 Modern Physics 现代物理, 2012, 2, 1-5 http://dx.doi.org/10.12677/mp.2012.21001 Published Online February 2012 (http://www.hanspub.org/journal/mp) Quantum Dots Bashed on Graphene Nanoribbons with Staggered Sublattice Potential Yongjian Xiong College of Science, Ningbo University, Ningbo Email: xiongyongjian@nbu.edu.cn Received: Nov. 11th, 2011; revised: Dec. 16th, 2011; accepted: Dec. 20th, 2011 Abstract: We addressed a proposal for quantum dots of graphene nanoribbons in the presence of staggered sublattice potential. The conductance resonances within low energy range are associated with the quasibond states in the dot. The energy levels of the quasibond states depend on the dot length and the configuration of the staggered potential of the junctions. Keywords: Graphene; Quantum Dot; Transport 子晶格错位势形成的石墨烯纳米带量子点 熊永建 宁波大学理学院，宁波 Email: xiongyongjian@nbu.edu.cn 收稿日期：2011年11 月11日；修回日期：2011年12 月16 日；录用日期：2011 年12 月20日 摘 要：根据子晶格错位势提出一种石墨烯纳米带量子点。体系在低能区的电导共振对应量子点区的准束缚态。 准束缚态能量主要由量子点的长度以及量子点两端结区的子晶格错位势构形决定。 关键词：石墨烯；量子点；电子输运 1. 引言 石墨烯(Graphene)是单层碳原子晶体，具有六角 形晶格结构，是真正意义上的二维材料。由于其良好 的机械性能，以及奇特的电、光性质，自 2004 年制 备出来，石墨烯迅速成为众多领域的研究热点，有希 望成为硅半导体后新一代的电子学材料[1,2]。然而，要 实现其在电子学等领域的应用，必需制备出实用化的 场效应管、量子点等石墨烯纳米电子学器件[3]。 量子点有准零维的电子结构，是实现量子储存的 基本单元。以往广泛研究的是半导体量子点，即在半 导体异质结处存在的二维电子气上加静电势控制电 子的运动，形成准零维量子点区。由于石墨烯是天然 的二维晶格，人们希望用它制备出结构简单、性能优 良的量子点[3,4]。实验室制备的石墨烯量子点与半导体 量子点的结构很相似，即刻蚀出尺度为几十纳米的石 墨烯片，形成量子点区[5-10]。量子点通过狭窄的石墨 烯限制区与电子库连接，是开电子系统，因而可以测 量其输运性质[5-10]。实验室中的样品观察到库仑振荡 [7]、激发态[9]、自旋态[10]等重要特征。 然而，石墨烯量子点在理论上面临挑战，即难以 把载流子的运动限制在量子点区。首先，理想的石墨 烯样品没有带隙，电子传播的能量没有限制[11]。其二， 石墨烯的低能激发态遵守相对论Dirac方程，有Klein 透射的特性，即电子可以透射过任意的电势垒，所以 无法用简单的电势场把电子限制在有限的空间区域 [11]。目前理论上提出一些方案，如在石墨烯样品上加 Copyright © 2012 Hanspub 1  子晶格错位势形成的石墨烯纳米带量子点 特定的静电势场，利用电子的横向运动克服 Klein 透 射[12-14]。另一方案是利用石墨烯纳米带中可能的带 隙，构造石墨烯结限制电子运动，形成量子点结构 [15-17]。多数的理论模型中，量子点是完全封闭的电子 结构，与实验上的开量子点有所区别。我们曾根据石 墨烯纳米带构造出开的量子点，其中存在准束缚态 [18]。 最近的研究指出，通过吸附六角形氮化硼 (hexagonal boron-nitride)[19]或碳化硅(silicon carbide)衬 底[20]，可以在石墨烯的AB-子晶格上产生不对称的势 (称为错位势)，从而在石墨烯的电子能带中产生带隙。 最近一些研究考虑这种错位势的效应。文献[21]中讨 论了有错位势的锯齿型边界的石墨烯纳米带的电子 输运性质。文献[22]中讨论了错位势对锯齿型边界的 石墨烯纳米带的电子输运的自旋特性和谷特性的影 响。受此启发，本文考虑用石墨烯纳米带构造透射量 子点结构(如图 1)。考虑在金属性的扶手椅型石墨烯纳 米带(AGNR) 上有两个结区，其晶格存在错位势。结 区限制低能电子运动，在它们之间形成量子点区。我 们将通过计算体系的电导讨论在量子点区的准束缚 态。 2. 结构和理论模型 如图 1所示，用宽度为N的AGNR构造量子点， 各部分长度用超晶胞(虚线框内)数目表示。两个结中 间为量子点区。左、右结与量子点区的宽度分别为 LL、 LR 和LD。我们考虑两种结构：图 1(a)表示点-I，其 左右结区的 AB-子晶格有相同的错位势；图 1(b)表示 点-II，其左右结区的 AB-子晶格有相反的错位势。我 们将看到，左右结的错位势的这种对称性决定其电子 结构。 体系的 Hamiltonian写为 .. ii iiiiij ii ij H ccUcc tccHc (1) 式中，是第 i个格点处电子产生算符， 是 最近邻碳原子间的跨越能量。计算中将以 t标度能量。 对理想晶格，取在位能 i c2.7 eVt 0 i ，是结区的子 晶格错位势。我们主要关心量子点上的共振态，因而 没有讨论库仑作用。 0 U i U 我们用 Green 函数方法计算体系的电导。为此， 将无限长系统分为三个区：半无限长的左(L)、右(R) 导线，中间散射区。中间区包括量子点，以及左右结 区。散射区的Green 函数为 1 DDLR GE EHEE (2) 这里， D H 是散射区的 Hamiltonian。由于和导线耦合 产生的自能函数为 , L DL LDRDR RD LR EHgEH EHgEH (3) 其中 L D H 和 R D H 分别是对应的耦合矩阵， ,LR g E是 左、右导线的表面推迟 Green 函数。我们用理想 AGNR 的Bloch 本征传播模计算 ,LR g E[18,23]。这一算法的优 点是速度快，不需要通常算法的自洽过程。 D GE 则 用递推方法计算。 体系的线性电导用Landauer-Büttiker 公式计算， 2 2Tr LDRD e GEEG EEG E h (4) 其中，线宽函数 。 ,,, LR LR LR Ei EE Green函数的对角项给出电子在每个格点的局域 态密度， 1Im, , π iD EGi iE (5) 为了描述电子沿传播方向的局域特性，我们引入 超晶胞的局域态密度， cell ,i i x E E (6) 其中求和是对超晶胞内的所有晶格。x是该晶胞的平 均横向位置，用碳原子间距 标度。 01.42 Aa Figure 1. Structures of the quantum dot-I(a), and dot-II(b). The staggered sublattice potential in the junctions, Ui = U0 and Ui = –U0 are denoted as ● and ○, respectively 图1. 量子点-I(a)和量子点-II(b)结构。结区存在的错位势 Ui = U0 和Ui = –U0，分别用“●”和“○”标记 Copyright © 2012 Hanspub 2  子晶格错位势形成的石墨烯纳米带量子点 3. 结果与讨论 首先我们计算体系的线性电导。图 2显示两种量 子点体系的电导随 Fermi能的变化，它们在低能区出 现强烈的电导共振。我们取错位势 ，而共振 主要出现在 能区，可见电导共振源于结区的错 位势。由于电子–空穴对称性，只显示了负能区的一 部分共振峰。两种量子点体系的电导共振存在重要区 别：在 处，量子点-I 表现为共振峰(图2(a))，而 点-II 为电导谷(图2(b))。这表明，电导性质与体系的 两个结区的错位势构形有关系。两种量子点的电导共 振峰近似等间距，当保持AGNR的宽度不变而增加量 子点区的长度LD 时，共振峰数随之增加。 00.1Ut 0.1t 0E 为了理解体系电导共振与量子点中的电子结构 关系，我们考察图 2中电导共振所对应的电子态的局 域密度分布，如图3所示。我们只讨论长度为 60LD 的情况，并且只考虑在正能区的电导共振。可以看出， 在这些态下电子被强烈限制在量子点区形成准局域 态。我们可以得出结论，体系的低能电导共振对应量 子点中的准束缚态。这些准束缚态的局域电子态密度 cell 在量子点区(长度为 )表现出驻波行为，因 此，准束缚态是两边结区量子限制的结果。我们再分 析其对称性。点-I 中左右结错位势相同，但电子波在 量子点的左右两个界面处受到反对称的散射，因而其 准局域态是反对称的驻波。相反地，点-II 中左右结 0 180a Figure 2. Conductance as a function of the Fermi energy for dot-Ⅰ (a)，and dot-Ⅱ(b). The curves for LD = 60 are displaced by 022 G=eh . The parameters: N = 14，LL = LR = 6 图2. 点-I(a)，点-II(b)的电导随 Fermi 能的变化。LD = 60的电导 上移 022 G=eh。参数：N = 14，LL = LR = 6 错位势相 电子波散射， 电子态的能量。理 想石 反， 在左右界面处受到对称的 因而其准局域态是对称的驻波。 可以根据驻波性质估算准束缚 墨烯片的能带为[11] 14kt fk (7) 其中 00 2 0 33 cos cos 22 3 cos2 xy y f kka k ka a (8) 理想 AGNR 的低能激发态在Dirac点 0 0, 4π33 K a 附近，有线性色散 0 3 2x ktka (9) 图3中，量子点区的长度 ，所对应的 驻波的波 0 180LD a 长满足 0 ππ x kLD180a 此，电导共 振的能量间隔为 。因 0.026 t 。可以看出 符合图 3 影响 ，按驻波估算 的准束缚态能量间隔 中电导共振峰间距。 以下我们将讨论量子点中准束缚态可能受到的 。首先我们考虑两个结区的长度不同，特别是当 结区有不完整的超晶胞的情况。我们讨论点-Ⅱ，图 4(b)表示左边结的长度固定为 6LL ，右结长度不同 时的电导。实线(0d )对应右结 为4LR长度 时的电 Figure 3. Local density of states of the super cells at the conduc- tance resonances. The parameters: N = 14，LD = 60，LL = LR = 6 图3. 电导共振态所对应的超晶胞的局域电子态密度。参数：N = 14，LD = 60，LL = LR = 6 Copyright © 2012 Hanspub 3  子晶格错位势形成的石墨烯纳米带量子点 导。此时，虽然两边结区宽度不相同，但电导共振特 点没有变化，在0E处为电导峰。考虑把右边结从 内侧依次去掉 d层1, 2, 3)晶格，即把这些层的错 位势除去。这个过程破区超晶胞的完整性，但 电导共振没有明显改变。计算点-I 也得到同样的结果。 这一结果说明，图2中两种量子点结构的电导特性(如 0E处的电导)是由左右结区的子晶格的错位势的 定的，而受结的微观晶格结构影响很弱。 然后我们讨论体系的尺度和无序效应。图 5中 (d 坏了结 构形决 ， 虚线是将 AGNR 宽度从 14N 增加到 38N时的电 导。高能区的电导发生显 ，表明 的通道 开始导电。而在低能区，电导共振无明显变化。我们 再考虑在结区的错位势存在无序，即 著增加 有更多 0i UUw。其 中w是无序量，计算中取 0 5wU 。如图中点线 在这样的无序强度下，低能区电导共振没有定性变 化。峰的位置基本不变，只是峰的宽度增加，高度降 低。以上结果说明，我们的量子点结构在实际的样品 尺度，以及较强的无序下，其低能准束缚态有很强的 稳定性。 所示， Figure 4. (b) Conductance of dot-II when the right junction has different length. LD = 40, and the left junction has LL = 6. The r i ight junction has LR = 4 when d = 0. Then the staggered potential s removed for d = 1,2,3 layers of lattices in turn (as shown by the dashed vertical lines in (a)). The carves are displaced upward by 02G in turn 图4. (b)在不同右结长度时量子点-II 的电导。LD = 40，左结固定 LR = 4，为LL = 6。d = 0 时，右结长度为然后依次去掉 d = 1,2,3 层晶格((a)中的竖直虚线所示)的错位势，减少右结的长度。电导曲 线依次上移 02G Figure 5. Conductance of dot-Ⅱ. The solid curve corresponds to N = 14. The ribbon width is increased to N = 38 for the dashed curve . The dotted curve corresponds to N = 14 with disordered staggered potential. The carves are displaced upward by 02G. The pa- rameters are LD = 40，LL = LR = 6 5. 量子点-II 的电导。实线对应窄的纳米带(N。虚线表示 加到 N = 38。点线保持 N = 14，但结 图 = 14) 将纳米带宽度增 区的错位势存 在无序。电导依次移动 02G。其它参数为 LD = 40，LL = LR = 6 . 结论 4 虑在金属性 AGNR 的部分区域上有子晶 格错位势，形成两个有带隙的结。体系的电导在低能 区发生电 到国家自然科学基金(No.10804058)和宁 波大学研究生教育教学研究项目(YJ08K03)的资助。 参考文献 (References) asili. Carbon-based electronics. 10): 605-615. Electronic prop- 本文考 导共振，表明在结间区域存在准束缚电子态 而形成透射量子点。准束缚态主要由左右结的错位势 构形决定，而相对于体系尺度、无序等表现出很好的 稳定性。我们只讨论了扶手椅的石墨烯纳米带，也可 以用锯齿型边界的石墨烯带构造量子点。关于量子点 中的电子库仑关联将在以后的工作中讨论。 5. 致谢 本文得 [1] P. Avouris, Z. H. Chen and P. V Nature Nanotechnology, 2001, 2( [2] A. K. Geim, K. S. Novoselov. The rise of grapheme. 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