双寡头价格博弈模型及其稳定性 Duopoly Price Game Model and Its Stability

doi:10.12677/mm.2012.21001

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Modern Management 现代管理, 2012, 2, 1-6

http://dx.doi.org/10.12677/mm.2012.21001 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/mm)

Duopoly Price Game Model and Its Stability*

Yali Lu

Department of Management and Economy, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou

Email: luyali676@163.com

Received: Nov. 8th, 2011; revised: Nov. 29th, 2011; accepted: Dec. 17th, 2011

Abstract: Based on the adaptive decision-rule, the bounded rationality decision-making method and the de-

layed price-expectation, we constructed the price game model of differentiation products between two oligo-

poly firms in this paper. Through extending the game model to the three-dimensional difference equation, we

investigated the existence and stability of the fixed points of the price game model. The results show that the

model has an unstable boundary fixed point and a local stable Nash equilibrium point, and the parameter

conditions ensuring the local stability of Nash equilibrium point are given by employing the Jury’s criteria.

Simulation experiments confirm that the price adjustment speed is the major factor influencing on the stabil-

ity of Nash equilibrium point. The variations of weight in the adaptive decision-rule and in the delayed price-

expectation all have slight influence on the stability of Nash equilibrium point. The price evolution will give

birth to bifurcation and chaos when price adjustment speed takes bigger values. Maintaining lower price-ad-

justment speed for the oligarchs with bounded rationality decision-making rule is a major route to avoid the

chaotic variation of prices.

Keywords: Price Game; Stability; Duopoly; Bifurcation; Chaos

双寡头价格博弈模型及其稳定性*

卢亚丽

华北水利水电学院，管理与经济学院，郑州

Email: luyali676@163.com

收稿日期：2011年11 月8日；修回日期：2011 年11 月29 日；录用日期：2011 年12 月17 日

摘要：基于适应性决策规则，有限理性决策方法，延迟价格预期，构建了两寡头企业间有差异产品

的价格博弈模型。通过把博弈模型扩阶为三维差分方程，研究了价格博弈模型不动点的存在性和稳定

性。结果表明，该模型有一个不稳定的边界不动点和一个局部稳定的纳什平衡点，并通过Jury 判据给

出了纳什平衡点局部稳定的参数条件。仿真实验证实，价格调整速度是影响纳什平衡点稳定性的主要

因素，适应性决策规则与延迟预期价格估计中的权重变化均对纳什平衡点的稳定性影响轻微。在价格

调整速度较大时，价格演化会出现分岔与混沌现象。采用有限理性决策规则的寡头企业保持较低的价

格调整速度是避免价格混沌变化的主要途径。

关键词：价格博弈；稳定性；双寡头；分岔；混沌

1. 引言在寡头垄断市场中，少数寡头企业控制了某一产

品的生产和销售。对于产品为同质的情形，寡头企业

间通过产量博弈追求利润最大化，而对于产品有差异

的情形，寡头企业间通过价格博弈追求最大化利润。

*资助信息：国家自然科学基金资助项目(71173248)；河南省科技攻

关项目(112102210354) ；河南省哲学社会科学规划项目

(2011FJJ050)；河南省政府决策招标项目(2011B444)；华北水利水

电学院高层次人才基金；管理与经济学院青年教师培养专项基金。

双寡头价格博弈模型及其稳定性

由对同质产品进行产量博弈而建立的模型通常称为

古诺(Cournot)模型，其理论研究源于1838 年古诺在

寡头理论研究中所做的工作。由对差异产品通过价格

博弈而建立的模型通常称为伯川德(Bertrand)模型，源

于1883 年伯川德关于该类模型的研究。寡头博弈模

型通常具有简单的形式，但其动力学性质往往及其复

杂，且非线性博弈模型通常没有解析解，这导致寡头

博弈研究曾一度陷入困境。计算机技术的发展和混沌

的发现为寡头博弈研究开辟了新的研究手段和方向。

近年来，寡头博弈问题引起了众多学者的兴趣，不少

学者用朴素决策规则[1]，适应性决策规则[2,3]，有限理

性决策规则[4-6]或它们之间组合的决策方法，研究了来

自于不同背景的古诺博弈模型的动力学行为以及分

岔与混沌等复杂现象，并发展了许多经济动力系统中

混沌行为的控制方法[7-10]。于此同时，有差异产品价

格博弈的动力学复杂性研究也引起了许多学者的广

泛关注[11-14]。本文拟采用不同的决策规则，构建两寡

头企业间有差异产品的价格博弈模型，并用解析分析

与数值仿真相结合的方法对该模型的不动点及其稳

定性进行研究。

2. 模型

设两寡头企业(记为 1

和2

，其参数与变量也分

别用下标 1与2进行区分，下同)生产某种具有一定差

异的可替代产品在市场上出售，其产品需求函数具有

如下形式：

Qabp p

 



 



， (1)

这里 1与2分别表示 1

Q Q

和2

的产品需求量， 1

p分别表 1

与

示

和2

的产品销售价格， d为正

参数，其中参数 d表示

ab，，

和2

的产品差异程度。特

d表示1

别地， 0

和2

的产品完全不同。随



0d的逐渐增大， 1

着参数

和2

的产品差异程度逐渐减

小，产品的替代性逐渐增强。设 1

和2

的常数边际

成本分别记为 1

c和2

c，并设1

和2

的价格决策均在

离散时 23，，做出，则 1

刻点n01，，

和2

在第 1n



期

的利润函数可分别表示为：

 

 

 

11111

112

11 2

π111 1

111

npnQncQn

pnabpn dpn

cabpndpn

 









 



(2)













 

 

22222

221

22 1

π111 1

npnQncQn

pnabpn dpn

cabpn dpn

  















 



(3)

这里





11pn



表示 2

对1

在第期的产品价格的

预期，

1n







表示 1

对2

在第期的产品价格

的预期。由一阶最优条件

1n



11npnπ0 与









π1np10n



 

可求得两寡头企业的最优价

格响应函数为：

 



 



pn fpn

pn gpn

 



 







(4)

其中，













212

121

pnabc dpnb



 







 





由于市场信息的不完全性，企业文化的差异，以

及众多不确定因素对产品需求的影响等，企业 1

和

在进行价格决策时往往采用不同的决策规则。不妨

假设 1

采用适应性决策规则进行价格决策，即第 1n



期的产品定价由其第期的价格与第期的最优

价格响应函数的加权和确定。假设

n1n

采用有限理性决

策规则，即在第 n的边际利润为正(负)时，企业 2

期

将

在第 n1



期提高(降低)其产品价格。因而，两寡头企

业的价格博弈模型可表示为如下形式：





 



112

222

11 1

pnpn fpn

pnpn vpnpn



 





 







， (5)

这里





0, 1



表示1

设定的权重。特别地， 1





表

示1

按照最优价格响应函数进行价格决策。





0v表

示2

的价格调整速度。由(3)式易求得2

在第期的

边际利润函数为





  

22 1

π2

nabcbpn dpn

 

. (6)

对价格预期







的估计有多种方法，利用状

态延迟的加权和来估计价格预期是其中的一种，即：

(1)( 1

pn wpni



)





,

12 1

www



 ，,k。 01,1,2,

wi 这里

双寡头价格博弈模型及其稳定性

的情形，并记本文取 1

w2kw



，。从而

21ww 有

 





22 2

pn wpnwpn 



1. (7)

利用(5)，(6)，(7)式，两寡头企业价格博弈模型的具

体表达式如下：

 



 

11 122

222 221

11(1)1

pnpnabcd wpnwpn

pnpn vpnabcbpn dpn









  









  





. (8)

3. 不动点稳定性分析

方程(8)包含价格的状态延迟，为研究方程(8)的不

动点及其稳定性，需要引入一个新的价格变量来表

示价格延迟。记





1pnpn



，则方程(8 阶

为如下的三维离散动力系统

)可扩

  



 

 

11 12

222 221

11 1

pnpnabcdwpnw pn

pnpn vpnabcbpn dpn

pn pn









  









 









(9)

解方程(9)可得其两个不动点：边界不动点

1,0,0

abc









和纳什平衡点，

这里



***

2123

,,Eppp







122

da bcba bc

pbd

 

,



23 22

ba bcdabc

pp bd



 .

方程(9)在任意点处的雅可比矩阵为



123

,,ppp



123 2

122

,, d0

01 0

ppp vp

















J，

这里 1

d。

命题 1. 不动点是不稳定不动点。

事实上，在不动点



14vabcbvpvp 

1,0,0

abc









处，雅可比

矩阵变为

(1 )

122

() 00

01 0

dwd w



















()

1() 2

vd abc

va bcb



 

，

这里符号。矩阵的

特征值为

()EJ

()

1() 2

vd abc

va bcb





 ，20





，







。由 (0,1)





，以及为正参数

,,, ,,vabccd

可知， 11



，3





，不动点

，从而，由离散动

稳定不动点。

力系统稳

为不

命题 2. 纳什平衡点是局部稳定

不动点。

在纳什平衡点

定性理论可知 1



***

2123

,,Eppp





***

2123

,,Eppp处，雅可比矩阵变为



212

122

01 0











 





J，

这里



 

122

v dabcbabc

 









 ，









2d 8

va bc

bvabcvabcbd

 

 



雅可比矩阵





EJ的特征方程为

123

0AAA





， (10)

方程(10)中，







22 2

24 2d

4bbdvbac bvabc





，

 













322222 2

1224d12[4(1] 21)24abcvd wbvvbabcdbbdbbdAw

 



 







 

2

4b，

双寡头价格博弈模型及其稳定性





12wdabb a



vdc bc

bdb











由离散动力系统稳定性理论知，纳什平衡点

稳定的充要条件为：特征方程(10)的

根的模均小于1。该条件等价于下面的 Jury

， (12)

(13)

部区域，从而可知，不动点是局

部稳定的不动点。

4. 数值仿真

的动

学性质，下文用 MATLAB 7.0编写程序进行仿真研究。

取参数值为：



***

2123

,,Eppp

三个特征

判据[15,16]：

12 3

330AA A ， (11)



2313

10AAAA

123

10AAA  .

由于满足不等式组(11)，(12)，(13)的参数取值区

域是参数空间的局 2

为直观了解两寡头企业价格博弈模型(8) 力

[13] ，0.5b，10.2c，20.8c



，

0.3d



，由(11)，(12)，(13 )式，纳什平衡点





p局部稳定

,,p

Ep性的 Jury 判据可表示为如

下三个不等式：





20.29973.329670.89901 0vvwvvw

 

 (14) 6.6593









0.29973.32973.32970.2997123.32970.299710vwvvvwvv w

  

  (15)





46.6593 20.29973.32970.29971 0vvwvvw

 



  (16 )

对于，0.2w， 0.5w0.8w



三种情形，纳什平衡

的局部稳定性区

观察图 1，图 2和图

3界，随着

点21



***

,,pp

在

，图 2和图

沿着稳定

p

域分别见图1

以看出，





平面上

3。仔细

性区域的上边可



增大，

图2中无变

预期价格

化，

中价格

图3中v

调整速度 v

缓慢递减。

缓慢递增，图

这表明，

v几乎







估

的

，图 2

计中的状态延迟因点 2

E局部稳定性区

素对

。另一方

重

不动

面，由图

域

还可影响非常轻微

，当权

1和图 3

以看出



在区间





0,1 上变

上边界

动时，

度波动范。

价格调

围很小

整速

v沿局部稳定

这说明权重

性区域变动的



变动对不动

不动点 2

定。

点2

的局部

的局部稳

学性质的

影响

定性区域的

影响也很小。

v的取值决

稳定性主要由价格调整

速度

为研究价格调整速度 v对方程(9)动力

，取 0.6



，w值同前。让0.5

在区间



，其它参数取

价格调整速度v



0, 0.9上按步长 0.001 变化，

对于 v在区间





0, 0

，2

0次并用后

关于调整速

方程(9)

的变动

p，2

的



00.

300

度v

的最大李

曲线见图

分岔点

上的每一

2，

的分岔

雅

5。

与

个取值，取价格初值

2，把方程(9)

据绘制的价格

。用定义法[17]

关于价格调

和图 5可以看

指数

，这表明用分岔图 4和最大李

雅普诺夫指数曲线图 5来识别方程(9)价格演化的稳定

性可以得出一致的结论。最大李雅普诺夫指数大于0

是价格演图 4，图 5

，在.6





计算出的

100p

迭代

p，

整速度 v



300.

格数

图见图4

普诺夫指数

比较图 4

最大李雅

次稳态价

出，价格普诺夫的

零点对应的v值是相同

化出现混沌的标志。由及数值计

算结果知 00v



时，企业 1

和2

的价格分别

被稳定到不动点3.0989 3.3297。0.6v时计与算的最

大李 0.0136

雅普诺夫指数值为–近于 0。在

0.6v时，

，几乎接

和2

的价

0.751

格演化开倍周期分岔始出现

现象。在 0.6v



1

和2

的价格演化被控时，

制到周

业1

期与采用适应策规则的企

2状态。此时，性决

的价格波动幅度相比，策方法的采用有限理性决

企业 2

的价格演

雅普

化波动幅

诺夫指数

时， 1

度较

–0

大。v

8，

0.75

也几

1时计算出

值为 .007 乎接近于0。的最大李

在v0.751

和2

的价格演化继续发生倍周期

分岔现象，，在 0.v787



时，

也可明显

变化。

看出，

。此

最大

在

外，

李

看出，

同时结

v

由图

化时

雅普诺夫

0.854

，

指数

与混沌变

值为 0.

时，价

普诺夫指

岔图中出

看出，

0483

格演化

在价格

，

数计

现明

从图 4和图

开始发生

算结果也

显的周期

演化出现

的企业

混沌

可以

窗口

分岔

在0.787v

合最大李雅

时，分

可以显

采用适应

明

性决策规则 1

的价格波动幅度远小于采用有

限理性决策方法的企业 2

的价

动点

格波动幅

度。

影响，取为研究产

0.6

品差异度对不稳定性的

参数





，0.5w



，不动点

E在

可见



0

,dv

在d

平面上的

时(即1

局部稳定性区域见图 6。由图，

和2

的产品完全不同时)，能使不动点 2

E稳定的调整

速度

增大

价格调

v的取值

(即产品

整速度

范围最大，

差异程度

v的最大

即v

小)，使不



0.836

动点

稳定性

能

着局部

。随着

稳定的

的

上

的减

取值沿区域的

双寡头价格博弈模型及其稳定性

边界几乎呈直线快速下降趋势。当时，对于

任意价格调整速度，不动点。

0.968d

都是不稳定的v2

0.8

0.6

0.4

0.2

–0.4

(w = 0.2)

Figu r e 1. Loc al st ab ili tgion of fixnt

10.8

–0.2

Local stability region

ed poi

y re





plane

图1. 不动点 2

在





平局

面上的部稳定性区域

00.8

0.6

0.4

0.2

–0.2

–0.4

stab gion

0.8

0.6

0.4

(w = 0.5)

Locility re

Figu r e 2. Loc al sta bi li tgion of fixnt

y ree d p oi







plane

图2. 不动点 2

在





平性区域

面上的局部稳定

0.8

0.6

(w = 0.8)

00.8

0.6

0.4

0.2

–0.4

cal segion

Figu r e 3. Loc al sta bi li ty r e gi on of fixe d p oint 2

–0.2

Loability rt





plane

图3. 不动点 2

在





平面上的局部稳定性区域

4.5

3.5

2.5

1.5

0.5

0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.40.30.20.1

(12

2, 0.5, 0.2,0.8,abcc 0.6,0.5, 0.3wd



)

Figure 4. Bi frcation diagram of bo price 1

respect to adjustment speed v

p1，2

p关于调整速度 v的分岔图

, P

uth and with

图4. 价格

p 2

0.6

0.2

–0.2

–0.4

–0.6

–0.8

0.5 0.60.70.8 0.90.40.30.20.1

–10

Maximal Lyapunov e

(12

2, 0.5, 0.2,0.8,ab c c0.6, 0.3d



)

Figure 5. Maximal Lyapunov exponent curve of Equation (9) with

respect to v

图5. 方程(9 大李雅普诺夫指数随 v变动曲线

0.4

xponent

)最

0.5,w

0.6

0.2

0.6 0.8

0.8

0.40.2 1

0.4

w = 0.5

β = 0.6

Local stability region

Figure 6. Loc al st ab ili t y r egi on of fix ed p oint





,dv plane

图6. 不动点 2

在





,dv 平面上的局部稳定性区域

双寡头价格博弈模型及其稳定性

本文基于双寡头市场上具有一定差异的产品的

价格博弈问题，假设两寡头企业分别采用适应性决策

了两寡头企业

方程，

Jury 判据，

域所满足。数

仿真(价格演化关于价格调整速度的分岔图，最大李

雅普诺夫指数曲线图，以及参数空间上的局部稳定性

区域图等)进一步证实，两寡头企业的价格演化在价格

调整速度较大时会引起价格演化的分岔与混沌现象。

适应性决策方法中的权重

5. 结论

规则和有限理性决策方法，同时考虑用时间延迟方法

对价格预期进行估计，构建间的价格博

弈模型。通过把博弈模型扩阶为三维差分证明

了价格博弈模型具有一个不稳定的边界不动点和一

个局部稳定的纳什平衡点，并利用给出了

纳什平衡点的局部稳定性区的解析条件

值

(



)

对纳什平衡

点2

减小

整速

变化，以及预期价格估

计中的权重变动等点的局部稳定

性区域的形状和面积没有显著的影响格调整速度

的变动是纳什平衡稳定性的主要因素。随

着两企业产差异程度的即随着的增大)，能

使纳什平衡点稳定的调度范围缩小。

与采用有限理性决策规则的企业2相比，采用适应

决策方法的企业 1的价格波动幅度较小。采用有限

性决策方

格混沌变化的主要途径。

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(w)

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(

4377.

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el by time-delayed feedback method. Physica A, 2000, 287(

性

理

法的企业 2保持低的价格调整速度是避较免

价

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Elaydi. An introduction to difference equations. N

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