 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 34-38 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.21007 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) 34 Copyright © 2012 Hanspub The Opial Modular of Cesaro Sequence Spaces 1cesp<p< Feifei Yu, Jun Li College of Science, Tianjin University of Science and Technology, Tianjin Email: yuff_75@yahoo.com.cn Received: Oct. 18th, 2011; revised: Nov. 21st, 2011; accepted: Nov. 25th, 2011 Abstract: The Opial modular is the most important digital index in sequence spaces, it riches the intension of the Opial property, and it is a powerful tool for the discussion and the applications in sequence spaces. The calculation formula of Opial modular in Cesaro sequence spaces ces (1) pp was given and proved, the fact that has the uniform Opial property was also proved. ces (1) pp Keywords: Cesaro Sequence Spaces ces (1) pp ; Opial Property; Opial Modular; Uniform Opial Property Cesaro 序列空间 1cesp<p< 的Opial 模 于非非，李 君 天津科技大学理学院，天津 Email: yuff_75@yahoo.com.cn 收稿日期：2011 年10 月18 日；修回日期：2011 年11 月21 日；录用日期：2011 年11 月25 日 摘 要：Opial 模是序列空间最重要数字指标，丰富了 Opial 性质的内涵，是序列空间的讨论与应用的 有力工具，给出了 Cesaro 序列空间 ces 1 pp 的Opial 模的计算公式并予以证明；验证了 具有一致 Opial性质。 ces 1 pp 关键词：Cesaro 序列空间 ；Opial性质；Opial 模；一致 Opial性质 ces1 pp 1. 引言 设X为Banach 序列空间， x xi，对 i ，称 i px xi为坐标映射；若每个坐标映射都连续，则 X 为BK 空间[1]。 Banach 序列空间 X称为具有 AK性质，如果 0 N xx ， x X ， ，其中 。 N 1, 2,,0, N xxxxN 绝对型序列空间是最基本的序列空间，具有广泛的应用价值。1970 年[1]，薛昭雄引入了一种新的绝对型序 列空间——Cesaro 序列空间，是常用的 Cesaro 序列空间的记法。已经知道： ces 1 pp  于非非 等 Cesaro序列空间 ces (1) pp 的Opial 模 Copyright © 2012 Hanspub 35 1 11 1 ces :pp k p ki xxi xi k 在范数 1 11 1p p k ki xi xk 意义下成为具有AK 性质，BK 性质的 Banach 空间。而且对于 * ces p yyi， ces p xxi，有 1 ,i y xxi xy yi 关于 ces p 的讨论，诸多数学工作者已经做了大量工作。俞鑫泰，张文耀[2]讨论了 ces p 的基、凸性和光滑性， 刘郁强[3]讨论了 ces p 的H性质，NUC等性质。 X是Banach 序列空间，若对于 n x X，且 0 w n x ，如果 ,xXx0 有 liminf liminf kk nkn nkn x xx 则称 X有Opial 性质。为了记法上的方便，在不引起混淆的情况下，以下文中上式记为 lim lim nn nn x xx 具有 Opial性质的 Banach 空间X的Opial 模如下定义: inf liminfn n x x 其中 0,1, , 01 w nn xxx Banach 空间 X称为具有一致 Opial 性质如果 0, 0r ，使得对于 , 0 w nn xSXx 及 , xx ，有 1liminf n n rx x Banach 空间 X具有一致Opial 性质 () 1 。 Z. Opial于1967 年[4]引入了 Opial 性质的概念，这一性质蕴含不动点性质[5]，这使得它在分析处理许多实际 问题中发挥巨大作用，而另外一个数字指标——Opial模，则丰富了 Opial 性质的内涵，为序列空间性质的讨论 与应用提供了有力工具。1996 年[6]，王廷辅、崔云安讨论了Orlicz 序列空间的 Opial 性质；2001 年[7]，于非非， 崔云安讨论了 Orlicz 函数空间的依测度收敛的 Opial性质；2009 年[8]，于非非，李君证明了 Cesaro序列空间 ces1 pp 具有 Opial性质。 本文给出了 Cesaro 序列空间 的Opial 模计算公式并予以证明；并利用Opial 模验证 具有一致 Opial 性质。 ces 1 pp ces1 pp 2. 结论 结论 1：Cesaro 序列空间 是具有 AK 性质的BK 空间，则 ces1 pp p c ，其中  于非非 等 Cesaro序列空间 ces (1) pp 的Opial 模 36 Copyright © 2012 Hanspub 11 11 11 inf :1 pp kk pxy yki ki xy xy xi yi cc kc kc 其中 1,01 x 。 证明：先来验证 。对任意的 p c ces, 1 npn xx ，满足 0 w n x ， n ，ces, p xx 。 由范数的绝对连续性， 0 5 ， ，使得 1 k 111 1p k kki p xi kc (1) 从而 1 11 1p kk ki p xi kc (2) 由0 w n x n 知i 有 ， 0 n xi n ，于是对上述2 0, k ，使得 2 11 1p kkn kip xi kc (3) 可见取 时，(1)(2)(3)同时成立。因为 01 max, kk 2 k 1 1kn p ip xi xil kc , 1 1kn p ip xi l kc ， 1 1k p ip xi l kc ， 所以 0 ，n充分大时，有 00 11 11 11 pp kk kk n ki ki pp xi xixi kc kc 00 11 11 11 pp kk nn kk ikk i pp xi xixi kc kc 进而得到 00 11 11 11 pp kk kk n ki ki pp x ixixi kc kc (4) 00 11 11 11 pp kk n kk ikk i pp xi xixi kc kc n (5) 结合(4)(5)有 0 0 0 0 11 1111 11 11 () () 11 1 ()() 11 14141 p p pp k kk k nn n n kikikk i pp p pp kkk n kikk i pp xixixixi xi xi xx ckc kckc xixi kck c p  于非非 等 Cesaro序列空间 ces (1) pp 的Opial 模 Copyright © 2012 Hanspub 37 于是 np x xc，这就验证了 p c 。 再验证 p c 。由 p c的表达式， 0, , x ces p y ,1xy ，，使得 x yp cc 令 00,1 ,0,2,0,3yyyy， 11,0,2,0, 3,0xx xx， 20,1 ,0,2,0,0,3 ,0xxx x 如此进行下去得到 ，满足 0 ces, ces np xy p0 1, n xy ， 0 w n xn ，从而 00 1111 11 0 11 11111 111 ()()() () 11 11 pp p kkk nn kikiki ppp ppp kk kk n ki kikii xyxyxy xy xi yixiyi k ckckc xi yixi yi kckckckc 1 1 p k 令 0 知0np x yc ，也就验证了 () p c ，于是 () p c 得证。 结论 2：Cesaro 序列空间具有一致Opial 性质。 ces 1 pp 证明：由 p c的表达式知 ，于是。假设 Cesaro 序列空间1 xy c1 p c ces1 pp 中，则1 p c0 ，存 在,ces p xy，满足1, p p xy ，使得 1 p xy cc 对于，存在 ， 00 1 nn ,ces nnp xy1, p p nn xy ，使得 1nx cy 因为 p p y ，所以 11 p 2 p p n nn y 从而得到 11 10 12 pp kn ki n yi k 令 ，则有 00 1 nn 1 1n n x 。于是当n充分大时总可以做到 11 11 14 p p kn ki n xi k 于是 11 1111 11 () ()() () 1111 111 1142 nn nn pppp pp p kk kk nnnn ki kiki ki xy xynn xi yixi yi kc kckk 1 4 矛盾，从而，这就证明了 Cesaro 序列空间1 p c ces 1 pp 具有一致 Opial性质。 关于 Cesaro 矢值序列空间 cespE，乃至于矢值序列空间 s sE的Opial 模的讨论及计算，相应的 Cesaro 函数空间的有关性质及数字指标的计算，还需要进一步的研究工作。  于非非 等 Cesaro序列空间 ces (1) pp 的Opial 模 38 Copyright © 2012 Hanspub 参考文献 (References) [1] 刘郁强, 吴博儿, 李秉彝. 序列空间方法[M]. 广州: 广东科技出版社, 1996: 120-388. [2] 俞鑫泰, 张文耀. 关于 Banach-Saks 性质[J]. 数学学报, 1987, 30(6): 753-756. [3] 刘郁强. Cesaro矢值序列空间[J]. 数学杂志, 1989, 9(3): 253-260. [4] Z. Opial. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings. Bulletin of the American Mathematical Society, 1967, 73(4): 591-597. [5] 张石生. 不动点理论及应用[M]. 重庆: 重庆出版社, 1984: 45-126. [6] 王廷辅, 崔云安. Orlicz序列空间的 Opial性质[J]. 应用数学, 1996, 9(3): 392-394. [7] 于非非, 崔云安. Orlicz函数空间的依测度收敛的 Opial 性质[J]. 黑龙江大学自然科学学报, 2002, 19(1): 6-9. [8] 于非非, 李君. 两种性质在矢值序列空间中的提升[J]. 天津理工大学学报, 2009, 25(3): 4-6. |