设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
AdvancesinAppliedMathematics
A^
ê
Æ
?
Ð
,2021,10(9),3200-3206
PublishedOnlineSeptember2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2021.109334
\
>
é
ã
f
à
›
›
ê
Ú
à
›
›
ê
K
•
ÙÙÙ
øøø
JJJ
ùùù
###
MMM
555
JJJ
1
∗
§§§
>>>
ùùù
1
†
§§§
uuu
°°°
2
1
#
õ
“
‰
Œ
Æ
ê
Æ
‰
ÆÆ
§
#
õ
¿
°
7
à
2
#
õ
Œ
Æ
ê
Æ
†
X
Ú
‰
ÆÆ
§
#
õ
¿
°
7
à
Â
v
F
Ï
µ
2021
c
8
22
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2021
c
9
12
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2021
c
9
24
F
Á
‡
-
G
=(
V,E
)
´
˜
‡
ë
Ïã
"
^
d
G
(
u,v
)
L
«
ã
G
¥
ü
‡
º:
u
Ú
v
ƒ
m
•
á
(
u,v
)
´
•
Ý
§
˜
‡
•
Ý
•
d
G
(
u,v
)
(
u,v
)
´
¡
Š
˜
‡
(
u,v
)
-
ÿ
/
‚
"
ã
G
˜
‡
:
f
8
X
⊆
V
‰
ã
G
˜
‡
f
à
8
§
X
J
é
X
¥
?
¿
ü
‡
º:
a,b
§
3
ã
G
¥
Ñ
•
3
˜
‡
(
a,b
)
-
ÿ
/
‚
¦
(
a,b
)
-
ÿ
/
‚
þ
¤
k
º:Ñ
á
u
X
"
a
q
/
§
ã
G
˜
‡
:
f
8
X
⊆
V
‰
ã
G
˜
‡
à
8
§
X
J
é
X
¥
?
¿
ü
‡
º:
a,b
,
ã
G
¥
z
˜
^
(
a,b
)
-
ÿ
/
‚
þ
¤
k
º:Ñ
á
u
X
"
ã
G
˜
‡
:
f
8
D
⊆
V
‰
ã
G
˜
‡
›
›
8
§
X
J
V
-
D
¥
z
˜
‡
º:Ñ
–
k
˜
‡
:
3
D
¥
.
V
:
f
8
X
¡
•
G
f
à
›
›
8
§
X
J
X
Q
´
f
à
8
q
´
›
›
8
"
ã
G
f
à
›
›
ê
§
´
:
ê
•
f
à
›
›
8
¤
•
¹
:
ê
§
P
•
γ
wcon
(
G
)
"
ã
G
à
›
›
8
Ú
à
›
›
ê
a
q
½
Â
§
^
γ
con
(
G
)
5
L
«
ã
G
à
›
›
ê
"
©
Ì
‡
ï
Ä
\
>
é
˜
ã
a
f
à
›
›
ê
Ú
à
›
›
ê
K
•
"
'
…
c
f
à
›
›
ê
§
à
›
›
ê
§
›
›
ê
§
§
ä
TheInfluenceoftheEdgeAddingonthe
WeaklyConvexandConvexDomination
NumberofGraphs
∗
1
˜
Š
ö
"
†
Ï
Õ
Š
ö
"
©
Ù
Ú
^
:
Ù
ø
J
ù
#
M
5
J
,
>
ù
,
u
°
.
\
>
é
ã
f
à
›
›
ê
Ú
à
›
›
ê
K
•
[J].
A^
ê
Æ
?
Ð
,2021,
10(9):3200-3206.DOI:10.12677/aam.2021.109334
Ù
ø
J
ù
#
M
5
J
BupatimanAilaiti
1
∗
HongBian
1
†
,HaizhengYu
2
1
SchoolofMathematicalSciences,XinjiangNormalUniversity,UrumqiXinjiang
2
CollegeofMathematicsandSystemSciences,XinjiangUniversity,UrumqiXinjiang
Received:Aug.22
nd
,2021;accepted:Sep.12
th
,2021;published:Sep.24
th
,2021
Abstract
Let
G
= (
V,E
)
beaconnectedgraph.Thedistance
d
G
(
u,v
)
betweentwovertices
u
and
v
inaconnectedgraph
G
isthelengthoftheshortest
(
u,v
)
pathin
G
.A
(
u,v
)
path
oflength
d
G
(
u,v
)
iscalled
a
(
u,v
)
-geodesic
.Aset
X
⊆
V
iscalled
weaklyconvex
in
G
if
foreverytwovertices
a,b
∈
X
,thereexistsan
(
a,b
)
-geodesic,allofwhosevertices
belongto
X
.Aset
X
is
convex
in
G
ifforall
a,b
∈
X
allverticesfromevery
(
a,b
)
-
geodesicbelongto
X
.Asubset
D
of
V
is
dominating
in
G
ifeveryvertexof
V
−
D
has
atleastoneneighbourin
D
.Aset
X
⊆
V
iscalled
weaklyconvexdominatingset
in
G
if
itisweakly convexanddominating,andcalled
convexdominatingset
in
G
ifitisconvex
anddominating.The
weaklyconvexdominationnumber
ofagraph
G
istheminimum
cardinalityofaweaklyconvexdominatingsetof
G
,whilethe
convexdominationnumber
ofagraph
G
istheminimumcardinalityofaconvexdominatingsetof
G
,denotedby
γ
wcon
(
G
)
and
γ
con
(
G
)
,respectively.Inthispaper,westudyedgeaddinganditseffect
ontheweaklyconvexdominationnumbersandconvexdominationnumbersforsome
graphs.
Keywords
WeaklyConvexDominationNumber,ConvexDominationNumber,
DominationNumber,Cycle,Tree
Copyright
c
2021byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
DOI:10.12677/aam.2021.1093343201
A^
ê
Æ
?
Ð
Ù
ø
J
ù
#
M
5
J
1.
0
©
¥
¤
•
Ä
Ñ
´
{
ü
,
Ã
•
ë
Ïã
.
-
G
= (
V,E
)
´
˜
‡
{
ü
ã
.
3
G
¥
,
:
v
m
•
½
Â
•
N
G
(
v
) =
{
u
|
uv
∈
E
(
G
)
}
,
4
•
N
G
[
v
] =
N
G
(
v
)
S
{
v
}
,
^
E
(
v
)
L
«
†
:
v
ƒ
'
é
>
8
Ü
.
¡
ã
G
¥
:
v
´
simplicial
:
,
X
J
N
G
[
v
]
´
˜
‡
ã
.
ã
G
¥
1
Ý:
¡
•
“
f
:
,
†
1
Ý:
ƒ
:
¡
•
|
:
.
-
V
L
Ú
V
S
©
OL
«
ã
G
¥
“
f
:
Ú
|
:
8
Ü
,
…
n
L
=
|
V
L
|
.
ã
G
¥
:
v
¡
•
G
•
:
,
X
J
G
−{
v
}
´
Ø
ë
Ï
.
-
V
C
L
«
G
¥
•
:
8
Ü
.
ã
G
˜
‡
:
f
8
D
¡
•
ã
G
›
›
8
,
X
J
3
V
-
D
¥
z
‡
:
–
†
D
¥
˜
‡
:
ƒ
.
ã
G
¥
ê
•
›
›
8
¤
•
¹
:
ê
¡
•
ã
G
›
›
ê
,
P
•
γ
(
G
).
Ä
u
y
¢)
¹
¥
A^
,
<
‚
Å
Ú
Ú
\
˜
Ø
Ó
/
ª
›
›
8
.
›
›
89
Ù
C
/
2
•
/
A^u
À
Œ
¯
K
!
i
ÿ
Ï
&
½
>
å
ä
!
O
Ž
Å
ä
¯
K
Ú
è
/
ÿ
þ
¥
Ñ
y
¢
S
¯
K
.
ã
G
˜
‡
:
f
8
D
¡
•
ã
G
ë
Ï
›
›
8
,
X
J
D
´
›
›
8
¿
…
D
Ñ
f
ã
´
ë
Ï
.
ã
G
¥
ê
•
ë
Ï
›
›
8
¤
•
¹
:
ê
¡
•
ã
G
ë
Ï
›
›
ê
,
P
•
γ
c
(
G
).
^
d
G
(
u,v
)
L
«
ã
G
¥
ü
‡
º:
u
Ú
v
ƒ
m
•
á
(
u,v
)
´
•
Ý
,
˜
‡
•
Ý
•
d
G
(
u,v
)
(
u,v
)
´
¡
Š
˜
‡
(
u,v
)-
ÿ
/
‚
.
ã
G
˜
‡
:
f
8
X
⊆
V
‰
ã
G
˜
‡
f
à
8
,
X
J
é
X
¥
?
¿
ü
‡
º:
a,b
,
3
ã
G
¥
Ñ
•
3
˜
‡
(
a,b
)-
ÿ
/
‚
¦
(
a,b
)-
ÿ
/
‚
þ
¤
k
º:Ñ
á
u
X
.
a
q
/
,
ã
G
˜
‡
:
f
8
X
⊆
V
‰
ã
G
˜
‡
à
8
,
X
J
é
X
¥
?
¿
ü
‡
º:
a,b
,
ã
G
¥
z
˜
^
(
a,b
)-
ÿ
/
‚
þ
¤
k
º:Ñ
á
u
X
.
ã
G
:
f
8
X
¡
•
G
f
à
›
›
8
,
X
J
X
Q
´
f
à
8
q
´
›
›
8
.
ã
G
:
f
8
X
¡
•
G
à
›
›
8
,
X
J
X
Q
´
à
8
q
´
›
›
8
.
ã
G
f
à
›
›
ê
,
´
:
ê
•
f
à
›
›
8
¤
•
¹
:
ê
,
P
•
γ
wcon
(
G
).
ã
G
à
›
›
ê
Ú
f
à
›
›
ê
a
q
½
Â
,
^
γ
con
(
G
)
5
L
«
ã
G
à
›
›
ê
.
à
›
›
ê
Ú
f
à
›
›
ê
•
@
´
d
Topp[1]
J
Ñ
,
¦
y
Ï
L
›
›
8
!
:
ë
´
•
á
,
U
?
ë
Ï
›
›
3
Ï
&
ä
O
¥
A^
.
3
2004
c
,Lema´
n
ska[2]
ï
Ä
f
à
›
›
Ú
à
›
›
†
Ù
§
›
›
a
ë
ê
ƒ
m
'
X
;
A
O
/
,
ï
Ä
à
›
›
ê
Ú
ë
Ï
›
›
ê
ƒ
n
K
ã
.
Ó
3
2004
c
,Raczek[3]
y
²
(
½
˜
‡
ã
f
à
›
›
8
Ú
à
›
›
8
´
˜
‡
NP-
¯
K
.
3
2010
c
,Raczek
Ú
Lema´
n
ska[4]
ï
Ä
‚
¡
f
à
›
›
ê
Ú
à
›
ê
,
¿
‰
Ñ
˜
A
Ï
‚
¡
à
›
›
ê
Ú
f
à
›
›
ê
(
ƒ
Š
.
Ó
˜
c
Lema´
n
ska[5]
‰
Ñ
˜
‡
ã
f
à
›
›
ê
Nordhaus-Gaddum
(
J
.
3
2019
c
,Rosicka[6]
Š
â
˜
‡
ã
G
= (
V,E
)
Ú
ã
G
º:
8
V
˜
‡
˜
†
π
,
½
Â
˜
ac
Î
ã
πG
,
Ä
k
é
ù
ac
Î
ã
à
›
›
8
Ú
f
à
›
›
8
5
Ÿ
Š
'
;
Ù
g
,
‰
Ñ
üa
A
Ï
c
Î
ã
•
x
;
•
,
y
²
ã
G
†
é
A
c
Î
ã
f
à
›
›
ê
Œ
±
´
?
¿
Œ
;
c
Î
ã
à
›
›
ê
Ã
{
^
ã
G
à
›
›
ê
5
.
½
.
Ó
3
2019
c
,Lema´
n
ska[7]
<
Ä
k
ï
Ä
f
à
›
›
ê
Ú
ë
Ï
›
›
ê
ƒ
m
'
X
,
¿
‰
Ñ
÷
v
γ
wcon
(
G
)=
γ
c
(
G
)
ã
G
•
x
;
„
y
²
3
˜
„
œ
/
e
,
ã
ë
Ï
›
›
ê
†
f
à
›
›
ê
Œ
±
?
¿
Œ
;
d
,
„
ï
Ä
>
é
f
à
›
›
ê
K
•
.
©
z
[8]
¥
ï
Ä
\
>
½
>
é
ã
>
›
›
ê
K
•
.
©
3
®
k
ï
Ä(
J
Ä
:
þ
,
Ì
‡
ï
Ä
\
>
é
˜
ã
a
f
à
›
›
ê
Ú
à
›
›
ê
K
•
.
2.
Ì
‡
(
J
-
G
´
˜
‡
º:
ê
•
n
{
ü
ã
,
g
(
G
)
“
L
ã
G
Œ
•
.Lema´
n
ska
‰
Ñ
ã
G
f
à
›
›
ê
T
Ð
u
º:
ê
ã
¤
÷
v
^
‡
.
DOI:10.12677/aam.2021.1093343202
A^
ê
Æ
?
Ð
Ù
ø
J
ù
#
M
5
J
½
n
1[5]
e
ã
G
´
÷
v
δ
(
G
)
≥
2
…
g
(
G
)
≥
7
n
‡
º:
ë
Ïã
,
K
γ
wcon
(
G
) =
n.
e
¡
½
n
2
‰
Ñ
à
›
›
ê
T
Ð
u
º:
ê
ã
G
¤
÷
v
a
q
^
‡
.
½
n
2
e
ã
G
´
÷
v
δ
(
G
)
≥
2
…
g
(
G
)
≥
6
n
‡
º:
ë
Ïã
,
K
γ
con
(
G
) =
n.
y
²
-
ã
G
´
δ
(
G
)
≥
2
…
g
(
G
)
≥
6
ë
Ïã
.
b
γ
con
(
G
)
<n
.
-
D
´
G
•
à
›
›
8
.
Ï
•
γ
con
(
G
)
<n
,
K
G
¥
•
3
˜
‡
º:
x
¦
x
6∈
D
.
-
N
G
(
x
)=
{
x
1
,...,x
p
}
,
Ù
¥
p
≥
2(
Ï
•
δ
(
G
)
≥
2).
é
u
?
¿
x
i
,x
j
,
Ù
¥
1
≤
i,j
≤
p
,
Ñ
‡
÷
v
x
i
x
j
6∈
E
(
G
),
Ä
K
x,x
i
,x
j
E
Ñ
˜
‡
C
3
,
´
ù
†
g
(
G
)
≥
6
)
g
ñ
.
5
¿
é
u
?
¿
x
i
,x
j
,
Ù
¥
x
i
6
=
x
j
…
1
≤
i,j
≤
p
,
Ñ
k
d
G
(
x
i
,x
j
)=2,
¿
…
z
˜
é
x
i
Ú
x
j
ƒ
m
•
á
´
Ñ
•
¹
x
.
Ä
K
,
e
3
x
i
Ú
x
j
ƒ
m
é
,
˜
^
Ø
•
¹
x
•
á
´
x
i
,x
0
,x
j
,
K
x
i
,x,x
j
,x
0
¤
˜
‡
o
,
ù
†
g
(
G
)
≥
6
)
g
ñ
.
b
•
3
ü
‡
:
x
1
,x
2
∈
N
G
(
x
)
¦
x
1
,x
2
∈
D
.
du
D
´
à
8
,
…
é
u
?
¿
x
i
Ú
x
j
ƒ
m
z
˜
‡
•
á
´
Ñ
‡
•
¹
x
,
´
ù
†
x
6∈
D
)
g
ñ
.
Ï
d
|
N
G
(
x
)
∩
D
|≤
1.
Ï
•
‡
›
›
x
,
…
|
N
G
(
x
)
∩
D
|≤
1,
Ï
d
,
Ø
”
˜
„
5
,
x
1
∈
N
G
(
x
)
∩
D
.
Ï
•
δ
(
G
)
≥
2,
Ï
d
ù
p
–
•
3
˜
‡
á
u
N
G
(
x
)
:
x
i
¦
x
i
6∈
D
,
Ø
”
x
2
.
du
δ
(
G
)
≥
2
…
x
2
I
‡
›
›
,
Ï
d
ù
p
•
3
˜
‡
:
y
∈
N
G
(
x
2
)
¦
y
6
=
x
…
y
∈
D
.
Ï
•
g
(
G
)
≥
6,
Ï
d
k
N
G
(
y
)
∩
N
G
(
x
)=
∅
Ú
N
G
(
y
)
∩
N
G
(
x
i
) =
∅
,
Ù
¥
1
≤
i
≤
p
.
Ï
•
D
´
à
8
,
Ï
d
d
G
(
y,x
1
)
<
3
¿
…
•
3
(
x
1
,y
)-
ÿ
/
‚
P
1
¦
P
1
¤
k
:Ñ
á
u
D
.
Ï
d
–
•
3
ü
‡
(
x
1
,y
)-
´
:
P
1
Ú
P
2
=(
x
1
,x,x
2
,y
)
E
Ñ
˜
‡
u
6
.
ù
†
g
(
G
)
≥
6
)
g
ñ
.
n
þ
,
γ
con
(
G
) =
n
.
©
z
[7]
‰
Ñ
ã
G
ë
Ï
›
›
8
Ú
f
à
›
›
8
¥
:
¤
÷
v
^
‡
.
Ú
n
3[7]
-
G
6
=
K
n
´
˜
‡
ë
Ïã
,
Ù
¥
n
≥
3.
X
J
D
´
G
•
ë
Ï
½
f
à
›
›
8
,
K
z
‡•
:Ñ
á
u
D
,
…
¤
k
simplicial
:Ñ
Ø
á
u
D
.
½
n
4[7]
-
G
= (
V
(
G
)
,E
(
G
))
´
g
(
G
)
≥
7
ë
Ïã
.
K
,
(1)
γ
wcon
(
G
) =
n
−
n
L
,
Ù
¥
n
´
ã
G
º:
ê
;
(2)
γ
wcon
(
G
) =
γ
c
(
G
)
…
=
é
u
z
‡
u
∈
V
(
G
),
u
´
“
f
:
½
•
:
.
-
G
“
L
ã
G
Ö
ã
.
´
•
,
é
u
?
¿
e
∈
E
(
G
)
Œ
±
¦
ã
G
+
e
›
›
ê
•
õ
~
1,Chen
<
[9]
y
²
\
>
¦
ë
Ï
›
›
ê
•
õ
~
2.
é
g
,
/
¯
K
Ò
´
\
>
´
Ø
´
•
¬
¦
ã
f
à
›
›
ê
~
º
e
5
•
Ä
\
>
é
ã
C
n
Ú
T
n
(
f
)
à
›
›
ê
K
•
.
½
n
5
-
C
n
´
n
≥
3
,
K
é
u
?
¿
>
e
∈
E
(
C
n
),
K
k
γ
wcon
(
C
n
)
−
4
≤
γ
wcon
(
C
n
+
e
)
≤
γ
wcon
(
C
n
)
.
y
²
-
e
=
uv
.
C
n
+
e
Ñ
k
ú
>
uv
ü
‡
,
Ø
”
^
C
n
1
,
C
n
2
L
«
ù
ü
‡
,
Ù
¥
n
1
≤
n
2
<
DOI:10.12677/aam.2021.1093343203
A^
ê
Æ
?
Ð
Ù
ø
J
ù
#
M
5
J
n
.
-
S
i
´
C
n
i
ê
•
f
à
›
›
8
,
i
∈{
1
,
2
}
.
Š
â
n
1
Ú
n
1
Ø
Ó
Š
©
±
e
o
«
œ
/
?
1
?
Ø
µ
œ
/
1
n
1
≥
7,
n
2
≥
7.
Ï
•
n
≥
7
ž
,
γ
wcon
(
C
n
)=
n
,
Ï
d
γ
wcon
(
C
n
1
)=
n
1
,
γ
wcon
(
C
n
2
)=
n
2
.
q
Ï
•
u,v
∈
S
1
∩
S
2
,
K
k
γ
wcon
(
C
n
+
e
) =
γ
wcon
(
C
n
) =
n
.
œ
/
2
n
1
∈{
4
,
5
,
6
}
,
n
2
≥
7.
Ï
•
n
≥
7
ž
,
γ
wcon
(
C
n
)=
n
,
Ï
d
γ
wcon
(
C
n
2
)=
n
2
.
d
,
Š
â
f
à
›
›
8
½
Â
,
n
1
∈{
4
,
5
,
6
}
ž
,
γ
wcon
(
C
n
1
)=
n
1
−
2.
q
Ï
•
u,v
∈
S
1
∩
S
2
,
Ï
d
γ
wcon
(
C
n
+
e
)=
n
−
2.
Ï
•
n
1
∈{
4
,
5
,
6
}
,
n
2
≥
7,
…
n
1
≤
n
2
<n
,
K
k
γ
wcon
(
C
n
)=
n
.
¤
±
γ
wcon
(
C
n
+
e
) =
n
−
2
<γ
wcon
(
C
n
) =
n
.
œ
/
3
n
1
∈{
4
,
5
,
6
}
,
n
2
∈{
4
,
5
,
6
}
.
Š
â
f
à
›
›
8
½
Â
,
n
1
∈{
4
,
5
,
6
}
,
n
2
∈{
4
,
5
,
6
}
ž
,
k
γ
wcon
(
C
n
1
)=
n
1
−
2,
γ
wcon
(
C
n
2
)=
n
2
−
2.
q
Ï
•
u,v
∈
S
1
∩
S
2
,
¤
±
γ
wcon
(
C
n
+
e
)=
n
−
4.
d
,
Ï
•
n
1
∈{
4
,
5
,
6
}
,
n
2
∈{
4
,
5
,
6
}
,
…
u,v
∈
C
n
1
∩
C
n
2
,
n
∈{
6
,
7
,
8
,
9
,
10
}
,
n
=6
ž
,
γ
wcon
(
C
n
) =
n
−
2;
7
≤
n
≤
10
ž
,
γ
wcon
(
C
n
) =
n
.
Ï
d
,
γ
wcon
(
C
n
)
>γ
wcon
(
C
n
+
e
).
œ
/
4
n
1
=3,
n
2
≥
3.
X
J
n
2
=3,
Ï
•
u,v
∈
C
n
1
∩
C
n
2
,
@
o
C
n
´
˜
‡
4
.
Š
â
f
à
›
›
8
½
Â
§
γ
wcon
(
C
4
+
e
)=
n
−
3=1.
¤
±
γ
wcon
(
C
4
+
e
)=1
<γ
wcon
(
C
4
)=
n
−
2=2.
X
J
n
2
∈{
4
,
5
,
6
}
,
Š
â
f
à
›
›
8
½
Â
,
γ
wcon
(
C
n
2
)=
n
−
2.
q
Ï
•
u,v
∈
(
S
2
∩
V
(
C
3
)),
…
u
Ú
v
Ñ
U
›
›
:
V
(
C
3
)
−{
u,v
}
,
Ï
d
γ
wcon
(
C
n
+
e
)=
n
−
3.
d
,
Ï
•
n
1
=3,
n
2
∈{
4
,
5
,
6
}
,
…
u,v
∈
C
3
∩
C
n
2
,
d
ž
n
∈{
5
,
6
,
7
}
,
¿
…
n
= 7
ž
,
γ
wcon
(
C
n
) =
n
;
5
≤
n
≤
6
ž
,
γ
wcon
(
C
n
) =
n
−
2.
Ï
d
,
γ
wcon
(
C
n
)
>γ
wcon
(
C
n
+
e
).
X
J
n
2
≥
7,
@
o
γ
wcon
(
C
n
2
)=
n
2
,
…
u,v
∈
S
2
.
q
Ï
•
u,v
∈
(
S
2
∩
V
(
C
3
)),
…
u
Ú
v
Ñ
U
›
›
:
V
(
C
3
)
−{
u,v
}
,
γ
wcon
(
C
n
+
e
)=
n
−
1.
¤
±
γ
wcon
(
C
n
+
e
) =
n
−
1
<γ
wcon
(
C
n
) =
n
.
n
þ
¤
ã
,
γ
wcon
(
C
n
)
−
4
≤
γ
wcon
(
C
n
+
e
)
≤
γ
wcon
(
C
n
).
Š
â
½
n
2,
U
ì
½
n
5
©
Û
•{
,
Œ
±
‰
Ñ
\
>
é
à
›
›
ê
a
q
(
J
.
½
n
6
-
C
n
´
n
≥
3
,
K
é
u
?
¿
>
e
∈
E
(
C
n
),
K
k
γ
con
(
C
n
)
−
4
≤
γ
con
(
C
n
+
e
)
≤
γ
con
(
C
n
)
.
½
n
7
-
T
n
´
º:
ê
n
≥
3
ä
ã
.
K
é
u
?
¿
>
e
∈
E
(
T
n
),
K
k
γ
wcon
(
T
n
)
−
2
≤
γ
wcon
(
T
n
+
e
)
≤
γ
wcon
(
T
n
)+2
.
y
²
Š
â
Ú
n
3,
N
´
•
D
0
=
V
−
V
L
(
T
n
)
´
T
n
•
f
à
›
›
8
,
ù
p
V
“
L
T
n
º
:
8
.
e
¡
•
Ä
T
n
+
e
f
à
›
›
8
,
Ù
¥
e
=
uv
∈
E
(
T
n
).
r
T
n
+
e
¤
•
˜
^
C
p
5
L
«
,
©
±
e
n
«
œ
/
?
1
?
Ø
:
œ
/
1
b
u,v
∈
D
0
,
@
o
u,v
6∈
V
L
(
T
n
),
d
T
n
(
u
)
≥
2,
d
T
n
(
v
)
≥
2,
¿
…
V
L
(
T
n
)=
V
L
(
T
n
+
e
),
¤
±
D
0
=
V
−
V
L
(
T
n
+
e
).
X
J
C
p
,
Ù
¥
p
≥
7.
K
V
−
V
L
(
T
n
+
e
)
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
8
,
¿
…
Œ
±
γ
wcon
(
T
n
+
DOI:10.12677/aam.2021.1093343204
A^
ê
Æ
?
Ð
Ù
ø
J
ù
#
M
5
J
e
) =
|
D
0
|
=
γ
wcon
(
T
n
).
X
J
p
= 4
,
5
,
6,
…
3
C
p
þ
•
3
ü
‡
ë
Y
2
Ý:
x,y
,
K
V
−
(
V
L
(
T
n
+
e
)
∪{
x,y
}
)
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
8
,
Ï
d
Œ
±
γ
wcon
(
T
n
+
e
) =
|
D
0
|−
2 =
γ
wcon
(
T
n
)
−
2.
e
C
p
v
k
ü
‡
ë
Y
2
Ý
:
x,y
,
p
= 5
,
6
ž
,
D
0
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
8
,
Ï
d
γ
wcon
(
T
n
+
e
) =
|
D
0
|
=
γ
wcon
(
T
n
).
p
=4
ž
,
e
C
p
þ
k
˜
‡
2
Ý:
,
K
γ
wcon
(
T
n
+
e
)=
|
D
0
|−
1=
γ
wcon
(
T
n
)
−
1,
e
C
p
þ
v
k
2
Ý
:
,
K
k
γ
wcon
(
T
n
+
e
) =
|
D
0
|
=
γ
wcon
(
T
n
).
X
J
p
=3,
½
Â
C
3
þ
1
n
‡
:
•
ω
.
Š
â
ω
∈
V
C
(
T
n
+
e
)
½
ω
6∈
V
C
(
T
n
+
e
),
K
k
D
0
½
D
0
−
ω
´
T
n
+
e
´
•
f
à
›
›
8
.
Ï
d
,
3ù
«
œ
¹
e
k
γ
wcon
(
T
n
+
e
)
∈{|
D
0
|
,
|
D
0
|−
1
,
|
D
0
|−
2
}
.
œ
/
2
b
|
D
0
∩{
u,v
}|
=1,
·
‚
Ø
”
u
∈
D
0
,
v
∈
V
−
D
0
,
@
o
d
T
n
(
u
)
≥
2
…
d
T
n
(
v
) =1.
5
¿
v
∈
V
L
(
T
n
)
−
V
L
(
T
n
+
e
),
Ï
d
k
D
0
=
V
−
(
V
L
(
T
n
+
e
)
∪{
v
}
)
´
T
n
•
f
à
›
›
8
.
X
J
C
p
,
Ù
¥
p
≥
7.
K
V
−
V
L
(
T
n
+
e
)
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
8
,
¿
…
Œ
±
γ
wcon
(
T
n
+
e
) =
|
D
0
|
+1 =
γ
wcon
(
T
n
)+1.
X
J
p
=4
,
5
,
6,
…
3
C
p
þ
•
3
ü
‡
ë
Y
2
Ý:
x,y
,
K
V
−
(
V
L
(
T
n
+
e
)
∪{
x,y
}
)
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
8
,
Ï
d
Œ
±
γ
wcon
(
T
n
+
e
)=
|
D
0
|−
1=
γ
wcon
(
T
n
)
−
1.
e
C
p
v
k
ü
‡
ë
Y
2
Ý:
,
p
=5
,
6
ž
,
V
−
V
L
(
T
n
+
e
)
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
8
,
Ï
d
Œ
±
γ
wcon
(
T
n
+
e
) =
|
D
0
|
+1 =
γ
wcon
(
T
n
)+1.
p
= 4
ž
,
e
C
p
þ
k
˜
‡
2
Ý:
,
K
D
0
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
8
,
γ
wcon
(
T
n
+
e
) =
|
D
0
|
=
γ
wcon
(
T
n
).
X
J
p
= 3,
-
C
3
þ
1
n
‡
:
•
ω
.
Š
â
ω
∈
V
C
(
T
n
+
e
)
½
ω
6∈
V
C
(
T
n
+
e
),
k
D
0
½
D
0
−
ω
´
T
n
+
e
´
•
f
à
›
›
8
.
Ï
d
,
3ù
«
œ
¹
e
k
γ
wcon
(
T
n
+
e
)
∈{|
D
0
|−
1
,
|
D
0
|
,
|
D
0
|
+1
}
.
œ
/
3
-
u,v
∈
V
−
D
0
,
K
d
T
n
(
u
)=1=
d
T
n
(
v
).
5
¿
u,v
∈
V
L
(
T
n
)
−
V
L
(
T
n
+
e
).
Ï
d
k
D
0
=
V
−
(
V
L
(
T
n
+
e
)
∪{
u,v
}
)
´
T
n
•
f
à
›
›
8
.
X
J
C
p
,
Ù
¥
p
≥
7.
K
V
−
V
L
(
T
n
+
e
)
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
8
,
¿
…
Œ
±
γ
wcon
(
T
n
+
e
) =
|
D
0
|
+2 =
γ
wcon
(
T
n
)+2.
X
J
p
=4
,
5
,
6.
Ï
•
u,v
∈
V
−
D
0
,
¤
±
3
C
p
þ
•
3
ü
‡
ë
Y
2
Ý:
u,v
,
Ï
d
Œ
V
−
(
V
L
(
T
n
+
e
)
∪{
u,v
}
)
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
8
,
¿
…
γ
wcon
(
T
n
+
e
) =
|
D
0
|
=
γ
wcon
(
T
n
).
X
J
p
=3,
@
o
D
0
´
T
n
+
e
•
f
à
›
›
ê
,
¿
…
Œ
±
γ
wcon
(
T
n
+
e
)=
|
D
0
|
=
γ
wcon
(
T
n
).
Ï
d
,
3ù
«
œ
¹
e
,
k
γ
wcon
(
T
n
+
e
)
∈{|
D
0
|
,
|
D
0
|
+2
}
.
n
þ
Œ
•
,
é
u
T
n
k
γ
wcon
(
T
n
+
e
)
∈{|
D
0
|−
2
,
|
D
0
|−
1
,
|
D
0
|
,
|
D
0
|
+1
,
|
D
0
|
+2
}
.
Š
â
½
n
2
±
9
½
n
7
a
q
©
Û
•{
,
é
N
´
í
Ñ
\
>
é
T
n
à
›
›
ê
a
q
(
J
.
½
n
8
-
T
n
´
º:
ê
n
≥
3
ä
ã
.
K
é
u
?
¿
>
e
∈
E
(
T
n
),
K
k
γ
con
(
T
n
)
−
2
≤
γ
con
(
T
n
+
e
)
≤
γ
con
(
T
n
)+2
.
DOI:10.12677/aam.2021.1093343205
A^
ê
Æ
?
Ð
Ù
ø
J
ù
#
M
5
J
Ä
7
‘
8
I
[
g
,
‰
Æ
Ä
7
‘
8
(11761070,61662079)
¶
2021
c
#
õ
‘Æ
g
£
«
g
,
Ä
7
é
Ü
‘
8
(2021D01C078)
¶
2020
c
#
õ
“
‰
Œ
Æ
˜
6
;
’
!
˜
6
‘
§
‘
8
]
Ï
"
ë
•
©
z
[1]Topp,J.(2002)PersonalCommunication.Gda´nskUniversityofTechnology,Gda´nsk.
[2]Lema´nska,M. (2004)Weakly Convex and ConvexDominationNumbers.
OpusculaMathemat-
ica
,
24
,181-188.
[3]Raczek,J.(2004)NP-CompletenessofWeaklyConvexandConvexDominatingSetDecision
Problems.
OpusculaMathematica
,
24
,189-196.
[4]Raczek,J.andLema´nska,M.(2010)ANoteontheWeaklyConvexandConvexDomination
NumbersofaTorus.
DiscreteAppliedMathematics
,
158
,1708-1713.
https://doi.org/10.1016/j.dam.2010.06.001
[5]Lema´nska,M.(2010)Nordhaus-GaddumResultsforWeaklyConvexDominationNumberof
aGraph.
DiscussionesMathematicaeGraphTheory
,
30
,257-263.
https://doi.org/10.7151/dmgt.1491
[6]Rosicka,M.(2019)ConvexandWeaklyConvexDominationinPrismGraphs.
Discussiones
MathematicaeGraphTheory
,
39
,741-755.https://doi.org/10.7151/dmgt.2207
[7]Dettlaff,M.,Lema´nska,M.andOsula,D.(2019)OntheConnectedandWeaklyConvex
DominationNumbers.arXiv:1902.07505v1
[8]
C
š
,
ÏI
.
†
>
›
›
ƒ
'
üa
ã
[J].
#
õ
Œ
ÆÆ
(
g
,
‰
Æ
‡
),2019,36(1):11-16+38.
[9]Chen,X.J.,Sun,L.andMa,D.X.(2004)ConnectedDominationCriticalGraphs.
Applied
MathematicsLetters
,
158
,503-507.https://doi.org/10.1016/S0893-9659(04)90118-8
DOI:10.12677/aam.2021.1093343206
A^
ê
Æ
?
Ð