设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
AdvancesinAppliedMathematics
A^
ê
Æ
?
Ð
,2021,10(11),3850-3864
PublishedOnlineNovemb er2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2021.1011409
D
Õ
ƒ
u
¢
¯
K
1
wz
•{
ï
Ä
444
¡¡¡
ZZZ
§§§
$$$
½½½
777
∗
B
²
Œ
Æ
§
ê
Æ
†
Ú
O
Æ
§
B
²
B
Â
v
F
Ï
µ
2021
c
10
17
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2021
c
11
7
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2021
c
11
19
F
Á
‡
é
D
Õ
ƒ
u
¢
¯
K
§
©
ï
á
D
Õ
•
˜
¦
`
z
.
"
Ä
k
§
ò
Ø
ë
Y
D
Õ
K
¼
ê
t
µ
•
ë
Y
Capped-L1
K
¼
ê
"
|
^
•
•
ê
Ú
•
•
-
½:
ï
á
T
t
µ
¯
K
˜
•
`
5
^
‡
"
?
˜
Ú
§
©
Û
•
•
-
½:
e
.
5
Ÿ
§
¿
ï
á
t
µ
¯
K
†
©
¯
K
Û)
d
5
"
•
§
©
ï
Æ
æ
^
1
wz
•{
¦
)
T
¯
K
"
E
8
I
¼
ê
1
wz
¼
ê
§
¿
ï
á
1
w
¯
K
†
t
µ
¯
K
)
˜
—
5
§
•
¦
^
1
wz
•{
¦
)
T
¯
KJ
ø
n
Ø
y
"
'
…
c
D
Õ
ƒ
u
¢
¯
K
§
•
˜
¦
O
§
•
•
-
½:
§
1
wz
•{
ResearchonSmoothingMethod
forSparsePhaseRetrieval
Problems
XiaojiaLiu,DingtaoPeng
∗
SchoolofMathematicsandStatistics,GuizhouUniversity,GuiyangGuizhou
Received:Oct.17
th
,2021;accepted:Nov.7
th
,2021;published:Nov.19
th
,2021
∗
Ï
Õ
Š
ö
"
©
Ù
Ú
^
:
4
¡
Z
,
$
½
7
.
D
Õ
ƒ
u
¢
¯
K
1
wz
•{
ï
Ä
[J].
A^
ê
Æ
?
Ð
,2021,10(11):3850-3864.
DOI:10.12677/aam.2021.1011409
4
¡
Z
§
$
½
7
Abstract
Forsparsephaseretrievalproblems,thispaperconstructedaclassofsparseleast
absolutedeviationoptimizationmodel.First,weusedthecontinuousCapped-L1
regularizationfunctiontorelaxthediscontinuoussparsityfunction.Byvirtueof
directionalderivativesandthedirectionalstationarypoints,weprovidedthefirst-
orderoptimalityconditionfortherelaxedoptimizationproblem.Furthermore,we
derived thelowerboundpropertyofthedirectionalstationary points, basedonwhich
weprovedtheequivalencebetweentheoriginalproblemandtherelaxedproblemin
thesenseofglobalsolutions.Finally,weadvisedusingsmoothingmethodstosolve
therelaxedproblem.Weproposedaclassofsmoothfunctiontoapproximatethe
objectivefunction,andestablishedtheconsistencyofthesolutionsofthesmoothing
problemandtherelaxedproblem.Ourresultprovidesatheoreticalbasisforusing
smoothingmethodstosolvesparsephaseretrievalproblems.
Keywords
SparsePhaseRetrievalProblem,LeastAbsoluteEstimate,Directional
StationaryPoint,SmoothingMethod
Copyright
c
2021byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
Ú
ó
1.1.
D
Õ
ƒ
u
¢
ƒ
u
¢
3
X-
‚
¬
N
Æ
[1]
!
>
f
w
‡
º
[2]
!
û
¤
”
[3]
!
U
©
Æ
[4]
+
•k
X
-
‡
A^
.
du
1
Å
ª
Ç
L
p
,
¦
>
f
ÿ
þ
C
˜
Ã
{
†
P
¹
1
Å
ƒ
&
E
,
Ï
~
•
U
*
ÿ
r
Ý
&
E
,
ƒ
&
E
Ï
~
‘
1
Å
ý
Œ
õ
ê
&
E
•
ä
¢
^
d
Š
,
Ï
d
I
‡
|
^
*
ÿ
r
Ý
&
E
é
ƒ
?
1
¡
E
,
ù
Ò
´
ƒ
u
¢
.
ä
N
5
`
,
é
‰
½
*
ÿ
ê
â
{
a
i
,y
i
}
N
i
=1
,
Ï
é
÷
v
y
i
=
|h
a
i
,x
i|
2
,
i
= 1
,
···
,N
•
þ
x
.
du
D
(
•
3
,
Ï
~
•
Ä
X
e
g
Ý
þ
£
8
.
:
y
i
=
|h
a
i
,x
i|
2
+
ε
i
,i
= 1
,
···
,N,
(1)
DOI:10.12677/aam.2021.10114093851
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
Ù
¥
ε
i
´
‘
Å
Ø
‘
,
÷
v
E
(
ε
i
)=0,
E
(
ε
2
i
)=
σ
2
.
du
ý
¢
&
Ò
x
0
ä
k
D
Õ
5
£
=
x
0
Œ
Ü
©
©
þ
•
"
¤
,
Š
â
ù
˜
k
&
E
,
<
‚
k
F
"
Š
â
*
ÿ
¡
E
Ñ
ý
¢
&
Ò
.
é
u
D
Õ
ƒ
u
¢
¯
K
,
y
•
©
z
(
X
[5][6][7][8][9])
Œ
õ
´
Ä
u
•
¦
O
•{
?
1
¦
)
,
=
æ
^
X
e
•
¦
›
”
¼
ê
:
1
N
N
X
i
=1
((
a
>
i
x
)
2
−
y
i
)
2
.
(2)
,
,
•
3
É
~
*
ÿ
Š
½
D
(
ª
•
u
-
—
©
Ù
ž
,
•
¦
•{
¬
˜
Œ
É
~
ê
â
3
O
¥
Š
^
,
l
)
Œ
.
Ï
d
,
•
¦
O
-
è
5
f
.
ƒ
ó
,
•
˜
¦
O
Ø
¬
˜
Œ
Ø
,
ä
k
Ð
-
è
5
Ú
|
Z
6
U
å
.
u
´
©
z
[10][11][12]
æ
^
•
˜
¦
O
•{
?
n
ƒ
u
¢
¯
K
,
=
æ
^
X
e
•
˜
¦
›
”
¼
ê
:
1
N
N
X
i
=1
|
(
a
>
i
x
)
2
−
y
i
|
.
(3)
•
Ä
D
(
-
—
©
Ù
±
9
ý
¢
&
Ò
D
Õ
5
,
g
,
/
´
Ï
L
¦
)
X
eD
Õ
`
z
.
5
?
n
D
Õ
ƒ
u
¢
¯
K
:
min
x
∈
R
n
1
N
N
X
i
=1
|
(
a
>
i
x
)
2
−
y
i
|
+
λ
k
x
k
0
,
(4)
Ù
¥
,
k
x
k
0
L
«
•
þ
x
š
"
©
þ
‡
ê
,
λ>
0
´
K
z
ë
ê
.
,
,
T
¯
K
›
”
¼
ê
Ú
K
¼
ê
þ
´
š
à
!
š
1
w
,
K
¼
ê$
–
´
š
Lipscthiz
!
Ø
ë
Y
,
Ï
d
T
¯
K
¦
)
´
NP
J
.
Ä
u
k
x
k
0
t
µ
K
z
E
â
,
·
‚
¯
K
(4)
t
µ
.
:
min
x
∈
R
n
1
N
N
X
i
=1
|
(
a
>
i
x
)
2
−
y
i
|
+
R
(
x
)
,
(5)
Ù
¥
,
R
(
x
):
R
n
→
R
´
k
x
k
0
,
˜
t
µ
¼
ê
,
~
„
t
µ
¼
ê
k
L
1
,SCAD,MCP,Capped-
L
1
[13].
t
µ
¯
K
´
ë
Y
,
•
,
´
š
à
š
1
w
,
é
Ù
¦
)
E
›
©
(
J
.
é
u
/
X
¯
K
(5)
š
à
š
1
w
`
z
¯
K
,
ï
Ä
ö
‚
Ï
~
Ï
L
Clarke
g
‡
©
½
Â
critical
:
•
x
Ù
•
`
5
^
‡
,
X
©
z
[14][15][16][17].
|
^
¼
ê
à
L
«
,Pang
<
[15]
J
Ñ
lifted
-
½:
V
g
,
¿
y
²
,
é
u
•
x
)
:
•
`
5
,lifted
-
½:
`u
critical
:
.Ahn
<
[18]
Ï
L
˜
•
•
ê
½
Â
à
`
z
¯
K
•
•
-
½:
,
ï
á
T
¯
K
•
`
5
^
‡
.
é
u
à
`
z
¯
K
,Cui
<
[19]
?
Ø
A
a
-
½:
'
X
,
(
J
L
²
,
Ï
L
•
•
ê
½
Â
•
•
-
½:
r
u
Ù
§
g
‡
©
½
Â
-
½:
,
U
•
Ð
/
•
)
•
`
5
.
Ï
d
,
©
}
Á
^
•
•
ê
5
•
x
t
µ
¯
K
(5)
•
•
-
½:
,
ï
á
Ù
˜
•
`
5
^
‡
.
,
˜
‡
I
‡
•
Ä
¯
K
´
:
¯
K
t
µ
¯
K
´
Ä
d
?
é
u
Ä
u
•
¦
•{
‚
5
£
8
`
z
.
,[14]
é
u
L
0
K
J
Ñ
˜
q
ë
Y
à
t
µ
,
¿
©
Û
t
µ
¯
K
†
©
Û)
d
5
.[20]
©
DOI:10.12677/aam.2021.10114093852
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
Û
MCP,SCAD,Capped-
L
1
a
.
t
µ
¯
K
†
L
0
¯
K
Û)
d
5
±
9
Û
Ü
)
•
¹'
X
.
é
u
L
0
K
Û
Lipschitz
ë
Y
`
z
¯
K
,[17]
ï
Ä
Capped-
L
1
K
t
µ
¯
K
†
L
0
¯
K
Û)
!
•
`
Š
d
5
Ú
Û
Ü
)
•
¹'
X
.[21]
é
|
D
Õ
`
z
¯
K
ï
Ä
|
Capped-
L
1
K
t
µ
¯
K
†
©
|
D
Õ
`
z
¯
K
Û)
!
•
`
Š
d
5
Ú
Û
Ü
)
•
¹'
X
.
é
u
·
‚
¤
•
Ä
Ä
u
•
˜
¦
›
”
g
Ý
þ
£
8
`
z
¯
K
,
§
t
µ
¯
K
†
L
0
¯
K
'
X
´
N
,
I
‡
?
1
\
ï
Ä
.
É
[17][20][21]
©
é
u
,
©
•
Ä
X
e
Capped-
L
1
t
µ
¯
K
:
min
x
∈
R
n
1
N
N
X
i
=1
|
(
a
>
i
x
)
2
−
y
i
|
+
λ
n
X
i
=1
min
{
1
,
|
x
i
|
/v
}
.
(6)
Ù
¥
φ
CapL
1
(
t
) = min
{
1
,
|
t
|
/v
}
´
Capped-
L
1
t
µ
¼
ê
,
v>
0
´
‰
½
ë
ê
.
©
Ì
‡
ó
Š
X
e
:
(1)
‰
Ñ
t
µ
¯
K
8
I
¼
ê
•
•
ê
,
Ï
L
•
•
ê
½
Â
t
µ
¯
K
•
•
-
½:
,
•
x
¯
K
(6)
˜
•
`
5
^
‡
,
¿
…
©
Û
T
-
½:
ä
N
/
ª
.
d
,
„
©
Û
•
•
-
½:
e
.
5
Ÿ
,
ï
á
¯
K
(6)
†
¯
K
(4)
)
d
5
n
Ø
.
(2)
du
¯
K
(6)
¥
›
”
¼
ê
†
K
¼
ê
Ñ
´
š
1
w
,
é
u
X
Û
O
Ž
¯
K
(6)
•
•
-
½:
,
·
‚
ï
Æ
æ
^
1
wz
•{
.
Ä
k
é
¯
K
›
”
¼
ê
?
1
1
w
%
C
,
1
w
C
q
¯
K
.
Ï
L
n
Ø
©
Û
,
·
‚
ï
á
1
wz
C
q
¯
K
†
¯
K
(6)
)
˜
—
5
.
ù
•
¦
^
1
wz
•{
¦
)
¯
K
(6)
J
ø
n
Ø
y
Ú
Œ
1
•
•
.
1.2.
Î
Ò
†
(
±
e
Î
Ò0
B
©
.
é
?
¿
t
∈
R
,
|
t
|
L
«
t
ý
é
Š
.
é
u
˜
‡
8
Ü
C
,
|C|
L
«
8
Ü
¥
ƒ
‡
ê
.
Î
Ò¼
ê
sgn(
t
)
½
Â
•
:
sgn(
t
) :=
1
,t>
0
,
0
,t
= 0
,
−
1
,t<
0
.
-
x,y
∈
R
n
,
x
T
y
=
P
n
i
=1
x
i
y
i
.
k
x
k
1
L
«
•
þ
x
1-
‰
ê
,
k
x
k
L
«
•
þ
x
2-
‰
ê
,
|
x
|
= (
|
x
1
|
,
···
,
|
x
n
|
)
T
.
d
,
P
•
þ
x
|
8
•
Γ(
x
)=
{
i
∈{
1
,
···
,n
}
:
x
i
6
=0
}
=Γ
1
(
x
)
∪
Γ
2
(
x
)
Ù
¥
,Γ
1
=
{
i
:
|
x
i
|
<
v
}
,
Γ
2
=
{
i
:
|
x
i
|≥
v
}
.
½
Â
•
I
8
I
1
(
x
):=
{
i
∈{
1
,
···
,N
:(
a
>
i
x
)
2
−
y
i
6
=0
}
,I
2
(
x
):=
{
i
∈
{
1
,
···
,N
}
: (
a
>
i
x
)
2
−
y
i
= 0
}
.
Ø
d
ƒ
,
Ù
§
Î
Ò
¬
3
©
¥
ä
N
`
²
.
©
(
X
e
:
1
Ü
©
,
|
^
•
•
ê
½
Â
¯
K
(6)
•
•
-
½:
,
•
x
¯
K
˜
•
`
5
^
‡
.
·
‚
‰
Ñ
•
•
-
½:
ä
N
L
ˆ
±
9
e
.
5
Ÿ
.
d
,
Ä
u
ù
n
Ø
,
y
²
¯
K
(4)
†
¯
K
(6)
)
d
5
.
1
n
Ü
©
,
ï
¯
K
(6)
˜
a
1
wz
¼
ê
,
ï
á
1
w
%
C
¯
K
†
¯
K
(6)
)
˜
—
5
,
•
¦
^
1
wz
•{
¦
)
¯
K
(6)
J
ø
n
Ø
y
.
1
o
Ü
©
,
{
ü
o
(
.
DOI:10.12677/aam.2021.10114093853
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
2.
•
`
5
^
‡
2.1.
.
(6)
•
•
-
½:
d
[13][19]
Œ
•
,
ƒ
'
u
U
?
-
½:
,C-
-
½:
,
O
K
:
ó
,
•
•
ê
½
Â
•
•
-
½:
U
•
Ð
•
x
)
•
`
5
.
!
,
·
‚
½
Â
¯
K
(6)
•
•
-
½:
,
©
Û
Ù
ä
N
/
ª
±
9
e
.
5
Ÿ
,
¿
…
ï
á
¯
K
(4)
†
¯
K
(6)
d
5
'
X
.
Ä
k
,
·
‚
‰
Ñ
•
•
ê
†
¯
K
(6)
•
•
-
½:
Ä
½
Â
.
½
Â
2.1
f
:
R
n
→
R
3
:
x
∈
R
n
?
Û
Ü
Lipschitz
ë
Y
…
•
•
Œ
‡
.
K
¼
ê
f
3
:
x
?
÷
•
•
w
∈
R
n
•
•
ê
½
Â
•
f
0
(
x
;
w
) := lim
τ
↓
0
f
(
x
+
τw
)
−
f
(
x
)
τ
.
½
Â
2.2
¡
b
x
∈
R
n
´
.
(6)
•
•
-
½:
,
e
F
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)+Φ
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)
≥
0
,
∀
x
∈
R
n
.
Peng
<
[13]
y
²
•
•
-
½:
ä
k
X
e
Û
Ü
•
`
5
Ÿ
.
½
n
2.1
[13]
-
¼
ê
f
:
R
n
→
R
3
:
b
x
∈
R
n
?
´
Û
Ü
Lipschitz
ë
Y
…
•
•
Œ
‡
,
k
X
e
ü
^
5
Ÿ
¤
á
:
(i)
e
b
x
´
¼
ê
f
Û
Ü
•
Š
,
@
o
b
x
´
¼
ê
f
•
•
-
½:
;
(ii)
b
x
´
î
‚
Û
Ü
•
Š
¿
÷
v
˜
O
•
5
^
‡
,
=
•
3
b
x
+
•
W
Ú
δ>
0
,
¦
f
(
x
)
≥
f
(
b
x
)+
δ
k
x
−
b
x
k
,
∀
x
∈W
,
(7)
…
=
b
x
÷
v
f
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)
>
0
,
∀
x
∈
R
n
\{
b
x
}
.
(8)
e
¡
,
·
‚
ï
Ä
¯
K
(6)
•
•
-
½:
ä
N
L
ˆ
.
½
n
2.2
e
b
x
∈
R
n
´
.
(6)
•
•
-
½:
,
K
2
N
X
i
∈
I
1
sgn((
a
>
i
b
x
)
2
−
y
i
)
·
a
>
i
b
xa
>
i
(
x
−
b
x
)+
X
i
∈
I
2
|
a
>
i
b
xa
>
i
(
x
−
b
x
)
|
+
n
X
i
=1
φ
0
(
b
x
i
;
x
i
−
b
x
i
)
≥
0
,
DOI:10.12677/aam.2021.10114093854
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
Ù
¥
I
1
,
I
2
½
Â
„
§
1.2,
…
φ
0
(
b
x
i
;
x
i
−
b
x
i
) =
λ
|
x
i
|
v
b
x
i
= 0
,
sgn(
b
x
i
)
λ
(
x
i
−
b
x
i
)
v
|
b
x
i
|∈
(0
,v
)
,
max
{
0
,
sgn(
b
x
i
)
λ
(
x
i
−
b
x
i
)
v
} |
b
x
i
|
=
v,
0otherwise
.
(9)
y
²
.
d
•
•
ê
½
Â
,
¼
ê
Φ
3
:
b
x
?
•
•
ê
•
Φ
0
(
b
x
;
x
−
b
x
) =
n
X
i
=1
φ
0
(
b
x
i
;
x
i
−
b
x
i
)
,
(10)
Ù
¥
φ
0
(
b
x
i
;
x
i
−
b
x
i
)
½
Â
X
(9)
¤
«
.
ƒ
'
ƒ
e
,
›
”
¼
ê
F
3
:
b
x
?
•
•
ê
O
Ž
•
E
,
.
8
Ü
I
1
,
I
2
½
Â
„
Î
Ò
`
²
.
d
•
•
ê
½
Â
,
F
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)=
1
N
·
lim
t
↓
0
P
N
i
=1
{|
(
a
>
i
(
b
x
+
t
(
x
−
b
x
)))
2
−
y
i
|−|
(
a
>
i
b
x
)
2
−
y
i
|}
t
=
1
N
·
lim
t
↓
0
P
N
i
=1
{|
(
a
>
i
b
x
)
2
+
t
2
(
a
>
i
(
x
−
b
x
))
2
+2
ta
>
i
b
xa
>
i
(
x
−
b
x
)
−
y
i
|−|
(
a
>
i
b
x
)
2
−
y
i
|}
t
i
∈
I
1
ž
,(
a
>
i
b
x
)
2
6
=
y
i
,
f
0
i
(
b
x
;
x
−
b
x
)=lim
t
↓
0
sgn((
a
>
i
b
x
)
2
−
y
i
)
·{
t
2
(
a
>
i
(
x
−
b
x
))
2
+2
ta
>
i
b
xa
>
i
(
x
−
b
x
)
}
t
=2sgn((
a
>
i
b
x
)
2
−
y
i
)
·
a
>
i
b
xa
>
i
(
x
−
b
x
)
.
(11)
i
∈
I
2
ž
,(
a
>
i
b
x
)
2
=
y
i
,
u
´
f
0
i
(
b
x
;
x
−
b
x
)=lim
t
↓
0
|
t
2
(
a
>
i
(
x
−
b
x
))
2
+2
ta
>
i
b
xa
>
i
(
x
−
b
x
)
|
t
=2
|
a
>
i
b
xa
>
i
(
x
−
b
x
)
|
.
(12)
u
´
,
d
(11)(12)
Œ
,
›
”
¼
ê
F
3
:
b
x
?
•
•
ê
F
0
(
b
x
;
x
−
b
x
) =
2
N
X
i
∈
I
1
sgn((
a
>
i
b
x
)
2
−
y
i
)
·
a
>
i
b
xa
>
i
(
x
−
b
x
)+
X
i
∈
I
2
|
a
>
i
b
xa
>
i
(
x
−
b
x
)
|
.
(13)
(
Ü
(10)
†
(13),
T
(
Ø
¤
á
.
DOI:10.12677/aam.2021.10114093855
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
2.2.
•
•
-
½:
e
.
5
Ÿ
†
)
d
5
e
¡
©
Û
.
(6)
•
•
-
½:
e
.
5
Ÿ
.
-
L
:
R
n
→
R
½
Â
•
L
(
x
) :=
N
X
i
=1
|
a
>
i
xa
i
|
1
.
5
¿
,
v
→
0
ž
,
φ
0
−
(
v
):= lim
t
↑
v
φ
0
(
t
)
>
0
→∞
.
u
´
•
3
x
∗
±
9
¿
©
v
¦
F
(
x
∗
)
>
Υ
>
c
,
φ
0
−
(
v
)
>
(2
/N
)
L
(
x
∗
)
¤
á
,
Ù
¥
c>
0
´
,
˜
~
ê
.
À
ë
ê
Υ,
v
,
λ
±
9
x
∗
÷
v
:
F
(
x
∗
)
>
Υ
,φ
0
−
(
v
)
>
2
N
L
(
x
∗
)
.
½
n
2.3
b
x
∈
R
n
´
.
(6)
•
•
-
½:
,
…
F
(
b
x
)
≤
Υ
,φ
0
−
(
v
)
>
2
N
L
(
x
∗
)
,
K
é
?
¿
i
= 1
,
···
,n
,
|
b
x
i
|≥
v
½
|
b
x
i
|
= 0
.
y
²
.
•
I
‡
y
²
8
Ü
Γ
1
=
∅
.
b
Γ
1
6
=
∅
.
Ï
•
b
x
∈
R
n
´
.
(6)
•
•
-
½:
,
F
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)+Φ
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)
≥
0
,
∀
x
∈
R
n
.
d
x
?
¿
5
,
Œ
é
x
?
1
D
Š
,
-
x
j
=
b
x
j
,
j
∈
Γ
2
,
…
x
j
6
=
b
x
j
,
j
∈
Γ
1
.
u
´
,
F
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)+
X
j
∈
Γ
1
φ
0
(
b
x
j
;
x
j
−
b
x
j
)
≥
0
.
(14)
,
,
é
u
¤
½
Â
x
,
d
(13)
Œ
,
F
0
(
b
x
;
x
−
b
x
) =
2
N
X
j
∈
Γ
1
X
i
∈
I
1
sgn((
a
>
i
b
x
)
2
−
y
i
)
·
a
>
i
b
xa
i
j
(
x
j
−
b
x
j
)+
X
j
∈
Γ
1
X
i
∈
I
2
|
a
>
i
b
xa
i
|
j
|
x
j
−
b
x
j
|
.
5
¿
,
X
j
∈
Γ
1
X
i
∈
I
1
sgn((
a
>
i
b
x
)
2
−
y
i
)
·
a
>
i
b
xa
i
j
(
x
j
−
b
x
j
)
≤
X
j
∈
Γ
1
X
i
∈
I
1
|
a
>
i
b
xa
i
|
j
|
x
j
−
b
x
j
|
.
u
´
,
F
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)
≤
2
N
X
j
∈
Γ
1
X
i
∈
I
1
|
a
>
i
b
xa
i
|
j
|
x
j
−
b
x
j
|
+
X
j
∈
Γ
1
X
i
∈
I
2
|
a
>
i
b
xa
i
|
j
|
x
j
−
b
x
j
|
=
2
N
X
j
∈
Γ
1
N
X
i
=1
|
a
>
i
b
xa
i
|
j
|
x
j
−
b
x
j
|
.
(15)
DOI:10.12677/aam.2021.10114093856
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
-
x
j
=
b
x
j
−
b
x
j
,
>
0,
j
∈
Γ
1
.
(
Ü
(14)
†
(15),
X
j
∈
Γ
1
φ
0
(
b
x
j
)
|
b
x
j
|≤
2
N
X
j
∈
Γ
1
N
X
i
=1
|
a
>
i
b
xa
i
|
j
|
b
x
j
|
≤
2
N
L
(
x
∗
)
X
j
∈
Γ
1
|
b
x
j
|
.
du
é
?
¿
j
∈
Γ
1
,
φ
0
(
b
x
j
) =
λ/v
.
u
´
,
λ/v
≤
(2
/N
)
L
(
x
∗
),
†
®
•
^
‡
λ/v>
(2
/N
)
L
(
x
∗
)
g
ñ
.
T
(
Ø
¤
á
.
e
¡
,
·
‚
?
Ø
¯
K
(4)
†
¯
K
(6)
)
'
X
.
½
n
2.4
λ/v
≥
(2
/N
)
L
(
x
∗
)
,
(i)
e
b
x
∈
R
n
´
¯
K
(6)
Û
•
`
)
,
…
÷
v
F
(
b
x
)
≤
Υ
,
K
b
x
´
¯
K
(4)
Û
•
`
)
.
(ii)
e
b
x
∈
R
n
´
¯
K
(4)
Û
•
`
)
,
…
¯
K
(6)
Û)
x
0
•
3
¿
÷
v
F
(
x
0
)
≤
Υ
,
K
b
x
´
¯
K
(6)
Û
•
`
)
.
y
²
.
(i)
b
x
∈
R
n
´
¯
K
(6)
Û
•
`
)
,
K
b
x
∈
R
n
´
¯
K
(6)
•
•
-
½:
.
d
F
(
b
x
)
≤
Υ
9
e
.
½
n
2.3,
Φ(
b
x
) =
λ
k
b
x
k
0
.
u
´
F
(
b
x
)+
λ
k
b
x
k
0
=
F
(
b
x
)+Φ(
b
x
)
<F
(
x
)+Φ(
x
)
≤
F
(
x
)+
λ
k
x
k
0
.
Ï
d
,
b
x
´
¯
K
(4)
Û
•
`
)
.
(ii)
b
x
∈
R
n
´
¯
K
(4)
Û
•
`
)
,
b
x
∈
R
n
Ø
´
¯
K
(6)
Û
•
`
)
.
x
0
´
¯
K
(6)
Û
•
`
)
,
K
F
(
x
0
)
≤
Υ.
d
½
n
®
•
^
‡9
e
.
½
n
2.3,
Φ(
x
0
) =
λ
k
x
0
k
0
.
u
´
F
(
x
0
)+
λ
k
x
0
k
0
=
F
(
x
0
)+Φ(
x
0
)
<F
(
b
x
)+Φ(
b
x
)
≤
F
(
b
x
)+
λ
k
b
x
k
0
.
ù
†
b
x
∈
R
n
´
¯
K
(4)
Û
•
`
)
g
ñ
.
Ï
d
b
x
´
¯
K
(6)
Û
•
`
)
.
5
¿
,
¯
K
(6)
Û)
x
0
´
˜
½
•
3
,
ù
´
Ï
•
U
C
Û)
©
þ
Î
Ò
,
Ø
¬
U
C
¯
K
(6)
8
I
¼
ê
Š
,
ù
´
d
ƒ
u
¢
¯
K
5
Ÿ
û
½
.
3.
1
wz
•{
¯
K
(6)
´
˜
š
à
!
š
1
w
`
z
¯
K
,
†
¦
)
´
(
J
.
!
·
‚
ï
¯
K
(6)
˜
a
1
w
¼
ê
.
¿
y
²
1
w
¯
K
•
•
-
½:
?
¿
à
:
´
¯
K
•
•
-
½:
.
ù
n
Ø
•¯
K
(6)
¦
)
J
ø
n
Ø
y
.
£
[22],
ý
é
Š
¼
ê
|
t
|
,
t
∈
R
˜
a
1
w
¼
ê
Œ
±
½
Â
•
e
θ
(
t,µ
) :=
|
t
|
if
|
t
|≥
µ,
t
2
2
µ
+
µ
2
if
|
t
|
<µ.
DOI:10.12677/aam.2021.10114093857
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
Ù
¥
µ>
0
´
1
w
ë
ê
.
d
d
·
‚
¯
K
(6)
¥
›
”
¼
ê
1
w
¼
ê
e
F
(
x,µ
) :=
1
N
N
X
i
=1
e
f
i
(
x,µ
)
,
(16)
Ù
¥
,
e
f
i
(
x,µ
) =
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
).
P
{
1
,
···
,N
}
=
C
µ
1
(
x
)
∪C
µ
2
(
x
)
∪C
µ
3
(
x
),
Ù
¥
C
µ
1
(
x
) =
{
1
,
···
,N
:
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|
<µ
}
,
C
µ
2
(
x
) =
{
1
,
···
,N
:
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|
>µ
}
,
C
µ
3
(
x
) =
{
1
,
···
,N
:
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|
=
µ
}
.
e
¡
,
·
‚
©
Û
1
w
¼
ê
e
F
(
x,µ
)
˜
5
Ÿ
.
Ú
n
3.1
é
u
¼
ê
(16),
e
ã
(
Ø
¤
á
:
(1)
lim
z
→
x,µ
↓
0
e
F
(
z,µ
) =
F
(
x
)
.
(2)
(
'
u
x
Lipschitz
ë
Y5
)
•
3
˜
‡
~
ê
L>
0
¦
é
?
¿
µ
∈
(0
,µ
]
,
¦
∇
e
F
(
x,µ
)
´
Lipschitz
ë
Y
,
…
Lipschitz
~
ê´
Lµ
−
1
.
(3)
(
'
u
µ
Lipschitz
ë
Y5
)
|
e
F
(
x,µ
1
)
−
e
F
(
x,µ
2
)
|≤|
µ
1
−
µ
2
|
.
(4)
(
˜
—
5
†
f
˜
—
5
)
?
¿
i
∈
I
1
(
x
)
,
k
lim
z
→
x,µ
↓
0
h∇
e
f
i
(
z,µ
)
,w
i
=
f
0
i
(
x
;
w
)
,
∀
w
∈
R
n
¤
á
;
?
¿
i
∈
I
2
(
x
)
,
k
limsup
z
→
0
,µ
↓
0
h∇
e
f
i
(
z,µ
)
,w
i
=
f
0
i
(
x
;
w
)
,
∀
w
∈
R
n
¤
á
.
y
²
.
(1)
d
C
µ
1
(
x
),
C
µ
2
(
x
),
C
µ
3
(
x
)
½
Â
,
|
e
F
(
z,µ
)
−
F
(
x
)
|
=
N
X
i
=1
e
f
i
(
z,µ
)
−
f
i
(
x,µ
)
=
N
X
i
=1
e
f
i
(
z,µ
)
−
e
f
i
(
x,µ
)+
e
f
i
(
x,µ
)
−
f
i
(
x,µ
)
=
N
X
i
=1
e
f
i
(
z,µ
)
−
e
f
i
(
x,µ
))
+
X
i
∈C
µ
1
(
x
)
e
f
i
(
x,µ
)
−
f
i
(
x,µ
)
=Π
1
+Π
2
.
d
¼
ê
e
f
ë
Y5
Œ
•
lim
z
→
x,µ
↓
0
Π
1
= 0
.
(17)
é
u
Π
2
,
N
´
X
i
∈C
µ
1
(
x
)
e
f
i
(
x,µ
)
−
f
i
(
x,µ
)
≤|C
µ
1
(
x
)
|
µ
2
→
0
,
(
µ
→
0)
.
(18)
(
Ü
(17)
†
(18),
u
´
(
Ø
(1)
¤
á
.
(2)
d
1
w
¼
ê
½
Â
,
∇
e
F
(
x,µ
) =
1
N
P
N
i
=1
∇
e
f
i
(
x,µ
).
DOI:10.12677/aam.2021.10114093858
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
i
∈C
µ
1
(
x
)
ž
,
∇
e
f
i
(
x,µ
) = 2
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
µ
a
i
a
T
i
x,
(19)
i
∈C
µ
2
(
x
)
∪C
µ
3
(
x
)
ž
,
∇
e
f
i
(
x,µ
) = 2sgn((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
)
a
i
a
T
i
x.
(20)
d
©
z
[23]
¥Š
½
n
2.3.7
,
é
?
¿
x,z
∈
R
n
,
∇
e
F
(
x,µ
)
−∇
e
F
(
z,µ
)
∈
(
∂
(
∇
e
F
(
u,µ
)))
T
(
x
−
z
)
,
(21)
Ù
¥
u
´
‚
ã
[
z,x
]
þ
,
˜
:
,
∂
(
∇
e
F
(
u,µ
))
L
«
•
þ
¼
ê
∇
e
F
(
·
,µ
)
3
:
u
?
Clarke
g
‡
©
.
i
∈
C
µ
1
(
u
)
ž
,
∂
(
∇
e
f
i
(
u,µ
)) =
∇
2
e
f
i
(
u,µ
) = [
2(
a
T
i
u
)
2
µ
+2]
a
i
a
T
i
.
i
∈C
µ
2
(
u
)
ž
,
∂
(
∇
e
f
i
(
u,µ
)) =
∇
2
e
f
i
(
u,µ
) =
2sgn((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
)
a
i
a
T
i
.
i
∈C
µ
3
(
u
)
ž
,
d
Clarke
g
‡
©
½
Â
Œ
•
,
∂
(
∇
e
f
i
(
u,µ
)) = con
{
2sgn((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
)
,
[
2(
a
T
i
u
)
2
µ
+2]
}
a
i
a
T
i
.
¯¢
þ
,
é
?
¿
a
∈
con
{
2sgn((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
)
,
[2(
a
T
i
u
)
2
µ
−
1
+2]
}
,
a
≤
2
y
i
µ
−
1
+4
≤
(2
y
i
+
µ
)
µ
−
1
.
u
´
∂
(
∇
e
F
(
u,µ
)))
⊆
1
N
X
i
∈C
µ
1
(
u
)
∪C
µ
1
(
u
)
∇
2
e
f
i
(
u,µ
)+
X
i
∈C
µ
3
(
u
)
∂
(
∇
e
f
i
(
u,µ
))
.
(22)
(
Ü
(21),(22)
Œ
,
•
3
V
∈
∂
(
∇
e
F
(
u,µ
))
¦
e
ã
'
X
¤
á
:
∇
e
F
(
x,µ
)
−∇
e
F
(
z,µ
)=
V
T
(
x
−
z
)
≤
(2
y
+
µ
)
µ
−
1
λ
max
(
N
X
i
=1
a
i
a
T
i
)
k
x
−
z
k
,
Ù
¥
y
=max
{
y
i
,i
=1
,
···
,N
}
.
5
¿
,(2
y
+
µ
)
µ
−
1
λ
max
(
P
N
i
=1
a
i
a
T
i
)
´
˜
~
ê
,
…
†
C
þ
x
Ã
'
,
u
´
(
Ø
(2)
¤
á
.
(3)
Ø
”
˜
„
5
,
b
µ
2
≥
µ
1
>
0.
é
?
¿
i
∈C
µ
2
2
(
x
)
∪C
µ
2
3
(
x
),
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
1
) =
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
2
) =
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|
.
Ï
d
,
e
f
i
(
x,µ
1
)
−
e
f
i
(
x,µ
2
) = 0
,i
∈C
µ
2
2
(
x
)
∪C
µ
2
3
(
x
)
.
(23)
é
?
¿
i
∈C
µ
1
2
(
x
)
∪C
µ
1
3
(
x
)
∩C
µ
2
1
(
x
),
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
2
)
>
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
1
) =
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|
.
(24)
DOI:10.12677/aam.2021.10114093859
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
d
ž
,((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
)
2
/
2
µ
2
≤
µ
2
2
/
2
µ
2
=
µ
2
/
2,
…
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|≥
µ
1
,
u
´
d
1
w
¼
ê
½
Â
9
(24)
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
2
)
−
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
1
) =
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
)
2
2
µ
2
+
µ
2
2
−|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|≤
µ
2
−
µ
1
.
Ï
d
,
e
f
i
(
x,µ
2
)
−
e
f
i
(
x,µ
1
)
≤
µ
2
−
µ
1
,i
∈C
µ
1
2
(
x
)
∪C
µ
1
3
(
x
)
∩C
µ
2
1
(
x
)
.
(25)
é
?
¿
i
∈C
µ
1
1
(
x
),(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
<µ
1
≤
µ
2
,
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
1
) =
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
)
2
2
µ
1
+
µ
1
2
,
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
2
) =
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
)
2
2
µ
2
+
µ
2
2
.
u
´
,
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
2
)
−
e
θ
((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
,µ
1
) = (
1
2
µ
2
−
1
2
µ
1
)((
a
T
i
x
)
2
−
y
i
)
2
+
µ
2
−
µ
1
2
≤
(
1
2
µ
2
−
1
2
µ
1
)
µ
2
1
+
µ
2
−
µ
1
2
≤
µ
2
2
2
µ
2
−
µ
2
1
2
µ
1
+
µ
2
−
µ
1
2
=
µ
2
−
µ
1
.
Ï
d
,
e
f
i
(
x,µ
2
)
−
e
f
i
(
x,µ
1
)
≤
µ
2
−
µ
1
,i
∈C
µ
1
1
(
x
)
.
(26)
,
˜
•
¡
, (
C
µ
2
2
(
x
)
∪C
µ
2
3
(
x
))
∪
(
C
µ
1
2
(
x
)
∪C
µ
1
3
(
x
)
∩C
µ
2
1
(
x
))
∪C
µ
1
1
(
x
) =
{
1
,
···
,N
}
,
(
Ü
(23),(25),
(26)
Œ
e
F
(
x,µ
2
)
−
e
F
(
x,µ
1
)
≤
1
N
N
(
µ
2
−
µ
1
) =
µ
2
−
µ
1
.
(
Ø
(3)
¤
á
.
(4)
é
?
¿
i
∈
I
1
(
x
),
=
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|6
=0.
•
3
µ>
0
¦
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|
>µ
.
d
ž
,
i
∈C
µ
2
(
x
).
k
e
f
i
=
f
i
¤
á
,
…
§
‚
3
:
z
k
?
Œ
‡
.
u
´
lim
µ
↓
0
h∇
e
f
i
(
x,µ
)
,w
i
=
h∇
f
i
(
x,µ
)
,w
i
=
f
0
i
(
x
;
w
).
d
,
d
∇
e
f
i
ë
Y5
Œ
•
,
z
→
x
ž
,
∇
e
f
i
(
z,µ
)
→∇
e
f
i
(
x,µ
).
(
Ü
þ
ã
'
X
,
lim
z
→
x,µ
↓
0
h∇
e
f
(
z,µ
)
,w
i
=lim
z
→
x,µ
↓
0
h∇
e
f
(
z,µ
)
,w
i−h∇
e
f
(
x,µ
)
,w
i
+lim
z
→
x,µ
↓
0
h∇
e
f
(
x,µ
)
,w
i
=0+lim
µ
↓
0
h∇
e
f
(
x,µ
)
,w
i
=
f
0
i
(
x
;
w
)
.
u
´
(4)
¥
1
˜
^
(
Ø
¤
á
.
é
?
¿
i
∈
I
2
(
x
),
=
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|
=0.
é
?
¿
µ>
0
þ
k
|
(
a
T
i
x
)
2
−
y
i
|
<µ
.
-
{
z
k
}
´Â
ñ
x
DOI:10.12677/aam.2021.10114093860
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
?
¿
:
.
e
|
(
a
T
i
z
k
)
2
−
y
i
|
<µ
,
=
i
∈C
µ
1
,
(
Ü
ª
f
(19),
K
limsup
z
→
x,µ
↓
0
,
|
(
a
T
i
z
)
2
−
y
i
|
<µ
h∇
e
f
(
z,µ
)
,w
i
=limsup
z
→
x,µ
↓
0
,
|
(
a
T
i
z
)
2
−
y
i
|
<µ
2(
(
a
T
i
z
)
2
−
y
i
µ
)
a
T
i
za
T
i
w
= 2
|
a
T
i
za
T
i
w
|
=
f
0
i
(
x
;
w
)
,
Ù
¥
1
‡
ª
¤
á
´
Ï
•
k
¿
©
Œ
ž
,
•
3
÷
v
|
(
a
T
i
z
k
)
2
−
y
i
|
<µ
,
|
(
a
T
i
z
k
)
2
−
y
i
|→
µ
…
(
a
T
i
z
)
2
−
y
i
†
a
T
i
za
T
i
w
Ó
Ò
:
{
z
k
}
.
e
|
(
a
T
i
z
k
)
2
−
y
i
|≥
µ
,
K
i
∈C
µ
2
.
d
ž
e
f
i
=
f
i
,
…
§
‚
3
:
z
k
?
Œ
‡
.
(
Ü
ª
f
(20),
u
´
limsup
z
→
x,µ
↓
0
,
|
(
a
T
i
z
)
2
−
y
i
|≥
µ
h∇
e
f
(
z,µ
)
,w
i
=limsup
z
→
x,µ
↓
0
,
|
(
a
T
i
z
)
2
−
y
i
|≥
µ
2sgn((
a
T
i
z
)
2
−
y
i
)
a
T
i
za
T
i
w
= 2
|
a
T
i
za
T
i
w
|
=
f
0
i
(
x
;
w
)
,
Ù
¥
1
‡
ª
¤
á
´
Ï
•
k
¿
©
Œ
ž
,
•
3
÷
v
|
(
a
T
i
z
k
)
2
−
y
i
|≥
µ
,
…
(
a
T
i
z
)
2
−
y
i
†
a
T
i
za
T
i
w
Ó
Ò
:
{
z
k
}
.
n
þ
¤
ã
(4)
¥
1
^
(
Ø
¤
á
.
(
Ø
y
.
(
Ü
þ
ã
1
wz
E
â
,
·
‚
˜
‡
›
”
¼
ê
ë
Y
Œ
‡
`
z
¯
K
:
min
x
∈
R
n
e
F
(
x,µ
)+Φ(
x
)
.
(27)
e
b
x
µ
´
þ
ã
¯
K
•
•
-
½:
,
K
h∇
e
F
(
b
x
µ
)
,x
−
b
x
µ
i
+Φ
0
(
b
x
µ
;
x
−
b
x
µ
)
≥
0
,
∀
x
∈
R
n
,
=
e
F
0
(
b
x
µ
,x
−
b
x
µ
)+Φ
0
(
b
x
µ
;
x
−
b
x
µ
)
≥
0
,
∀
x
∈
R
n
.
e
¡
,
·
‚
ò
ï
Ä
:
{
b
x
µ
k
}
à
:
5
Ÿ
,
Ù
¥
{
b
x
µ
k
}
•
•
•
-
½:
,
µ
k
>
0,
k
=1
,
2
,
···
,
…
k
→∞
ž
,
µ
k
→
0.
½
n
3.1
(
{
b
x
µ
k
}
à
:
˜
—
5
)
-
b
x
µ
k
´
µ
=
µ
k
ž
¯
K
(27)
•
•
-
½:
.
e
µ
k
>
0
,
k
= 1
,
2
,
···
,
…
k
→∞
ž
,
µ
k
→
0
.
K
:
{
b
x
µ
k
}
?
¿
à
:
•¯
K
(6)
•
•
-
½:
.
y
²
.
-
b
x
•
:
{
b
x
µ
k
}
à
:
.
Ø
”
˜
„
5
,
·
‚
b
{
b
x
µ
k
}
Â
ñ
b
x
.
Ï
•
b
x
µ
k
´
µ
=
µ
k
ž
¯
K
(27)
•
•
-
½:
,
Ï
d
h∇
e
F
(
b
x
µ
k
)
,x
−
b
x
µ
k
i
+Φ
0
(
b
x
µ
k
;
x
−
b
x
µ
k
)
≥
0
,
∀
x
∈
R
n
.
d
Ú
n
3.1
¥
(4)
Œ
•
,
e
i
∈
I
1
(
b
x
),
K
lim
k
→∞
h∇
e
f
(
b
x
µ
k
,µ
k
)
,w
i
=
f
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)
.
e
i
∈
I
2
(
b
x
),
K
limsup
k
→∞
h∇
e
f
(
b
x
µ
k
,µ
k
)
,w
i
=
f
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)
.
DOI:10.12677/aam.2021.10114093861
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
Ï
d
,
é
u
?
¿
x
∈
R
n
,
0
≤
lim
k
→∞
h∇
e
F
(
b
x
µ
k
)
,x
−
b
x
µ
i
+Φ
0
(
b
x
µ
k
;
x
−
b
x
µ
k
)
=lim
k
→∞
X
i
∈
I
1
(
b
x
)
h∇
e
f
(
b
x
µ
k
)
,x
−
b
x
µ
i
+
X
i
∈
I
2
(
b
x
)
h∇
e
f
(
b
x
µ
k
)
,x
−
b
x
µ
i
+Φ
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)
≤
X
i
∈
I
1
(
b
x
)
lim
k
→∞
h∇
e
f
(
b
x
µ
k
)
,x
−
b
x
µ
i
+
X
i
∈
I
2
(
b
x
)
limsup
k
→∞
h∇
e
f
(
b
x
µ
k
)
,x
−
b
x
µ
i
+Φ
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)
=
N
X
i
=1
f
0
i
(
b
x,x
−
b
x
)+Φ
0
(
b
x
;
x
−
b
x
)
.
u
´
b
x
•¯
K
(6)
•
•
-
½:
,
(
Ø
y
.
þ
ã
½
n
Ø
=
ï
á
¯
K
(6)
†
1
w
¯
K
(27)
-
½:
ƒ
m
é
X
,
Ó
ž
•
•
¦
^
1
wz
•{
¦
)
T
¯
KJ
ø
n
Ø
y
.
4.
o
(
©
é
D
Õ
ƒ
u
¢
¯
K
?
1
`
z
ï
Ú
©
Û
.
Ä
u
.
-
è
5
•
Ä
,
·
‚
J
Ñ
D
Õ
•
˜
¦
`
z
.
.
é
u
Ø
ë
Y
D
Õ
K
¼
ê
,
æ
^
t
µ
•{
,
D
Õ
ƒ
u
¢
¯
K
‘
Capped-L1
K
•
˜
¦
`
z
.
.
|
^
•
•
-
½:
,
•
x
š
à
š
1
w
t
µ
¯
K
˜
•
`
5
^
‡
,
©
Û
•
•
-
½:
e
.
5
Ÿ
,
±
d
‰
Ñ
t
µ
¯
K
†
©
¯
K
Û)
d
5
.
•
,
ï
Æ
æ
^
1
wz
•{
¦
)
š
1
w
t
µ
¯
K
,
A
O
/
,
·
‚
ï
á
1
w
¯
K
†
t
µ
K
¯
K
)
˜
—
5
,
•
¦
^
1
wz
•
{
¦
)
T
¯
KJ
ø
n
Ø
y
.
Ä
7
‘
8
I
[
g
,
‰
Æ
Ä
7
‘
8
(11861020)
!
B
²
Ž
p
g
3
Æ
<
â
M
#
M
’
J
`
]
Ï-
:
‘
8
([2018]03)
!
B
²
Ž
‰
EO
y
‘
8
(ZK[2021]009))
ÚB
²
Ž
“
c
‰
E
<
â
¤•
‘
8
([2018]121).
ë
•
©
z
[1]Harrison, R. (1993)Phase Problemin Crystallography.
JournaloftheOpticalSocietyofAmer-
icaA
,
10
,1046-1055.https://doi.org/10.1364/JOSAA.10.001046
[2]Miao,J.,Ishikawa,T.andShen,Q.(2008)ExtendingX-RayCrystallographytoAllowthe
ImagingofNoncrystallineMaterials,Cells,andSingleProteinComplexes.
AnnualReviewof
PhysicalChemistry
,
59
,387-410.
https://doi.org/10.1146/annurev.physchem.59.032607.093642
[3]Bunk, O., Diaz, A. and Pfeiffer, F.(2014) Diffractive Imaging forPeriodic Samples:Retrieving
One-DimensionalConcentrationProfilesacrossMicrofluidicChannels.
ActaCrystallographica
DOI:10.12677/aam.2021.10114093862
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
SectionA:FoundationsofCrystallography
,
63
,306-314.
https://doi.org/10.1107/S0108767307021903
[4]Dainty,J. andFienup, J. (1987) Phase Retrieval andImage Reconstructionfor Astronomy. In:
Stark, H., Ed.,
ImageRecovery:TheoryandApplication
,Academic Press,San Diego, 231-275.
[5]Cai,T.,Li,X.andMa,Z.(2016)OptimalRatesofConvergenceforNoisySparsePhase
RetrievalviaThresholdedWirtingerFlow.
TheAnnalsofStatistics
,
44
,2221-2251.
https://doi.org/10.1214/16-AOS1443
[6]Sun,J.,Qu,Q.andWright,J.(2018)AGeometricAnalysisofPhaseRetrieval.
Foundations
ofComputationalMathematics
,
18
,1131-1198.https://doi.org/10.1007/s10208-017-9365-9
[7]Shechtman,Y.,Beck,A.andEldar,Y.(2014)GESPAR:EfficientPhaseRetrievalofSparse
Signals.
IEEETransactionsonSignalProcessing
,
62
,928-938.
https://doi.org/10.1109/TSP.2013.2297687
[8]Cand`es,E., Li,X.andSoltanolkotabi,M.(2015)PhaseRetrievalviaWirtingerFlow:Theory
andAlgorithms.
IEEETransactionsonInformationTheory
,
61
,1985-2007.
https://doi.org/10.1109/TIT.2015.2399924
[9]Yang,Z.,Yang,L.,Fang,E.,
etal.
(2019)MisspecifiedNonconvex StatisticalOptimizationfor
SparsePhaseRetrieval.
MathematicalProgramming
,
176
,545-571.
https://doi.org/10.1007/s10107-019-01364-5
[10]Davis,D.,Drusvyatskiy,D.andPaquette,C.(2020)TheNonsmoothLandscapeofPhase
Retrieval.
IMAJournalofNumericalAnalysis
,
40
,2652-2695.
https://doi.org/10.1093/imanum/drz031
[11]Eldar,Y.andMendelson,S.(2013)PhaseRetrieval:StabilityandRecoveryGuarantees.
AppliedandComputationalHarmonicAnalysis
,
36
,473-494.
https://doi.org/10.1016/j.acha.2013.08.003
[12]Duchi,J.andRuan,F.(2019)Solving(Most)ofaSetofQuadraticEqualities:Composite
OptimizationforRobustPhaseRetrieval.
InformationandInference:AJournaloftheIMA
,
8
,471-529.https://doi.org/10.1093/imaiai/iay015
[13]Peng, D.andChen,X.(2020)ComputationofSecond-OrderDirectionalStationaryPointsfor
GroupSparseOptimization.
OptimizationMethodsandSoftware
,
35
,348-376.
https://doi.org/10.1080/10556788.2019.1684492
[14]Le,T.,Pham,D.,Le,H.,
etal.
(2015)ApproximationApproachesforSparseOptimization.
EuropeanJournalofOperationalResearch
,
244
,26-46.
https://doi.org/10.1016/j.ejor.2014.11.031
[15]Pang,J.,Razaviyayn,M.andAlvarado,A.(2017)ComputingB-StationaryPointsofNons-
moothDCPrograms.
MathematicsofOperationsResearch
,
42
,95-118.
https://doi.org/10.1287/moor.2016.0795
DOI:10.12677/aam.2021.10114093863
A^
ê
Æ
?
Ð
4
¡
Z
§
$
½
7
[16]Gong,P.,Zhang,C.,Lu,Z.,
etal.
(2013)AGeneralIterativeShrinkageandThresholding
AlgorithmforNonconvexRegularizedOptimizationProblems.
Proceedingsofthe30thInter-
nationalConferenceonMachineLearning
,
28
,37-45.
[17]Bian,W.andChen,X.(2020)ASmoothingProximalGradientAlgorithmforNonsmooth
ConvexRegressionwithCardinalityPenalty.
SIAMJournalonNumericalAnalysis
,
58
,858-
883.https://doi.org/10.1137/18M1186009
[18]Ahn,M., Pang,J.and Xin,J. (2017)Difference-of-Convex Learning:Directional Stationarity,
Optimality,andSparsity.
SIAMJournalonOptimization
,
27
,1637-1665.
https://doi.org/10.1137/16M1084754
[19]Cui,Y.,Pang,J.andSen,B.(2018)CompositeDifference-MaxProgramsforModernStatis-
ticalEstimationProblems.
SIAMJournalonOptimization
,
28
,3344-3374.
https://doi.org/10.1137/18M117337X
[20]Soubies,E.,Blanc-F´eraud,L.andAubert,G.(2017)AUnifiedViewofExactContinuous
Penaltiesfor
l
2
−
l
0
Minimization.
SIAMJournalonOptimization
,
27
,2034-2060.
https://doi.org/10.1137/16M1059333
[21]
$
½
7
,
/
l
,
Ü
u
.
|
D
Õ
`
z
¯
K
°
(
ë
Y
Capped-L1
t
µ
[J].
ê
ÆÆ
,2021.
[22]
p
ñ
.
š
1
w
`
z
[M].
®
:
‰
Æ
Ñ
‡
,2008.
[23]Clarke,F.(1990)OptimizationandNonsmoothAnalysis.Wiley,NewYork.
https://doi.org/10.1137/1.9781611971309
DOI:10.12677/aam.2021.10114093864
A^
ê
Æ
?
Ð