 Applied Physics 应用物理, 2012, 2, 28-33 http://dx.doi.org/10.12677/app.2012.21005 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/app) Goos-Hänchen Shift from an Anisotropic Metamaterial Slab Lijuan Xia1, Guanxia Yu2* 1College of Information Science and Technology, Nanjing Forestry University, Nanjing 2College of Science, Nanjing Forestry University, Nanjing Email: *sys@njfu.edu.cn Received: Oct. 13th, 2011; revised: Nov. 18th, 2011; accepted: Nov. 20th, 2011 Abstract: The Goos-Hänchen shift (the lateral shift) has been investigated from the anisotropic metamaterial slab theoretically and numerically. The sign and degree of the shift can be determined by the choices of the electromagnetic parameters and thicknesses of slab, which is different from the case of the isotropic media. We also find that the weak lossy may produce large positive or negative lateral shift. This special phenomenon can apply to some optical device design. Keywords: Anisotroptic; Metamaterial; Goos-Hänchen Shift; Lossy 各向异性人工媒质中的 Goos-Hänchen 相移 夏丽娟 1，余观夏 2* 1南京林业大学信息科学技术学院，南京 2南京林业大学理学院，南京 Email: *sys@njfu.edu.cn 收稿日期：2011年10月13日；修回日期：2011 年11 月18日；录用日期：2011 年11 月20日 摘 要：本文从理论上探讨了各向异性的人工媒介与空气界面的Goos-Hänchen 相移，然后通过数值计算证实了 理论的分析结果。再研究了人工媒质的耗散对 Goos-Hänchen 相移的影响。Goos-Hänchen 相移的符号和大小取 决于不同的电磁参数、入射角以及各向异性人工介质板的厚度。同时不同于无耗散的各向异性的介质板，在弱 耗散的情况下，耗散对横向的相移产生了很大的影响，在一定的条件下，介质弱耗散可以产生很大的影响。这 种特殊的现象可应用于光学装置设计中。 关键词：各向异性；人工媒质；Goos-Hänchen 相移；耗散 1. 引言 1967 年，前苏联物理学家 veselago 在理论上研究 了介质常数和磁导率都为负值的介质的电磁性质时 发现，此时的电磁波的电场，磁场和波矢量构成左手 螺旋关系，他将这种介质称为左手介质(left hand materials(LHM))[1]。左手材料有很多不同于右手材料 的性质，如负折射率，反向的多普勒效应、反切仑柯 夫辐射等[1]。由于这种双负电磁参数的材料在自然界 并不存在，veselago 提出的理论并没有引起人们的重 视。直到 1996 年英国物理学家 pentry提出了用金属 导线阵列和金属环结构制作人工的负折射率材料设 想以及用负折射率材料实现完美成像概念[2,3]，以及 2000 年美国杜克大学的smith 教授用人工材料在实验 室成功实现了电磁波的负折射之后[4,5]，左手材料和人 工电磁材料的制作和其特性的理论研究才引起人们 极大的关注。 当电磁波入射到两个不同介质表面反射时，反射 波和透射波将在界面产生横向的移动，这就是众所周 *通讯作者。 28 Copyright © 2012 Hanspub  各向异性人工媒质中的 Goos-Hänchen 相移 知的 Goos-Hänchen 相移(横向相移)[6-9]。当电磁波入 射到各项同性的右手介质时，会产生正的 Goos- Hänchen 相移(图1)，而当波入射到各项同性的左手介 质时，会产生负的Goos-Hänchen 相移[10-13]。众所周 知负折射率材料作为一种特殊的人工电磁材料，由于 结构不对称性和耗散的存在，制作理想的各向同性的 负折射率材料十分困难[14-16]，而各向异性的电磁材料 与各项向同性的电磁材料有着不同电磁性能[17-19]。因 此研究各向异性的人工电磁材料的特性对人工电磁 材料的制作和应用又很重要的意义。因此本文研究了 各向异性和有耗散的左手材料介质板与空气界面的 相移规律。 2. 理论分析和数值仿真 如图 1，我们考虑一厚度为 d的人工介质板。介 质板将空间分为 3个区域，区域 0，区域 1，区域 2。 我们假设区域 0,2填充的是空气，其相对介点常数和 磁导率分别表示为 01 r 和01 r 。区域 1，填充的 是介电常数和磁导率为双轴各向异性的人工媒质，相 对电磁参数表示为 00 00 00 rx ry rz 00 00 00 rx ry rz 。 为了讨论问题简化，我们假设一个二维TM 波从 区域 0入射到各向异性的左手介质板的界面。我们设 入射波的形式为 ，其中 0 0 in xz ik xikz Ez Ee 0sin x kk ，00 cos z kk ，( 为入射角)， 00 k0 ，公式省略了时间隐含项 it e 。在区域 1 和2中的电场分量可以通过麦克斯韦方程组以及边界 条件确定。在区域 1中，反射电场可以写成 0 xz ik xik z r EzREe 式中 R是z = 0 界面的反射系数，可以写成 1 1 2 2 22 2 11 11 z z ik d i ik d Pe RR ppe e (1) 其中 10 z rzrz pk k，22 00 x kkk， 22 10 z ry rxxrxrz kk k 0 z k是区域 0和2中z方向上的波矢量， 1 z k是 区域 1中z方向上的波矢量， R反射系数的幅值， Figure 1. The space is divided into three regions by the anisotropic metamaterial slab 图1. 各向异性的人工介质板将空间分为 3个区域 12 1 tan21 tanz pp d k是反射波的相位。根 据稳态相位法[4]，电磁波在界面的横向位移可以定义 为dd rx s k ，我们可以获得 Goos-Hänchen 相移的 表达式： 2 10102 cos r spss (2) 2 01 1 sin z s dkd (3) 2 2 1 02 2 2 0 1 11 1 zrz z rx z k p sk kp (4) 其中 2 11 21 x rxk zrz ppkp k ， 100 z rzr pkk z 因为在各向异性的介质内坡印廷矢量方向必须 远离界面向 z的正方向传播，对 TM波而言，这就要 求1 z k和rx 必须有相同的符号[20]。从上式(2) 可以看 出，当 p1接近1时，我们能看出上s01 的值远远大于 s02，公式(2)显示 r s 的符号由 rx 决定。 r s 的值除了与 电磁参数有关外，还依赖于d。由(3)可见，随着 d的 变化，当 1 z dk满足或近似共振条件 1,dm k1zπ2, 3m Goos-Hänchen相移也将随之 增加，与各项同性人工电磁材料中相移情况一致[15]。 根据 1 z k的表达式，对在各向异性介质内的传播 波，存在一个临界角 c ，即 sin cryrz ，由此临 界角公式和相移公式，可见在各向异性的介质板中， 对TM 而言，与Goos-Hänchen 相移相关的参数只有 三个，即 ry ，rx ，rz 。我们可以根据各项异性介 质的电磁参数的不同选择，考虑四种不同的情形。 第一，如果 0, 0 rxrzry rz ，区域 0和区 域1的色散关系在 X-Z 平面分别是圆和椭圆的等频率 Copyright © 2012 Hanspub 29  各向异性人工媒质中的 Goos-Hänchen 相移 曲线。由于入射角必须小于临界角，由等频率曲线可 知， 0 z k和1 z k值的变化几乎一致，取值接近 1，因 此 p r s 的符号由 rx 决定。由公式(3)可得，随着入射角 的增大， 1 z k减小， 01 s 增大， 增大，相移 1 pr s 也将增 大。我们取值 ， 1 GHzf2d ，相对电磁参数选 取2 rx ，0.5 rz ，1 ry ，临界角约为 45˚。图 2(a)的实线表示Goos-Hänchen 相移与入射角的关系。 相对磁导率 rx 的符号为正，相移也为正，且随着入 射角的增大而增大，在临界角附近出现较大的相移。 图2(a)的虚线表示相对电磁参数 2 rx ， 0.5 rz ，1 ry 时，Goos-Hänchen 相移与入射角 的关系，图示结果也与理论分析一致。 图2(a)中的出现的周期峰值时是由于随着入射角 的增加， 1 z dk 30 满足了一定的共振条件。如果我们固定 入射角，其他条件和图 2(a)一样，从图(2b)可 以看出随着介质板厚度的增加，由于共振条件的满 足，位移呈现周期性的变化。 第二，如果 0 rx rz ，0 ry rx ，根据临界角 的计算公式，所有的入射波将能穿过各向异性的介质 板。在这种情形下，区域 1和2的色散关系在X-Z 平 面分别是圆和双曲线。当入射角不太大时， 01 s 大于 02 s ，位移的符号由rx 的符号决定，与情形1基本一 致。同样，取值， 1f GHzd2 ，2 rx ， 0.5 rz ，1 ry ，此时由等频率曲线可知，相同 的 x k值， 1 z k大于 0 z k，导致 0，0，r01 s02 s s 的符 号由 rx 决定。图 2(c)中实线相移在入射角小于临界角 时，随着入射角的增大，相移逐渐增大。图 2(c)中虚 线为电磁参数为 2 rx ，0.5 rz ，1 ry 位移的 符号与rx 一致，产生了正的相移。但是当入射角较 大时， 0 z k减小很快，而1 z k变换缓慢，导致和 1 p02 s 的 快速增加，根据上面的分析，这时 Goos-Hänche 位移 的符号由 rx 的正负决定，同时 Goos-Hänche位移的 值随之迅速增加。图 2(c)所示在入射角较大时， Goos-Hänche 位移的符号出现了反转，与rx 的符号一 致，并随着入射角的增到而急剧增加。 第三，如果 0 rx rz ，0 ry rx ，由于介质板 中的传播常数为虚数，导致在介质板中无传播波，所 有的入射波将会发生全反射。具体全反射的情况我们 不做详细研究。 第四， 0 rx rz ，0 ry rx ，区域 1和2中的 色散关系在 X-Z 平面分别为圆和双曲线，与第二种情 形类似。但入射角必须大于临界角时，电磁波才能在 介质中传播。同样当入射角较小时，位移的符号仍然 由rx 决定。图 2(d)实线表示 2 rx ，0.5 rz ， 1 ry 的位移，由于 rx 小于零，产生负的位移。图 2(d)虚线表示 2 rx ，0.5 rz ，1 ry 的位移，由 于rz 大于零，产生正的位移。但当入射角接近90˚时， 由于 02 s 大于 01 s ，Goos-Hänche 位移符号由rx 决定， 因此 Goos-Hänche 位移在入射角接近 90˚时发生了反 转(图2(d))。 3. 耗散对相移的影响 我们知道，制作无耗的人工电磁材料十分困难， 人工媒质通常是有耗散。因此有必要讨论耗散对相移 的影响。在相移公式(2)中， 、和p1 p1 z k主要决定于 三个电磁参数 ry ，rx ，rz ，因此电磁参数不同的 取值和耗散决定了相移的大小和符号。其中 ry 仅出现 在1 z k中，由于对其耗散的影响数学形式比较简单，已 经对其进行了讨论[19]。而磁导率 rz 在相移公式关系 比较复杂，其耗散对相移的影响还未见研究。为了简 单起见我们仅仅考虑磁导率 rz 存在耗散，其他电磁 参数为理想无耗。假设1rz rz i2rz ，其中1rz ，2rz 都为实常数，且 2rz 为小量。图(3)所示的其他条件与 图(2)相同，各向异性的左手介质板在rz 有弱损耗时， 界面的反射波形成 Goos-Hänchen 相移与入射角的关 系，我们取 20.01 rz 。 由图 3可以看出在图 2的条件下，在弱耗散下， 相移的变化趋势与无耗的情形大概一致，但是在无耗 相移变化的背景下，产生了一些急剧增大的反向相 移。图 3(a)在无耗的负的相移的背景上产生了较大的 负的相移。同时我们可以看出在图3(b)中损耗产生的 大的负向相移的位置都恰好在无耗条件时的共振位 置，因此微弱的损耗没有改变共振条件，但是产生较 强的反向相移。结果图 3(a,b)的结果与 ry 出现耗散的 情形基本一致[19]。图3(c)中虽然也是在无耗的背景下 出现大的方向反向相移，但由于rz 的弱耗散，在 30˚ 附近出现 250 倍波长的大相移。与此类似，图 3(d)在 60˚附近也出现了大的反向相移，但其他位置的相移降 低，其结果与 ry 出现耗散的情形不同[19] 。可见不同 参数的耗散对相移有很大的影响。 30 Copyright © 2012 Hanspub  各向异性人工媒质中的 Goos-Hänchen 相移 Copyright © 2012 Hanspub 31 (a) (b) (c) (d) Figure 2. (a, c, d) Dependence of sr on incident angle θ withd = 2λ and f = 1 GHz. (a) Solid line2 rx rx , , , dot line , , ; (b) Dependence of sr on d with and f = 1 GHz, solid line 0.5 rz 1 ry 2 rx 0.5 rz r1 y 30 2 , , , dot line , , ; (c) Solid line 0. rz 5 ry 1 2 rz rx 0.5 ry 1 2 rx , , 0.5 rz 1 ry , dot line 2 rx rz , , ; (d) Solid line , , 0.5r 1 y 2 rx 0.5 rz ry1 , dot line 2 rx , , 0. rz 5ry 1 图2. (a，c，d) 当频率 f，d 1 GHz2 时，Goos-Hänche 位移与入射角的关系。(a) 实线表示 ， r s2rz rx 0.5 ， 1 ry 虚线 表示 rx rz ry (b) 当入射角固定为 Goos-Hänche 位移与介质板厚度 d的关系。实线表示 ， rx 2 ，0.5 ，1；30 时， r s2 ， ， ，虚线表示0.5 ryrz 1 2 rx rz ， ，0.5ry1 ；(c) 实线表示 2 rx ， ，0.5 rz ry1 ，虚线表示 ， ， ；(d) 实线表示 ， ， 2rz rx 0.5 ry 1 2 rx 0.5 rz ry1 ，虚线表示 2 rx ，， 0.5 rz r1 y (a) (b)  各向异性人工媒质中的 Goos-Hänchen 相移 (c) (d) Figure 3. (a, c, d) Dependence of sr on incident angle θ withd = 2λ and f = 1 GHz. (a) Solid line 2 rx , , 2 0.5 10 rz i 1 ry 0.5 rz , dot line , , ; (b) Dependence of sr on d with and f = 1 GHz, solid line , 2 rx 2 0.5 10 rz i 1 ry 30 2 rx 2 10i , , dot line , , 1 ry 2 rx 2 5 10i 0. rz 1 ry ; (c) Solid line 2 rx , 2 0.5 10i rz , , dot line 1 ry 2 rx , , ; (d) Solid line , 2 0.5 10i 1 ry rz 2rzrx 2 0.5 10i , 1 ry , dot line 2 rx , , 2 ry 0.5 10 rz i 1 图3. (a，c，d) 当频率 ， 1GHfz2d 时，Goos-Hänche 位移 与入射角的关系。(a) 实线表示 ， r s2 rx 0.5 rz 2 10i ry ，1 ， 虚线表示 ，2 rx 2 00.5 1 rz i 2 10i ry ，；(b) 当入射角固定为 时，Goos-Hänche 位移 与介质板厚度 的关系。实线表 示， ， 1 ry 1 30 r sd 2rz rx 0.5 ，虚线表示 2 rx ，2 0.5 10i rz ，1 ry ；(c) 实线表示 ，2 rx 0.5 rz 2 10i ， ，虚线表示 ， ，1 ry 2 rx rz 2 10 0.5 i 1 ry ；(d) 实线表示 2 rx ，2 100.5 i rz ，，虚线表示1 ry 2 rx ， 2 0.5 10i rz ，1 ry 4. 结论 我们先从理论上详细的研究各向异性的人工媒 介与空气界面的 Goos-Hänchen 相移，然后通过数值 计算来证实理论的分析结果。同时我们研究人工媒质 的耗散对 Goos-Hänchen 相移的影响。Goos-Hänchen 相移的符号和大小取决于不同的电磁参数，入射角以 及各向异性人工介质板的厚度。同时不同于无耗散的 各向异性的介质板，在弱耗散的情况下，耗散对横向 的相移产生了很大的影响，在一定的条件下，介质弱 耗散可以产生很大的影响。这种特殊的现象也许在光 学装置设计中存在一些潜在应用。 参考文献 (References) [1] V. G. Veselago. The electrodynamics of substances with simu- taneously negative values of ε and μ. Soviet Physics USPEKHI, 1968, 10(4): 509-514. [2] J. B. Pendry, A. J. holden, W. J. Stewart and I. Youngs. Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures. Physical Re- view Letters, 1996, 76(25): 4773-4776. [3] J. B. Pendry. 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