 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 1-4 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.21001 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) Copyright © 2012 Hanspub 1 The Replacement Lemma on Relative M-Characters* Chenggong Hao, Ping Jin School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan Email: {haocg, jinping}@sxu.edu.cn Received: Nov. 8th, 2011; revised: Dec. 10th, 2011; accepted: Dec. 13th, 2011 Abstract: The main goal of the present paper is to generalize the replacement lemma on M-characters to the relative M-characters. It is proved that if LK are normal subgroups of a finite group G such that K/L is commutative of odd ord er, then every relative M-character of G with respect to L is also a relative M-charac- ter with respect to K. In particular, if G is an M-group with a meta-commutative normal subgroup K of odd order, then G is a relative M-group with resp ect to K. Keywords: M-Character; M-Group; Relative M-Character; Relative M-Group; Meta-Commutative Group 相对 M-特征标的替换引理* 郝成功，靳 平 山西大学数学科学学院，太原 Email: {haocg, jinping}@sxu.edu.cn 收稿日期：2011 年11 月8日；修回日期：2011 年12 月10 日；录用日期：2011 年12 月13 日 摘 要：本文主要目的是将 M-特征标的替换引理推广到相对 M-特征标的情形，证明了如果 均为 有限群 G的正规子群使得 K/L 为奇数阶交换群，则 G的每个关于 L的相对 M-特征标也是关于 K的相 对M-特征标。特别地，如果 G为M-群且 K为G的一个奇数阶亚交换正规子群，则 G也是关于 K的 相对 M-群。 LK 关键词：M-特征标；M-群；相对M-特征标；相对 M-群；亚交换群 1. 引言 本文所讨论的群均为有限群，特征标定义在复数域上，所使用的符号及术语均按文献[1]。特别地，对任意 群G，记 Irr(G)为其所有不可约特征标的集合。如果 Irr G 可从某个子群的线性特征标来诱导，即 G ， 其中 且为线性特征标，则称 HG Irr H 为G的一个 M-特征标。进而，如果 G的每个不可约特征标均为 M-特征标，则称 G为一个 M-群。 熟知 M-群是可解群的一个重要群类，包含了很多难题和猜想。例如，关于 M-群的一个著名的公开问题是： 奇数阶 M-群的正规子群是否仍为 M-群？目前最新的进展是 Loukaki 证明了当 G仅含两个素因子时，该猜想成 立，见文献[2,3]。 事实上，在 M-群的研究中，最主要的困难是难以控制 M-特征标 的“诱导过程”，即上述子群H在群 G 中的位置很难确定。为此，人们经常使用的是一个替换技术(见文献[4]中引理 4.1)，其意义在于可将 M-特征标 *资助信息：国家自然科学基金资助(11171194)。  郝成功 等 相对 特征标的替换引理 M- 的线性诱导放在一个指定的交换正规子群的上方。 定理 A (M-特征标的替换引理) 设G为群， Irr G ，使得 G ，其中 HG 且 为线性特征 标。如果 A为G的一个交换正规子群，则存在 G的子群 和线性特征标 Irr H 1 H 1 Irr H1 ，使得 G 1 且 ， 即可将 M-特征标 1 HA 的线性诱导过程从 H替换为 。 1 H 另一方面， 相对 M-特征标的技术也大量出现在 M-群的研究中。固定群 G的一个正规子群 L，称 Irr G G 为G的一个关于 L的相对 M-特征标，如果存在G的子群 H包含L，以及某个 ，使得 Irr H 且 。进而，如果每个均为关于 L的相对M-特征标，则称 G为关于 L的相对 M-群。 Irr L L Irr G 从定义不难看出 M-特征标恰为关于平凡子群{1}的相对 M-特征标。当 A是G的一个交换正规子群时，则 上述替换引理表明 M-特征标亦可等同于关于 A的相对 M-特征标。特别地，我们有 G为M-群当且仅当其为关 于A的相对 M-群。有关相对 M-特征标和相对 M-群的更多性质，可参考文献[1]。 类似地，为了控制相对 M-特征标的诱导过程，我们猜想下述关于相对 M-特征标的替换引理仍然成立。 猜想 B (相对 M-特征标的替换引理) 设L为群 G的一个正规子群， Irr G 为关于 L的相对 M-特征标。 如果 K也是 G的正规子群，使得 L且K/L 为交换群，则K 为关于 K的相对 M-特征标。 在上述猜想 B中，取L = {1}即得定理 A，由此表明相对 M-特征标的替换引理包含了通常 M-特征标的替换 引理。 本文主要结果是在“扩张条件”(即L 有一个不可约分量可扩张到 K上)和“奇数条件”(即K/L 为奇数阶 群)下，分别证明了上述猜想 B都是成立的。作为应用，我们得到了一个 M-群何时又是相对 M-群的 条件。 2. 预备 我们首先需要可扩张的特征标的一个基本性质。 引理 1 设N是群 G的一个正规子群，使得G/N 为交换群。如果 Irr N 可扩张到 G上，则其上方的每 个特征标 Irr G 均为 的扩张。 证明：设 为 Irr G 的一个扩张，根据 Gallagher 定理(见文献[1]推论 6.17)，则任意 Irr G 均形如 ，其中 为G/N 的线性特征标，此时 NNN N ，即 为 到G的一个扩张。证毕。 下述为特征标“上升定理”的一个等价表述。 引理 2：设 K/L为G的一个 Abel 主因子， Irr L ，满足 G GI K ，则下述之一成立： 1) K 不可约。 2) 可扩张到 K上。 3) 关于 K/L 完全分歧，即Ke ，其中 Irr K 且2K:Le。 证明：见文献[1]习题 6.12，证毕。 最后，我们还需要一个有关 Isaacs 特征标五元组的结果。 引理 3：设 G,K,L, , 为一个特征标五元组，即 LK 均为群 G的正规子群，使得 K/L 为交换群， Irr L 和均为 G-不变的，并且 Irr K 和 关于 K/L 为完全分歧的，亦即Ke 且2K:Le。如果 K:L 1为 奇数，K/L 为G的主因子，并且存在子群 H满足 HK = G和HKL ，则对任意 Irr H ，G 可约。 证明：文献[5]定理 9.1 的直接推论。一个较为简洁的证明见文献[6]推论 1.5，证毕。 3. 主要结果 我们首先在特征标的扩张条件下，证明猜想 B是成立的。 定理 1：设均为群 G的正规子群，K/L 为交换群，并且LK Irr G 为关于 L的相对 M-特征标。如果 在L上的限制 L 有一个不可约分量可扩张到 K上，则 Irr L 也是关于 K的相对 M-特征标。 2 Copyright © 2012 Hanspub  郝成功 等 相对 特征标的替换引理 M- 证明：根据相对 M-特征标的定义，存在 G的子群 H包含 L，以及某个 Irr H 使得 G 且 Irr L L 。 从Clifford 定理可知 在L上的限制 L 的所有不可约分量(显然包含 L )均和 共轭，而 K是G的正规子群，故 这些不可约分量都能扩张到K上。简单计，不妨记 L ，设 X = KH和YKH ，令 X ，则 GG ， 表明 Irr X 。再 令Y ，从 LL 不可约，可知 Irr Y ，并且存在某个 I rr K 既在 的下方， 同时又在 的上方。因为 K/L 为交换群，并且 也在 的上方，根据引理1，可知 亦为 的扩张，导致 Y 不 可约，只有 Y 。 令 X TI 为 在X中的惯性群，设 Irr T 为 关于 的Clifford 对应，即 在 的上方，并且 X 。 此时 K XY K ，再应用 Clifford 定理计算内积得到 [,][,][(),][(),][,][, ]1 XKK KK KYY , 迫使 K 。但 G GX G ，故 为关于 K的相对 M-特征标，证毕。 在定理 1中取 L = {1}，则可推出定理 A，表明 M-特征标的替换引理本身即蕴含着“扩张条件”。此外， 在下述“奇数条件”下，使用定理1可证明猜想 B仍然成立。 定理 2：设 均为群 G的正规子群，K/L 为交换群，并且LK Irr G 为关于 L的相对M-特征标。如果 K:L 为奇数，则 也是关于 K的相对 M-特征标。 证明：因 为 是关于 L的相对 M-特征标，从定义可知存在 G的子群 以及某个 使得HL Irr H G 且 。记 Irr L L L ，我们分以下三步完成证明。 1) 可进一步假设 KH = G且 。 KHL 事实上，我们令 KH X 和，再 设KHY X ，则 GG 。注意到 YL L 不可约，故 Y 也不可约，表明 Irr X H 也是关于 Y的相对 M-特征标。又因为 K/L为交换群，而，故 Y在K中正 规。但显然在 H中正规，故 Y必然也在 LKY KY KH X 中正规。此时 K:Y 亦为奇数，因此，如果我们能证 明 是关于 K的相对 M-特征标，即存在子群 J和 Irr J ，满足 K J X 且 及 Irr K K X ，则 G GX G ，表明 也是关于 K的相对 M-特征标，即所证结论成立。所以，为简化记法，我们可将 X和Y分别用原先的 G和L替代，即进一步假设 G =X = KH 且LKHY 。 2) 可假设 K/L 为G的一个主因子。 我们对 K:L做归纳。当 K = L时，所证结论显然成立。假设 K/L 不是 G的主因子，则存在 G的正规子群 N，使得 L < N < K。此时 N:L K:L，并且 N:L仍为奇数，故由归纳假设可知 是关于 N的相对 M-特征 标。接着，从 K:N K:L仍为奇数，再次使用归纳假设即可推出 也是关于 K的相对 M-特征标，故所证结 论成立。因此，为证本定理，我们可进一步假设 K/L 为G的一个主因子。 3) 使用特征标的上升定理完成证明。 因为 L ，即 可扩张到 H上，故 必然是 H-不变的，表明 G HI 。再从结论(1)中的 KH = G可知 G()KIG ，结合(2)及特征标的上升定理(即本文引理 2)，则出现下述三种情形之一： a) 可扩张到 K上。在此情形下，使用定理 1即得所证。 b) K 不可约。此时使用结论(1)，则 K G KL K K ，故 K 亦不可约，从而 即为关于 K的相对 M-特征标，表明所证结论成立。 c) 关于 K/L 完全分歧，即Ke ，其中 Irr K 且2K:Le。此 时 G,K,L, , 恰为一个 Isaacs意 义下的特征标五元组。由于 K:L 1为奇数，故从引理 3推出 G 可约，该矛盾表明这个完全分歧的情形不 能出现。证毕。 Copyright © 2012 Hanspub 3  郝成功 等 相对 M-特征标的替换引理 4 Copyright © 2012 Hanspub 在研究 M-特征标时，在很多约化情形可出现一个类 2幂零的正规子群(特别是正规的超特殊p-子群)，这类 子群显然都是亚交换群。作为定理2的一个应用，我们有： 定理 3：设 K为群 G的一个亚交换的奇数阶正规子群，则 G的每个 M-特征标均为关于 K的相对 M-特征标。 特别地，如果 G为M-群，则 G也是关于 K的相对 M-群。 证明：因为 K亚交换，故 K的导群 K'是交换群。令 LK ，任取 为G的一个 M-特征标。由于 L为G 的交换正规子群，从定理 A可知 也是关于 L的相对M-特征标。但 K/L 为奇数阶交换群，再使用定理 2，即 可推出 亦为关于 K的相对 M-特征标。证毕。 4. 致谢 本文作者衷心感谢国家自然科学基金(11171194)的资助及审稿人所提出的宝贵建议。 参考文献 (References) [1] I. M. Isaacs. Character theory of finite groups. New York: Academ ic Press, 1976. [2] M. Loukaki. Extendible characters and monomial groups of odd order. Journal of Algebra, 2006, 299(2): 778-819. [3] M. L. Lewis. M-groups of order paqb: A theorem of Loukaki. Journal of Algebra and Its Applications, 2006, 5(4): 465-503. [4] E. C. Dade. Momomial characters and normal subgroups. Maths Zone, 1981, 178(1): 401-420. [5] I. M. Isaacs. Characters of solvable and symplectic groups. American Journal of Mathematics, 1973, 95(3): 594-635. [6] I. M. Isaacs. On the character theory of fully ramified s ec ti on s. Ro ck y Mountain Journal of Mathematics, 1983, 13(4): 689-698. |