向量函数一致连续的判别方法研究 Study on Uniform Continuity of Vector Function

doi:10.12677/pm.2012.21009

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 45-52

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.21009 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

Study on Uniform Continuity of Vector Function

Weibin Wang1, Jianhua Ma1, Xi ao yuan Yang2

1School of Physics and Nuclear Energy Engineering, Beihang University, Beijing

2School of Mathematics and System Sciences, Beihang University, The LMIB of the Ministry of Education of China, Beijing

Email: xiaoyuanyang@vip.163.com

Received: Oct. 13th, 2011; revised: Nov. 24th, 2011; accepted: Nov. 27th, 2011

Abstract: This paper studies the uniform continuity of vector function. We expand the application of com-

parative method and “relative period” theorem, and find some new methods to judge the uniform continuity of

vector function. In the last part, the enlarged application examples are presented to show the effectiveness of

the methods and theorem we offer.

Keywords: Vector Function; Uniform Continuity; “Relative Period”; Comparative Method

向量函数一致连续的判别方法研究

王玮彬 1，马建华 1，杨小远 2

1北京航空航天大学物理科学与核能工程学院，北京

2北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京

Email: xiaoyuanyang@vip.163.com

收稿日期：2011 年10月13 日；修回日期：2011 年11月24 日；录用日期：2011 年11月27 日

摘要：本文研究了向量函数的一致连续问题。提出了向量函数相对周期的概念，在此基础上，给出

了向量函数一致收敛的判别方法，最后给出实际应用的例子，说明本文提出方法的有效性。

关键词：向量函数；一致连续；“相对周期”；比较判别法

1. 向量函数一致连续的基本定义

函数的一致连续是基础数学研究的一个重要概念。一元向量函数一致连续性的探究，对复变函数及运动物

理学的研究具有重要意义。在文献[1-4 ]中，我们研究了一元函数和多元函数一致连续判别法。本文在此基础，

研究了向量函数的一致连续判别方法。本文获得的结论进一步扩宽了这一问题的理论成果，具有理论和应用价值。

下面给出向量函数一致连续和不一致连续的定义。

定义 1.1. (一致连续) 设12

DRDR 1

DD。若任意给定



，存在，对于任意的

，当







,DXY XY 时，

 



XY成立，则称 F在上一致连续。

定义 1.2. (不一致连续) 设12

DRDR 1

DD。若存在一个 0



，对任何，在中可以

找到两个向量列



iN1

 

K，1

SK ，但是









0ii





SK ，则称 F在上不一致连续，这里为自

然数集合。

D N

王玮彬等 向量函数一致连续的判别方法研究

2. 向量函数一致连续的相对周期判别法

首先将一元函数周期的概念拓展到向量函数，对于一般向量函数定义周期如下。

定义 2.1. (向量函数的周期)设:,:

nm n

RRfRR。

 























121 2

,,,, ,,

Fff ffffXXXX XTXXTT

对任意



,,,n

xxRX成立(其中 i



)，则定义多元函数的周期为



 

,,, ,

TTTT RT。

例1. 向量函数



sincos 2

,cos2

sin2cos 2

Fxyx y

























2π

以











为周期。





yR

定义 2.2. (向量函数的逆映射定义) 设。若对任意

12 1

,,:

DRDRFD D 

，存在映射，

且满足

1:DFD







X，则称



F

是向量函数





的逆映射。

定义 2.3. (向量函数广义相对周期定义) 设:,:

nm nn

RRGRR。其中





以T为周期。若向量函数

 







Ggg g

XX X。



RR。X存在逆映射



G

，则复合向量函数













WFG

X的第 k个相对周期为：















1,,,

kkk

GkGkTTTT R



 

 TT Tknki

下面通过一个例题来阐释向量函数逆映射及相对周期的求法。

例2.



sin cos

,cos 2

sin

Wxyx y

























(, )

yR



解：分析向量函数Wx 的复合结构：













,,y FGxyWx ，其中



sin cos

,cos 2

sin

Fxyx y











































，是以 









为周期的周期向量函数；



Gxy









，根据逆映射定义













X易求得其存在逆映射



Gxy y









。于是由相对周期的定义求得





,Wxy的第k个相对周期为

 



 

2222

1ππ1π

π1ππ[1π]

kkk

GkG kkkkk

 





 













 





 











TT T

定理 2.1. (基于广义相对周期的一致连续判别方法)

设:,

RR:,:

nn n

GR RWR R

。





,,,n

xxRX。其中





为上连续的周期向量函

数且以 T为周期，则对于复合向量函数











WFG

X，若其存在相对周期，且



,,,

kkkkn

T

TTT

王玮彬等 向量函数一致连续的判别方法研究

inf 0

kT，则向量函数





在上不一致连续。





















TTS,且对















TTX，



证明：设k

是W在上的模最大值点(波峰点)，即



1,2,







i n









 时，必有









WW

S成立； k

是





在上的模最小值点(波谷点)，

即

qk p



K











，且对













X，



,1,2,,

iqi

TTi n

















 时，必有







WWXK

成

立。由广义相对周期定义 2.3.知，若















TTX，即





1,Gk G



















TXT

，且











，

所以有：。

 





1,k





TTGkX

又因为



是周期向量函数，在每个周期T上有固定的波峰点和波谷点，设



在上的

模最大值为，模最小值为，并且



1,kk







FYx



min



max min

FAYY (





1, ,kkkN







YTT

，A为常数)，

因此在每个相对周期上也都有



 

min max



FGFF 







XYY成立，且

在上连续，即总可以找到这样

的向量列



 

K，使























max min

WFGFWFG F SXYKXY

故有

 









minmax 0

SKWWF FAY Y



。

对由,,iN NNinf 0

kT即li

km 0





TkN知，当时，有 1



T，且必有

pqkk pq













SKTT,

kkk i



TSK，但是





WW ASK ，所以函数





在上不一致连续。

3. 向量函数一致连续的比较判别法

这一节我们讨论向量函数在不同类型区域上的一致连续性的比较判别法。

定理 3.1. 设有界开集，函数

DR







,: m,

GDRXX













GCXX D。，存在DAn



B满

足













lim FaG













,FG

X有相同的一致连续性。 (其中 a为非零常实数)，则在集合上D

证明：作辅助函数











, .

aG D

 









XXX

XBX 则



在有界闭集 D上连续，故一致连续，因此 D上









,FG

X有相同的一致连续。结论得证。

为了下面叙述方便，我们引进下面记号。

王玮彬等 向量函数一致连续的判别方法研究







rrRBO OXXX ，







BrR



OOXXX ，





rrR BO OXXX 。

定理 3.2. 设向量函数



EBRD EO,

,: m

GDDR，且满足



 



GCDXX，如果













lim FaG







XXX

成立(其中 a为非零常实数，B为常值向量)，则在集合上









,FG

X有相同的一致连续性。

证明：首先证明如果





在上一致连续，则





在上一致连续。

由于



在上一致连续，则有定义1.1.得到

 

12 11 212

0,0,,, ,3

DGG



 



 XXX XXX (3.1)

又

 



lim ,FaG

 

XB对于 0, 0,Mr



当0MX时，有

 

FaG



XXB (3.2)

取12

MXX，且 12



XX ，则根据(3.1)和(3.2)得到

 

















  

12111 222

11122 2

333

FF FaGaGaGaGF

FaGaGGFaG

 

 

 







XXXXBX XBXX

XBX XXXB

从而得到



在上是一致连续的。又由于



DRBO





在有界闭集



E

O上连续，因此一

致连续，综合上面证明，





在上一致连续。

同理可证明



在上一致连续，则





在上一致连续，即









,FG

X具有相同的一致连续性。

结论得证：由定理 3.2可以得到下面推论。

推论 3.1. 向量函数 ,:

GR R，且满足













GCRXX ，如果













lim FaG







XB.

成立(其中 a为非零常实数，B为常值向量)，则在集合上









,FG

X有相同的一致连续性。

推论 3.2. 设



1,,

DEE

O向量函数 12

,: m

GDDR，且满足



 



GCDXX,如果

 



lim FaG

 

XB,

2) ,

 

, m

rWR XXBO















lim FaGW



YX YY X

成立(其中 a为非零常实数，B为常值向量)，则在集合上









,FG

X有相同的一致连续性。

定理 3.3. 设，向量函数

121 21212

,, ,,

EE REEEEEEREEE 

 



 

GCXX EE1

E。若在上满足：













lim FaG







xB.

成立(其中 a为非零常实数，B为常值向量)，则在集合上

EE









,FG

X有相同的一致连续性。图 1给出了

定理 3.3.中向量函数定义域示意图。

王玮彬等 向量函数一致连续的判别方法研究

Figure 1. Diagram of domain in theorem 3.3

图 1. 定理 3.3.中向量函数定义域示意图

证明：设



在上一致连续，证明

EE





在上一致连续。

EE

因为



在上一致连续，所以

EE

 

12 122

0,, , 0, , 3

EEG G







 

XXXXX X (3.3)

又

 



lim ,

XFaG

 



xB对于 0, 0,Mr



 当0MX时，有

 

FaG





XXB (3.4)

取12

MXX ，且 12







XX ，则通过(3.3)，(3.4)有

 

















  

12111 222

11122 2

FF FaGaGaGaGF

FaGaGG FaG

 



 

 







XXXXBX XBXX

XBX XXXB

所以



在集合



EEEB

 O中一致连续，与





有相同的一致连续性，存在一个正数使此时

集合是一个有界闭集，所以



 







在其中必定一致连续，所以函数



与函数





在集

合上一致连续。



E



同理，可以证明函数





在上一致连续，则



EE







在





EE上一致连续，因此，结论得证。

推论 3.3. 设向量函数



121 2

EER EEE



1212

EEEREEE  

 

GXXCE如果









,FG

X在上任何点的极限都存在； E

2) 在集合上满足：













lim GFA







XXX

成立(其中 a为非零常实数，为常值向量)，则B









,FG

X在上有相同的一致连续性。图 2给出了推论 3.3.

中向量函数定义域示意图。

王玮彬等 向量函数一致连续的判别方法研究

Figure 2. Diagram of domain in corollary 3.3

图2. 推论 3.3.中向量函数定义域示意图

证明：做辅助函数：

 



;

lim ,













XA

XXA









lim ,

GGE

















XA

XXA

由定理 3.3.可知，函数





,FG

X在上有相同的一致连续性，故



EE







,FG

X在定义域上有相

同的一致连续性。

4. 应用举例

本节举例说明本文提出的判断函数一致连续定理的应用。

例1：定理 2.1. 应用

讨论向量函数



23 2323

,sincos,3cos ,5sin

Wxyxyx yx y









在上的一致连续性。

解：因为向量函数



sincos,3cos, 5sin

xy xyxy















是周期向量函数，令



，则据向

量函数相对周期定义解得第k个相对周期



,Gxy

 



2π21π

GkG kkk





























TT T

从而有 lim 0,

k T即inf 0



T，故向量函数





,Wxy在上不一致连续

例2：定理 3.2. 应用

讨论向量函数



23 4

4ln,3,2 4

xxxex













在





1:0,D



上的一致连续性。

解：因为

4ln

lim 1





，

12 3

lim 1









，

lim 1









，所以令，

且



234

()2,3,4Gxxx x

，于是有：

王玮彬等 向量函数一致连续的判别方法研究

 



4ln 4ln

limlim 33lim

24 2

xx x

Fx aGxxx

ex e

 







 









 





 



 



 





 









 





 



O，

所以函数



x在与函数有相同的一致连续性。又函数



1:0,D













234

,3 ,4xx x xGD非一

致连续，所以函数



在



上



1:0,

234

4ln 3, 25















在x







D:0,



上也非一致连续。

例3：定理 3.2. 应用

讨论向量函数：

 





33,ln6,4sin

xxxx在





1:0,D



上的一致连续性。

解：因为



lim 3







，



ln 7

lim 3

3ln









，4sin

lim 3

4sin





，所以令



,ln, sin

Gxxxx







且3A



，

于是有：





lim()( )

xFx aGx





O，

因此，函数



x与函数在





1:0,D





上有相同的一致连续性。而函数



,ln,sin

Gxx xx







在

上一致连续，所以函数



1:0,D



 



33,ln6,4sin

xxxx在





1:0,D



上一致连续。

例4：定理 3.2. 的应用

讨论函数

11co

( ,)sin,sin,ln

xyy x

xyxy xxe

xyxy y















在R上的一致连续性。

解：因为

1cos

1ln

sin 2

lim1, in

lim1, lim1;

sin

x x

y y

xy xx

xy e

xyxy

xy xy

 

 









 

所以令



,sin,,

Gxyxye







1a

且，于是有





46 23

sin sin

lim ,,limsin

1cos

ln 2

xx xy

xyxyxy

Fxy aGxyxyxxxy

 













 















O



因此，函数



xy与函数





,Gxy在



1:0,D





上有相同的一致连续性.而函数





,Gxy在定义域上不一致连续，

故原函数在定义域上不一致连续。

王玮彬等  向量函数一致连续的判别方法研究

5. 结论

本文研究了多种类型区域向量函数一致连续的判别方法，本文的结论丰富了函数一致连续性的理论结果。

参考文献 (References)

[1] 杨小远, 马建华, 张立文等. 关于函数一致连续性的判别方法研究[J]. 河南科学, 2010, 28(6): 635-637.

[2] 杨小远, 王玮彬, 张立文等. 振荡函数一致连续性研究[J]. 河南科学, 2010, 28(8): 899-900.

[3] 杨小远, 王玮彬, 马建华. 多元振荡函数一致连续性研究[J]. 河南科学, 2010, 28(9): 1061-1064.

[4] 杨小远, 王玮彬, 马建华. 多元函数一致连续的比较判别方法研究[J]. 河南科学, 2010, 28(12): 1501-1503.