n维广义Fock空间Fφp上的Hankel算子 Hankel Operators on n-Dimension Generalized Fock Spaces Fφp

doi:10.12677/PM.2022.123037

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PureMathematics理论数学,2022,12(3),323-343

PublishedOnlineMarch2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm

https://doi.org/10.12677/pm.2022.123037

n维广义Fock空间F

上的

Hankel算子

郝丽丽，李海绸

华南农业大学数学与信息学院，广东广州

收稿日期：2022年1月25日；录用日期：2022年3月1日；发布日期：2022年3月8日

摘要

对于1≤p<∞，利用有界(消失)平均震荡函数的性质，本文讨论了一类n维广义Fock空间

上的Hankel算子H

和H

的有界性和紧性。其中权函数φ∈C

)且在流的意义下满足

∼

。同时,利用Berezin变换刻画了空间BMO和VMO的几何性质。

关键词

Fock空间，Hankel算子，有界性，紧性

HankelOperatorsonn-Dimension

GeneralizedFockSpacesF

LiliHao,HaichouLi

SchoolofMathematicsandInformation,SouthChinaAgriculturalUniversity,

GuangzhouGuangdong

Received:Jan.25

,2022;accepted:Mar.1

,2022;published:Mar.8

,2022

文章引用:郝丽丽,李海绸.n维广义Fock空间F

上的Hankel算子[J].理论数学,2022,12(3):323-343.

DOI:10.12677/pm.2022.123037

郝丽丽，李海绸

Abstract

For1≤p<∞,wecharacterizetheboundednessandcompactnessofHankeloperators

andH

onn-dimensionalgeneralizedFockspacesF

intermsofthepropertiesof

bounded(vanishing)meanoscillationfunction,wheretheweightfunctionφ∈C

)

andsatisﬁesdd

∼

inthesenseofcurrent.Wealsogivegeometricdescriptionsfor

thespacesBMOandVMOwhicharedeﬁnedintermsoftheBerezintransform.

Keywords

FockSpaces,HankelOperators,Boundedness,Compactness

This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1.介绍

函数空间上的算子理论与小波分析、函数论、调和分析、偏微分方程、控制论以及量子力学

等有密切的联系,是泛函分析的一个重要课题.自上世纪五六十年代至今,函数空间上的算子理论经

久不衰.有界区域上全纯函数空间理论在最近的几十年得到了极大的发展,对这些空间的研究可参

见专著

[

1–3]

等

相较于有界区域

对无界区域上全纯函数空间的研究要少得多

Fock空间最早是由苏联的一位物理学家Fock.V.A定义并运用于描述粒子的量子态,它是由复

平面C上的全纯函数构成的.有关Fock空间的研究也已有几十年的历史,可追溯到20世纪60年

代,参见文献[4].在经历了几十年的研究历程之后,Fock空间上的算子理论得到了迅速地发展.参

见文献[5–19].Hankel算子是全纯函数空间理论中一个重要的线性算子模型.在过去的几十年中,

作用于各种全纯函数空间的Hankel算子引起了人们的广泛关注.在Bergman空间和Fock-Sobolev

空间中,Hankel算子已经得到了很好的研究[20–27].

最近,受调和分析、插值理论等学科的发展驱动,各种加权Fock空间,例如广义Fock空间、

Fock型空间、Fock-Sobolev空间上的算子理论倍受关注：2005年,Bauer在文献[5]中讨论了

Hankel算子H

和H

在经典Fock空间F

上同时为有界算子(或紧算子)的充要条件.2012年,

Zhu[6]的专著讨论了Hankel算子H

在F

上的相关特性,包括有界性、紧性和Schatten类.

Per¨al¨a等人[7]将有界性和紧性部分的结果推广到了1≤p<∞的情形.

DOI:10.12677/pm.2022.123037324理论数学

郝丽丽，李海绸

给定C

上满足一定条件的一类权函数ψ,Seip和Youssﬁ[8]获得了由全纯函数f所诱导的

Hankel算子H

在一维加权Fock空间F

上的有界性、紧性和Schatten类特征.之后,Wang等

人[9]利用有界(消失)平均振荡函数的性质,刻画了n维广义Fock空间F

上的Hankel算子的

有界性(紧性),并于2021年由Tu等人[10]将结果推广到了1≤p<∞的情形.

给定C上满足∆ϕdv为双倍测度的次调和函数ϕ和整函数f, Constantin和Ortega-Cerd`a[11]

研究了Hankel算子H

在一维Fock空间F

上分别为有界算子、紧算子的特征,并得到了该算

子的Schatten类性质.2016年,Hu等人[12]研究了Hankel算子H

在一维Fock空间F

上

的有界性、紧性和Schatten类特征.对于给定的实值函数φ∈C

)，其在流的意义下满足

0<mω

6dd

φ6Mω

，其中ω

=dd

|z|



k=1

∧dz

,d=(

∂+∂),d

(

∂−∂),m

和M是正常数.Wang等人[23]研究了n维fock空间F

的hankel算子H

的有界性、紧性和

Schatten类特征。当限制在n= 1时，由权函数φ所诱导的fock 空间是F

是加权Fock空间F

的特殊情况，但当n不等于1时，两类空间就不尽相同。本文拓展了文献[23]的结果,研究n维

加权Fock空间F

(1≤p≤∞)上的Hankel算子有界性和紧性特征。

我们规定如下记号:如果X和Y是两个非负量,记号X.Y或Y&X表示存在一个与X

和Y无关的正常数C,使得X6CY成立.因此记号X

∼

Y表示X.Y和Y.X同时成立.

2.预备知识

设C

是n维复空间,对z=(z

,...,z

)和w=(w

,...,w

)∈C

,记<z,w>=z

+...+

,|z|

=<z,z>,dv为C

上的Lebsgue测度.

本文假设函数φ∈C

)且满足

0<mω

6dd

φ6Mω

其中ω

=dd

|z|



k=1

∧dz

,d=(

∂+∂),d

(

∂−∂),m和M是正常数.

取0<p6∞,空间L

是指由所有满足如下性质的可测函数f组成的赋范空间

∥f∥

p,φ





|f(z)e

−φ(z)

dv(z)



1/p

<∞

记H(C

)表示C

上所有的全纯函数组成的空间,则对于0<p6∞,定义广义Fock空间

=H(C

)∩L

∞



f∈H(C

):esssup

z∈C

|f(z)|e

−φ(z)

<∞



易知,当16p6∞时,F

是以∥·∥

p,φ

为范数的Banach空间.当0<p<1,F

是以

d(f,g)=∥f−g∥

p,φ

DOI:10.12677/pm.2022.123037325理论数学

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为范数的F-空间.特别地,F

是以

⟨f,g⟩=



f(z)g(z)e

−2φ(z)

dV(z)

为内积的Hilbert空间.当φ(z)是一个适当规范化的线性函数时,则F

是一个经典的Fock空间,

其性质参考文献[6,28].

设K

(·,·)是F

的再生核,在文献[27]中,Schuster和Varolin得到了K

(·,·)的若干估计,

这些估计对F

上函数空间和算子理论的研究是十分重要的.

引理2.1(a)󰊧C,θ>0z,w∈C

󱠂

(z,w)|≤Ce

φ(z)+φ(w)−θ|z−w|

;(2.1)

(b)󰊧r

>0z∈C

w∈B(z,r

)󰑀

(z,w)|

∼

φ(z)+φ(w)

;(2.2)

(c)󰑀0<p≤∞󰑀

∥K

(·,z)∥

p,φ

∼

φ(z)

∼



(z,z),z∈C

.(2.3)

相应地,在点z∈C

处的规范化再生核定义为

(z,w)=

(z,w)



(z,w)

因为Fock空间F

是L

的闭子空间,则存在从L

到F

的正交投影(也称Bergman投影),

则对于f∈L

,有

Pf(z)=



f(w)K

(z,w)e

−2φ(w)

dv(w)z∈C

关于正交投影的性质请参考文献[27,29].事实上,对于0<p6∞,由[27]知Bergman投

影P

可以拓展至从L

到F

的有界投影.由此易知,P

是F

上的恒等映射,从而可知集合

Span{k

p,z

:z∈C

}在F

中稠密.

对于16p<∞,记Γ

是由C

中所有满足如下条件的复值可测函数组成的线性空间

(·,z)∈L

,z∈C

所以显然有L

∞

)⊆Γ

.对于f∈Γ

,定义符号f的(大)Hankel算子如下:

g=(I−P

)(fg),g∈F

DOI:10.12677/pm.2022.123037326理论数学

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其中I是L

上的单位算子.由Bergman投影P

的积分表示可得



(f(z)−f(w))K

(z,w)g(w)e

−2φ(w)

dv(w),z∈C

,g∈F

下面引入一些关于平均振荡函数的空间。

取定半径r>0,记半径为r的复球B(z,r)={w∈C:|z−w|<r},记v(B(z,r))为复球

B(z,r)的体积.由[13]知,v(B(z,r))

∼

对于C中的局部可积函数f及半径r>0,定义其平均函数

如下:

(z)=

v(B(z,r))



B(z,r)

f(w)dv(w),z∈C

对于16p<∞,如果f是C

上局部p-可积的函数,则定义f在点z处的p-平均如下:

p,r

(f)(z)=



v(B(z,r))



B(z,r)

|f(w)−

(z)|

dv(w)



,z∈C

.(2.4)

其中半径r>0.

记BMO

=BMO

)是由C

中所有满足以下条件的局部p-可积的函数f组成的空间

∥f∥

BMO

=sup{MO

p,r

(f)(z):z∈C

}<∞.

及VMO

是由BMO

中满足如下条件的所有复值函数f组成的空间.

lim

|z|→∞

p,r

(f)(z)=0.

所以BMO

中的函数在C

中有有界p-平均震荡的函数,VMO

空间中的函数在C

上有消失的

p-平均震荡.

设f是C

中的连续函数,半径r>0,定义f在z点的震荡为

(f)(z)=sup{|f(z)−f(w)|:w∈B(z.r)},z∈C

则空间BO

是指C

中满足如下条件的连续函数组成的空间

∥f∥

=sup{ω

(f)(z):z∈C

}<∞.

且空间VO

是由BO

中所有满足如下条件的复值函数f组成的空间

lim

|z|→∞

(f)(z)=0,

由文献[6]进行简单拓展可得如下四个引理：

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郝丽丽，李海绸

引理2.216p<∞,r>0,f∈L

loc

,f∈BMO

C

󱎻󰊧c

󰊧C,

v(B(z,r))



B(z,r)

|f(w)−c(z)|

dv(w)≤C.

引理2.316p<∞,f∈L

loc

,r>0,f∈VMO

C

󰊧c



lim

|z|→∞

v(B(z,r))



B(z,r)

|f(w)−c(z)|

dv(w)=0.(2.5)

引理2.4󱞱󳌫BO

󰊧r󰌗.󲴒󱵃,C

󱎻󲴕󱰤󰊧f󰍦󱞱󳌫BO

󱎻

󰊧C>0,󱎻z,w∈C

,󰰘󲫪

|f(z)−f(w)|≤C(|z−w|+1).

引理2.5󲣧r

>0,󲀜f∈VO

,f∈VO

对于16p<∞以及r>0,空间BA

是指C

中所有满足如下条件的局部p-可积的函数组

成的空间

∥f∥

=sup







|f|

(z)



:z∈C



<∞.

且空间VA

是由BA

中所有满足如下条件的复值函数f组成的空间

lim

|z|→∞





|f|

(z)



=0.

命题2.616p<∞,f∈L

loc

,dµ

f,p

=|f|

−pφ(w)

dv.󱰊󲣱󱢀:

(a)i

→L

,dµ

f,p

)󰍦󰑀󱊃󱎻.

(b)󰔇t≥1 ,



|f|

󰍦󰑀󱊃󱎻.

(c)󲫪󱎻r>0,f∈BA

证明(a)⇒(b)



|f|

(z)=



|f|

(w)|k

p,z

(w)|

−pφ(w)

dv(w)=



p,z

(w)|

dµ

f,p

(w)=∥k

p,z

∥

,dµ

f,p

)

因为i

→L

,dµ

f,p

)是有界的,k

p,z

是F

空间中在点z∈C

处的单位向量,所以有



|f|

(z)=∥k

p,z

∥

,dµ

f,p

)

≤∥i

∥

→L

,dµ

f,p

)

∥k

p,z

∥

≤∥i

∥

→L

,dµ

f,p

)

所以当t=p≥0时



|f|

是有界的.

(b)⇒(c).由文献[13]知

v(B(z,r))

∼

v(B(w,r))(2.6)

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且对任意的z,w∈C

且|z−w|<r,由(2.1)和(2.2)可知对任意的z∈C

,有

t,z

(w)|

−tφ(w)



(w,z)

∥K

(·,z)∥

t,φ



−tφ(w)

∼



φ(z)+φ(w)

φ(z)



−tφ(w)

=1.(2.7)

所以|k

t,z

(z)|e

−φ(z)

∼

1.所以对于任意的点z∈C

,有



|f|

(z)=

v(B(z,r))



B(z,r)

|f|

(w)dv(w)

∼

−2n



B(z,r)

|f|

(w)|k

t,z

(w)|

−

φ(w)

dv(w)≤r

−2n



|f|

(z).

因为



|f|

是有界的,所以存在一个正常数M使得



|f|

(z)≤M,所以∥f∥

≤M

<∞,所以

f∈BA

(c)⇒(a).给定r>0和C

中的序列{a

}

,如果B(a

,2r)覆盖C

且B(a

,r)彼此互不相

交,则{a

}

∞

称是C

上的r-格.根据Bergman 空间理论中覆盖定理的研究方法,不难得到是C

上的r-格的存在性,参见文献[30].设a

是覆盖半径为r的φ-格,使得对C

中的任意点z来讲,

至多属于集合B(k,2r)的N个.对于f∈F

,1≤k<∞以及z∈B(a

,r),由[13] 及(2.6)可知

|g(z)e

−φ(z)

v(B(z,r))



B(z,r)

|g(z)e

−φ(z)

dv(w)

v(B(a

,r))



B(a

,2r)

|g(z)e

−φ(z)

dv(w)

(2.8)

所以有



|g(z)|

dµ

f,p

(z)≤

∞



k=1



B(a

,r)

|g(z)|

|f(z)|

−pφ(z)

dv(z)

≤

∞



k=1



sup

z∈B(a

,r)



g(z)e

−φ(z)







B(a

,r)

|f(z)|

dv(z)

∞



k=1



v(B(a

,r))



B(a

,2r)



g(w)e

−φ(z)



dv(w)





B(a

,r)

|f(z)|

dv(z)

∞



k=1



v(B(a

,r))



B(a

,r)

|f(z)|

dv(z)





B(a

,2r)



g(w)e

−φ(z)



dv(w)

∞



k=1



)



B(a

,2r)



g(w)e

−φ(z)



dv(w)

≤

∞



k=1

∥f∥



B(a

,2r)



g(w)e

−φ(z)



dv(w)

=∥f∥

∞



k=1



B(a

,2r)



g(w)e

−φ(z)



dv(w)

≤∥f∥



|g(w)e

−φ(z)|p

dv(w)

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所以f∈BA

,∥f∥

是有限的, 上式也表明∥g∥

,dµ

f,p

)

.∥g∥

.所以i

→L

,dµ

f,p

)

是有界的.证明完毕.

命题2.7󱞱󳌫VA

󰊧r󰌗.16p<∞,f∈L

loc

,dµ

f,p

=|f|

−pφ(w)

dv.󱰊󲣱

󱢀:

(a)󲣵{g

}

∞

k=1

󰍦F

󱎻󰑀󱊃,C

󱎻󱩞󳏽󱼫󰉭󰊒0,

lim

k→∞



(z)|

dµ

f,p

(z)=0.

(b)󰔇t≥1 ,lim

|z|→∞



|f|

(z)=0.

(c)󲫪󱎻r>0,f∈VA

证明(a)⇒(b)由命题2.6的证明可知



|f|

(z)=



p,z

(w)|

dµ

f,p

(w).

因为{k

p,z

}

z∈C

是F

中的有界序列;事实上{k

p,z

}

z∈C

是F

中的单位向量序列,并且在C

的

任一紧子集上一致收敛于0,所以有

lim

|z|→∞



|f|

(z)=lim

|z|→∞



p,z

(w)|

dµ

f,p

(w)=0.

所以令t=p≥1,lim

|z|→∞



|f|

(z)=0.

(b)⇒(c)对于足够小的半径r>0,由(2.6)和(2.7)得

lim

|z|→∞





|f|

(z)



=lim

|z|→∞



v(B(z,r))



B(z,r)

|f|

(w)dv(w)



∼

lim

|z|→∞



−2n



B(z,r)

|f|

(w)|k

t,z

(w)|

−φ(w)

dv(w)



.lim

|z|→∞





(z)



所以f∈VA

(c)⇒(a)设a

是覆盖半径为r 的φ-格, 使得对C

中的任意点z来讲, 至多属于集合B(k,2r)

的N个.ε>0,有

lim

|z|→∞





(z)



则存在正整数K

使得当k≥K

时,有



)<ε.设{g

}

∞

k=1

是F

中的有界序列,并且在C

DOI:10.12677/pm.2022.123037330理论数学

郝丽丽，李海绸

的任一紧子集上一致收敛于0,因为B



k=0

B(a

,2r)是中的一个紧子集,则有

lim

k→∞



(z)|

dµ

f,p

(z)=0

所以存在一个足够大的正整数K

,使得当k≥K

时,有



(z)|

dµ

f,p

(z)<ε

在命题2.6的证明过程中可知



(z)|

dµ

f,p

(z).

∞



k=1



|f|

)



B(a

,2r)



(w)e

−φ(w)



dv(w).

因为{g

}

∞

k=1

是F

中的有界序列,所以存在一个正整数M,使得

∥g

∥

p,φ

≤M1≤k<∞.

令K=max{K

},则当k≥K时,



(z)|

dµ

f,p

(z).



k=1



|f|

)



B(a

,2r)



(w)e

−φ(w)



dv(w)

∞



k=K



f|p

)



B(a

,2r)



(w)e

−φ(w)



dv(w)

.∥f∥



k=1



B(a

,2r)



(w)e

−φ(w)



dv(w)

+ε

∞



k=K



B(a

,2r)



(w)e

−φ(w)



dv(w)

≤∥f∥





(w)e

−φ(w)



dv(w)

+εN





(w)e

−φ(w)



dv(w)

≤∥f∥

Nε+εNM



∥f∥



Nε

由定义可知若f∈VA

,则f∈BA

,所以∥f∥

是有限的,所以有

lim

k→∞



(z)|

dµ

f,p

(z)=0

证毕.

由上述引理和命题可知BMO

,VMO

,BO

,VO

,BA

和VA

分别与参数r无关.所以可

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郝丽丽，李海绸

以分别简记为BMO

,VMO

,BO

,VO

,BA

和VA

下面描述空间BMO

和VMO

命题2.816p<∞,f∈L

loc

,r󰍦󲫪󱎻󰢚,󱰊󲣱󱢀:

(a)f∈BMO

(b)f=f

∈BO

∈BA

证明(a)⇒(b).因为f=



+(f−



),则只需证明



∈BO

和f−



∈BA

,对于任意的

z,w∈C

且满足|z−w|<

,有



(z)−



(w)|≤|



(z)−



(z)|+|



(z)−



(w)|

≤

v(B(z,

))



(z,

)|f(u)−



(z)|dv(u)

v(B(w,

))



(w,

)|f(u)−



(z)|dv(u)

(2.9)

因为B(w,

)⊂B(z,r),v(B(z,

))

∼

v(B(w,

))

∼

v(B(z,r)),所以结合(2.9)可得



(z)−



(w)|.

v(B(z,r))



B(z,r)



f(u)−



(z)



dv(u)(2.10)

由H¨older不等式可得

v(B(z,r))



B(z,r)



f(u)−



(z)



dv(u)≤



v(B(z,r))



B(z,r)



f(u)−



(z)



dv(u)



(2.11)

所以由(2.10),(2.11)可得



(z)−



(w)|.2MO

p,r

(f)(z).

所以

(



)(z).2MO

p,r

(f)(z)≤2∥f∥

BMO

因为f∈BMO

,所以



∈BO

,即BO

记g=f−



,由L

范数的三角不等式得





|g|

(z)





v(B(z,

))



(

)



f(w)−



(w)



dv(w)



≤



v(B(z,

))



(

)



f(w)−



(z)



dv(w)





v(B(z,

))



(

)





(w)−



(z)



dv(w)



≤MO

(f)(z)+ω







(z)

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郝丽丽，李海绸

因为f∈BMO

,所以f∈BMO

,又因为



∈BO

,所以g=f−



∈BA

,即BA

(b)⇒(a).由H¨older不等式可得





(z)−f

(z)



v(B(z,r))



B(z,r)

(w)−f

(z))dv(w)



≤



v(B(z,r))



B(z,r)

(w)−f

(z)|

dv(w)



≤ω

)(z).

因此由L

范数的三角不等式得

p,r

)(z)=



v(B(z,r))



B(z,r)



(w)−



(z)



dv(w)



≤



v(B(z,r))



B(z,r)

(w)−f

(z)|

dv(w)





v(B(z,r))



B(z,r)





(z)−f

(z)



dv(w)



≤ω

)(z)+





(z)−f

(z)



≤2ω

)(z).

因为f

∈BO

,并且当r足够小时,f

∈BO

,所以f

∈BMO

另一方面,由H¨older不等式得





(z)



v(B(z,r))



B(z,r)

(w)dv(w)



≤



v(B(z,r))



B(z,r)

(w)|

dv(w)







(z)



因此由L

范数的三角不等式得

p,r

)(z)=



v(B(z,r))



B(z,r)



(w)−



(z)



dv(w)



≤



v(B(z,r))



B(z,r)

(w)|

dv(w)





v(B(z,r))



B(z,r)





(z)



dv(w)



≤



v(B(z,r))



B(z,r)

(w)|

dv(w)







(z)



≤2





(z)



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因为f

∈BA

,并且当r足够小时,f

∈BA

,所以f

∈BMO

.很容易去验证BMO

空间是线

性的,所以f=f

∈BMO

,证明完毕.

命题2.916p<∞,f∈L

loc

,r󰍦󲫪󱎻󰢚󰊧,󱰊󲣱󱢀:

(a)f∈VMO

(b)f=f

∈VO

∈VA

证明(a)⇒(b)因为f=



+(f−



),则只需证明



∈VO

和f−



∈VA

,对于任意的

z,w∈C

根据命题2.8的证明可知







(z).2MO

p,r

(f)(z),

所以





|g|

(z)



≤MO

(f)(z)+ω







(z),

记g=f−



,若f∈VMO

,则

lim

|z|→∞







(z).lim

|z|→∞

2MO

p,r

(f)(z)=0,

所以

lim

|z|→∞





|g|

(z)



≤lim

|z|→∞

(f)(z)+lim

|z|→∞







(z)

.lim

|z|→∞

p,r

(f)(z)+lim

|z|→∞







(z)=0

所以



∈VO

(即VO

),并且f−



∈VA

(即VA



(b)⇒(a).令f=f

,且f

∈VO

且f

∈VA

.根据命题2.8的证明可知

p,r

)(z)≤2ω

)(z),

以及

p,r

)(z)≤2





(z)



因为f

∈VO

且f

∈VA

,所以有

lim

|z|→∞

p,r

)(z)≤lim

|z|→∞

2ω

)(z)=0

以及

lim

|z|→∞

p,r

)(z)≤lim

|z|→∞





(z)



所以f

∈VMO

,又因为VMO

空间是线性的,所以f=f

∈VMO

,证毕.

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3.Fock空间F

上的Hankel算子

本节刻画在n维广义Fock空间F

上具有复值函数符号f∈Γ

的Hankel算子H

和H

的

有界性和紧性,其中16p<∞.

对于16p<∞,f∈Γ

,定义C

上的函数MO

f如下

f(z)=



p,z

−g

(z)k

p,z



p,φ

,z∈C

其中

(w)=



p,z



(w)

p,z

(w)

,w∈C

因为k

p,z

在C

中不为0,所以g

是C

上的全纯函数.

定理3.116p<∞,f∈Γ

,󲀜MO

f∈L

∞

),f∈BMO

证明对于无穷小的半径r>0,由命题2.6的证明过程中的(2.6)和(2.7)可知对任意的z∈C

有

(MO



|fk

p,z

−g

(z)k

p,z

−pφ(w)

dv(w)

∼

v(B(z,r))



|f−g

(z)|

dv(w)

≥

v(B(z,r))



B(z,r)

|f−g

(z)|

dv(w).

因为MO

f∈L

∞

),所以

v(B(z,r))



B(z,r)

|fk

p,z

−g

(z)|

dv(w)≤∥MO

f∥

∞

由引理2.2可知令c(z)=g

(z),C=∥MO

f∥

∞

,所以有f∈BMO

,证明完毕.

定理3.216p<∞,f∈Γ

,󰑀

f(z).∥H

p,z

∥

p,φ



p,z



p,φ

证明由三角不等式可得

f(z)=



p,z

−g

(z)k

p,z



p,φ

≤∥fk

p,z

−P(fk

p,z

)∥

p,φ



P(fk

p,z

)−g

(z)k

p,z



p,φ

=∥H

p,z

∥

p,φ



P(fk

p,z

)−g

(z)k

p,z



p,φ

(3.1)

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由再生公式可得对任意的z,w∈C

,有

(z)k

p,z

(w)=∥K(·,z)∥

−1

p,φ

(z)K

(z,w)

=∥K(·,z)∥

−1

p,φ

⟨g

(·,w),K

(·,z)⟩

=∥K(·,z)∥

−1

p,φ

⟨K

(·,z),g

(·,w)⟩

=⟨g

p,z

(·,w)⟩

(¯gk

p,z

)(w)

(3.2)

所以



(fk

p,z

)−g

(z)k

p,z



p,φ

=∥P

(fk

p,z

)−P

p,z

)∥

p,φ

=∥P

(fk

p,z

)−g

p,z

)∥

p,φ

≤∥P

∥

→F

∥P

(fk

p,z

)−g

p,z

∥

p,φ

(3.3)

由g

的定义可知g

p,z

=P(

p,z

),所以

∥P

(fk

p,z

)−g

p,z

∥

p,φ

≤∥fk

p,z

−P

(fk

p,z

)∥

p,φ

+∥fk

p,z

−g

p,z

∥

p,φ

=∥H

p,z

∥

p,φ



p,z

−g

p,z



p,φ

=∥H

p,z

∥

p,φ



p,z

−P



p,z





p,φ

=∥H

p,z

∥

p,φ



p,z



p,φ

(3.4)

所以由(3.1),(3.3)和(3.4)可得

f(z)≤(1+∥P

∥

→F

)∥H

p,z

∥

p,φ



p,z



p,φ

证明完毕.

定理3.316p<∞,f∈Γ

,H

→L

󰍦󱩞󱎻，f∈VMO

证明因为{k

p,z

}

z∈C

是F

中的有界序列;事实上{k

p,z

}

z∈C

是F

中的单位向量序列,并且在

的任一紧子集上一致收敛于0,所以由Hankel算子H

得紧性可知

lim

|z|→∞

∥H

p,z

∥

p,φ

=0.

同理可知

lim

|z|→∞



p,z



p,φ

=0.

所以由定理3.2可得

lim

|z|→∞

f(z).lim

|z|→∞



∥H

p,z

∥

p,φ



p,z



p,φ



=0,

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郝丽丽，李海绸

对于固定的r>0,则由定理3.1的证明可知

(MO

f(z))

v(B(z,r))



B(z,r)



f(w)−g

(z)



dv(w),

所以有

lim

|z|→∞

v(B(z,r))



B(z,r)



f(w)−g

(z)



dv(w).lim

|z|→∞

(MO

f(z))

所以由引理2.3可知f∈VMO

.证毕.

定理3.416p<∞,f∈Γ

,󰑀

(a)󲀜f∈BO

,H

→L

󰍦󰑀󱊃󱎻.

(b)󲀜f∈VO

,H

→L

󰍦󱩞󱎻.

证明

(a)由[13]可知,当0<p<∞时，存在常数C和M使得





(z,w)|

−p(φ(z)+φ(w))

dv(w)



≤C,

所以

sup

z∈C



(|z−w|+1)|K

(z,w)|e

−(φ(z)+φ(w))

dv(w)<∞

对于g∈F

,由引理2.4得

g(z)|e

−φ(z)

≤



|f(z)−f(w)∥g(w)∥K

(z,w)|e

−φ(w)

dv(w)e

−φ(z)



(|z−w|+1)|g(w)∥K

(z,w)|e

−φ(w)

dv(w)e

−φ(z)



(|z−w|+1)|K

(z,w)|e

−(φ(z)+φ(w))

|g(w)|e

−φ(w)

dv(w).

当p=1时,由Fubini定理得,

∥H

g∥

1,φ



|g(w)|e

−φ(w)

dv(w)



(|z−w|+1)|K

(z,w)|e

−(φ(z)+φ(w))

dv(z)



|g(w)|e

−φ(w)

dv(w)



(ϱ(w,z)+1)|K

(w,z)|e

−(φ(w)+φ(z))

dv(z)

≤C∥g∥

1,φ

当p=∞时,有

∥H

g∥

∞,φ

.∥g∥

∞,φ



(|z−w|+1)|K

(z,w)|e

−(φ(z)+φ(w))

dv(w)≤C∥g∥

∞,φ

所以当p=1,∞时,H

→L

是有界的,由Riesz–Thorin插值定理可知当16p<∞

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时,H

→L

是有界的.

(b)对于任意的R>0,定义f

(z)=f(z)·χ

|z|≤R

,对于足够小的半径r>0,因为f∈VO

即f∈VO

,所以

lim

|z|→∞

(f)(z)=0.

所以对于任意的ε>0,存在一个常数M>0,使得当|z|>M时,有ω

(f)(z)<ε.令R

=M+r,

则对于R>R

,当|z|≤M时,若w∈B(z,r)且|w|≤|z|+|z−w|<M+r=R

<R,则有

−f)(z)=f(z)−f(z)=0,(f

−f)(w)=f(w)−f(w)=0.所以对于|z|≤M,有

−f)(z)=sup{|(f

−f)(z)−(f

−f)(w)|:w∈B(z,r)}=0

所以

sup

|z|≤M

−f)(z)=0.

另一方面,对于任意的z∈C

,有ω

)(z)≤ω

(f)(z),所以当|z|>M时,有

−f)(z)≤ω

)(z)+ω

(f)(z)≤2ω

(f)(z)<2ε.

所以有

sup

|z|>M

−f)(z)<2ε.

所以

∥f

−f∥

=sup

z∈C

−f)(z)=max



sup

|z|≤M

−f)(z),sup

|z|>M

−f)(z)



<2ε

所以有lim

R→∞

∥f

−f∥

=0.由引理2.4可知存在绝对常数C>0使得∥H

−H

∥≤

C∥f

−f∥

.所以有lim

R→∞

∥H

−H

∥=0.若紧算子空间是闭的,则对任意的R>0,H

是紧的.设{g

}

∞

k=1

是F

中的有界序列,并且在C

上一致收敛于0.因为VO

空间中的函

数是连续的,且f

(z)在紧子集{z∈C

:|z|≤R}上是有界的,所以其在C

上是有界的.所以

∥f

∥

∞

是有限的.因为对任意的g∈F

有∥f

g∥

p,φ

≤∥f

∥

∞

∥g∥

p,φ

<∞,所以f

g∈L

.因为

→F

是有界的,所以对任意的g∈F

,有∥P

g)∥

p,φ

≤∥P

∥→F

∥f

g∥

p,φ

.因此当

k≥1时,

∥H

∥

p,φ

=∥(I−P

)(f

)∥

p,φ

≤∥f

∥

p,φ

+∥P

)∥

p,φ

≤



1+∥P

∥

→F

)



∥f

∥

p,φ

因为序列{g

}

∞

k=1

在紧子集{z∈C

:|z|≤R}上一致收敛于0,所以对任意的ε>0,存在K>0

使得当k>K时,对任意的|z|≤R,有

(z)|<ε,

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郝丽丽，李海绸

所以

∥f

−f∥

=sup

z∈C

−f)(z)=max



sup

|z|≤M

−f)(z),sup

|z|>M

−f)(z)



<2ε

所以有lim

k→∞

∥f

∥

p,φ

=0.且lim

k→∞

∥H

∥

p,φ

=0,所以H

是紧的.证毕.

下一个引理是引理2.4的改进版本.这种改进的优势是我们可以利用它来揭示Hankel算子H

的范数和符号f的BOr−范数之间的关系.

定理3.5󲣵r󰍦󰢚󰊧,

(a)󰓓f∈BO

,r󰑀󱎻󰊧C

>0󰑀󱎻z,w∈C

,󰑀

|f(z)−f(w)|≤C

∥f∥

(|z−w|+1)

(b)󰓓f∈Γ

,1≤p<∞,󰑀Hankel󱣎H

→L

󱎻󱣎󲀺󰊧󱉨CC

∥f∥

󰃞

,C>0󰍦󱰔󰊧.

证明对引理2.4进行简单修改即得(a)成立.

利用定理3.4的证明中使用的方法可得(b)成立.因此,证明完毕.

定理3.616p<∞f∈Γ

(a)󲀜f∈BA

,H

→L

󰍦󰑀󱊃󱎻.

(b)󲀜f∈VA

,H

→L

󰍦󱩞󱎻.

证明(a)令f∈BA

.由命题2.6可知i

→L

,dµ

f,p

)是有界的,所以对于g∈F

,我们

有

∥fg∥

p,φ

=∥g∥

(dµ

f,p

)

≤∥i

∥

→L

,dµ

f,p

)

∥g∥

p,φ

所以fg∈L

.因为Bergman投影P

在L

上是有界的,所以

∥H

g∥

p,φ

≤∥fg∥

p,φ

+∥P

(fg)∥

p,φ

≤



1+∥P

∥

→F



∥fg∥

p,φ

≤



1+∥P

∥

→F



∥i

∥

→L

,dµ

f,p

)

∥g∥

p,φ

(3.5)

所以H

→L

是有界的.

(b)设{g

}

∞

k=1

是F

中的有界序列,并且在C

上一致收敛于0.由(3.5)知对任意的

1≤k<∞,有

∥H

∥

p,φ

≤



1+∥P

∥

→F



∥i

∥

→L

,dµ

f,p

)

∥g

∥

(dµ

f,p

)

DOI:10.12677/pm.2022.123037339理论数学

郝丽丽，李海绸

其中dµ

f,p

=|f|

−pφ(w)

dv.因为f∈VA

,根据命题2.7可知

lim

k→∞

∥H

∥

p,φ

≤lim

k→∞



1+∥P

∥

→F

)



∥i

∥

→L

,dµ

f,p

)

∥g

∥

(dµ

f,p

)

=lim

k→∞



1+∥P

∥

→F

)



∥i

∥

→L

,dµ

f,p

)





(z)|

dµ

f,p

(z)



所以H

→L

是紧的,证毕.

定理3.716p<∞f∈Γ

󰌭

(a)Hankel󱣎H

→L

󰌭󰑀󱊃f∈BMO

(b)Hankel󱣎H

→L

󰌭󱩞f∈VMO

证明(a)由定理3.1和定理3.2可知必要性成立.又因为f∈BMO

当且仅当

f∈BMO

,所以

由命题2.8命题、定理3.4和定理3.6可知充分性成立.

(b)由定理3.3可知必要性成立,又因为f∈VMO

当且仅当

f∈VMO

,所以由命题2.9、定

理3.4和定理3.6可知充分性成立,定理证毕.

推论3.8󲣧16p<∞,f∈Γ

,󲀜f󰍦C

󱎻󰊧,

(a)H

→L

󰑀󱊃f∈BMO

(b)H

→L

󰍦󱩞󱎻f∈VMO

推论3.916p<∞,f∈Γ

,󲀜f󰍦C

󱎻󱯦󰊧,

(a)H

→L

󰑀󱊃f∈BMO

(b)H

→L

󰍦󱩞󱎻f∈VMO

4.总结

本文利用有界(消失)平均震荡函数的性质,讨论了一类n维广义Fock空间F

(1≤p<∞)

上的Hankel算子H

和H

的有界性和紧性,拓展了文献[23]的结果.同时,利用Berezin变换

刻画了空间BMO和VMO的几何性质.截止目前,当1≤p<∞时,在各类加权Fock空间上的

Hankel算子的有界性和紧性的研究已较为完整.而当p=∞时,对于Hankel算子的研究有赖于对

“平均震荡”函数空间的进一步刻画,当0<p<1时,要得到完整的结果还需有方法上的进一步创

新.

基金项目

国家自然科学基金(11901205).

DOI:10.12677/pm.2022.123037340理论数学

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