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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 28-33
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.21006 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
28 Copyright © 2012 Hanspub
Implicit-Explicit Multistep Finite Element Methods
for Some Nonlinear Reaction-Diffusion Equations*
Haiming Gu#, Mengmeng Guo
Department of Mathematics, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao
Email: #coolmi.g@163.com
Received: Nov. 30th, 2011; revised: Dec. 20th, 2011; accepted: Dec. 23rd, 2011
Abstract: Implicit-explicit multistep methods were recently proposed, and mainly used to nonlinearparabolicequa-
tions. We approximate the solution of initial boundary value problems for some nonlinear reaction-diffusion
Equations, and discretize by Implicit-Exp licit Multistep finite element methods. The optimal order error esti-
mates is derived in this paper.
Keywords: Nonlinear Reaction-Diffusion Equations; Implicit-Exp licit Multistep Finite Element Methods;
Optimal Order Error Estimates
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法*
顾海明#，郭蒙蒙
青岛科技大学数理学院，青岛
Email: #coolmi.g@163.com
收稿日期：2011 年11 月30 日；修回日期：2011 年12 月20 日；录用日期：2011 年12 月23 日
摘 要：隐–显多步有限元方法是近年来提出的一种方法，主要用于非线性抛物问题。我们对一类非
线性反应扩散方程的初边值问题进行近似，给出了隐–显多步有限元方法的逼近格式，并证明了该格
式的最优阶误差估计。
关键词：非线性反应扩散方程；隐–显多步有限元方法；最优估计
1. 引言
隐–显多步有限元方法是由 Georgios Akrivis，Michel Crouzeix，Charalambos Makridakis在1998 年提出的，
他们对非线性抛物方程的初边值问题的结果进行近似.在空间中，用有限元方法进行描述，而对于时间变量的离
散，以线性多步格式为基础，方程的一部分显式离散，一部分隐式离散。这种演绎格式是稳定的，相容的，有
效的[1-3]。因为对于每个时间层，有相同的矩阵线性系统解，且在每个时间步长上，都要求他们实现。对于非线
性反应扩散方程的数值求解，我们通常是在空间中用有限元离散，而在时间上用低阶有限差分离散[4]。
本文在第 2节中给出了文中所用到的一些记号，第 3节中给出了给出的反应扩散方程的隐–显多步有限元
方法，在第 4节中我们对该格式进行了最优误差估计。
*青岛市应用基础项目资助。
#通讯作者。
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
2. 预备知识
考虑下列非线性反应扩散方程：设


2,3
d
Rd 是具有光滑边界

的有界区域。对于 ，求实值函
数
0T


0,u T，满足
 
,,
uaxuf xtu
t

，




,0,
x
t T
0
(1)

,uxt，




,0,
x
t T (2)



0
,0uxu x， x

 (3)
其中， 及

ax

,,

f
xtu 为已知光滑函数。假设存在常数 a

和a

，使得


ax满足


0aaxa




下面给出本文将要用到的一些记号。
 
1
00
, ,
qq
ii
ii 0
q
i
i
















(4)
用上述多项式描述的数值求解一阶 步线性多步法，记为
..ODE -q


,


，


,


。假设格式

,


为强


0A-稳
定的隐式多步法，格式

,



为显式多步法。设格式


,


，


,


的收敛阶都为 阶,其中 为正整数，且
[1,5,6]。
p,pq
pq
在假设 时，记多项式
pq


，


，



分别为
   
0
1
()1, , 1
q
j
q
qjq q
jj
 





(5)
由上述多项式给出的隐式

,


格式是著名的 方法，这种方法对1
..BDF 6q

是强 -稳定的。

0A
设 ，

,dvw vws



,vvv

2k[7,8]

s
W

是上模为

1
S
s
S
WL
vx



















的Sobolev 空间。
当 时，2s2
WH
vvv



。
用.
s
表示 .
s
的半范数，则当 时，半范数2, 1sk 2
1
vv

。
用表示函数值在边界上为0的

1
0
H


1
H

的子空间，则在子空间上 11
..

。
定义椭圆算子
A
：


A
vaxv


(6)
显然，算子
A
是在 Hilbert 空间
H
上的线性自共轭正定算子，且

,
A
vv 等价于 1
v。不失一般性，记

1,vAvv
。定义：
22
12
1
(
qq
vvv

)

(7)
对于 ,，我们定义


1
12 0
,,, q
T
q
VH
 



1
12 0
,,, q
T
q
WH
 



12 12
22
11
11
,,, ,
qq q
ii ii
ii i
VW VV
 
 
 
 
 
 
 
1



12 12
22
1,
1,
1
11
, max
qq
ii
ji
j
iq
ii
VV V







 
 
 
 

，
对于线性算子 ，我们记
 
1
0
:qq
MH H1
0
Copyright © 2012 Hanspub 29
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法

1
0,0
sup
q
VH V
M
V
MV


3. 隐–显多步有限元格式
(1)的弱形式为： ,
1
0
vH



,,
uvaxuv fv
t







, (8)
取0

，NT Z

,n
tn

,。设

,
nn
vvxt



1
0h
VH

为有限元空间，且相应于 上的拟一致正则剖分指
标为 r。
设下列逼近性和逆性质都成立，
1
11
inf
hh
r
hh r
uV uuhuuMu h



 

(9)
2
,
d
hh
j
j
uMhu

, 0, 1j

, h
uV
h

 (10)
定义 1
0
:
hh
A
HV,, ，满足
1
0
:
hh
RH V1
00
:h
PH V
a)


,,(),
h
AvAva xv



, h
V


b)


,,
h
AR vAv


, h
V


 (11)
c)


0,,Pv v


, h
V


则有 0hh
A
RPA成立。
记 ，由椭圆投影的逼近性，可知
h
zuRu
1
11
11
,r
rr
zz u
zhz Mu
tt t
h



 
  

 




(12)
非线性反应扩散方程(1)的隐–显多步格式为：设给定 0h
UV

，求 nh
UV

为的离散估计，
，满足

n
uutn

0,1, ,nN

1
0
00 0
,
qq q
ninini nini
iihi
ii i
UAUPftUU
 

 
 


 


  (13)
0,1, ,nNq


其初始值计算格式为
a)
00h
URu
b) ,, (14)
0
khk
URTu

1, 2,,1kq
其中







21
12
000 00
2!1 !
k
kk
Tuu uuu






1

 
 (15)
这里 为(1)的解在 处关于时间 t的i阶导数，可以根据原方程计算求得。


01, 2,,1
i
ui



0t
由多步格式

,


为强 -稳定的，可得

0A0
qq

，则 qq
IA
h


为可逆算子。因此，格式(13)(14)有唯一
解。
4. 收敛性分析
令 ，由格式(13)(14)得
nn
h
Ru U


n
30 Copyright © 2012 Hanspub
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
nM



, 0,1,,1nq

 (16)
由(8)和(13)及0hh
A
RPA，可得误差方程
1
12
00 0
qqq
nininninnn
iihi
ii i3
A
FEEE

  


 

 
0,1, ,1n
, (17) q

ni
其中

1
00d
nni
ii h
F
PfRus




s

ni

, (18)
1
10
00
qq
nni
ii
ii
EP AuAu








 (19)


1
20 0
000
qqq
nnini
hii i
iii
u
ERP uPut
t






 




ni


ni
h
(20)

1
30
0
,,
q
nninini
i
i
EPftuftRu

 






 (21)
记


, 0,1,, 1
ii
iiih
qq
x
x
Ai q
x





， (22)
1
23
1
2
121
00
, , ,
00
nq nn
n
nq
nnn n
n
EE
E


2
nn

 



 
 
 

 

 
 

 

 
 





12 0
00
00
qq
h
I
A
I


，





 





，
12 3
00 0
00 0
nn n
qq q
n
FF F
 









 

F，





1
2
nq
qqh
nq
qqh
n
qqh
n
qqh
A
A
A
A
 
 
 
 















则，误差方程(17)可改写为




1nn
qqh qqh
AAF
nnn

  

 (23)
下面运用Crouzeix 在参考文献[2]中的结果
引理 1 存在常数

，
01


，以及连续 :qq
H
RC


，使得对，矩阵0x


x
H是可逆的，且对于矩阵


x
L
 
1
qq
qq
x
x
xx
x






LHxH
有
2
() 1x

L (24)
记



11
, , , ,
nnn nn
hh
HHA LLA YHHFH
1n



 F


则，误差方程(23)可以改写为




1nn
qqhqqh
AYALY nnn







 F

(25)
将上式两端与 作内积，可得
1n
Y



2
1111
12
,,,
nnnnnn nn
qqh
YALYYYYT
 

 F

3
TT (26)
Copyright © 2012 Hanspub 31
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
由Cauchy-Schwarz不等式，得








1112121
1
11
11
,, ,
nnnnn n
qqh qq
nn nn
qq
TALYYLYYLAYA
YY YY




 

Y

(27)
由Cauchy-Schwarz不等式及 Poincare 不等式，得
 






11
11 11
2
1111
1
,, ,
nnnnnTTnnnTn
nTnnnnn
TYHFHHYFHY
MHYMYYMYY
 
 

 


 
 

Fdx
(28)
同理可得
1
31
nn
TMY


， (29)
由(27)(28)(29)，及不等式 2
1
22
ab ab2


 ，可得


22222 22
11 12
11
11 111
22 222
nnnnnnn
qqqq
YYY YYMY

 

 
 
2
1
1
n
Y

(30)
取

2
01q

 ，有



22
2
2
12
12
nnn
YMYMY
2
n


 

(31)
下面我们估计1
n
E多步格式

,


,


,


是

阶收敛的，即


0
01

a)
00
q
i
i



b) 1
11
00 0
,1,2,,
qq q
kk k
iii
ii i
iki kik




 
 
 

(32)
由Taylor 定理及(32)，可得

1
00
qq
nj nj
ii
ii
uu







 ， (33) 1, 2,,jd
则

1
100
,
qq
nnini
ii
ii
EvAuAuvM v

 











,

(34)
即得
11
11
nn
EM




 (35)
下面我们估计(20)(21)。由 Taylor 定理及(32)，可得
1
2
n
EMh

r

 (36)
同理可得




11
00
qq
nj nj
iit
ii
uut






 
(37)
即得
1
3
n
EM



 (38)
则有


1
223
nnn r
EE Mh




  (39)
设




1212 122
,
rd d
h

 
 
h (40)
32 Copyright © 2012 Hanspub
顾海明 等  一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
Copyright © 2012 Hanspub 33
则



12
22
10 1
12
1, 1,2,,
nnnr
M
MhnN q

 




 



综上可得
定理 1 是(1)~(3)的解，且充分光滑， 是格式(13)(14)的解,设un
U2
d
r，且满足网格条件(40)，则有最优误
差估计




1
0
max nnr
nNut UMh



  
参考文献 (References)
[1] G. Akrivis, M. Crouzeix and C. Makridakis. Implicit-explicit multistep finite element methods for nonlinear parabolic problems. Mathematics of
Computation, 1998, 67(222): 457-477.
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1999, 82: 521-541.
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