分数阶微分方程的矩阵级数解 Metric Series Solutions of Fractional Differential Equations

doi:10.12677/pm.2012.21004

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 17-22

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.21004 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

Metric Series Solutions of Fractional Differential

Equations

Guihua Wan, Shuqin Zhang, Xinwei Su

Department of Mathematics, China Mining and Technology University (Beijing), Beijing

Email: {zsqjk, kuangdasuxinwei}@163.com

Received: Oct. 21st, 2011; revised: Nov. 28th, 2011; accepted: Dec. 2nd, 2011

Abstract: In this paper, we introduce a Mittage-Leffler type series for metric of n order. We obtain Mittage-

Leffler type metric series solutions of initial value problems for fractional differential equations system. Fur-

ther, we obtain fundamental solution metric, which are denoted by Mittage-Leffler type metric series.

Keywords: Mittage-Leffler Type Functions; Metric Series; Fractional Differential Equations

分数阶微分方程的矩阵级数解

万桂华，张淑琴，苏新卫

中国矿业大学(北京)数学系，北京

Email: {zsqjk, kuangdasuxinwei}@163.com

收稿日期：2011 年10月21 日；修回日期：2011 年11月28 日；录用日期：2011 年12月2日

摘要：在本文中，我们引进了 n阶矩阵的 Mittage-Leffler 型级数。我们得到了分数阶微分方程组初值

问题的 Mittage-Leffler 型矩阵级数解。而且，我们得到了分数阶微分方程组的用 Mittage-Leffler 型矩阵

级数所表示的基解矩阵。

关键词：Mittage-Leffler 型函数；矩阵级数；分数阶微分方程

1. 引言

本文中，我们研究如下分数阶微分方程组的矩阵级数解及其用矩阵级数表示的基解矩阵



1111122 1

22112222

112 2

nnn nn

Dxtaxa xa x

Dxtaxaxax

Dxta xaxax













 





n

(1.1)

其中 ,,1,2,, ,

aRij nD



表示 Caputo









阶导数，定义如下，请参见[1]

 









d1 d

d11 0,

Duttsu sst

Гt

tГ



 











, (1.2)

注：这儿我们可以要求和,,1,2,,

aCij n





, Re0C





，为了方便期间我们只考虑实数的情形。

万桂华等 分数阶微分方程的矩阵级数解



如果我们记

111

xaa

 

 

 

 













，A

则赋予方程组(1.1)初值条件







110

0,,0

n0n

xx x下的初值问题可以写成







Dxt Ax











，

，

(1.3)

其中











。

分数阶微分方程是微分方程的一个重要分支。近年来，因其自身理论体系的不断完善以及与许多实际应用

(如：力学、化学和工程学等等)问题的密切联系，受到了国内外数学界和自然科学界的重视并不断得以深入研究。

分数阶微分方程已成为现代数学中一个重要研究方向之一。分数阶微积分不是求分数的微积分，它是求任意阶

导数和积分的一门学科(只是由于习惯而沿用了最初的称呼)，它的出现已有300 多年的历史。近几十年，许多工

程人员指出，分数阶微积分非常适用于描述各种物理、化学材料的性质，请参见文献[1 -5]。在现实中，应用科

学家和工程师认识到分数阶微分方程的基本理论为用分数阶方程建模的各种问题的讨论提供了自然框架。分数

阶微积分系统的研究吸引了越来越多学者的注意和兴趣。关于分数阶线性问题的求解是该领域中的一个最基本

的方面，由于分数阶导数的特殊性质，这些问题不像整数次线性微分方程的结果那样丰富和完善，请参见文献

[1,2,5-8]。其中还有好多问题有待于探索和研究。本文首先引进了方阵的Mittage-Leffler 型级数，我们可以看到

常微分教材中的指数矩阵[7,8] 是该级数的一个特殊情形。我们得到了分数阶微分方程组(1.1)初值问题的

Mittage-Leffle 型矩阵级数解。而且，借助于该Mittage-Leffler 型矩阵级数，我们得到了分数阶微分方程组(1.1)

的基解矩阵。

2. Mittage-Leffler型的矩阵级数

我们首先给出几个与分数阶微分方程相关联的几个特殊函数，具体请参见文献[1]。

定义 2.1.[1] 广义的Mittage-Leffler 型函数是如下表达式







 

, , , , , Re0,

Г!

EzzC C





 











 (2.1)

其中。

 



 

定义 2.2.[1] 经典的Mittage-Leffler 型函数是如下表达式

  

, , ,Re0.

Г1

EzzC C













 (2.2)

特别地



Ez e。

设A是一个 n阶矩阵。

定义 2.3. 矩阵 A的Mittage-Leffler型级数指的是如下表达式



Г(1)Г(12 )Г1Г(1 )

Ekk









 

 





AA AA



(2.3)

其中





, Re0C



，E是n阶单位方阵。

万桂华等 分数阶微分方程的矩阵级数解

定理 2.1. 给定任意的一个 n阶矩阵A，在每个集合





:, Xaa0



AA ，级数(2.3)是一致收敛的。

证明：如果 aA，则级数





以收敛于







的数值级数

  

1Г1Г12 Г1

aaa Ea



 

 

 



为优先级数，根据维尔斯特拉斯判别法，对于 a



A，级数(2.3)是一致收敛的。

注2.1.

指矩阵的模，有关它的性质请参见[9]。

注2.2. 此时记该级数的和为







。

下面我们求问题(1.1)的初值问题的 Mittage-Leffler 型矩阵级数解。

定理 2.2.初值问题(1.3)存在 Mittage-Leffler 型矩阵级数解





, , 0EttM M





A。

证明：我们令，







 



 

100 00

Г() Г1

txIt xtsxsEx









 







A

 



 



201 01

Г() Г1Г12

ttt

txIt xtssEx





 





 







AA

AA 0





 



  

 

01010

1() d

ГГ1Г1,

12 Г

tnn

nn n

tt t

txIt xtsssEx

 



 









 



 





AA A



(2.4)



因为，由矩阵模的性质可得

 



Г1

Г11











 









而数项级数



0Г1







A收敛，于是任给 0,mnN，存在 N，使当时











, .

tt t

 

M

让



t是一致收敛到的极限函数，因为

















()|,

txt txt



 AAA

所以一致收敛于









tA，在(2.4)式的第一个等号两端取极限，就得到

 



 

1d,

txIxt xtsxss









所以



t是问题(1.3)的解，对一切 t有定义且连续。我们让



Г1







A (2.5)

并且由(2.4)式的第二个等式我们知道

万桂华等 分数阶微分方程的矩阵级数解





0nn

tTx



, (2.6)

在(2.6)式的两端取极限，我们得到(1.3)的解









tEtx



A。

定理 2.3. (t处于一个有限区间)是(1.1)的一个基本解矩阵。而且，如果P是一个阶可逆矩阵，则

也是(1.1)的一个基解矩阵。





















A是(1.1)在初值条件

证明：由定理 2.2 知



下的解。我们依次令0

为，从

而知道的每一列是(1.1)的一个解，又因为 t

10 0

01 0

,,,

00 1









 









时，









A，所以是(1.1)的一个基本解

矩阵。









如果 P是一个阶可逆矩阵，则我们很容易得知















,D EtD EtEt

 



APA PAAP

并且 t = 0 时，，所以也是(1.1)的一个基解矩阵。





AP P





例2.1. 对角矩阵，我们来计算

, , 1,2,,

Ri n















 









。



 







Г1Г12

nn n

Et E













 



 



 

 



 













 

 

例2.2. 1









D

，求





。

我们知道 1









D,，由于 1, 2,k





Г1Г12 Г13 Г1

tt tkttE t

 



 





 

 .

所以我们能够得到



 







11 .

010 1

Г1Г10

kEtt Et

Et EkEt

 

 

















  

 

  



  

D



现在我们来求用Mittage-Leffler 型函数所表示的问题(1.1)的基解矩阵。

由代数知识[9]我们知道：存在 n阶可逆矩阵 P，使得 1





PBP ，其中













 



为A的若尔当标准型， , 1,2,,,

immn



是若尔当块。则由

万桂华等 分数阶微分方程的矩阵级数解

1



, 1,2,,







 







 



APBPPP

我们可以得到

 

()

EtJ

Et Et

EtJ























 



APBP PP

(2.7)

定理 2.4. 设阶矩阵A有n个互不相同的特征值 12



,



，则矩阵函数

















112 2,

Et rEtrEtr

 





是(1.1)的一个基解矩阵，其中是与矩阵 A的特征值



相对应的特征向量。

证明：设矩阵A的特征根12





,互不相同，则A的若而当标准型

























。由定理 2.3，

是(1.1)的一个基解矩阵。所以，由(2.7)和例 2.1，我们可以将(1.1)的基解矩阵用如

下形式来表示，即

















xEt

























AP P

因此，如果确定了矩阵P，则就能够计算出基解矩阵。令表示 P的第i列的向量，则基解矩阵













112 2,

Et rEtrEtr

 





这个式子表明方程组(1.1)有如下形式的解









其中是与矩阵A的特征值



相对应的特征向量。

对于矩阵A的特征根有重根的情形，利用定理 2.2 或2.3，理论上我们可以求得微分方程组(1.1)的基解矩阵。

但由于对于Mittage-Leffler 型矩阵级数，我们目前无法得到指数矩阵那样好的性质：，其中 A和B

是可交换的n阶矩阵。所以，我们在计算上会显得比较繁琐。我们在今后的工作中会继续探讨Mittage-Leffler

型矩阵级数的性质，以便能够比较容易地计算出微分方程组(1.1)的基解矩阵。

aBA B

e

[1] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava and J. J. Trujillo. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006.

3. 致谢

本工作受国家自然科学基金项目(10971221)、教育部优秀人才支持计划项目(NCET-10-0725) 、教育部高等学

校科研基金项目(2009QS06)，2011 年中国矿业大学(北京)教学团队建设立项项目《线性代数》教学团队建设和

中国矿业大学(北京)课程建设与教改项目(K100701)的资助，在此，我们表示由衷的感谢。同时我们也衷心感谢

参考文献中论著的作者们提供的帮助，本论文得以完成是与他们的贡献分不开的。

参考文献 (References)

万桂华等  分数阶微分方程的矩阵级数解

lculus: Theoretical developments and applications in physics

guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach. Physics Reports, 2000, 339(1): 1-77.

[2] K. Miller, B. Ross. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York: Wiley, 1993.

[3] I. Podlubny. Fractional differential equations. San Diego: Academic Press, 1999.

[4] J. Sabatier, O. P. Agrawal and J. A. Tenreiro Machado. Advances in fractional ca

and engineering. Berlin: Springer, 2007.

[5] R. Metzler, J. Klafter. The random walk’s

[6] 代群, 李辉来. 几类分数阶微分方程解的结构[J]. 吉林大学学报, 2011, 49(3): 580-586.

[7] 丁同仁, 李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

[8] 张锦炎. 常微分方程几何理论与分支问题[M]. 北京: 北京大学出版社, 2000.

[9] 王萼芳. 高等代数教程[M]. 北京: 清华大学出版社, 1997.