二阶齐次线性微分方程解的相似结构 The Similar Structure of Solutions of Second-Order Li-near Homogeneous Differential Equation

doi:10.12677/pm.2012.21005

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 23-27

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.21005 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

The Similar Structure of Solutions of Second-Order

Linear Homogeneous Differential Equation

Junchao Wang, Shu nc hu Li

Institute of Applied Mathematics, Xihua University, Chengdu

Email: wangjunchao2012@126.com

Received: Oct. 18th, 2011; revised: Nov. 24th, 2011; accepted: Nov. 29th, 2011

Abstract: The solution’s formal similarity is gained by reducing the analytical expression of linear non-ho-

mogeneous boundary-value problems for second-order linear homogeneous differential equations, a new me-

thod is provided to construct solution of equation with complex boundary conditions by employing simple

boundary conditions.

Keywords: Second-Order Linear Homogeneous Differential Equation; Boundary-Value Problem; Similar

Structure; Kernel Function

二阶齐次线性微分方程解的相似结构

王俊超，李顺初

西华大学应用数学研究所，成都

Email: wangjunchao2012@126.com

收稿日期：2011 年10 月18 日；修回日期：2011 年11 月24 日；录用日期：2011 年11 月29 日

摘要：本文针对二阶线性齐次微分方程的线性非齐次边值问题，通过对其解式的分析和简化，获得

了解式的相似结构；提出了一种由一个基本边值问题的解去构造出较为复杂边值问题的解的一种新方

法，有利于解决相应的应用问题。

关键词：二阶齐次线性微分方程；边值问题；相似结构；相似核函数

1. 引言

对工程技术问题中提炼出的一些微分方程(组)的求解问题大多都可归结为求解常微分方程(组)，那么研究常

微分方程(组)边值问题解的结构对于解决工程实际中的问题就显得非常有用。

文献[1-6]研究了一些微分方程边值问题的解的形式，发现在不同的外边界条件下，方程的解有着统一的形

式。微分方程解的相似结构理论是研究微分方程的边值问题解的表达式之间的联系的基础，即当边界条件中有

一个为非齐次时，其解的表达式可以像实数一样表示成连分式或连分式乘积的形式，即解的相似结构，其形式

由一非齐次的边界条件决定，而其它的边界条件则决定其核函数。微分方程解的相似结构理论可以广泛地应用

工程中，特别是在各类油气藏渗流模型的求解问题中。文献[7-20]对均质、双孔、合采、复合等油藏的平面径向

渗流模型求解都得到解的相似结构，油气藏渗流模型在不同外边界条件定义不同的核函数，其解有相同的结构。

对不同的外边界条件只需改变其解的相似结构式中的相似核函数，这无疑对人们系统和全面地认识同一渗流定

王俊超等 二阶齐次线性微分方程解的相似结构

解方程在不同定解条件下的压力分布规律带来清晰明了的数学直观以及编制相应试井分析软件的便利，更是可

以提供一种由基本渗流边值问题的解去构造出复杂渗流边值问题的解的方法。

本文将文献[6]所讨论的齐次线性微分方程的边值问题中的右边界条件推广到非齐次的第三类边界条件情

形，并对这一问题的解式进行分析和简化，同样得出其解的相似结构和相似核函数，并举例说明其在渗流工程

中的一些应用。

2. 解的相似结构理论

文献[6]研究了以下二阶齐次线性微分方程两点边值问题：









0ypxyqxy

 





(1)





ayab yc











 (2)









0or 0yRy R





 (3)

其中均为实数，,,,,abcdR 0c



，，1R









11,px CR，









21,qx CR。记





x，



x为方程(1)的两个

线性无关的解。

定理 1[6] 在不同外边界条件下，边值问题(1)(2)(3)的解有统一的形式，即解的相似结构：









111

yx ab















(4)

其相似核函数为：











 

xyR

xxyR

















 (5)

其中：

 









12112

yRyx yRyx



，

















22112

yRyx yRyx







由定理 1可知，边值问题的解可以表示成连分式乘积的形式；在不同的边界条件(3)下只有相似核函数不同，

并且核函数是两个线性无关的解的一个组合。

定理 2 当边值问题的右边界件为非齐次的混合边界条件时





my nyd







 (6)

其中均为实数，。 ,,dmn 0mn 

边值问题(1)(2)(6)的解有如下相似结构：









111

yx ab



















(7)

其中，



是相似核函数：

 

mxnx x

 

  (8)

王俊超等 二阶齐次线性微分方程解的相似结构

 





















1122 2

11 11111

ayab yyxayab yyx





 



 



证明：微分方程(1)的通解为：











112 2

xcyxcyx (9)

其待定系数可以由边界条件确定。

,cc

由左边界(2)条件可得：

 

















11122

11 1111ayab ycayab ycc



 

 2







(10)

由右边界条件(6)，得：















111222

myRnyRcmy Rny R cd







 





(11)

联立式(10)，(11)，得：

,cc









22 22

()()(1) (1)(1)cmy Rny Rdayaby



 

，









11 11

()()(1)(1) (1)c myRnyRdayab y



 



将所求代人式(9)中，即可得边值问题(1)(2)(6)的解为：

,cc

 





 





 





 











22221 11112

11111 1

() cmyRnyRd ayab yyxcmyRnyRdayab yyx

yx T



 

 







其中：

 





















11222 21

11 1111Tayab ymyRnyRayab ymyRnyR

 

 

 

 







令：

 





















1122 2

()1111 111

ayabyyxayabyyx





 



 



 

mxnx x

 

 

整理得解的相似结构：



 







1(1)

(1) 1

yx ab





















定理 2表明，当边界条件为非齐次边界条件时，二阶齐次线性微分方程的两点边值问题的解可以表示成为

连分式的形式，即解的相似结构，其形式只由左边界条件决定。右边界条件的变化只影响解的相似核函数。

推论 1当边值问题的右边界条件为非齐次的第一类和第二类边界条件时，边值问题的解有同一相似结构(7)，

并且其相似结构分别为：

  

   

mxx yRd

nxx yRd



 









 





推论 2



()





是二阶齐次线性微分方程边值问题：

王俊超等 二阶齐次线性微分方程解的相似结构

 



ypxyqxy

my nyd



 



















的解。

推论 2表明相似核函数的实质是当左边界条件为第二类边界条件时边值问题的解。这也提供了一个通过简

单的边界条件的边值问题的解求解复杂的边界条件的边值问题解的方法。

3. 解的相似结构理论的应用举例

微分方程解的相似结构理论可以广泛地应用工程中，特别是在各类油气藏渗流模型的求解问题中。对均质、

双孔、合采、复合等油藏的平面径向渗流模型求解都得到解的相似结构。

例1：文献[10]讨论的均质油藏平面径向渗流方程的边值问题：

r

p，

 

1dD

DD DD

Cz CzSz





 







tp0外边界无穷大时； (,)0

DDD

Rt p外边界定压时； d0

dDD

DrR

r



p外边界封闭时其解的相似结构为：

 

  

11,

DD DD

rz zrz

Cz Sz

 





对应于三种外边界条件的相似核函数为









0,0

1,0

0,1

1,1

1, ,

,, ,

1, ,

Kzr

zK z

rRz

rz zRz

rRz

zRz























外边界无穷大

外边界定压

外边界封闭

这里，符号说明详见文献[10]。

4. 致谢

感谢审稿人的审阅和对于本文的意见和建议。本项研究由西华大学应用数学校重点学科(编号：XZD0910

09-1)资助。

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