 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 10-16 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.21003 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) 10 Copyright © 2012 Hanspub A New Half-Discrete Hilbert’s Inequality Zitian Xie1, Zheng Zeng2 1Department of Mathematics, Zhaoqing University, Zhaoqing 2Shaoguan University, Shaoguan Email: gdzqxzt@163.com Received: Oct. 11th, 2011; revised: Nov. 23rd, 2011; accepted: Nov. 26th, 2011 Abstract: In this paper, by introducing some parameters and estimating the weight function, we give a new half-discrete Hilbert-type inequality with a best constant factor. The equivalent inequality forms is considered. Keywords: Half-Discrete; Hilbert’s Inequality; Hölder’s Inequality 一个新的半离散 Hilbert 型不等式 谢子填 1，曾 峥2 1广东肇庆学院数学系，肇庆 2韶关学院，韶关 Email: gdzqxzt@163.com 收稿日期：2011 年10月11 日；修回日期：2011 年11月23 日；录用日期：2011 年11月26 日 摘 要：应用权函数，给出一个新的有最佳常数因子的半离散 Hilbert 型不等式。同时给出他的等价式。 关键词：半离散；Hilbert 不等式；Hölder 不等式 1. 引言 设 1 11 1,1, ,0, 0p nn n n pab pq 且a，及 1 0q n n b ，则有如下含最佳常数因子的 Hardy-Hilbert积 分不等式[1]： 11 111 1 π sin π p q pq nm nn nmn n ab ab mn p (1) 11 1 π sin π p p p nm n nm n ab a mn p (2) 近年来，人们陆续对不等式(1)(2)作了大量推广[2-16]。2011 年杨必成教授给出以下半离散 Hilbert 型不等式[2]： 设11 1, 1,ppq 11 1, 1,ppq 1 0, 2 10, 12 1, ,p 且 1 11 0 0d pp xfxx ， ，则 2 11 1 0q n n  谢子填 等 一个新的半离散 型不等式 Hilbert 12 1 1 111 1 12 00 0 11 1 dd,d q p pq p n n nn n fx a axfx xBxfxxn xn xn (3) 其中 12 ,B 为 函数。 我们应用权函数，将给出一个 3 齐次的有最佳常数因子的半离散 Hilbert 型不等式。同时给出他的等价式。 以下我们总假设 11 1, 1,ppq 2 03 。 2. 一些引理 引理 1定义权系数及权函数 和 如下 Wn Wx 3 2 3 22 012 1d max , n Wn x xnxanxbn x ; 3 2 3 22 1 12 1 max , n x Wx xnx anxbnn 则有 ; h Wn KWx K ; 其中 12 12 222 2 00 22 22 32 2 dd max,1max 1,11 π21111 arctanarctan, π11 11 1arctan, 2 uu uu huuaubuau bu ab ab ab abaabb ab ab aa aa a 当时 当时 , , 证明：首先我们易有 12 12 222 2 00 dd max,1max 1,11 uu uu uuaubuau bu 设1 x nu ，则 12 12 1 22 22 01 12 122 11 22222222222 010 1 22 22 3 dd max ,1max ,1 dd2d2 ++ π21111 arctanarctan, π1 2 uu uu Wn uuaub uuaub uu uuttt uaub uuaubtatbtatb ab ab ab abaabb ab aa 当时, 2 d 22 11 1 1arctan, ab aa a 当时, Copyright © 2012 Hanspub 11  谢子填 等 一个新的半离散 型不等式 Hilbert 又 3 2 3 22 12 1 max , x xnxanx bnn 关于 n严格单调下降，于是 3 12 2 32 22 0 0 12 11d ()d= max 1,(1)(1) max , xuu Wxy K uaubu xyxayxby y ＜2 引理获证。 引理 2 设 ，1,p0 n a f x在 非负可测，且 0, 3 11 2 0 0d pp xfxx ， 3 11 2 1 0 qq n n na ， 则有如下不等式： 3 311 12 2 122 0 0 1 :d max , p pp pp n fx d J nxK xnxanx bn xfxx (4) 3 311 12 2 222 01 1 :d max , q qq q n n n n aq J xx xnx anx bn Kna (5) 证明：由带权不等式及引理1，有 Holder 22 0 33 11 22 33 22 011 22 3 12 22 () d max , 1() d max , 1 max ,()() p p qp pq fx x xnxanx bn xn fx x xnxanx bnnx x xnxan xbn 1 3 111 2 3 3 22 0 0 1 1 2 2 3 11 32 1 12 3 22 012 3 1 32 1 12 22 1 dd max ,() 1d max , 1 max , p p q p p p pp p p p n fxx x xn xanxbn nx x Wnnfx x xnxanx bnn x Kn xnxanx bn 1 3 012 3 11 2 1 13 22 01 12 3 11 3 211 12 3 22 0 0 1 12 d 1 d max , 1 =d max , p p p p n p p ppp p n fxx n x JK fxx xnxanx bnn x KfxxKxfx xnx anxbnn d x 12 Copyright © 2012 Hanspub  谢子填 等 一个新的半离散 型不等式 Hilbert 故(4)成立。类似地有， 22 1 33 11 22 33 22 11 122 3 11 2 3 22 12 max, 1 max , 1 max , q n n q qp n pq n p a xnx anxbn xn a xnx anxbnnx x xnxanx bnn 1 1 3 11 2 3 22 1 12 3 11 32 1 12 3 22 1 12 3 11 32 1 12 3 22 1 1 max , 1 max , 1 max , q n q q n n q q qq n n q q q xa xnxanx bnn n Wx xa xnx anx bnx n Kx xnxanx bnx 12 q n n a 及类似地, 3 311 12 2 222 011 d max , q qq qq n n n n a J xx xnxanx bn Kna 有(5)成立。 引理 3 设0,p 充分小，定义 0fx ， 0, 1x， 31 2 p fxx ， 1,x ；及 31 2q n an ，n 。 则 11 33 11 11 22 11 :d1o1 pq pq pq n n Ixfxxna ＝＋ 0 (6) 31 32 1 2 22 11 :d max , q p n n Ix xK xnxanx bn ＋ o1 0 (7) 证明 易有， 1 1 11 11 () dq p n Ixxn 注意及右边最后一项有以下双边不等式 111 1 11 12 11 d11d nn xx nnxx 1 Copyright © 2012 Hanspub 13  谢子填 等 一个新的半离散 型不等式 Hilbert 故有式(6)。又设 1 y xt 31 32 1 2 22 11 31 32 1 2 22 11 1 2 1 122 1 1 2 1 (): d max , dd max , dd max 1,11 ma q p n q p q x q n Ix x xnx anxbn y xyx xyxayx by t xtx tatbt t x 1 1 12 1 22 22 10 10 1 12 1 2 11 22 22 001 1 2 dd dd x1, 11max1, 11 1d d d max1, 11max1, 11 1 1 max 1 q x q t q t txxtx tatbttatbt ttt txx tatbttatbt tt K 1 2 1 22 22 00 1 dd ,1 1max1,1 1 qp ttt ttK tatbttatbt 其中 知(7)成立，引理得证。 0 lim 0 3. 主要结果 定理：设,1,p0 n a f x在非负可测，且 0, 3 11 2 0 0d pp xfxx ， 3 11 2 1 0 qq n n na ，则 有如下等价不等式： 22 0 1 22 01 11 33 11 11 22 11 :d max , d max , d n n n n pq pq pq n n fx I ax xnx anx bn a f xx xnxanx bn Kxfxx na (8) 3 311 12 2 122 0 0 1 () dd max ,()() p pp pp n fx J nxK xnxan xbn xfxx (9) 3 311 12 2 222 011 d max , q qq q n n n n aq J xx xnx anx bn Kna (10) 这里常数因子 K 由引理 1定义，且 K ， p K 及q K 均为最佳值。 14 Copyright © 2012 Hanspub  谢子填 等 一个新的半离散 型不等式 Hilbert 证明 由逐项积分定理， I 有两种表示，由 不等式，有 Holder 1 3113 13 11 22 2 1 22 0 1 1 :d max , q qq pp nn n n fx p I nxna xnxanx bn Jna 由式(9)得式(8)。反之，设(8)成立，取 1 31 2 22 0d max , p p n fx an x xnx anxbn 则由式(8)，有 11 33 1111 11 22 11 1 1 d 3 2 p q qp qp n n n n naJIKx fxxna q q 易由条件知 ，如，则 式 (9)自然成立；如 则式(8 )条件都具备，上式取严格不等号，且有(9)成立。 可知(8)与(9)两式等价。由条件，上式取严格不等号。类似不难证明，(8)与(10)两式等价。 1 J 1=0J10J 类似地，设(8)成立，取 1 31 2 22 1max , q q n n a fx xxnxanx bn 由式(8)有 11 33 1111 11 22 2 11 1 dd 3 2 p q pp pp n n xfxxJIKxfxxna q q 易由条件知 ，如 ，则式(10)自然成立；如 则式(8)条件都具备，上式取严格不等号，且有(10) 成立。(8)与(10)两式等价。故式(8)，式(9)与式(10)等价。 2 J 20J20J 设有常数 K 0 , K K 使 K 代替式(8)中的常数因子 后不等式(8)仍然成立。取K f x 和代入，( n a f x 和 如引理 3所定义)，有 n a 11 33 11 11 22 22 0 1 1 1 dd max , p q pq pq n n n n a fxxKxfx xna xnxanx bn 由引理 3并令 充分小，得 11 11Ko Ko ，再令 0 ，有 K K ，与 K K 矛盾，即式(8)中 的常数因子 为最佳的。又由等价性易知(9)和式(10)中的Kp K 和q K 也为最佳值。证毕。 参考文献 (References) [1] G. 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