ABSTRACT

The partial orders and on U-superabundant semigroups are defined. It is pro- ved that the partial order about the multiplication on is compatible if and only if that the U-superabundant semigroups is a locally generalized Clifford semigroup.

Keywords:U-Superabundant Semigroups, Partical Order, Compatiblility, Generalized Clifford Semigroup

U-超富足半群上的偏序

杨亚楠，任学明

西安建筑科技大学理学院，陕西 西安

Email: 376548195@qq.com

收稿日期：2015年2月18日；录用日期：2015年2月27日；发布日期：2015年3月5日

摘 要

定义了U-超富足半群上的偏序及£。证明了偏序关于上的乘法是相容的，当且仅当为局部广义Clifford半群。

关键词 :U-超富足半群，偏序，相容性，广义Clifford半群

1. 引言

令S为一半群，为S的幂等元集合.取定的一个非空子集U，称其为S的投射元集。由Lawson的文献[1] ，半群S上的关系和分别定义如下：

易知，，均为S上的等价关系。它们的交用来表示，它们的连用来表示。易证，。据文献[2] 知，当S为正则半群时，，。

若半群S的每一个类和每一个类都含有U中的元素，则称U-半群S为半富足半群。若U-半富足半群S满足同余条件，即为S上的右同余，为S上的左同余，则称S为富足半群。每一个类都含有U中的元素的U-富足半群，称其为U-超富足半群，记为。易知，完全正则半群，超富足半群都是U-超富足半群。

2. 准备知识

令为U-超富足半群，且。本文总记元素a所在的-类的U中的元素为。为由a生成的最小U允许左理想；对偶地，为由a生成的最小U允许右理想。本文将主要研究U-超富足半群上的几个偏序。我们先给出以下几个引理。

引理1 [3] 在U-超富足半群中，令，则有

(1)；

(2)。

引理2 [4] 令为U-超富足半群，且。若，则。

引理3 [4] 在U-超富足半群中，。

引理4 [4] 在U-超富足半群中，。

引理5 [4] 令S为半群，，则

(1)，当且仅当；

(2)，当且仅当。

推论6 令S为半群，对任意的，则

(1)；

(2)。

证明 (1) 因是包含a的S的一个左理想，而是包含a的最小左理想，故。于是，。这就证明了。

类似地，我们可以证明(2)。

引理7 [4] 在U-超富足半群中，若，，则下列两款成立：

(1)，当且仅当对于任意，。特别地，。

(2)，当且仅当对于任意，。特别地，。

引理8 [5] 令为U-超富足半群，。若，则。

3. 主要结果及证明

首先，回忆在半群S的幂等元集上的两个前序和。

令，如下定义前序与：

，当且仅当；

，当且仅当；

，当且仅当。

现在，我们给出U-超富足半群上的几个偏序的定义。

定义1 令为U-超富足半群，则关于任意，

(1)，当且仅当且；

(2)，当且仅当且；

(3)，当且仅当且。

定理2 令为U-超富足半群，则及均为上的偏序。

证明 我们只需证明定义1(1)，类似地可证明(2)，由(1)及(2)，即可得(3)。

自反性。令，因为U-超富足半群，则，由引理7，有，又由，即，故。

反对称性。令，且。则由定义1(1)得，，且，即。注意到，则。

传递性。令，且，则由定义1(1)得，，且，。则，，注意到，，，则，，因此，，注意到，故，类似可得，，故，，注意到，则，即，因此。

命题3 令为U-超富足半群，且，则。

证明 因,且，则且。由引理1可得，且，即，则。

命题4 令为U-超富足半群，且，若，则。

证明 据定义1(1)，，当且仅当且。由假设，若，注意到，由命题3，则。从而。

半群S上的关系r称为左相容的，若关于任意，蕴涵，对偶地，可有r为右相容的，半群S上的关系r称为相容的，如果r既为左相容的，又为右相容的。

定义5 完全正则半群S称为Clifford半群，若S中每个幂等元都是可交换的。

定义6 U-富足半群S称为广义Clifford半群，若S中每个投射元都在S的中心里。

定义7 半群S称为局部P半群，若关于任意，满足性质P。

定理8 若是U-超富足半群，则关于上的乘法是相容的，当且仅当为局部广义Clifford半群。

证明 必要性。首先，证明关于任意，为的一个子半群。

若，则存在，使得，由此可得，，即为的一个子半群。

其次，容易验证，若为U-超富足半群，则也为U-超富足半群。

最后，若关于S上的乘法是相容的，则关于任意，且，有及，。据命题3，可得。注意到，，又若，则。若，则。

由文献[4] 知，在U-超富足半群中，有，即。又因且，则，又据引理4得，，则据引理3，存在，使得且。注意到，故且。因在正则条件下，，则且，因此根据以上的推导，可得，

又，因此中的投射元都在中心上。至此，我们证明了是一个局部广义Clifford半群。

充分性。首先，证明关于上的乘法是左相容的。

令且，由定义1(1)知，，。则，且关于任意，有。因且，则。由此可得

从而，且，因此。注意到为局部广义Clifford半群，为一个半格，则我们可得

(a)；

(b)；

(c)；

(d)。

据引理5及推论6，可得

因，故存在，使得。因此，另外，由(a)，(d)及命题3得，，则有，

.

因此，。即关于上乘法是左相容的。

下证，关于上的乘法是右相容的。

令，且，则，从而，注意到为U-超富足半群，则有

则可得到，且注意到，则有

.

据引理8，可得，

从而，。

因此，可得

且。这蕴含着，由此可得

。

从而，，注意到，为局部广义Clifford半群且为一个半格，有

易知，。令，则且。因为为局部广义Clifford半群，有为广义Clifford半群，从而可得

。

注意到，且为上的右同余，则可得，从而可得

由左相容性的证明过程可知，，即关于上乘法是右相容的。

至此，关于上乘法是相容的得到了证明。

基金项目

国家自然科学基金项目(批准号：11471255)。

文章引用

杨亚楠,任学明, (2015) U-超富足半群上的偏序
Partial Orders on U-Superabundant Semigroups. 理论数学,02,54-58. doi: 10.12677/PM.2015.52008

参考文献 (References)