
.
(2
.
2)
(2.1)
(2.2)
,
F
Box
dim
B
(
F
)=
lim
δ
→
0
log
N
δ
(
F
)
−
log
δ
.
(2
.
3)
Riemann-Liouville
分数阶微积分定义如下
定义
2.2[6,21].
f
(
t
)
∈
C
I
,
v>
0
D
−
v
f
(0)=0
,
t
∈
(0
,
1]
,
D
−
v
f
(
t
)=
1
Γ(
t
)
x
0
(
x
−
t
)
v
−
1
f
(
x
)
dx
(2
.
4)
f
(
t
)
v
Riemann-Liouville
u>
0
,
D
u
f
(0)=0
t
∈
(0
,
1]
,
DOI:10.12677/pm.2021.114061479
理论数学
王含西
D
u
f
(
t
)=
D
(
D
u
−
1
f
(
t
))=
1
Γ(1
−
u
)
d
dt
t
0
(
t
−
x
)
−
u
f
(
x
)
dx
(2
.
5)
f
(
t
)
u
Riemann-Liouville
然后我们给出奇异分形函数的定义
定义
2.3.
f
(
t
)
∈
C
I
,
Γ(
f,I
)
f
(
t
)
I
定义
2.4.
f
(
t
)
I
I
J
=[
a,b
]
a<b),
Γ(
f,J
)
f
(
t
)
I
I
J
=[
a,b
]
a<b
Γ(
f,J
)
f
(
t
)
I
我们现在给出正则和非正则分形函数的定义。
定义
2.5.
f
(
t
)
I
(1)
f
(
t
)
Box
f
(
t
)
(2)
dim
B
Γ(
f,I
)=
s,
(1
≤
s
≤
2)
J
=[
a,b
](
a<b
)
I
dim
B
Γ(
f,J
)=
s,
f
(
x
)
(3)
dim
B
Γ(
f,I
)=
s,
(1
≤
s
≤
2)
.
I
J
=[
a,b
](
a<b
)
Γ(
f,J
)
Box
dim
B
Γ(
f,J
)
<s,
f
(
x
)
在下一节中，我们将讨论满足如下
Hölder
条件的某些分形函数。
引理
2.6[20].
f
(
t
)
∈
C
I
0
<α<
1
.
|
f
(
t
)
−
f
(
u
)
|≤
C
|
t
−
u
|
α
,
∀
t,u
∈
I,
dim
B
Γ(
f,I
)
≤
2
−
α.
DOI:10.12677/pm.2021.114061480
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王含西
3.
分形函数的
Riemann-Liouville
分数阶积分
在本节中，我们将给出分形函数的
Riemann-Liouville
分数阶积分的上
Box
维数估计。如果分
形函数满足
Hölder
条件，则这些函数的
Riemann-Liouville
积分的分形维数不会随分形函数本身
的分形维数而增加。
我们先给出如下的定理
定理
3.1.
如果
f
(
t
)
∈
C
I
,
如下所定义的
D
−
v
f
(
t
)
D
−
v
f
(
t
)=
1
Γ(
v
)
t
0
(
t
−
x
)
v
−
1
f
(
x
)
dx
(3
.
1)
的上
Box
维数不大于
2
−
v
.
证明
.
如果
t,t
+
h
∈
I
,
|
D
−
v
f
(
t
+
h
)
−
D
−
v
f
(
t
)
|
=
1
Γ(
v
)
t
+
h
0
(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
f
(
x
)
dx
−
1
Γ(
v
)
t
0
(
t
−
x
)
v
−
1
f
(
x
)
dx
:=
I
1
.
I
1
=
1
Γ(
v
)
t
+
h
0
[(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
−
(
t
−
x
)
v
−
1
]
f
(
x
)
dx
+
1
Γ(
v
)
t
+
h
t
(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
f
(
x
)
dx
≤
C
t
+
h
0
[(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
−
(
t
−
x
)
v
−
1
]
dx
+
C
t
+
h
t
(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
dx
≤
Ch
v
.
根据引理
2.6,
我们能够得出
dim
B
Γ(
D
−
v
f,I
)
≤
2
−
v.
2
如果分形函数满足
Hölder
条件，我们能够得到以下定理
定理
3.2.
令
f
(
t
)
∈
C
I
,
0
<α
≤
1/2
,
并且
|
f
(
t
)
−
f
(
u
)
|≤
C
|
t
−
u
|
α
,
∀
t,u
∈
I.
D
−
v
f
(
t
)
的上
Box
维数不超过
2
−
α
.
证明
.
根据引理
2.6,
可以得到
dim
B
Γ(
f,I
)
≤
2
−
α,
0
<v<
1
.
DOI:10.12677/pm.2021.114061481
理论数学
王含西
令
t,t
+
h
∈
I.
可得
|
D
−
v
f
(
t
+
h
)
−
D
−
v
f
(
t
)
|
=
1
Γ(
v
)
t
+
h
0
(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
f
(
x
)
dx
−
1
Γ(
v
)
t
0
(
t
−
x
)
v
−
1
f
(
x
)
dx
:=
I
2
.
运用变量替换，
I
2
=
1
Γ(
v
)
t
+
h
0
(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
f
(
x
)
−
t
t
+
h
v
f
t
t
+
h
x
dx
=
1
Γ(
v
)
t
+
h
0
(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
t
t
+
h
v
t
+
h
t
v
f
(
x
)
−
f
t
t
+
h
x
dx
=
1
Γ(
v
)
t
+
h
h
+
h
0
(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
t
t
+
h
v
t
+
h
t
v
f
(
x
)
−
f
t
t
+
h
x
dx
≤
Ch
α
+
C
t
+
h
h
(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
t
t
+
h
v
t
+
h
t
v
f
(
x
)
f
t
t
+
h
x
dx
.
令
g
(
h
)=
t
+
h
t
v
.
存在
ξ
∈
I
满足
g
(
h
)=1+
vh
+
v
(
v
−
1)
h
2
/2+
v
(
v
−
1)(
v
−
2)(1+
ξ
/
t
)
v
−
3
h
3
6
.
因为
0
<α
≤
1/2
,
I
2
≤
Ch
α
+
C
t
+
h
0
(
t
+
h
−
x
)
v
−
1
t
t
+
h
v
hx
t
+
h
α
dx
.
令
y
=
x
t
+
h
.
所以
I
2
不超过
Ch
α
+
Ch
α
1
0
(1
−
y
)
v
−
1
y
�
dy.
这说明
I
2
≤
Ch
α
.
根据引理
2.6
，
dim
B
Γ(
D
−
v
f,I
)
≤
2
−
α.
2
注记
3.3.
定理
3.2
表明
D
−
v
f
(
t
)
的上
Box
维数不再存在比
2
−
α
更大的。这说明
Riemann-
Liouville
分数阶积分不会增加分形函数的分形维数。
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理论数学
王含西
4.
结论
本文中，我们给出了关于分形函数的基本定义。我们还得出结论，分形函数的分形维数与分
数阶微积分之间存在一定关系。具体而言，此类分形函数的
Riemann-Liouville
分数阶积分的上
Box
维数不会增加。
基金项目
感谢国家自然科学基金
(
资助号
12071218)
的支持。
参考文献
[1]Tatom,F.B.(1995)TheRelationshipbetweenFractionalCalculusandFractals.
Fractals
,
3
,
217-229.https://doi.org/10.1142/S0218348X95000175
[2]Zähle, M.andZiezold,H.(1996) Fractional DerivativesofWeierstrass-TypeFunctions.
Journal
ofComputationalandAppliedMathematics
,
76
,265-275.
https://doi.org/10.1016/S0377-0427(96)00110-0
[3]Zähle,M.(1997)FractionalDifferentiationintheSelf-AffineCase.V—TheLocalDegreeof
Differentiability.
MathematischeNachrichten
,
185
,297-306.
https://doi.org/10.1002/mana.3211850117
[4]Kolwankar,K.M.andGangal,A.D.(1996)FractionalDifferentiabilityofNowhereDifferen-
tiableFunctionsandDimensions.
Chaos
,
6
,505-513.https://doi.org/10.1063/1.166197
[5]Kolwankar, K.M. andGangal,A.D. (1998) Local Fractional Derivatives and Fractal Functions
ofSeveralVariables.
Physics
.
[6]Miller,K.S.andRoss,B.(1993)AnIntroductiontotheFractionalCalculusandFractional
DifferentialEquations.JohnWileySonsInc.,NewYork.
[7]
姚奎
,
苏维宜
,
周颂平
.
关于一类
Weierstrass
函数的分数阶微积分函数
[J].
数学年刊
,2004,
25(6):711-716.
[8]Yao,K.,Su,W.Y.andZhou,S.P.(2005)OntheConnectionbetweentheOrderoftheFrac-
tionalCalculusandtheDimensionofaFractalFunction.
Chaos,SolitonsandFractals
,
23
,
621-629.https://doi.org/10.1016/j.chaos.2004.05.037
[9]Yao,K.,Su,W.Y. andZhou,S.P.(2006)OntheFractionalDerivativesofaFractalFunction.
ActaMathematicaSinica
,
22
,719-722.https://doi.org/10.1007/s10114-005-0644-z
[10]Ruan,H.J.,Su,W.Y.andYao,K.(2009)BoxDimensionandFractionalIntegraloflinear
FractalInterpolationFunctions.
JournalofApproximationTheory
,
161
,187-197.
https://doi.org/10.1016/j.jat.2008.08.012
DOI:10.12677/pm.2021.114061483
理论数学
王含西
[11]Zhou, S.P.,He,G.L.andXie,T.F.(2004) OnaClass ofFractals:The Constructive Structure.
Chaos,SolitonsandFractals
,
19
,1099-1104.https://doi.org/10.1016/S0960-0779(03)00282-0
[12]Liang,Y.S. andSu,W.Y.(2007)TheRelationshipbetweentheFractalDimensions ofaType
of Fractal Functions andtheOrderofTheir FractionalCalculus.
Chaos,SolitonsandFractals
,
34
,682-692.https://doi.org/10.1016/j.chaos.2006.01.124
[13]Liang,Y.S.(2007)ConnectionbetweentheOrderofFractionalCalculusandFractalDimen-
sionsofaTypeofFractalFunctions.
AnalysisTheoryandItsApplication
,
23
,354-363.
https://doi.org/10.1007/s10496-007-0354-8
[14]Liang,Y.S.(2008) TheRelationshipbetweentheBoxDimension ofthe BesicovitchFunctions
andtheOrdersofTheirFractionalCalculus.
AppliedMathematicsandComputation
,
200
,
297-307.https://doi.org/10.1016/j.amc.2007.11.014
[15]Liang,Y.S.(2010)BoxDimensionsofRiemann-LiouvilleFractionalIntegralsofContinuous
FunctionsofBoundedVariation.
NonlinearAnalysis:Theory,MethodsandApplications
,
72
,
4304-4306.https://doi.org/10.1016/j.na.2010.02.007
[16]Liang, Y.S., Yao, K. andXiao, W. (2008) TheFractalDimensions ofGraphsof theWeierstrass
FunctionwiththeWeyl-MarchaudFractionalDerivative.
JournalofPhysics:ConferenceSe-
ries
,
96
,ArticleID:012111.https://doi.org/10.1088/1742-6596/96/1/012111
[17]Yao,K.,Liang,Y.S.andFang,J.X.(2008)TheFractalDimensionsofGraphsoftheWeyl-
MarchaudFractionalDerivativeoftheWeierstrass-TypeFunction.
Chaos,SolitonsandFrac-
tals
,
35
,106-115.https://doi.org/10.1016/j.chaos.2007.04.017
[18]Yao,K.,Liang,Y.S.andZhang,F.(2009)OntheConnectionbetweentheOrderofthe
Fractional Derivative and theHausdorff Dimension ofa Fractal Function.
Chaos,Solitonsand
Fractals
,
41
,2538-2545.https://doi.org/10.1016/j.chaos.2008.09.053
[19]
梁永顺
,
苏维宜
.Koch
曲线及其分数阶微积分
[J].
数学学报
,2011,54(2):227-240.
[20]Falconer,K.J.(1990)FractalGeometry:MathematicalFoundationsandApplications.John
WileySonsInc.,NewYork.
[21]Oldham,K.B.andSpanier,J.(1974)TheFractionalCalculus.AcademicPress,NewYork.
DOI:10.12677/pm.2021.114061484
理论数学
