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●Linked References
●How to Cite this Article
AdvancesinAppliedMathematics
A^
ê
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Ð
,2022,11(3),1412-1419
PublishedOnlineMarch2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2022.113154
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IterativeSolutionsofFractional
DifferentialEquationsonInfiniteInterval
XiaodieHu,YingWang
∗
,MengqiKan,DeyangGu
SchoolofMathematicsandStatistics,LinyiUniversity,LinyiShandong
Received:Feb.28
th
,2022;accepted:Mar.22
nd
,2022;published:Mar.29
th
,2022
Abstract
Inthispaper,wemainlyinvestigatethefractionaldifferentialequationoninfinite
interval.Undercertain conditions,weestablishtheexistenceofextremalsolutionsas
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,2022,11(3):
1412-1419.DOI:10.12677/aam.2022.113154
¡
R
wellasiterativeschemesbyemployingthemonotoneiterativetechnique.
Keywords
FractionalDifferentialEquation,IterativeSolution,InfiniteInterval
Copyright
c
2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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DOI:10.12677/aam.2022.1131541413
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DOI:10.12677/aam.2022.1131541414
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∞
),
K
w
0
(
t
)
∈
K
d
.
-
w
1
=
Tw
0
,
w
2
=
Tw
1
=
T
2
w
0
,
d
½
n
3.1
,
w
1
,w
2
∈
K
d
.
½
Â
w
n
+1
=
Tw
n
=
T
n
w
0
, n
=1
,
2
,
···
.
du
T
:
K
d
→
K
d
,
·
‚
k
w
n
∈
T
(
K
d
)
⊂
K
d
,
w
n
∈
A
(
K
d
)
⊂
K
d
.
d
Ž
f
T
ë
Y5
Œ
•
{
w
n
}
∞
n
=1
´
E
¥
;
8
.
d
DOI:10.12677/aam.2022.1131541416
A^
ê
Æ
?
Ð
¡
R
^
‡
(
H
3
),
·
‚
k
w
1
(
t
) =
Z
+
∞
0
G
(
t,s
)
a
(
s
)
f
(
s,w
0
(
s
)
ds
≤
ω
Z
+
∞
0
a
(
s
)
f
(
s,w
0
(
s
)
ds
≤
ωt
α
−
1
Z
+
∞
0
a
(
s
)
f
(
s,w
0
(
s
)
ds
≤
dt
α
−
1
=
w
0
(
t
)
.
(3
.
3)
d
(3.3)
ª
Ú
^
‡
(
H
2
)
Œ
w
2
=
Tw
1
≤
Tw
0
=
w
1
.
(3
.
4)
8
B
Œ
w
n
+1
≤
w
n
,n
= 1
,
2
,
···
.
(3
.
5)
Ï
d
,
•
3
w
∗
∈
K
÷
v
w
n
→
w
∗
,
n
→
+
∞
.
d
T
ë
Y5
Ú
w
n
+1
=
Tw
n
,
k
Tw
∗
=
w
∗
.
,
˜
•
¡
,
du
ν
0
(
t
)=0,
t
∈
[0
,
+
∞
),
K
ν
0
(
t
)
∈
K
d
.
-
ν
1
=
Tν
0
,
ν
2
=
Tν
1
=
T
2
ν
0
,
d
½
n
3.1
Œ
ν
1
,ν
2
∈
K
d
.
P
ν
n
+1
=
Tν
n
=
T
n
ν
0
, n
=1
,
2
,
···
.
du
T
:
K
d
→
K
d
,
·
‚
k
ν
n
∈
T
(
K
d
)
⊂
K
d
.
d
T
ë
Y5
Œ
•
{
ν
n
}
∞
n
=1
´
E
¥
;
8
.
du
ν
1
=
Tν
0
∈
K
d
,
k
ν
2
=
Tν
1
≥
0
.
8
B
Œ
ν
n
+1
≥
ν
n
,n
= 1
,
2
,
···
.
(3
.
6)
Ï
d
,
•
3
ν
∗
∈
K
÷
v
ν
n
→
ν
∗
,
n
→
+
∞
.
A^
T
ë
Y5
Ú
ν
n
+1
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Tν
n
,
·
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Tν
∗
=
ν
∗
.
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¡
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w
∗
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ν
∗
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3
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−
1
]
þ
4
Œ
)
Ú
4
)
.
b
u
∈
(0
,dt
α
−
1
]
´
BVP(1.1)
?
˜
)
,
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Tu
=
u
.
du
T
´
š
~
,
ν
0
(
t
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u
(
t
)
≤
dt
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−
1
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w
0
(
t
),
Ï
d
,
·
‚
k
ν
1
(
t
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(
Tν
0
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t
)
≤
u
(
t
)
≤
(
Tw
0
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t
) =
w
1
(
t
),
t
∈
[0
,
+
∞
).
8
B
Œ
ν
n
≤
u
≤
w
n
,n
= 1
,
2
,
3
,
···
.
(3
.
7)
du
w
∗
= lim
n
→
+
∞
w
n
,ν
∗
= lim
n
→
+
∞
ν
n
,
d
(3.3)-(3.7)
ª
,
Œ
±
ν
0
≤
ν
1
≤···
ν
n
≤···≤
ν
∗
≤
u
≤
w
∗
≤···≤
w
n
≤···≤
w
1
≤
w
0
.
(3
.
8)
du
f
(
t,
0)
6≡
0
,t
∈
[0
,
+
∞
),
0
Ø
´
BVP(1.1)
)
.
¤
±
,
d
(3.8)
ª
Œ
•
w
∗
Ú
ν
∗
´
BVP(1.1)
3
(0
,dt
α
−
1
]
þ
4
Œ
)
Ú
4
)
,
¿
…
w
∗
Ú
ν
∗
Œ
±
d
S
“
S
w
n
=
Tw
n
−
1
,ν
n
=
Tν
n
−
1
.
DOI:10.12677/aam.2022.1131541417
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(X202110452130)
Ü
©
]
Ï
"
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•
©
z
[1]Kueser,A. (1996)Untersuchung und asymptotische darstellung der intergrale genwisserdiffer-
entialgleichungenbeigrossenwerthendesarguments.
Journalf¨urdieReineundAngewandte
Mathematik
,
116
,178-212.
[2]Agarwal,P.R.andO’Regan,D.(2001)InfiniteIntervalProblemsforDifferential,Difference
andIntegralEquations.KluwerAcademicPublishers,Dordrecht.
https://doi.org/10.1007/978-94-010-0718-4
[3]Zhao, X. and Ge, W.(2010) Unbounded SolutionsforaFractional DifferentialBoundary Value
ProblemsontheInfiniteInterval.
ActaApplicandaeMathematicae
,
109
,495-505.
https://doi.org/10.1007/s10440-008-9329-9
[4]Liang,S.andZhang,J.(2011)ExistenceofThreePositiveSolutionsofm-PointBoundary
ValueProblemsforSomeNonlinearFractionalDifferentialEquationsonanInfiniteInterval.
ComputersandMathematicswithApplications
,
61
,3343-3354.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.04.018
[5]Liang,S.and Zhang,J.(2011)Existence of MultiplePositive Solutionsform-PointFractional
BoundaryValueProblemsonan InfiniteInterval.
MathematicalandComputerModelling
,
54
,
1334-1346.https://doi.org/10.1016/j.mcm.2011.04.004
[6]Zhang,X.andZhong,Q.(2018)TriplePositiveSolutionsforNonlocalFractionalDifferential
Equations with Singularities Bothon Timeand SpaceVariables.
AppliedMathematicsLetters
,
80
,12-19.https://doi.org/10.1016/j.aml.2017.12.022
[7]Wang,F.,Liu,L.andWu,Y.(2019)IterativeUniquePositiveSolutionsforaNewClassof
Nonlinear SingularHigher OrderFractionalDifferential EquationswithMixed-Type Boundary
ValueConditions.
JournalofInequalitiesandApplications
,
2019
,ArticleNo.210.
https://doi.org/10.1186/s13660-019-2164-x
[8]Tan,J.,Zhang,X.,Liu,L.andWu,Y.(2021)AnIterativeAlgorithmforSolvingn-Order
FractionalDifferentialEquationwithMixedIntegralandMultipointBoundaryConditions.
Complexity
,
2021
,ArticleID:8898859.https://doi.org/10.1155/2021/8898859
[9]Podlubny,I.(1999)FractionalDifferentialEquations,Vol.198.AcademicPress,SanDiego,
CA.
[10]Miller,K.S.andRoss,B.(1993)AnIntroductiontotheFractionalCalculusandFractional
DifferentialEquations.Wiley,NewYork.
DOI:10.12677/aam.2022.1131541418
A^
ê
Æ
?
Ð
¡
R
[11]Liu, Y.(2002)BoundaryValueProblemforSecondOrderDifferentialEquationsonUnbounded
Domain.
ActaAnalysisFunctionalisApplicata
,
4
,211-216.
[12]Corduneanu, C.(1973)Integral Equations andStability of Feedback Systems.AcademicPress,
NewYork.
DOI:10.12677/aam.2022.1131541419
A^
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