Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 12-14 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.11003 Published Online April 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Exact Solutions and Conservation Laws of Whitham-Broer-Kaup-Like Equations Jinqian Yu, Xiqiang Liu, Tingtin g W ang School of Mathematicas Scien ce, Liaocheng Univer sit y, Liaocheng Email: yujinqiand@ sin a.com Received: Mar. 8th, 2011; revised: Apr. 6th, 2011; accepted: Apr. 7th, 2011. Abstract: By using the modified CK’s direct method, we derive the symmetry group theorem of WBKL equ- ations. The new exact solutions of WBKL equations are obtained by applied the symmetry group theorem and the old solutions. Based on the above theorem and the adjoint equations, we derive the conserv ation laws of WBKL equat ions. Keywords: WBKL Equations; CK’s Direct Method; Symmetry; Exact Solutions; Conservation Laws Whitham-Broer-Kaup-Like 方程组的精确解和守恒律 于金倩,刘希强,王婷婷 聊城大学数学科学学院,聊城 Email: yujinqiand@ sin a.com 收稿日期:2011 年3月8日;修回日期:2011 年4月6日;录用日期:2011 年4月7日 摘 要:通过利用修正 CK 直接方法建立了 Whitham-Broer-Kaup-Like(WBKL)方程组的对称群理论。 利用对称群理论和 WBKL 方程组的旧解得到了它们的新的精确解。基于上述理论和 WBKL 方程组的 共轭方程组的理论,得到了WBKL 方程组的守恒律。 关键字:Whitham-Broer-Kaup-Like 方程组;CK 直接方法;对称;精确解;守恒律 1. 引言 在本文中,应用改进的CK直接方法,我们将考虑 Whitham-Broer-Kaup-Like(WBKL)方程组[1]: 0 txx xx uuu Hu (1) () 0 txxxxxx HHu uH (2) 此方程组在数学物理中具有十分重要的地位,其中 , 和 是任意实常数。当 1 ,为 Whitham-Broer-Kaup 方程[2],许多数学家和物理学家 对此方程进行了细致的研究并取得很大进展,求出此 方程存在爆破解、周期解和行波解等,详细内容参看 文献[3-7],当 0, 1 0 为长波方程的近似方程,当 1, 为变形的Boussinesq 方程[8,9] ,当 1 3,1, 0 为色散长波方程[10,11]。 在文献[12]中作者利用 GG 扩展函数方法得 到WBKL方程组的三种带参数的函数解,包括双曲函 数解,三角函数解,有理函数解。当参数取一定的值 时,可从双曲函数解中得到一些孤立波解。 本文利用修正的CK直接方法得到其对称,并通过 群理论建立新旧解之间的关系,推广了已有文献中的 结果。最后通过所求的对称得到了方程组的守恒律。 本文求得的守恒律和对称群还没有出现在已有的文 献中。 2. WBKL方程组的新精确解 假设方程组有满足如下形式的对称群: 11 (,)(,)(,) (,)uxtxt xtU 22 (,)(,)(,) (,)Hxtxt xt (3) 这里 (,),(,) x txt ,,}{,,,} xt U 是待定函数,并且在转换 {,uH 下要求 (,), (,)U 也满足 基金项目:国家自然科学基金与中物院联合基金资助项目(11076 015),山东自然科学基金资助课题(Y2008A35)。 于金倩等 方程组的精确解和守恒律13 | Whitham-Broer-Kaup-Like 方程组,即 0UUU U (4) ()UU 0 (5) 把方程(3)代入方程组(1) 和(2)并利用方程组(4)和 (5),得到: 42 112 (,,,,,,)0 xxx UU FxtU (6) 其中 4 4 4 U U ,并且函数 (,,,, ,,)Fxt U 与 42 ,,UU 无关,为了保证(6)式对任意的函数,U 成 立,必须使 的系数等于零,可得 42 ,,UU 0 x ,10 x ,20 x (7) 把(7)代入(6)可得一系列的关于1212 ,,,, 和 的决定方程组,解之可得 2 112122 2 ,0,,cc 2 ,c 4 21 23 2 ,cx cctcctc (8) 其中 为任意常数。 (1,2,3,4) i ci 根据上述过程,我们有下面的对称群定理: 定理 1 若(,), (,)UU 是WBKL 方程 组的解,那么下述解也是 2 12 2 (,),(,)uccU Hc (9) 这里 , 由(8)式决定。 从定理1能够看到方程(9)其实是一个自贝克隆变 换,它给出了WBKL新旧精确解之间的关系。WBKL 方程组的 有如下形式的解[12]: (,)uxt 2 22 () coth csch uV (10) 其中 x Vt , 为任意常数, 1 ,把定理 1作用到(10)式,我们可以得到WBKL方程组的新的精 确解 2 12 2 2 2123 24 22 2 2 2123 24 , coth () csch (()) uxtccV c cxcctcV ctc c cxcctc Vctc (11) 这里 ,V 为任意常数, 1 。 注1 类似地,利用不同的种子解,重复利用定理1 能够得到不同种类的精确解。因此我们推广了文献[12] 的结论。 3. 对称群的李代数 为了通过(8)式讨论它的李代数,我们限制 1122334 ,1 ,,cCcCcCcC 4 , 这里 是无穷小参数,且和 是任意常 数。那么方程(9)可记作 123 ,,CCC4 C (), ()uU UH 1 , 213242 () ()(2) xt UCxCtCU CtCUCUC , 21324 2 ()()(2) 2 xt CxCt CCt CC (12) 这里由(12)表达 的 是WBKL方程组的对称。对 称群的等价算子表达式为 213 24 21 2 12 34 112 2334 4 2 2 22 Cx CtCCtC xt CU CC U CtCxtU Uxx t U CC xt CC CC (13) 并且这些对称之间的算子关系为 12 1 [, ] ,13 34 [, ][,] 0 ,143 [, ] , 23 [,]3 , 244 [,] 2 。 注2 由(13)式可以看出方程组(1)和(2)满足四维 的李代数 1234 ,,, ,同时他们也能通过标准的李群 方法得到。 4. WBKL方程组的守恒律 在本节,我们将通过WBKL方程组的共轭方程组 和对称来研究它的守恒律[13],共轭方程组有下述形式 11212 0 tx xxxxxx uH , 212 2 0 txxxx u , (14) 拉氏量函数 1 2 txx xx txxx xx x LuuuHu HHu uH . (15) Copyright © 2011 Hanspub PM 于金倩等 | Whitham-Broer-Kaup-Like 方程组的精确解和守恒律 Copyright © 2011 Hanspub PM 14 定理2 每个李点对称,李贝克隆变换和方程组(1) 和(2)的对称都给出了WBKL方程组和共轭方程组的一 个守恒律。并且守恒向量 由下述表达式确定 12 (, )CC ii jjkjkjk iijijkij ijkijk LL LLLL CLW DDDDWDDDW uu uuuu (16) 其中 j j Wu 。 121213 24 ()(2) x t WCuCCxCtCuCtCu, 因此我们考虑三阶拉氏量,利用定理2和公式(16) 计算方程组的守恒律, 2221324 2()(2) x t WCHCxCtCHCtC H, 上述条件下(16)满足守恒方程 121 Cx CtC 1 3 2 2CH , , 224 2Ct C 2 12 () ()0 xt DC DC ,且向量 组成为 12 (, )CCC 21 Cu C , , 112122 1 2 1324 122 21324 122 21324 222 132422213 2 22 22 323 xxxx t xxxx tx xxt xxxxxtxx x CuH CuCCxCtCuCtCu CuCxCt CuCt Cu CHCxCt C HCtCH CuCx Ct C uCt CuCHCx CtCH 24 2 x xt Ct C Hx 212 12 1324222 1324 22 2 x tx CCuCCxCt CuCt C uCHCxCt C HCtCH t Phys. Lett. A, 2001, 285(1-2 ): 76-80. 注3 借助于Maple 软件,我们已经验证了上述向 量是方程组(1)和(2)的守恒向量。这个向量包 含共轭方程组(14)的任意解 12 (, )CC 1 和2 ,因此上式给出了 方程组的无穷多个守恒律。 [4] Z. Y. Yan, H. Q. Zhang. New explicit solitary wave solutions and periodic wav e solutions for Whitham-Broer- Kaup equation in shallow water. Phys. Lett. A, 2001, 285(5-6): 355-362. [5] Y. Chen, Q. Wang. Multiple Riccati equations rational expansion method and complexion solutions of the Whitham- Broer-Kaup equation. Phys. Lett. A, 2005, 347(4-6): 215-227. [6] X. Y. Jiao, H. Q. Zhang. An extended method and its application to Whitham-Broer-Kaup equation and two-dimensional per- turbed KdV equation. Appl. Math. Comput., 2006, 172(1): 664-677. 5. 结论 本文首先利用修正的CK直接方法得到了WBKL 方程组的新、旧解之间的关系。利用定理1得到了 WBKL方程组的新的精确解。推广了文献[7]的结论。 然后得到了WBKL方程组的对 称和共 轭方程组 , 进而 求得了WBKL方程组的无穷多守恒律。本文中用到的 方法也能用于解决其他的许多的线性和非线性方程或 方程组。 [7] S. M. El-Sayed, D. an Kaya. Exact and numerical traveling wave solutions of Whitham-Broer-Kaup equations. Appl. Math. Com- put., 2005, 167(2): 1339-1349. 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