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AdvancesinAppliedMathematics
应用数学进展
,2022,11(1),116-125
PublishedOnlineJanuary2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2022.111017
限制下降对
Quasi-Stirling
排列多项式的
局部
γ
-
正性
朱雪，黄运威
浙江师范大学数学系，浙江金华
收稿日期：
2021
年
12
月
13
日；录用日期：
2022
年
1
月
3
日；发布日期：
2022
年
1
月
18
日
摘要
具有
γ
-
正性的多项式在组合学中是一类重要的研究对象，其不仅蕴含了单峰性以及对称性，它
的实根性在代数组合学中也有深远的研究意义。本文证明了仅包含
(
偶，偶
)-
下降对的
quasi-
Stirling
排列上的一类三元多项式具有局部
γ
-
正性，并给出局部
γ
-
系数的组合解释，从而推
广了
Eu
等人关于普通排列的相关结果。
关键词
Quasi-Stirling
排列，限制下降对，局部
γ
-
正性
Partial
γ
-PositivityforQuasi-Stirling
PermutationwithRestricted
DescentPair
XueZhu,YunweiHuang
DepartmentofMathematics,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang
Received:Dec.13
th
,2021;accepted:Jan.3
rd
,2022;published:Jan.18
th
,2022
文章引用
:
朱雪
,
黄运威
.
限制下降对
Quasi-Stirling
排列多项式的局部
γ
-
正性
[J].
应用数学进展
,2022,11(1):
116-125.DOI:10.12677/aam.2022.111017
朱雪
,
黄运威
Abstract
Polynomials with
γ
-positivity arean important research objectin combinatorics.They
notonlycontainunimodalityandsymmetry,butalsohavefar-reachingresearchsig-
nificanceinalgebraiccombinatorics.Thispaperprovesthataclassofternarypolyno-
mialsthatquasi-Stirlingpermutationonlycontains(even,even)-decreasingpairshas
local
γ
-positivity,andthecombinedexplanationoflocal
γ
-coefficientisgiven,thus
extendingtherelatedresultsofEuonordinarypermutation.
Keywords
Quasi-StirlingPermutation,RestrictedDescendingPair,Local
γ
-Positivity
Copyright© 2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed under theCreative Commons Attribution InternationalLicense (CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
引言
设一般多重集
M
=
{
1
k
1
,
2
k
2
,...,n
k
n
}
,
其中
k
i
为数字
i
出现的次数
,
且
k
i
>
1
.
记
M
上的
全体排列
π
=
π
1
π
2
...π
K
(
K
=
k
1
+
k
2
+
···
+
k
n
)
构成的集合为
S
M
.
特别地
,
当
M
=[
n
]=
{
1
,
2
,...,n
}
时
,
用
S
n
来表示
.
若一个多重集
M
上的排列
π
中不存在四个指标
i<j<k<l
使
得
π
i
=
π
k
,π
j
=
π
l
,
π
i
̸
=
π
j
,
则称其为
quasi
−
Stirling
排列
[1].
我们用
Q
M
表示
M
上全体
quasi-Stirling
排列构成的集合
.
如
M
=
{
1
2
,
2
2
}
,
则
Q
M
=
{
1122
,
2211
,
1221
,
2112
}
.
对于给定排列
π
,
定义指标
i
为下降位
(
上升位
,
平原位
,
双下降位
),
若满足
π
i
>π
i
+1
(
π
i
<π
i
+1
,
π
i
=
π
i
+1
,
π
i
−
1
>π
i
>π
i
+1
),
其中
i
∈
[
K
]
,
π
0
=
π
K
+1
=0
.
记
π
的下降位
(
上升位
,
平
原位
,
双下降位
)
的个数为
des
(
π
)
(asc
(
π
)
,plat
(
π
)
,ddes
(
π
)
).
设
f
(
x
)=
n
k
=0
f
k
x
k
是一个度数为
n
的实系数单变量多项式
,
若对于任意
i
=0
,
1
,...,n
,
有
f
i
=
f
n
−
i
,
则称
f
(
x
)=
n
k
=0
f
k
x
k
为回文的
.
对于非负系数回文多项式
f
(
x
)
,
我们称其具有
γ
-
正性
,
如果其具有如下展式
:
f
(
x
)=
⌊
n
2
⌋
k
=0
γ
k
x
k
(1+
x
)
n
−
2
k
,
DOI:10.12677/aam.2022.111017117
应用数学进展
朱雪
,
黄运威
其中
γ
k
>
0
.
一个二元多项式
g
(
x,y
)
称其具有齐次
γ
-
正性
,
若其可以展开为
:
g
(
x,y
)=
⌊
n
2
⌋
k
=0
γ
k
(
xy
)
k
(
x
+
y
)
n
−
2
k
,
其中
γ
k
>
0
.
称一个三元多项式
p
(
x,y,z
)=
i
s
i
(
x,y
)
z
i
具有局部
γ
-
正性
,
如果每一个
s
i
(
x,y
)
都具有齐次
γ
-
正性
.
关于
γ
-
正性的一个经典的结论是
Foata
和
Schützenberger[2]
给出的欧拉
多项式具有
γ
-
正性
.
受
Eu
等人
[3]
给出
[
n
]
上限制下降对排列的
γ
-
正性研究的启发
,
本文将其
结论推广至一般多重集上的
quasi-Stirling
排列
.
2.Quasi-Stirling
排列对应的标号树
Yan
等人
[4]
引入了一类新的有序标号树
,
并建立了标号树与
quasi-Stirling
排列之间的双射
ϕ
.
这样的标号树满足如下要求
:
1.
树上的顶点标号取自于
{
0
}∪M
;
2.
根节点标为
0
;
3.
定义点
v
到根节点的距离为点
v
的层数
.
对于一个奇数层标号为
i
的顶点
v
,
其恰好有
k
i
−
1
个孩子
,
并且每个孩子标号与
v
相同
.
Figure1.
Labeledtree
T
∈T
M
where
M
=
{
1
,
2
2
,
3
,
4
,
5
3
,
6
,
7
}
图
1.
标号树
T
∈T
M
,
其中
M
=
{
1
,
2
2
,
3
,
4
,
5
3
,
6
,
7
}
设
T
M
为满足上述条件的有序标号树的集合
.
图
1
是一棵有序标号树
T
∈T
M
,
其中
M
=
{
1
,
2
2
,
3
,
4
,
5
3
,
6
,
7
}
.
对于排列
π
,
它的最左端
(
最右端
)
用
first
(
π
)
(last
(
π
)
)
表示
.
类似地
,
对于一个标号树
T
,
我们
用
first
(
T
)
(last
(
T
)
)
表示根的最左端
(
最右端
)
的孩子
.
下面我们来介绍这个双射
ϕ
.
如果
T
仅有
一个顶点
,
令
ϕ
(
T
)=
ϵ
,
其中
ϵ
表示空排列
.
否则
,
假设
first
(
T
)=
r
.
1.
当根的最左端孩子为叶子时
.
设
T
0
为将
T
去除掉以它的最左端孩子为根的子树所得到的树
.
定义
ϕ
(
T
)=
rϕ
(
T
0
)
.
DOI:10.12677/aam.2022.111017118
应用数学进展
朱雪
,
黄运威
2.
当根的最左端孩子有
k
个孩子
.
对于
1
6
i
6
k
,
设
T
i
为根的最左端孩子的第
i
个孩子为根的子
树
.
用
T
′
i
表示将
T
i
的根标号为
0
所得到的树
.
设
T
0
为将
T
去除掉所有的子树
T
1
,
T
2
,
...,T
k
以及所有标号为
r
的顶点和关联的边所得到的树
.
定义
ϕ
(
T
)=
rϕ
(
T
′
1
)
rϕ
(
T
′
2
)
...rϕ
(
T
′
k
)
rϕ
(
T
0
)
.
例如
,
对于
图
1
的树
T
,
有
ϕ
(
T
)=2275164553
.
对于一个排列
π
=
π
1
π
2
...π
K
,
令
π
K
+1
=
π
1
,
π
0
=
π
K
.
定义
π
i
为
π
的循环下降
(
循环上升
,
循
环平原
,
双循环下降
,
双循环上升
,
循环峰
,
循环谷
),
若满足
π
i
>π
i
+1
(
π
i
<π
i
+1
,
π
i
−
1
>π
i
>π
i
+1
,
π
i
−
1
<π
i
<π
i
+1
,
π
i
−
1
<π
i
>π
i
+1
,
π
i
−
1
>π
i
<π
i
+1
),
其中
i
∈
[
K
]
.
记
π
上循环下降
(
循环
上升
,
双循环下降
,
双循环上升
,
循环峰
,
循环谷
)
的个数为
cdes
(
π
)
(casc
(
π
)
,dcdes
(
π
)
,dcasc
(
π
)
,
cpeak
(
π
)
,cval
(
π
)
).
记
π
中循环下降构成的集合为
CDES
(
π
)
.
对于标号树
T
∈T
M
,
设
T
的一个顶点
u
标号为
v
0
,
假设点
u
的孩子标号从左到右依次
为
v
1
,
v
2
,
...
,
v
l
.
点
u
的循环下降数
cdes
(
u
)
(
循环上升数
casc
(
u
)
)
定义为
cdes
(
v
0
v
1
v
2
...v
l
)
(
casc
(
v
0
v
1
v
2
...v
l
))
.
树
T
的循环下降数以及循环上升数分别定义为
cdes
(
T
):=
u
∈
V
(
T
)
cdes
(
u
)
,
casc
(
T
):=
u
∈
V
(
T
)
casc
(
u
)
,
其中
V
(
T
)
表示
T
的点集
.
设点
u
为树
T
的奇数层顶点
,
它的父节点
v
的标号为
v
0
.
设点
v
的孩子的标号从左到右依次
为
v
1
,v
2
,...,v
l
,
u
的标号为
v
i
.
该奇数层顶点
u
是树
T
的一个双循环下降点
(
双循环上升点
,
循
环峰点
,
循环谷点
),
若
v
i
为序列
v
0
v
1
v
2
...v
l
的双循环下降
(
双循环上升
,
循环峰
,
循环谷
).
设标号为
v
0
的点
u
为树
T
的偶数层顶点
,
它的孩子标号从左到右依次为
v
1
,v
2
,...,v
l
.
点
u
是树
T
的一个双循环下降点
(
双循环上升点
,
循环峰点
,
循环谷点
),
若
v
0
为序列
v
0
v
1
v
2
...v
l
的双
循环下降
(
双循环上升
,
循环峰
,
循环谷
).
分别用
dcdes
(
T
)
(dasc
(
T
)
,cpeak
(
T
)
,cval
(
T
)
)
来表示树
T
的双循环下降点
(
双循环上升点
,
循环峰点
,
循环谷点
)
的数目
,
并用
eleaf
(
T
)
表示偶层叶子数
,
用
eeleaf
(
T
)
表示偶数层偶叶子数
.
若
u
为
T
的双循环上升点
,
且
u
的标号为偶数
,
则记这样的点的个
数为
ecdasc
(
T
)
.
如图
1,cdes
(
T
)=5
,casc
(
T
)=4
,dcdes
(
T
)=2
,dcasc
(
T
)=1
,dcpeak
(
T
)=3
,cval
(
T
)=3
,
eleaf
(
T
)=2
.
对于双射
ϕ
,
我们有如下性质
.
引理
2.1.
[4]
M
,
ϕ
T
M
Q
M
(
cdes
,
first
,
last
)
T
=(
des
,
first
,
last
)
ϕ
(
T
)
,
T
∈T
M
.
对于两个不同的整数
x
,
y
∈M∪{
0
}
,
若存在一个标号为
v
0
的顶点
u
,
且
u
的孩子的标号从
左到右依次为
v
1
,v
2
,...,v
l
,
使得
x
=
v
i
,
y
=
v
i
+1
,
其中
0
6
i
6
l
,
v
l
+1
=
v
0
,
则称
(
x,y
)
为树
T
的一个相邻对
.
类似地
,
对于两个不同的整数
x
,
y
∈M∪{
0
}
,
若存在
0
6
i
6
l
使得
x
=
π
i
,
y
=
π
i
+1
,
则称
(
x,y
)
为
π
=
π
1
π
2
...π
K
∈Q
M
的一个相邻对
,
其中
π
0
=
π
K
+1
=0
.
对于排列
π
=
π
1
π
2
...π
K
,
令
π
0
=
π
K
+1
=0
,
若
π
i
>π
i
+1
(
π
i
<π
i
+1
)
,
则称相邻对
(
π
i
,π
i
+1
)
为下降对
(
上
升对
).
当下降对
(
π
i
,π
i
+1
)
为
(
偶数
,
偶数
)
时
,
则称下降对
(
π
i
,π
i
+1
)
为
(
偶
,
偶
)-
下降对
.
记排列
DOI:10.12677/aam.2022.111017119
应用数学进展
朱雪
,
黄运威
π
的上升对
(
π
i
,π
i
+1
)
中
π
i
为偶数的个数为
easc
(
π
)
.
类似地
,
对于标号树
T
,
设顶点
u
的标号为
v
0
,
它的孩子的标号从左到右依次为
v
1
,v
2
,...,v
l
,
设相邻对
(
v
i
,v
i
+1
)
中
v
i
为
v
0
v
1
v
2
...v
l
的循
环下降
(
循环上升
),
称相邻对
(
v
i
,v
i
+1
)
为循环下降对
(
循环上升对
).
当循环下降对
(
v
i
,v
i
+1
)
为
(
偶
数
,
偶数
)
时
,
则称循环下降对
(
v
i
,v
i
+1
)
为
(
偶
,
偶
)-
循环下降对
.
记树
T
的循环上升对
(
v
i
,v
i
+1
)
中
v
i
为偶数的个数为
ecasc
(
T
)
.
引理
2.2.
M
,
ϕ
T
M
Q
M
T
∈T
M
,
(
cdes
,
ecasc
,
eeleaf
,
first
,
last
)
T
=(
des
,
easc
,
eplat
,
first
,
last
)
ϕ
(
T
)
.
Proof.
由引理
2.1,
只需要证
(
ecasc
,
eeleaf
)
T
=(
easc
,
eplat
)
ϕ
(
T
)
.
我们将由多重集
M
的基数归纳
证明该结论
.
假设
first
(
T
)=
r
.
如果
|M|
=1
,
那么
T
由根
0
和它的孩子
r
组成
.
由
ϕ
的构造
,
我
们有
ϕ
(
T
)=
r
.
于是容易知道
ecasc
(
T
)=
easc
(
ϕ
(
T
))=1
,eeleaf
(
T
)=
eplat
(
ϕ
(
T
))=0
.
假设对于
任意的
|M
′
|
<
|M|
以及
T
∈T
M
′
,
都有
(
ecasc
,
eeleaf
)
T
=(
easc
,
eplat
)
ϕ
(
T
)
成立
.
我们将证明对于
任意
T
∈T
M
有
(
ecasc
,
eeleaf
)
T
=(
easc
,
eplat
)
ϕ
(
T
)
.
1.
当根的最左端孩子为叶子时
.
此时
ϕ
(
T
)=
rϕ
(
T
0
)
.
若
r
为奇数
,
由归纳知该结论成立
.
若
r
为
偶数
,
容易有
ecasc
(
T
)=
ecasc
(
T
0
)+
χ
(
r>
first
(
T
0
))
.
这里
χ
(
S
)=1
,
如果声明
S
是对的
,
否则
χ
(
S
)=0
.
由归纳假设
,
我们有
ecasc
(
T
)=
ecasc
(
T
0
)+
χ
(
r>
first
(
T
0
))
=
easc
(
ϕ
(
T
0
))+
χ
(
r>
first
(
ϕ
(
T
0
)))
=
easc
(
ϕ
(
T
))
.
同样
,
我们有
eeleaf
(
T
)=
eeleaf
(
T
0
)
且
eplat
(
ϕ
(
T
0
))=
eplat
(
ϕ
(
T
))
.
由归纳假设
,
我们有
eeleaf
(
T
)=
eeleaf
(
T
0
)=
eplat
(
ϕ
(
T
0
))=
eplat
(
ϕ
(
T
))
.
2.
当根的最左端孩子有
k
个孩子时
.
于是我们有
ϕ
(
T
)=
rϕ
(
T
′
1
)
rϕ
(
T
′
2
)
...rϕ
(
T
′
k
)
rϕ
(
T
0
)
.
定义
I
=
{
i
||
T
i
|
>
1
,
1
6
i
6
k
}
,
其中
|
T
i
|
表示
T
i
的顶点数
.
若
r
为奇数
,
则
ecasc
(
T
)=
ecasc
(
T
0
)+
i
∈I
ecasc
(
T
′
i
)
−
1+
χ
(
r>
last
(
T
′
i
)
,
last
(
T
′
i
)
为偶数
)
,
easc
(
T
)=
easc
(
ϕ
(
T
0
))+
i
∈I
easc
(
ϕ
(
T
′
i
))
−
1+
χ
(
r>
last
(
ϕ
(
T
′
i
))
,
last
(
ϕ
(
T
′
i
))
为偶数
)
.
由归纳假设
,
有
ecasc
(
T
)=
easc
(
ϕ
(
T
))
.
同样
,
我们有
eeleaf
(
T
)=
eeleaf
(
T
0
)+
i
∈I
eeleaf
(
T
′
i
)
,
DOI:10.12677/aam.2022.111017120
应用数学进展
朱雪
,
黄运威
eplat
(
ϕ
(
T
))=
eplat
(
ϕ
(
T
0
))+
i
∈I
eplat
(
ϕ
(
T
′
i
))
.
再由归纳假设
,
我们有
eeleaf
(
T
)=
eplat
(
ϕ
(
T
))
.
若
r
为偶数
,
(a)
当
|
T
0
|
>
1
时
.
容易看出
ecasc
(
T
)=
ecasc
(
T
0
)+
χ
(
r<
first
(
T
0
))+
i
∈I
ecasc
(
T
′
i
)
−
1+
χ
(
r<
first
(
T
′
i
)
+
χ
(
r>
last
(
T
′
i
)
,
last
(
T
′
i
)
为偶数
)
,
且
easc
(
ϕ
(
T
))
可由
easc
(
ϕ
(
T
0
))+
χ
(
r<
first
(
ϕ
(
T
0
)))
+
i
∈I
easc
(
ϕ
(
T
′
i
))
−
1+
χ
(
r>
last
(
ϕ
(
T
′
i
))
,
last
(
ϕ
(
T
′
i
))
为偶数
)
得到
.
由归纳假设
,
有
ecasc
(
T
)=
easc
(
ϕ
(
T
))
.
同样
,
我们有
eeleaf
(
T
)=
eeleaf
(
T
0
)+
|
[
k
]
\I|
+
i
∈I
eeleaf
(
T
′
i
)
,
eplat
(
ϕ
(
T
))=
eplat
(
ϕ
(
T
0
))+
|
[
k
]
\I|
+
i
∈I
eplat
(
ϕ
(
T
′
i
))
.
再由归纳假设
,
我们有
eeleaf
(
T
)=
eplat
(
ϕ
(
T
))
.
(b)
当
|
T
0
|
=1
时
.
容易看出
ecasc
(
T
)=1+
i
∈I
ecasc
(
T
′
i
)
−
1+
χ
(
r<
first
(
T
′
i
)
+
χ
(
r>
last
(
T
′
i
)
,
last
(
T
′
i
)
为偶数
)
,
且
easc
(
ϕ
(
T
))
可由
1+
i
∈I
easc
(
ϕ
(
T
′
i
))
−
1+
χ
(
r<
first
(
ϕ
(
T
′
i
))
+
χ
(
r>
last
(
ϕ
(
T
′
i
))
,
last
(
ϕ
(
T
′
i
))
为偶数
)
得到
.
由归纳假设
,
容易检验
ecasc
(
T
)=
easc
(
ϕ
(
T
))
.
同样
,
我们有
eeleaf
(
T
)=
|
[
k
]
\I|
+
i
∈I
eeleaf
(
T
′
i
)
,
eplat
(
ϕ
(
T
))=
|
[
k
]
\I|
+
i
∈I
eplat
(
ϕ
(
T
′
i
))
.
再由归纳假设
,
我们有
eeleaf
(
T
)=
eplat
(
ϕ
(
T
))
.
从而完成了证明
.
引理
2.3.
T
∈T
M
,
T
(
,
)
-
ϕ
(
T
)
(
,
)
-
.
DOI:10.12677/aam.2022.111017121
应用数学进展
朱雪
,
黄运威
Proof.
由
ϕ
(
T
)
的构造以及引理
2.1
知
,
对于任意两个不同的整数
x
,
y
∈M∪{
0
}
,
有序对
(
x,y
)
为
T
上的相邻对当且仅当
(
x,y
)
为
ϕ
(
T
)
上的相邻对
.
所以
(
x,y
)
为
T
上的
(
偶
,
偶
)-
循环下降对当
且仅当
(
x,y
)
为
ϕ
(
T
)
上的
(
偶
,
偶
)-
下降对
.
3.
仅包含
(
偶，偶
)-
下降对
Quasi-Stirling
排列多项式的局部
γ
-
正性
Eu
等人证明了
[
n
]
上仅包含
(
偶
,
偶
)-
下降对的排列构成的排列集
S
∗
2
n
的下降数多项式具有
γ
-
正性
,
并给出下面的展式
:
定理
3.1.
[3]
π
=
π
1
π
2
...π
2
n
∈
S
∗
2
n
,
S
∗
2
n
(
,
)
-
,
π
0
=
π
2
n
+1
=0
,
S
∗
2
n
:
S
∗
2
n
(
t
):=
π
∈
∗
2
n
t
des
(
π
)
=
⌊
n
+1
2
⌋
i
=1
γ
n,i
t
i
(1+
t
)
n
+1
−
2
i
,
γ
n,i
=
#
{
π
∈
S
∗
2
n
:
des
(
π
)=
i,
ddes
(
π
)=0
}
.
Foata
等人
[2,5]
在证明欧拉多项式的
γ
-
正性中运用群作用给出了一个有趣的组合证明
.
借
用在标号树上的
FS-
作用
,Yan
等人证明了
quasi-Stirling
排列集的三元多项式具有局部
γ
-
正性
,
并给出其组合解释
.
受
Yan
等人证明的启发
,
本文将
Eu
的结果推广至
quasi-Stirling
排列
,
并且考虑的是更一般的
多重集上的情况
.
设
EQ
M
为仅包含
(
偶
,
偶
)
-
下降对的
quasi-Stirling
排列集
,
ET
M
为
T
M
当
中仅包含
(
偶
,
偶
)
-
循环下降对的树的集合
.
下面是本文主要结论
:
定理
3.2.
M
=
{
1
k
1
,
2
k
2
,...,
(2
n
)
k
2
n
}
,
k
1
+
k
2
+
···
+
k
2
n
=
K
k
2
+
k
4
+
···
+
k
2
n
=
K
e
,
EQ
M
(
x,y,z
)
:
EQ
M
(
x,y,z
):=
π
∈
EQ
M
x
easc
(
π
)
y
des
(
π
)
z
eplat
(
π
)
=
K
e
−
n
i
=0
z
i
⌊
K
e
+1
−
i
2
⌋
j
=1
γ
E
M
,i,j
(
xy
)
j
(
x
+
y
)
K
e
+1
−
i
−
2
j
,
γ
E
M
,i,j
=
#
{
T
∈ET
M
:
cdes
(
T
)=
j,
eeleaf
(
T
)=
i,
dcdes
(
T
)=0
}
.
为证明定理
3.2,
本文需要用到
Lin
和
Yan[6]
引入的一个映射
φ
.
若
x
为排列
π
的双循环下
降位
(
双循环上升位
),
则
φ
x
(
π
)
为将
x
沿逆时针方向
(
顺时针方向
)
移到第一个比
x
的后面
(
前面
)
得到的新排列
.
如图
2,
π
=154236
,
则
φ
4
(
π
)=164325
.
事实上
,
若
x
为偶数
,
则
φ
x
作用在仅包含
(
偶
,
偶
)-
下降对的
quasi-Stirling
排列后
,(
偶
,
偶
) -
下降对任为
(
偶
,
偶
)-
下降对
.
如图
3,
e
1
,
e
2
,
e
3
均为偶数
,
e
2
为双循环下降
.
容易看出
,
(
e
1
,e
2
,e
3
)
变换为
(
e
1
,e
3
)
,
变换后仍为
(
偶
,
偶
)-
下降对
,
此时
(
x
1
,x
2
)
变换为
(
x
1
,e
2
,x
2
)
.
同样
,
若
u
为双循
环上升
,
同样变换后得到
(
偶
,
偶
)-
下降对
.
DOI:10.12677/aam.2022.111017122
应用数学进展
朱雪
,
黄运威
Figure2.
π
=163245
,
φ
4
(
π
)=164325
图
2.
π
=163245
,
φ
4
(
π
)=164325
Figure3.
e
2
isadoublecyclicdescent
图
3.
e
2
为双循环下降
定理
3.3.
M
=
{
1
k
1
,
2
k
2
,...,
(2
n
)
k
2
n
}
,
k
1
+
k
2
+
···
+
k
2
n
=
K
k
2
+
k
4
+
···
+
k
2
n
=
K
e
,
ET
M
(
x,y,z
)
:
ET
M
(
x,y,z
):=
T
∈ET
M
x
ecasc
(
T
)
y
cdes
(
T
)
z
eeleaf
(
T
)
=
K
e
−
n
i
=0
z
i
⌊
K
e
+1
−
i
2
⌋
j
=1
γ
E
M
,i,j
(
xy
)
j
(
x
+
y
)
K
e
+1
−
i
−
2
j
,
γ
E
M
,i,j
=
#
{
T
∈ET
M
:
cdes
(
T
)=
j,
eeleaf
(
T
)=
i,
dcdes
(
T
)=0
}
.
.
设
T
∈ET
M
,
u
为
T
上一个顶点
,
定义标号树
T
上的树
FS-
作用
ψ
u
如下
:
1.
若
u
=2
m
−
1(
m
∈
[
n
])
,
则
ψ
u
(
T
)=
T
.
2.
若
u
=2
m
(
m
∈
[
n
]])
,
(a)
若
u
为偶层叶子
,
循环峰或者循环谷
,
则
ψ
u
(
T
)=
T
.
(b)
若
u
为双循环上升点或双循环下降点
,
i.
若
u
在奇数层
,
它的父节点
v
标号为
v
0
.
设点
v
的孩子标号从左到右依次为
v
1
, v
2
, ..., v
l
,
u
的标号为
v
t
.
令
T
k
表示以标号为
v
k
的点为根的子树
(
1
6
k
6
l
).
ψ
u
(
T
)
为将子树
T
1
,T
2
,...,T
l
重排
,
使其满足
CDES
(
φ
v
t
(
v
0
v
1
v
2
...v
l
))=
CDES
(
v
0
v
′
1
v
′
2
...v
′
l
)
,
其中
v
′
1
,
v
′
2
,
...
,
v
′
l
依次为点
v
在
ψ
u
(
T
)
上从左到右孩子的标号
,
如图
4.
DOI:10.12677/aam.2022.111017123
应用数学进展
朱雪
,
黄运威
Figure4.
Theaction
ψ
u
wherethevertex
u
iscircled
图
4.
群作用
ψ
u
,
其中
u
为圈出的点
ii.
若
u
在偶数层
,
它标号为
v
0
.
设点
u
的孩子标号从左到右依次为
v
1
,v
2
,...,v
l
.
同样
令
T
k
表示以标号为
v
k
的点为根的子树
(
1
6
k
6
l
).
ψ
u
(
T
)
为将子树
T
1
,T
2
,...,T
l
重排
,
使其满足
CDES
(
φ
v
0
(
v
0
v
1
v
2
...v
l
))=
CDES
(
v
0
v
′
1
v
′
2
...v
′
l
)
,
其中
v
′
1
,
v
′
2
,
...
,
v
′
l
依
次为点
u
在
ψ
u
(
T
)
上从左到右孩子的标号
,
如图
5.
Figure5.
Theaction
ψ
u
wherethevertex
u
iscircled
图
5.
群作用
ψ
u
,
其中
u
为圈出的点
显然
ψ
u
作用后
,
树
T
的
(
偶
,
偶
)-
循环下降对仍为
(
偶
,
偶
)-
循环下降对
.
由上面分析知
,
树
FS-
作用
ψ
u
是对合
,
并且显然它又是交换的
.
因此
,
对任意点集
S
⊆
V
(
T
)
,
定义
ψ
S
:
ET
M
→ET
M
为
ψ
S
=
u
∈
S
ψ
u
,
其中乘积为映射的合成
,
则群
Z
K
+1
2
通过
ψ
S
作用在
ET
M
上
.
因为在该群作用下
,eeleaf
(
T
)
保持不变
,
故对于
eeleaf
(
T
)=
i
构成的集合
ET
M
,i
,
其被划
分为两两不交的轨道
.
对于任一
T
∈ET
M
,i
,
令
Orb
(
T
)=
{
g
(
T
):
T
∈
Z
K
+1
2
}
表示树
T
在该群作
用下的轨道
.
注意到点
u
为
T
的双循环下降点当且仅当它为树
ψ
u
的双循环上升点
.
那么存在唯一
一个树
T
∈
Orb
(
T
)
有
dcdes
(
T
)=0
.
于是
,
我们有
T
∈
Orb
(
e
T
)
x
ecasc
(
T
)
y
cdes
(
T
)
=
x
cpeak
(
e
T
)
y
cpeak
(
e
T
)
(
x
+
y
)
edcasc
(
e
T
)
=(
xy
)
cpeak
(
e
T
)
(
x
+
y
)
K
e
+1
−
i
−
cpeak
(
e
T
)
−
cval
(
e
T
)
=(
xy
)
cdes
(
e
T
)
(
x
+
y
)
K
e
+1
−
i
−
2
cdes
(
e
T
)
.
将
ET
M
,i
的所有轨道相加
,
有
T
∈ET
M
,i
x
ecasc
(
T
)
y
cdes
(
T
)
=
T
∈
^
ET
M
,i
(
xy
)
cdes
(
T
)
(
x
+
y
)
K
+1
−
i
−
2
cdes
(
T
)
,
DOI:10.12677/aam.2022.111017124
应用数学进展
朱雪
,
黄运威
其中
^
ET
M
,i
表示
ET
M
,i
中满足
dcdes
(
T
)=0
的标号树
T
构成的集合
.
因此
T
∈ET
M
x
ecasc
(
T
)
y
cdes
(
T
)
z
eeleaf
(
T
)
=
K
e
−
n
i
=0
z
i
⌊
K
e
+1
−
i
2
⌋
j
=0
γ
E
M
,i,j
(
xy
)
j
(
x
+
y
)
K
e
+1
−
i
−
2
j
,
其中
γ
E
M
,i,j
=
#
{
T
∈ET
M
:
cdes
(
T
)=
j,
eeleaf
(
T
)=
i,
dcdes
(
T
)=0
}
.
由引理
2.2
和
2.3
可得到定理
3.2
成立
.
特别地
,
当
M
=[2
n
]
时
,
此时
k
1
=
k
2
=
···
=
k
2
n
=1
,
K
e
=
n
,
可得定理
3.1
即
Eu
的结论成立
.
参考文献
[1]Archer,K.,Gregory,A.,Pennington,B.andSlayden,S.(2019)PatternRestrictedQuasi-
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应用数学进展
