具有潜伏期和分布时滞的传染病模型及动力学分析 Dynamic Analysis on Latent Period and Distributed Delay Epidemiological Model

doi:10.12677/AAM.2021.106218

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AdvancesinAppliedMathematics应用数学进展,2021,10(6),2083-2094

PublishedOnlineJune2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam

https://doi.org/10.12677/aam.2021.106218

具有潜伏期和分布时滞的传染病模型及动力学

分析

忽丹丹，杨雨

中国地质大学数学与物理学院，湖北武汉

收稿日期：2021年5月21日；录用日期：2021年6月9日；发布日期：2021年6月24日

摘要

本文研究了一类潜伏期具有感染性的疾病传播模型,其中引入分布时滞刻画了潜伏期患者转症为感

染者的概率.通过分析相应的特征方程,讨论了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性.再通过

构造合适的Lyapunov泛函,应用LaSalle不变性原理,得到当疾病传播阈值即基本再生数小于

1时,无病平衡点是全局渐近稳定的,疾病将会消失;当基本再生数大于1时,地方病平衡点是全

局渐近稳定的,疾病将持续存在.最后用数值模拟验证了理论结果。

关键词

SEIR模型，分布时滞，基本再生数，Lyapunov泛函，全局稳定性

DynamicAnalysisonLatentPeriodand

DistributedDelayEpidemiologicalModel

DandanHu,YuYang

SchoolofMathematicandPhysics,ChinaUniversityofGeosciences,WuhanHubei

Received:May21

,2021;accepted:Jun.9

,2021;published:Jun.24

,2021

文章引用:忽丹丹,杨雨.具有潜伏期和分布时滞的传染病模型及动力学分析[J].应用数学进展,2021,10(6):

2083-2094.DOI:10.12677/aam.2021.106218

忽丹丹，杨雨

Abstract

Inthispaper,amodelofdiseasetransmissionwithinfectiousincubationperiodis

studied,in which adistributed timedelayis introducedto characterize theprobability

ofpatientsinlatencybecominginfected.Byanalyzingthecorrespondingcharacter-

isticequations,thelocalstabilityofdisease-freeequilibriumandendemicequilibrium

isdiscussed.Then,byconstructinganappropriateLyapunovfunctionalandapplying

LaSalleinvarianceprinciple,weobtainedthatthedisease-freeequilibriumpointis

globallyasymptoticallystableandthediseasewilldisappearwhenthediseasetrans-

missionthreshold,namelythebasicregenerationnumber,islessthan1.Whenthe

basicreproductionnumberisgreaterthan 1,theendemicequilibriumpoint isglobally

asymptoticallystableandthediseasewillpersist.Finally,thetheoreticalresultsare

veriﬁedbynumericalsimulation.

Keywords

SEIRModel,DistributedDelay,BasicReproductionNumber,LyapunovFunctional,

GlobalStability

This work is licensed under theCreative Commons Attribution InternationalLicense (CCBY4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1.引言

传染病的传播阻碍了社会经济的发展,给人类的生存带来了长期而严峻的威胁,对传染病发病

机理、流行规律和防治策略的研究,其重要性日益突出,且已成为当今世界需要迫切解决的一个重

大问题[1].自1760年荷兰的数学家,医学家DanielBernoulli开始构建数学模型研究牛痘接种对

天花的预防和治疗以来,人们就开始从数学上对传染病进行研究,确定性传染病模型的研究应该说

始于20世纪初.1906年,Hamer为了研究荨麻疹的反复流行,构造并分析了一类离散的时间模

型[2].1911年,英国微生物学家RonaldRoss博士利用连续的微分方程模型对疟疾在蚊子与人群

之间传播的动力学行为进行了研究.自1927年美国数学家Kermack和苏格兰医学家、流行病学家

McKendrick构造了著名的SIR“仓室”模型以来,数学模型成为研究疾病传播、评估感染风险、

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优化控制策略的重要工具[3].

2020年,新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019,COVID-19）疫情在全球多个国家暴

发，随后呈现出大规模蔓延趋势[4].据世界卫生组织实时统计数据显示，截至2021 年4月22日，

全球确诊COVID-19人数超1亿4439万例，累计死亡病例超307万例，目前全球已有24个国家

COVID-19确诊病例超过100万例[5].此类病毒存在潜伏期，属于聚集性疫情，且存在无症状感

染者[6].近年来,一些研究者也提出了有关病毒在潜伏期具有感染性的传染病模型[7–10].在此模

型的基础上并结合新冠病毒潜伏期具有感染力的特征,我们考虑了一个潜伏期具有感染性的SEIR

流行病模型.该模型包含对COVID-19疾病的易感群体(S),潜伏期群体(E),感染群体(I)和康复

群体(R).这里, 被感染的群体已经表现疾病症状,并可以传染给其他人.暴露类个体处于潜伏期,虽

然他们没有表现出发病症状,但仍然有能力感染他人.

为了研究新型冠状病毒在潜伏期对疾病传播动态的影响,同时考虑到潜伏期群体转症到有症状

感染群体需要一定的时间,一般为1-14d,多为3-7d[11].我们假设这个延迟在[0,τ]的区间内为

一个分布式参数[12],其中τ是易感者从暴露于病毒到出现发病症状之间的延迟最大值.p(s)是关

于时滞s的非负连续分布函数,满足



p(s)ds=1.在此，我们考虑了以下由分布时滞微分方程描

述的SEIR流行病模型











dS(t)

=Λ−β

SE−β

SI−µS,

dE(t)

=β

SE+β

SI−(α+µ)E,

dI(t)



αE(t−s)p(s)ds−(γ+µ)I,

dR(t)

=γI−µR.

(1.1)

在模型(1.1)中,Λ为新增易感者的数量,µ是自然死亡率,γ为恢复率.α是常数,在这个常数

速率下,具有传染性的无症状感染者开始出现发病症状.标准发生率的模型更符合实际也最常用,因

此我们将无症状感染者和感染者的疾病传播率分别表示为β

和β

.模型(1.1)中所有参数都是非负

常数.

由于R(t)没有出现在系统(1.1)的前三个方程中，故可将系统(1.1)简化为以下子系统











dS(t)

=Λ−β

SE−β

SI−µS,

dE(t)

=β

SE+β

SI−(α+µ)E,

dI(t)



αE(t−s)p(s)ds−(γ+µ)I.

(1.2)

系统(1.1)满足如下初始条件

S(θ)=ϕ

(θ),E(θ)=ϕ

(θ),I(θ)=ϕ

(θ),R(θ)=ϕ

(θ),ϕ

(θ)>0,θ∈[−τ,0],(1.3)

其中Φ=(ϕ

(θ),ϕ

(θ))∈C



[−τ,0],R



,C表示从区间[−τ,0]到R

的全体连续

函数所构成的集合,对一致收敛拓扑构成Banach空间.

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2.解的非负性和有界性

引理2.1󰓓󱨲󱰖(1.1)󰰘󲫪󰒘(1.3),󲷚󲤜󱨲󱰖󱎻󲜚S(t),E(t),I(t),R(t)󰍦󳒕󲩖󱎻,󰑀󱊃

󱎻.

证明利用参数变分法可得系统(1.1)有如下的解

S(t)=S(0)e

−

∫

(β

E(ξ)+β

I(ξ)+µ)dξ

+Λ



−

∫

(β

E(ξ)+β

I(ξ)+µ)dξ

dη,

E(t)=E(0)e

−

∫

(α+µ−β

S(ξ)dξ

+β



−

∫

(α+µ−β

S(ξ))ds

dη,

I(t)=I(0)e

−(γ+µ)t

+α



E(t−s)p(s)ds



−(γ+µ)(t−η)

dη,

R(t)=R(0)e

−µt

+γI



−µ(t−η)

dη.

这意味着该系统的解S(t),E(t),I(t),R(t)是非负的.接下来证明解的有界性，我们定义

D(t)=



p(s)S(t−s)ds+



p(s)E(t−s)ds+I(t)+R(t).(2.1)

将D(t)沿着系统(1.1)的解的方向关于时间t求导,可得

dD(t)



p(s)Λ−β

S(t−s)E(t−s)−β

S(t−s)I(t−s)−µS(t−s)ds



p(s)β

S(t−s)E(t−s)+β

S(t−s)I(t−s)−(α+µ)E(t−s)ds



p(s)E(t−s)ds−µI(t)−µR(t)

=Λ−µ



p(s)S(t−s)ds−µ



p(s)E(t−s)ds−µI(t)−µR(t)

=Λ−µD(t)



<0,D(t)>

>0,D(t)<

这意味着D(t )是有界的，因此系统(1.1)所有的解S(t),E(t),I(t),R(t)都是有界的,得证.

3.基本再生数与平衡点的存在性

确定性流行病模型的一个主要关注点是找到一个引入地区的疾病能够发展成大规模暴发的条

件,如果疾病大规模暴发，该疾病就可能成为流行病.在传染病动力学中,基本再生数是一个很重要

的概念.它表示在发病初期,当所有人均为易感者时,一个病人在其平均患病期内所传染的人数.在

这方面，确定性模型的一个有用的阈值被称为基本再生数ℜ

.接下来我们将给出模型(1.2)的基本

再生数表达式[13].

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令x=(E,I)

,模型(1.2)可表示为

=F(t,x(t))−V(t,x(t)),(3.1)

此处







SE+β



,V=







(α+µ)E



αE(t−s)p(s)ds+(γ+µ)I



接下来，我们设定F(t)和V(t)是2×2的矩阵，定义为F(t)=(

∂F

(t,x(t))

∂x

)

1≤i,j≤2

与V(t)=

(

∂V

(t,x(t))

∂x

)

1≤i,j≤2

.然后，由(3.1)可以得出

F(E





,V(E



α+µ0

−αγ+µ



模型(1.2)的再生矩阵为

−1



α+µ

αβ

(α+µ)(γ+µ)

γ+µ



以及其再生矩阵的谱半径



−1



Λ(γ+µ)+β

αΛ

(γ+µ)(α+µ)µ

对于模型(1.2),从以上方程得到基本再生数为

ℜ

Λ(γ+µ)+β

αΛ

(γ+µ)(α+µ)µ

µ(α+µ)

(β

αβ

γ+µ

).(3.2)

该流行病模型(1.2)有两个稳态点,一个是无病平衡点(DFE)E

=(S

)=(Λ/µ,0,0).

另一个是地方性平衡点E

∗

=(S

∗

),它是以下系统的正解











Λ−β

∗

−β

∗

−µS

∗

=0,

∗

+β

∗

−(α+µ)E

∗

=0,



∗

p(s)ds−(γ+µ)I

∗

=0.

(3.3)

由(1.1),(3.2)和(3.3),我们可以得到

∗

µℜ

∗

µ(γ+µ)

(γ+µ)+β

(ℜ

−1),I

∗

αµ

(γ+µ)+β

(ℜ

−1).

显然，模型(1.2)存在一个正的地方病平衡点E

∗

=(S

∗

),当且仅当ℜ

>1.接下来我们

将分析以上两个平衡点的稳定性.

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4.动力学分析

定理4.11)当ℜ

<1时，系统(1.2)的无病平衡点E

是局部渐近稳定的;

2)当ℜ

>1时，系统(1.2)的地方性平衡点E

∗

是局部渐近稳定的.

证明 1)系统(1.2)在DFE处的Jacobi矩阵形式如下

J(S,E,I)=







−µ−β

−β

0β

−(α+µ)β

0α



p(s)e

−λs

ds−(γ+µ)







.(4.1)

计算E

处的特征方程，得到

(λ+µ)



+Aλ+B−αβ



p(s)e

−λs



=0.(4.2)

这里

A=γ+µ+

αβ

γ+µ

−(ℜ

−1)(α+µ),

B=αβ

−(ℜ

−1)(α+µ)(γ+µ).

显然,λ

=−µ是方程(4.2)的根.研究方程(4.2)根的性态我们只需要考虑方程

+Aλ+B−αβ



p(s)e

−λs

ds=0.(4.3)

当τ=0时，由A与B都是正数，我们知道方程(4.3)的根都具有负实部且λ=0不是方

程(4.3)的根.当τ>0时，我们考虑如果方程(4.3)有成对的纯虚根存在,不失一般性,我们假设

λ=±iω(ω>0)是它的根当且仅当ω满足

−ω



γ+µ+

αβ

γ+µ

−(ℜ

−1)(α+µ )



iω+αβ

−(ℜ

−1)(α+µ)(γ+µ)−αβ



p(s)(cos(ωs)−isin(ωs))ds=0.

(4.4)

把实部和虚部分开,可以得到

αβ

−(ℜ

−1)(α+µ)(γ+µ)−ω

=αβ



p(s)(cos(ωs))ds,



γ+µ+

αβ

γ+µ

−(ℜ

−1)(α+µ )



ω=−αβ



p(s)(sin(ωs))ds.

(4.5)

由



p(s)ds=1,可知



p(s)(−ω

+αβ

−(ℜ

−1)(α+µ)(γ+µ))ds=αβ

−(ℜ

−

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1)(α+µ)(γ+µ)−ω

.那么(4.5)就等价于

−ω

+αβ

−(R

−1)(α+µ )(γ+µ)=αβ

cos(ωτ),



γ+µ+

αβ

γ+µ

−(R

−1)(α+µ)



ω=−αβ

sin(ωτ).

(4.6)

对(4.6)的两个方程各自平方后相加可得

+pω

+q=0.(4.7)

令z=ω

,方程(4.7)可记为

f(z)=z

+pz+q=0,(4.8)

这里

p=2(ℜ

−1)(α+µ )(γ+µ)+



γ+µ+

αβ

γ+µ



−2αβ

−2(ℜ

−1)(α+µ)



γ+µ+

αβ

γ+µ



=−2(ℜ

−1)(α+µ)

αβ

γ+µ

+(γ+µ)



αβ

γ+µ



q=((ℜ

−1)(α+µ)(γ+µ))

−2αβ

(ℜ

−1)(α+µ)(γ+µ).

如果ℜ

<1,可得p>0和q>0,对于任意的τ>0都会使得f(z)>0,这与f(z)=0形成

矛盾.这说明方程(4.2)所有特征值都具有负实部，即无病平衡点E

是局部渐近稳定的.

2)系统(1.2)在平衡点E

∗

)处的Jacobi矩阵为

J(S

∗







−β

∗

−β

∗

−µ−β

∗

−β

∗

+β

∗

−(α+µ)β

∗

0α



p(s)e

−λs

ds−(γ+µ)







.(4.9)

因为E

∗

)是系统(1.2)的正平衡点，我们记

∗

−(α+µ)=−

αβ

∗

µ+γ

µ+β

∗

+β

∗

=µℜ

∗

(β

∗

+β

∗

ℜ

(ℜ

−1).

(4.10)

系统(1.2)在E

∗

)处的特征方程可以写成

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(λ+µℜ

)



+(γ+µ+

αβ

∗

γ+µ

)λ+αβ

∗



ℜ

(ℜ

−1)(λ+γ+µ)

=(λ+µ)αβ

∗



p(s)e

−λs

ds.

我们采用反证法，假如存在一个特征值

λ,并且其实部非负.通过(4),显然有



+(γ+µ+

αβ

∗

γ+µ

)

λ+αβ

∗



αβ

∗



p(s)e

−

λs



当ℜ

>1,我们知道



λ+µℜ



λ+µ



以及

ℜ

(ℜ

−1)(

λ+γ+µ)>0.系统(1.2)的特征

方程方程(4)等号左端显然是大于该方程的右端.这是矛盾的，也就是说特征方程方程(4)的根都具

有负实部.因此，系统(1.2)的地方性平衡点E

∗

是局部渐近稳定的.

接下来我们主要讨论系统(1.2)无病平衡点和地方性平衡点的全局渐近稳定性.

定理4.21)当ℜ

<1时，系统(1.2)的无病平衡点E

是全局渐近稳定的;

2)当ℜ

>1时，系统(1.2)的地方性平衡点E

∗

是全局渐近稳定的.

证明 1)构造Lyapunov泛函如下

(t)=ℜ

E(t)+

γ+µ

I(t)+

αβ

γ+µ



p(s)E(t−σ)dσds.(4.11)

(t)沿着系统(1.2)的解的方向关于时间t求导,得到

(t)

=ℜ

dE(t)

γ+µ

dI(t)



αβ

γ+µ



p(s)E(t−σ)dσds



=ℜ

(β

SE+β

SI−αE−µE)+



αβ

γ+µ







p(s)E(t−σ)dσ





γ+µ





E(t−s)p(s)ds−(γ+µ)I



=ℜ

(β

SE+β

SI)−β

E−β

I−

αβ

γ+µ

αβ

γ+µ



E(t−s)p(s)ds+

αβ

γ+µ



(E(t)−E(t−s))p(s)ds

=ℜ

(β

SE+β

SI)−β

E−β

≤(ℜ

−1)(β

E+β

I).

显然,如果ℜ

<1,就有

(t)

≤0.其中

(t)

=0,当且仅当S=S

,E=I=0.也就是说

,0,0)是Γ



(S,E,I)∈Ω|



的最大不变集.由LaSalle’s不变性原理,我们可以

得出，ℜ

<1时,无病平衡点E

是全局渐近稳定的.

2)定义如下Lyapunov泛函

(t)=V

,(4.12)

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这里

=S−S

∗

−S

∗

=E−E

∗

−E

∗

αE

∗



I−I

∗

−I

∗



=β

∗



p(s)



E(t−σ)

∗

−1−ln

E(t−σ)

∗



dσds.

将这四个函数V

沿着系统(1.2)的解的方向关于时间t求导可得

(t)

S−S

∗

(Λ−β

SE−β

SI−µS)

S−S

∗

(β

∗

−β

SE+β

∗

−β

SI+µS

∗

−µS)

=µS

∗



2−

∗

−

∗



+β

∗



1−

∗

−

∗



+β

∗



1−

∗

−

∗



(t)

E−E

∗

(β

SE+β

SI−αE−µE)

E−E

∗



SE+β

SI−β

∗

E−

∗



=β

∗



∗

−

∗

−

SIE

∗



+β

∗



∗

−

∗

−

∗



同样的

(t)

I−I

∗

αE

∗





E(t−s)p(s)ds−(γ+µ)I



I−I

∗

αE

∗





E(t−s)p(s)ds−

αE

∗



=β

∗





E(t−τ)

∗

p(s)ds−



∗

E(t−τ)

∗

p(s)ds−

∗



(t)

=β

∗



p(s)



E(t−σ)

∗

−1−ln

E(t−σ)

∗



dσds

=β

∗



p(s)







E(t−σ)

∗

−1−ln

E(t−σ)

∗



dσ



=β

∗



p(s)



−

E(t−s)

∗

+ln

E(t−s)



=β

∗



p(s)

∗

ds−β

∗



p(s)

E(t−s)

∗

ds+β

∗



p(s)ln

E(t−s)

ds.

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结合

(t)

，我们可以得到

(t)

=(µS

∗

+β

∗

)



2−

∗

−

∗



+β

∗



p(s)



3−

∗

−

SIE

∗

−

∗

E(t−s)

∗

+ln

E(t−s)

∗



=(µS

∗

+β

∗

)



2−

∗

−

∗



+β

∗



1−

∗

+ln

∗



+β

∗



1−

SIE

∗

+ln

SIE

∗



(3.13)

+β

∗



p(s)



1−

∗

E(t−s)

∗

+ln

∗

E(t−s)

∗



ds.(3.14)

由算术平均数大于或等于几何平均数可知



2−

∗

−

∗



≤0.又由于函数H(x)=1−h(x)+

lnh(x),x∈R

,对任意h(x)≥0都有H(x)≤0,当且仅当h(x)=1时有最小值H(1)=0.因此

(3.13)和(3.14)是非正的.

由上述不等式可知,正定函数V

(t)具有非正导数

(t)

.其中,

(t)

=0当且仅当S(t)=

∗

,E(t−s)=E(t)=E

∗

,I(t)=I

∗

.Γ



(S(t),E(t),I(t))∈Ω|



的最大不变集为E

∗

因此，由LaSalle’s不变性原理,我们可以得出，ℜ

>1时,地方性平衡点E

∗

是全局渐近稳定的.

5.数值模拟

在模型(1.2)中,当取p(s)=δ(s−τ),这里δ为狄拉克函数，模型(1.2)可简化为离散时滞的

SEI模型











dS(t)

=Λ−β

SE−β

SI−µS,

dE(t)

=β

SE+β

SI−(α+µ)E,

dI(t)

=αE(t−τ)−(γ+µ)I.

(5.1)

这里我们选取[14]中新冠肺炎潜伏期的中位数τ=7.设模型(5.1)中各参数值为Λ=0.1,β

0.4,β

=0.9,µ=0.3,α=0.15,γ=0.35.初值ϕ

=0.5,ϕ

=0,ϕ

=0.3.经计算ℜ

=0.4501<1.

由定理(4.2)可知，系统(5.1)的无病平衡点是全局渐近稳定的，如图1所示.从图1中我们可以看到，

随着时间的推移，无症状感染者与发病者的数量都趋于零.也就是说,当ℜ

<1时，疾病终将消

亡.数值模拟结果与定理结论相符.

再设系统(5.1)中各参数值为Λ=0.22,β

=0.6,β

=1.3,µ=0.3,α=0.15,γ=0.15.初值为

=0.45,ϕ

=0.05,ϕ

=0.35.经计算ℜ

=1.684>1.如图2所示,该数据验证了定理(4.2),系

统(5.1)是持久的,且t趋于无穷的时候,疾病将持久存在.

DOI:10.12677/aam.2021.1062182092应用数学进展

忽丹丹，杨雨

Figure1.ℜ

<1,thediseasewilldie

图1.当ℜ

<1时,疾病终将消亡

Figure2.ℜ

>1,thediseasewillpersist

图2.当ℜ

>1时,疾病将会持续

理论分析结果和数值拟合表明,系统(1.1)的全局动力学性质仅依赖于基本再生数,即当基本再

生数ℜ

<1时,无病平衡点全局渐近稳定,疾病将会消亡;当基本再生数ℜ

>1时,地方病平衡点

全局渐近稳定,疾病将会持续.从数值模拟中我们可以看出,当减小基本再生数时,疾病可以从持续

流行变成消亡.由基本再生数的表达式(3.2)可以看出,降低β

,β

会减缓疫情的暴发,潜伏者与感

染者人数也会随之降低.同样的,当Λ减小时,也即易感者人数减少时,基本再生数也会随之减小,

使疾病消亡.接种疫苗可以降低易感染者的人数,因此政府可以采取核酸检测、隔离以及疫苗接种

等措施降低潜伏期患者以及感染者与易感染者的接触传播,从而降低阈值ℜ

,延缓疾病暴发.

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