Pure Mathematics
Vol.05 No.02(2015), Article ID:14912,4 pages
10.12677/PM.2015.52008

Partial Orders on U-Superabundant Semigroups

Yanan Yang, Xueming Ren

School of Science, Xi’an University of Architecture & Technology, Xi’an Shaanxi

Email: 376548195@qq.com

Received: Feb. 18th, 2015; accepted: Feb. 27th, 2015; published: Mar. 5th, 2015

Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

The partial orders and on U-superabundant semigroups are defined. It is pro- ved that the partial order about the multiplication on is compatible if and only if that the U-superabundant semigroups is a locally generalized Clifford semigroup.

Keywords:U-Superabundant Semigroups, Partical Order, Compatiblility, Generalized Clifford Semigroup

U-超富足半群上的偏序

杨亚楠,任学明

西安建筑科技大学理学院,陕西 西安

Email: 376548195@qq.com

收稿日期:2015年2月18日;录用日期:2015年2月27日;发布日期:2015年3月5日

摘 要

定义了U-超富足半群上的偏序及£。证明了偏序关于上的乘法是相容的,当且仅当为局部广义Clifford半群。

关键词 :U-超富足半群,偏序,相容性,广义Clifford半群

1. 引言

令S为一半群,为S的幂等元集合.取定的一个非空子集U,称其为S的投射元集。由Lawson的文献[1] ,半群S上的关系分别定义如下:

易知,均为S上的等价关系。它们的交来表示,它们的连来表示。易证。据文献[2] 知,当S为正则半群时,

若半群S的每一个类和每一个类都含有U中的元素,则称U-半群S为半富足半群。若U-半富足半群S满足同余条件,即为S上的右同余,为S上的左同余,则称S为富足半群。每一个类都含有U中的元素的U-富足半群,称其为U-超富足半群,记为。易知,完全正则半群,超富足半群都是U-超富足半群。

2. 准备知识

为U-超富足半群,且。本文总记元素a所在的-类的U中的元素为为由a生成的最小U允许左理想;对偶地,为由a生成的最小U允许右理想。本文将主要研究U-超富足半群上的几个偏序。我们先给出以下几个引理。

引理1 [3] 在U-超富足半群中,令,则有

(1)

(2)

引理2 [4] 令为U-超富足半群,且。若,则

引理3 [4] 在U-超富足半群中,

引理4 [4] 在U-超富足半群中,

引理5 [4] 令S为半群,,则

(1),当且仅当

(2),当且仅当

推论6 令S为半群,对任意的,则

(1)

(2)

证明 (1) 因是包含a的S的一个左理想,而是包含a的最小左理想,故。于是,。这就证明了

类似地,我们可以证明(2)。

引理7 [4] 在U-超富足半群中,若,则下列两款成立:

(1),当且仅当对于任意。特别地,

(2),当且仅当对于任意。特别地,

引理8 [5] 令为U-超富足半群,。若,则

3. 主要结果及证明

首先,回忆在半群S的幂等元集上的两个前序

,如下定义前序

,当且仅当

,当且仅当

,当且仅当

现在,我们给出U-超富足半群上的几个偏序的定义。

定义1 令为U-超富足半群,则关于任意

(1),当且仅当

(2),当且仅当

(3),当且仅当

定理2 令为U-超富足半群,则均为上的偏序。

证明 我们只需证明定义1(1),类似地可证明(2),由(1)及(2),即可得(3)。

自反性。令,因为U-超富足半群,则,由引理7,有,又由,即,故

反对称性。令。则由定义1(1)得,,即。注意到,则

传递性。令,则由定义1(1)得,。则,注意到,,则,因此,,注意到,故,类似可得,,故,注意到,则,即,因此

命题3 令为U-超富足半群,,则

证明 因,且,则。由引理1可得,,即,则

命题4 令为U-超富足半群,,若,则

证明 据定义1(1),,当且仅当。由假设,若,注意到,由命题3,则。从而

半群S上的关系r称为左相容的,若关于任意蕴涵,对偶地,可有r为右相容的,半群S上的关系r称为相容的,如果r既为左相容的,又为右相容的。

定义5 完全正则半群S称为Clifford半群,若S中每个幂等元都是可交换的。

定义6 U-富足半群S称为广义Clifford半群,若S中每个投射元都在S的中心里。

定义7 半群S称为局部P半群,若关于任意满足性质P。

定理8 若是U-超富足半群,则关于上的乘法是相容的,当且仅当为局部广义Clifford半群。

证明 必要性。首先,证明关于任意的一个子半群。

,则存在,使得,由此可得,,即的一个子半群。

其次,容易验证,若为U-超富足半群,则也为U-超富足半群。

最后,若关于S上的乘法是相容的,则关于任意,有。据命题3,可得。注意到,,又若,则。若,则

由文献[4] 知,在U-超富足半群中,有,即。又因,则,又据引理4得,,则据引理3,存在,使得。注意到,故。因在正则条件下,,则,因此根据以上的推导,可得

,因此中的投射元都在中心上。至此,我们证明了是一个局部广义Clifford半群。

充分性。首先,证明关于上的乘法是左相容的。

,由定义1(1)知,。则,且关于任意,有。因,则。由此可得

从而,,因此。注意到为局部广义Clifford半群,为一个半格,则我们可得

(a)

(b)

(c)

(d)

据引理5及推论6,可得

,故存在,使得。因此,另外,由(a),(d)及命题3得,,则有,

.

因此,。即关于上乘法是左相容的。

下证,关于上的乘法是右相容的。

,且,则,从而,注意到为U-超富足半群,则有

则可得到,且注意到,则有

.

据引理8,可得,

从而,

因此,可得

。这蕴含着,由此可得

从而,,注意到为局部广义Clifford半群且为一个半格,有

易知,。令,则。因为为局部广义Clifford半群,有为广义Clifford半群,从而可得

注意到,上的右同余,则可得,从而可得

由左相容性的证明过程可知,,即关于上乘法是右相容的。

至此,关于上乘法是相容的得到了证明。

基金项目

国家自然科学基金项目(批准号:11471255)。

文章引用

杨亚楠,任学明, (2015) U-超富足半群上的偏序
Partial Orders on U-Superabundant Semigroups. 理论数学,02,54-58. doi: 10.12677/PM.2015.52008

参考文献 (References)

  1. 1. Lawson, M.V. (1990) Rees matrix semigroups. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 33, 23-37.

  2. 2. Petrich, M. and Reilly, N.R. (1999) Completely regular semigroups. New York, John Wiley & Sons.

  3. 3. Lawson, M.V. (1991). Semigroups and ordered categories. I. the reduced case. Journal of Algebra, 141, 422-462.

  4. 4. 任学明, 岑嘉评, 郭聿琦 (2009) 半群的广义Clifford定理.中国科学(A辑), 10, 1211-1215.

  5. 5. Qiu, X.W., Guo, X.J. and Shum, K.P. (2013) Strongly rpp semigroups endowed with some natural partial orders. Journal of Semigroup Theory and Applications, 7, 2051-2937.

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