设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
AdvancesinAppliedMathematics
A^
ê
Æ
?
Ð
,2022,11(3),1003-1012
PublishedOnlineMarch2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2022.113108
‚
†
Cospiral
‘
ê
222
§§§
½½½
[[[
ÂÂÂ
∗
ú
ô
“
‰
Œ
Æ
§
ê
Æ
†
O
Ž
Å
‰
ÆÆ
§
ú
ô
7
u
Â
v
F
Ï
µ
2022
c
2
11
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2022
c
3
7
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2022
c
3
14
F
Á
‡
©
Ì
‡
ï
Ä
†
‚
level
m
a
‘
ê
§
¡
•
cospiral
‘
ê
,
©
•
n
‡
Ü
©
"
1
˜
Ü
©
‰
Ñ
cospiral
½
Â
9
˜
˜
„
(
J
¶
1
Ü
©
é
cospiral
Š
d
•
x
¶
1
n
Ü
©
ï
Ä
cospiral
3
†‚
e
A^
"
'
…
c
Level
§
Cospiral
‘
ê
§
Cospiral
•
ä
§
Level
CX
TheCospiralDemensionofModules
andRings
XingGu,JiafengLyu
∗
CollegeofMathematicsandComputerScience,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang
Received:Feb.11
th
,2022;accepted:Mar.7
th
,2022;published:Mar.14
th
,2022
Abstract
Inthispaper,wemainlystudyrightorthogonalclassesoflevelmodule.Itiscalled
∗
Ï
Õ
Š
ö
©
Ù
Ú
^
:
2
,
½
[
Â
.
‚
†
Cospiral
‘
ê
[J].
A^
ê
Æ
?
Ð
,2022,11(3):1003-1012.
DOI:10.12677/aam.2022.113108
2
§
½
[
Â
cospiralmodule.Thepaperisdividedintofourparts.Firstly,weintroducethenotion
ofthecospiralmodulesandsomegeneralresults.Secondly,someequivalentchar-
acterizationsofcospiralmodulesaregiven.Thirdly,wediscussapplicationsinthe
commutativeringofcospiralmodules.
Keywords
LevelModule,CospiralDimension,CospiralEnvelope,LevelCover
Copyright
c
2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
Ú
ó
3
2014
c
, Bravo Gillespie,and Hovey
3
©
z
[1]
¥
,
Ä
g
J
Ñ
level
m
a
V
g
,
½
Â
•
cospiral
.
±
d
¤
k
cospiral
|
¤
a
,
P
•
C
.
¦
‚
´
|
^
ƒ
Ó
g
´
±
level
•
Ä
:
/
Ï
Ext
¼
f
Ú
\
cospiral
V
g
.
é
u
?
¿
level
m
R
-
L
,
Ñ
k
Ext
1
R
(
L,M
)=0,
@
o
m
R
-
M
¡
•
cospiral
.
,
,
3ù
Ÿ
Ø
©
¥
,
•
‰
Ñ
cospiral
ý
•
ä
Ú
•
ä
9
level
ý
CX
Ú
CX
½
Â
.
3
2016
c
,HuandGeng
3
©
z
[2]
¥
,
y
²
¤
k
level
m
R
-
Ñ
´
X
a
.
Bravo Gillespie,and Hovey
3
©
z
[1]
¥
,
•
y
²
(level
, cospiral
)
´
{
L
é
.
ù
Ò
`
²
é
u
?
¿
R
-
Ñ
k
cospiral
ý
•
ä
…
=
?
¿
R
-
Ñ
k
level
ý
CX
.
Ï
d
, cospiral
ý
•
ä
½
ö
´
level
ý
CX
3
Ó
¿Â
e
´
•
˜
.
,
,
·
‚
ò
½
˜
‡
‘
ê
,
¡
•
cospiral
‘
ê
,
ò
3
Ÿ
Ø
©
¥Ì
‡
ï
Ä
ù
‡
‘
ê
.
d
d
Œ
„
,cospiral
ƒ
'
¯
K
•
k
é
Œ
ï
Ä
d
Š
.
§
3
ƒ
é
Ó
N
“
ê
u
Ð
L
§
¥
•
Ó
â
-
‡
/
.
©
l
cospiral
\
Ã
,
„
Ì
f
á
#
Ú
¶
H
Ÿ
3
©
z
[3]
9
•
‹
†
•
á
Ÿ
3
©
z
[4]
¥
é
{
L
ï
Ä
g
´
5
&?
cospiral
¤
é
A
5
Ÿ
.
2.
Ì
‡
(
J
1
˜
Ù
,
Ì
‡
0
ƒ
'
ï
Ä
µ
,
Ì
‡
(
JÚ
ý
•
£
.
1
Ù
,
é
cospiral
?
1
d
•
x
.
Ì
‡
X
e
(
J
:
½
n
2.1.9
R
´
‚
,
K
e
d
:
(1)
M
´
cospiral
;
(2)
M
'
u
Ü
0
→
A
→
B
→
C
→
0
DOI:10.12677/aam.2022.1131081004
A^
ê
Æ
?
Ð
2
§
½
[
Â
´
S
,
Ù
¥
C
´
level
;
(3)
é
?
¿
Ü
0
→
M
→
B
→
C
→
0
,
Ù
¥
B
´
level
,
K
B
→
C
´
C
level
ý
CX
;
(4)
M
´
level
ý
CX
B
→
C
Ø
,
Ù
¥
B
´
cospiral
.
1
n
Ù
,
?
Ø
cospiral
3
†‚
¥
A^
.
Ì
‡
±
e
(
J
:
½
n
3.1.4
ϕ
:
R
→
S
´
‚
÷
Ó
.
X
J
R
S
´
˜
‡
k
•
)
¤
Ý
,
e
R
M
´
˜
‡
cospiral
R
-
,
@
o
S
Hom
R
(
S
S
,
R
M
)
´
˜
‡
cospiral
.
3.
ý
•
£
©
©
ª
b
R
´
k
ü
‚
.
©
¥
R
-
Ñ
´
m
R
-
,
m
R
-
M
Œ
P
•
M
R
.
¤
k
R
-
Ñ
´
N
.
¤
k
m
R
-
¤
‰
Æ
,
P
•
R
-
Mod
.
3
!
¥
,
·
‚
ò
£
˜
½
Â
Ú
Ä
(
J
.
½
Â
1[1]
X
J
M
k
˜
‡
k
•
)
¤
Ý
Ý
©
)
,
@
o
(
†
)
M
¡
•
type
FP
∞
.
½
Â
2[1]
R
´
˜
‡
‚
,
X
J
é
u
¤
k
type
FP
∞
M
,
Ñ
k
Ext
1
R
(
M,N
)=0,
@
o
¡
†
R
-
N
•
FP
∞
-
S
½
ö
absolutelyclean,
ƒ
q
/
,
X
J
é
u
¤
k
type
FP
∞
m
R
-
M
,
Ñ
k
Tor
R
1
(
M,N
) = 0,
@
o
¡
†
R
-
N
•
level
.
½
Â
3[1]
‰
½
˜
‡
abelian
‰
Æ
A
,
k
˜
‡
A
é
–
(
F
,
C
)
é
a
,
÷
v
F
⊥
=
C
¿
…
F
=
⊥
C
.
Ù
¥
,
F
⊥
´
é
–
Y
∈A
a
,
¦
é
u
?
¿
F
∈F
,
Ñ
k
Ext
1
(
F,Y
) =0.
K
¡
(
F
,
C
)
•
˜
‡
{
L
é
.
ƒ
q
/
,
⊥
C
´
é
–
X
∈A
a
,
¦
é
u
?
¿
C
∈C
,
Ñ
k
Ext
1
(
X,C
) = 0.
½
Â
4[5]
X
J
é
u
?
¿
A
∈A
,
Ñ
k
˜
‡
á
Ü
0
→
C
→
F
→
A
→
0
,
Ù
¥
C
∈C
,
F
∈F
,
@
o
{
L
é
(
F
,
C
)
¡
•
v
Ý
,
a
q
/
,
Œ
±
½
Â
{
L
é
v
S
½
Â
.
d
©
z
[[5],
·
K
7.17],
•
‡
‰
Æ
A
v
Ý
Ú
S
,
@
o
Ú
{
L
é
´
d
.
½
Â
5[6]
e
z
‡
Ñ
k
F
-
CX
†
C
-
•
ä
,
K
¡
(
F
,
C
)
´
{
L
é
.
½
Â
6[1]
e
{
L
é
´
v
Ý
Ú
S
,
K
¡
•
{
L
é
.
5
du
level
Ú
²
"
´
a
q
,
¤
±
·
‚
Ï
"
(
L
,
C
)
´
{
L
é
.
½
n
7[1]
d
©
z
[[1],
½
n
2.14]
Œ
•
,
é
u
?
¿
‚
R
,(
L
,
C
)
¤
˜
‡
{
L
é
.
½
Â
8[6]
X
J
é
u
?
¿
Ü
0
→
L
0
→
L
→
L
00
→
0
.
e
L,L
00
∈
F
,
k
L
0
∈
F
,
@
o
¡
ù
‡
{
L
é
(
L
,
C
)
´
¢
D
é
.
DOI:10.12677/aam.2022.1131081005
A^
ê
Æ
?
Ð
2
§
½
[
Â
5
d
©
z
[[1],
·
K
2.10]
Œ
•
,(
L
,
C
)
´
¢
D
é
.
½
Â
9[1]
X
J
é
u
¤
k
level
L
,
Ñ
k
Ext
1
R
(
L,M
) = 0,
@
o
¡
M
•
cospiral
.
½
Â
10
˜
‡
Ó
φ
:
M
→
C
,
Ù
¥
C
´
cospiral
,
X
J
é
u
?
¿
Ó
f
:
M
→
C
0
,
Ù
¥
C
0
´
cospiral
,
•
3
˜
‡
Ó
g
:
C
→
C
0
,
¦
gφ
=
f
,
@
o
¡
φ
:
M
→
C
´
M
cospiral
ý
•
ä
.
½
Â
11
X
J
g
´
C
g
Ó
,
C
0
=
C
¿
…
f
=
φ
ž
,
@
o
φ
¡
•
M
cospiral
•
ä
½
Â
.
½
Â
12
˜
‡
Ó
φ
:
L
→
M
,
Ù
¥
L
´
level
,
X
J
é
u
?
¿
Ó
f
:
L
0
→
M
,
Ù
¥
L
0
´
level
,
•
3
˜
‡
Ó
g
:
L
0
→
L
,
¦
φg
=
f
,
@
o
¡
φ
:
L
→
M
´
M
cospiral
ý
C
X
½
Â
.
½
Â
13
X
J
g
´
L
g
Ó
,
L
=
L
0
¿
…
f
=
φ
ž
,
@
o
φ
¡
•
M
level
CX
½
Â
.
½
Â
14
X
J
±
e
S
µ
0
→
M
→
C
0
→
C
−
1
→
C
−
2
→···→
C
−
(
n
−
1)
→
C
−
n
→
0
´
Ü
,
Ù
¥
C
0
,
C
−
1
,
C
−
2
,...,
C
−
(
n
−
1)
,
C
−
n
´
cospiral
,
@
o
¡
M
cospiral
‘
ê
≤
n
,
P
•
cd(
M
)
≤
n
.
X
J
v
k
ù
n
,
K
cd(
M
) =
∞
.
4.Cospiral
Ú
n
2.1.1
[7]
ϕ
:
L
→
M
´
M
level
ý
CX
,
¿
…
b
L
´
*
Ü
µ
4
.
K
=ker(
ϕ
).
@
o
é
u
?
¿
C
∈
L
,
Ñ
k
Ext
1
R
(
L
0
,K
) = 0.
½
n
2.1.2
[7]
é
u
?
¿
ü
‡
R
-
M
,
N
,
e
d
µ
(1)
Ï
L
N
,
M
z
˜
‡
*
Ü
Ñ
´
²
…
,
=
z
˜
‡
Ü
0
→
M
→
X
→
N
→
0
´
©
;
(2)Ext
1
R
(
N,M
) = 0.
½
n
2.1.3
M
´
m
R
-
,
e
α
:
L
→
M
level
CX
,
K
ker
α
´
cospiral
.
y
²
d
Ú
n
2.1.1
Œ
y
.
Ú
n
2.1.4
e
(
L
,
C
)
´
¢
D
é
,
K
é
u
?
¿
L
∈
L
9
M
∈
C
,
?
¿
ê
m
≥
0,
k
Ext
m
+1
R
(
L,M
) = 0.
DOI:10.12677/aam.2022.1131081006
A^
ê
Æ
?
Ð
2
§
½
[
Â
y
²
d
©
z
[[6],
·
K
1.2]
Œ
.
·
K
2.1.5
e
(
L
,
C
)
´
¢
D
é
,
e
±
e
S
0
→
A
→
B
→
C
→
0
´
Ü
,
Ù
¥
B
´
cospiral
,
K
é
u
?
Û
R
-
L
∈
L
9
?
¿
ê
m
≥
0,
k
Ext
m
+1
R
(
L,A
)
∼
=
Ext
m
R
(
L,C
).
y
²
·
‚
k
±
e
Ü
µ
...
→
Ext
m
R
(
L,B
)
→
Ext
m
R
(
L,C
)
→
Ext
m
+1
R
(
L,A
)
→
Ext
m
+1
R
(
L,B
)
→
...,
¤
±
,
·
‚
d
Ú
n
2.1.4
Œ
•
,Ext
m
+1
R
(
L,A
)
∼
=
Ext
m
R
(
L,C
).
·
K
2.1.6
-
{
C
i
}
i
∈
I
´
m
R
-
q
,
K
k
Q
i
∈
I
C
i
´
cospiral
…
=
z
˜
‡
C
i
´
cospiral
.
y
²
d
cospiral
½
Â
Œ
.
Ú
n
2.1.7
ϕ
:
M
→
C
´
M
cospiral
•
ä
,
¿
…
b
C
´
*
Ü
µ
4
.
D
=coker(
ϕ
) =
C/ϕ
(
M
).
@
o
é
u
?
¿
C
0
∈
C
,
Ñ
k
Ext
1
R
(
D,C
0
) = 0.
y
²
d
½
n
2.1.2
Œ
•
,
é
u
C
0
∈
C
,
•
Ä
Ï
L
D
?
¿˜
‡
C
0
*
Ü
.
b
e
Ü
´
ù
˜
‡
*
Ü
µ
0
→
C
0
→
N
→
D
→
0
.
I
=im(
ϕ
).
@
o
·
‚
k
e
h
:
N
→
D
Ú
σ
:
C
→
D
.
£
ã
:
0
0
M
C
0
C
0
0
/
/
I
/
/
P
/
/
N
/
/
0
0
/
/
I
/
/
C
/
/
D
/
/
0
00
Ù
¥
I
→
C
´
˜
‡
•
¹
N
,
α
:
I
→
P
,
β
:
N
→
0,
f
:
P
→
C
.
Ï
•
C
0
,C
∈
C
,
¤
±
Œ
±
Ñ
P
∈
C
.
q
Ï
•
ϕ
:
M
→
I
→
C
´
˜
‡
cospiral
•
ä
,
¤
±
k
˜
‡
‚
5
N
g
:
C
→
P
¦
α
◦
ϕ
=
g
◦
i
◦
ϕ
.
Ï
d
,
·
‚
k
f
◦
αϕ
= (
fg
)
◦
i
◦
ϕ
.
Ï
d
,
Œ
•
fg
´
C
g
Ó
.
¤
±
,
Œ
±
β
◦
g
(
fg
)
−
1
◦
ϕ
=
β
◦
g
◦
ϕ
=
β
◦
αϕ
= 0
.
DOI:10.12677/aam.2022.1131081007
A^
ê
Æ
?
Ð
2
§
½
[
Â
¤
±
,
é
u
?
¿
l
∈
C
,
·
‚
Ñ
Œ
±
Ï
L
σ
(
l
)
βg
(
fg
)
−
1
(
l
)
½
˜
‡
‚
5
N
u
:
D
→
N
.
,
,
·
‚
k
h
◦
uσ
(
l
) =
hβg
(
fg
)
−
1
(
l
) =
σfg
(
fg
)
−
1
(
l
) =
σ
(
l
)
.
Ï
d
,
·
‚
Œ
±
Ñ
h
◦
u
= 1
D
.
¤
±
,
·
‚
y
e
Ü
0
→
C
0
→
N
→
D
→
0
´
Œ
.
¤
±
,
·
‚
k
½
n
2.1.2
Œ
•
, Ext
1
R
(
D,C
0
) = 0.
y
.
.
·
K
2.1.8
R
´
‚
,
K
:
(1)level
cospiral
•
ä
´
level
;
(2)cospiral
level
CX
´
cospiral
.
y
²
(1)
L
´
level
,
α
:
L
→
C
´
L
cospiral
•
ä
,
d
Ú
n
2.1.7
Œ
•
,
Ü
0
→
L
→
C
→
D
→
0
¥
D
´
level
,
d
©
z
[[1],
·
K
2.10]
Œ
•
, level
´
*
Ü
µ
4
,
¤
±
y
C
´
˜
‡
level
.
(2)
C
´
cospiral
,
α
:
L
→
C
´
C
level
CX
,
d
Ú
n
2.1.1
Œ
•
,
Ü
0
→
K
→
L
→
C
→
0
¥
K
´
cospiral
,
d
©
z
[[1],
½
n
2.12]
9
©
z
[[1],
·
K
2.7]
y
²
Œ
•
, cospiral
´
*
Ü
µ
4
,
¤
±
C
´
level
.
e
¡
½
n
‰
Ñ
cospiral
d
•
x
.
½
n
2.1.9
R
´
‚
,
K
e
d
:
(1)
M
´
cospiral
;
(2)
M
'
u
Ü
0
→
A
→
B
→
C
→
0
´
S
,
Ù
¥
C
´
level
;
(3)
é
?
¿
Ü
0
→
M
→
B
→
C
→
0
,
Ù
¥
B
´
level
,
K
B
→
C
´
C
level
ý
CX
;
(4)
M
´
level
ý
CX
B
→
C
Ø
,
Ù
¥
B
´
cospiral
.
y
²
(1)
⇒
(2)
w
,
.
(2)
⇒
(1)
‰
½
˜
‡
level
C
,
K
•
3
á
Ü
0
→
A
→
B
→
C
→
0
,
DOI:10.12677/aam.2022.1131081008
A^
ê
Æ
?
Ð
2
§
½
[
Â
Ù
¥
B
´
Ý
,
Œ
±
p
Ñ
Hom
R
(
B,M
)
→
Hom
R
(
A,M
)
→
Ext
1
R
(
C,M
)
´
Ü
.
qk
®
•
Œ
,
Hom
R
(
B,M
)
→
Hom
R
(
A,M
)
→
0
´
Ü
,
·
‚
Œ
Ñ
Ext
1
R
(
C,M
) = 0,
¤
±
·
‚
d
cospiral
½
Â
Œ
•
,
M
´
cospiral
.
(1)
⇒
(3)
N
´
y
.
(3)
⇒
(4)
é
u
level
M
,
P
C
(
M
)
´
M
cospiral
•
ä
,
K
k
Ü
0
→
M
→
C
(
M
)
→
L
→
0
.
d
b
Œ
•
,
C
(
M
)
´
level
,
·
‚
d
(3)
Œ
•
,
C
(
M
)
→
L
´
L
level
ý
CX
,
¤
±
(4)
w
,
¤
á
.
(4)
⇒
(1)
d
(4)
Œ
•
,
•
3
Ü
0
→
M
→
B
→
C
→
0
,
Ù
¥
B
→
C
´
C
level
ý
CX
,
B
´
cospiral
,
¤
±
é
?
¿
level
N
,
·
‚
Ñ
k
Ü
Hom(
N,B
)
→
Hom(
N,C
)
→
Ext
1
R
(
N,M
)
→
0
,
qk
(4)
Œ
•
,
Hom(
N,B
)
→
Hom(
N,C
)
→
0
´
Ü
,
¤
±
·
‚
Œ
±
Ñ
Ext
1
R
(
N,M
) = 0.
d
cospiral
½
Â
Œ
•
,
M
´
cospiral
.
5.Cospiral
3
†‚
¥
A^
3ù
˜
Ü
©
¥
,
v
k
A
Ï
`
²
,
¤
k
‚
Ñ
´
Œ
†
.
e
5
ù
‡
Ú
n
ò
3
e
ï
Ä
¥
ª
„
¦
^
.
Ú
n
3.1.1
R
´
‚
,
M
´
˜
‡
R
-
.
@
o
e
d
:
(1)
M
´
cospiral
;
(2)
é
u
?
¿
Ý
R
-
P
,Hom
R
(
P,M
)
´
cospiral
R
-
;
(3)
X
J
cospiral
R
-
a
´
†
Ú
µ
4
,
é
u
?
¿
Ý
R
-
P
,
P
⊗
M
´
˜
‡
cospiral
.
y
²
(1)
⇒
(2)
w
,
.
(2)
⇒
(1)
P
=
R
.
(3)
⇒
(2)
é
u
?
¿
Ý
R
-
P
,
K
•
3
˜
‡
g
d
R
-
R
I
9
†
R
-
K
,
¦
R
P
⊕
R
K
∼
=
R
I
.
DOI:10.12677/aam.2022.1131081009
A^
ê
Æ
?
Ð
2
§
½
[
Â
,
,
·
‚
•
±
e
Ó
´
¤
á
:
Hom
R
(
R
I
,M
)
∼
=
Hom
R
(
R,M
)
I
∼
=
M
I
.
Ï
•
(1)
Ú
(2)
´
d
,
K
Œ
•
,
M
I
´
˜
‡
cospiral
R
-
,
q
ϱ
e
Ó
´
¤
á
:
Hom
R
(
R
I
,M
)
∼
=
Hom
R
(
R
P,M
)
⊕
Hom
R
(
R
K,M
)
,
¤
±
·
‚
Œ
±
Ñ
±
e
Ó
´
¤
á
:
M
I
∼
=
Hom
R
(
R
P,M
)
⊕
Hom
R
(
R
K,M
)
.
®
•
cospiral
R
-
a
´
†
Ú
µ
4
,
Ï
d
Hom
R
(
R
P,M
)
´
˜
‡
cospiral
R
-
.
¤
±
(2)
¤
á
.
(2)
⇒
(3)
é
u
?
¿
Ý
R
-
P
,
K
•
3
˜
‡
g
d
R
-
R
I
9
†
R
-
K
,
¦
R
P
⊕
R
K
∼
=
R
I
.
·
‚
k
±
e
Ó
¤
á
:
R
I
⊗
R
M
∼
=
(
R
⊗
R
M
)
I
∼
=
M
I
.
Ï
•
cospiral
R
-
´
†
È
µ
4
,
¤
±
Œ
•
,
M
I
´
˜
‡
cospiral
R
-
,
q
ϱ
e
Ó
´
¤
á
:
R
I
⊗
R
M
∼
=
(
R
P
⊗
R
M
)
⊕
(
R
K
⊗
R
M
)
,
¤
±
·
‚
Œ
±
Ñ
R
M
∼
=
(
R
P
⊗
R
M
)
⊕
(
R
K
⊗
R
M
)
∼
=
R
M
)
I
,
q
Ï
•
(3)
¥
cospiral
R
-
a
´
†
Ú
µ
4
,
Ï
d
R
P
⊗
R
M
´
˜
‡
cospiral
R
-
.
·
K
3.1.2
R
´
‚
¿
…
¦
cospiral
R
-
a
´
†
Ú
µ
4
,
@
o
e
d
:
(1)
C
(
R
R
)
´
Ý
;
(2)
?
¿
Ý
R
-
cospiral
•
ä
o
´
Ý
.
y
²
(1)
⇒
(2)
•
Ä
±
e
Ü
0
→
R
→
C
(
R
R
)
→
L
→
0
.
@
o
é
u
?
¿
Ý
R
-
P
,
Ñ
k
Ü
0
→
R
⊗
R
P
→
C
(
R
)
⊗
R
P
→
L
⊗
R
P
→
0
,
Ù
¥
L
´
˜
‡
level
R
-
.
e
y
:
L
⊗
R
P
´
˜
‡
level
R
-
.
é
u
?
¿
Ý
R
-
P
,
•
3
˜
‡
g
d
R
-
R
I
9
†
R
-
K
,
¦
R
P
⊕
R
K
∼
=
R
I
.
DOI:10.12677/aam.2022.1131081010
A^
ê
Æ
?
Ð
2
§
½
[
Â
·
‚
k
±
e
Ó
¤
á
:
R
I
⊗
R
L
∼
=
(
R
⊗
R
L
I
)
∼
=
L
I
,
Ù
¥
L
´
level
R
-
,
q
ϱ
e
Ó
´
¤
á
:
R
I
⊗
R
L
∼
=
(
R
P
⊗
R
L
)
⊕
(
R
K
⊗
R
L
)
,
¤
±
·
‚
Œ
±
Ñ
R
L
∼
=
(
R
P
⊗
R
L
)
⊕
(
R
K
⊗
R
L
)
.
q
Ï
•
level
R
-
a
´
†
Ú
µ
4
,
Ï
d
R
P
⊗
R
L
´
˜
‡
level
R
-
.
e
5
•
Ä
Ü
0
→
P
→
C
(
R
)
⊗
R
P.
P
f
:
P
→
C
(
R
)
⊗
R
P
,
Ï
•
L
⊗
R
P
´
˜
‡
level
R
-
,
¤
±
f
:
P
→
C
(
R
)
⊗
R
P
´
cospiral
ý
•
ä
,
d
®
•
^
‡
(1)
Œ
•
,
C
(
R
)
´
Ý
R
-
,
q
Ï
•
P
´
Ý
,
¤
±
Œ
±
Ñ
C
(
R
)
⊗
R
P
´
Ý
R
-
,
Ï
•
d
Ú
n
4.1.1
Œ
•
,
C
(
R
)
⊗
R
P
´
˜
‡
cospiral
R
-
,
¤
±
P
→
C
(
R
)
⊗
P
´
P
ý
•
ä
,
Ï
d
P
→
C
(
P
)
´
P
•
ä
,
¤
±
Œ
±
C
(
P
)
´
C
(
R
)
⊗
P
†
Ú
‘
,
¤
±
C
(
P
)
´
Ý
.
(2)
⇒
(1)
´
y
.
·
K
3.1.3
R
´
‚
,
X
J
D
(
R
)
≤
1(
=
,
R
´
˜
‡
¢
D
‚
),
@
o
é
u
?
¿
R
-
B,C
,
k
Ext
1
R
(
B,C
)
´
cospiral
R
-
.
y
²
é
u
?
¿
R
-
A,B,C
,
@
o
(1)
y
²
d
©
z
[[8],p.343]
Œ
•
,
k
Ó
:
Ext
1
R
(Tor
R
1
(
A,B
)
,C
)
∼
=
Ext
1
R
(
A,
Ext
1
R
(
B,C
)),
¤
±
(
Ø
´
¤
á
.
½
n
3.1.4
ϕ
:
R
→
S
´
‚
÷
Ó
.
X
J
R
S
´
˜
‡
k
•
)
¤
Ý
,
e
R
M
´
˜
‡
cospiral
R
-
,
@
o
S
Hom
R
(
S
S
,
R
M
)
´
˜
‡
cospiral
.
y
²
Ä
k
·
‚
k
y
²
é
u
?
¿
S
X
´
˜
‡
level
R
-
,
K
k
R
S
⊗
S
X
´
˜
‡
level
R
-
.
é
u
?
¿
type
FP
∞
-
S
F
,
K
k
Ü
···→
R
P
1
→
R
P
0
→
R
F
→
0
,
Ù
¥
z
˜
‡
R
P
i
Ñ
´
k
•
)
¤
Ý
.
K
þ
ã
Ü
Œ
±
p
Ñ
±
e
Ü
···→
R
P
1
⊗
R
S
→
R
P
0
⊗
R
S
→
R
F
⊗
R
S
→
0
.
®
•
R
S
´
k
•
)
¤
Ý
,
¤
±
Œ
±
Ñ
R
P
i
⊗
R
S
´
k
•
)
¤
Ý
,
Ï
d
·
‚
d
type
FP
∞
-
S
½
Â
Œ
•
,
R
F
⊗
R
S
´
type
FP
∞
-
S
S
-
,
=
Tor
S
1
(
R
F
⊗
R
S,X
) = 0
§
q
Ï
Tor
S
1
(
R
F
⊗
R
S,X
)
∼
=
Tor
R
1
(
R
F,
R
S
⊗
S
X
)
,
¤
±
Ñ
Tor
R
1
(
R
F,
R
S
⊗
S
X
) = 0
Ï
d
·
‚
y
²
Ñ
R
S
⊗
S
X
´
˜
‡
level
R
-
.
e
5
·
‚
y
²
S
Hom
R
(
S
S
,
R
M
)
´
˜
‡
cospiral
.
DOI:10.12677/aam.2022.1131081011
A^
ê
Æ
?
Ð
2
§
½
[
Â
Ï
•
®
•
M
R
´
˜
‡
cospiral
R
-
,
¤
±
d
cospiral
½
Â
Œ
•
, Ext
1
R
(
R
X,
R
M
)= 0,
,
,
k
Ó
Ext
1
S
(
S
X,
S
Hom
R
(
R
S
S
,
R
M
))
∼
=
Ext
1
R
(
R
X,
R
M
)
,
¤
±
Ext
1
S
(
S
X,
S
Hom
R
(
R
S
S
,
R
M
))=0,
Ï
d
·
‚
d
cospiral
½
Â
Œ
•
,
S
Hom
R
(
R
S
S
,
R
M
)
´
cospiral
.
Ä
7
‘
8
I
[
g
,
‰
Æ
“
c
Ä
7
]
Ï
‘
8
(11801515)
¶
I
[
g
,
‰
Æ
Ä
7
¡
þ
]
Ï
‘
8
(11571316)
"
ë
•
©
z
[1]Bravo,D.,Gillespie,J. andHovey,M.(2014) TheStableModuleCategoryofaGeneral Ring.
arXiv:1405.5768
[2]Hu,J.S.andGeng,Y.X.(2016)RelativeTorFunctorsforLevelModuleswithRespecttoa
SemidualizingBimodule.
AlgebrasandRepresentationTheory
,
19
,579-597.https://doi.org/
10.1007/s10468-015-9589-9
[3]Mao, L.X.andDing, N.Q.(2006)The CotorsionDimensionofModules andRings. In:Goeters,
P. and Jenda, O.M.G., Eds.,
AbelianGroups,Rings,Modules,andHomologicalAlgebra
,Chap-
manandHall/CRC,BocaRaton,57-73.
[4]
•
‹
,
•
á
Ÿ
.n-X-
{
L
†
n-X-
{
L
‘
ê
[J].
±
ô
Æ
Æ
,2012,33(2):15-18.
[5]Enochs,E.E.andJenda,O.M.G.(2000)RelativeHomologicalAlgebra.In:Birbrair,L.,
Maslov,V.P.,Neumann,W.D.,Pflaum,M.J.,Schleicher,D.andWendland,K.,Eds.,
De
GruyterExpositionsinMathematics
,Vol.30,DeGruyte,Berlin.
https://doi.org/10.1515/9783110803662
[6]Enochs, E.E., Jenda,O.M.G.and Lopez-Ramos,J.A.(2004) TheExistence ofGorenstein Flat
Covers.
MathematicaScandinavica
,
94
,46-62.
https://doi.org/10.7146/math.scand.a-14429
[7]Xu, J.Z. (1996)Flat CoversofModules. In:
LectureNotesinMathematics
, Vol. 1634, Springer,
Berlin.
[8]Rotman,J.J.(1979)AnIntroductiontoHomologicalAlgebra.AcademicPress,NewYork.
DOI:10.12677/aam.2022.1131081012
A^
ê
Æ
?
Ð