Pure Mathematics
Vol.05 No.02(2015), Article ID:14912,4
pages
10.12677/PM.2015.52008
Partial Orders on U-Superabundant Semigroups
Yanan Yang, Xueming Ren
School of Science, Xi’an University of Architecture & Technology, Xi’an Shaanxi
Email: 376548195@qq.com
Received: Feb. 18th, 2015; accepted: Feb. 27th, 2015; published: Mar. 5th, 2015
Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
The partial orders and
on U-superabundant semigroups
are defined. It is pro- ved that the partial order
about the multiplication on
is compatible if and only if that the U-superabundant semigroups
is a locally generalized Clifford semigroup.
Keywords:U-Superabundant Semigroups, Partical Order, Compatiblility, Generalized Clifford Semigroup
U-超富足半群上的偏序
杨亚楠,任学明
西安建筑科技大学理学院,陕西 西安
Email: 376548195@qq.com
收稿日期:2015年2月18日;录用日期:2015年2月27日;发布日期:2015年3月5日
摘 要
定义了U-超富足半群上的偏序
及£。证明了偏序
关于
上的乘法是相容的,当且仅当
为局部广义Clifford半群。
关键词 :U-超富足半群,偏序,相容性,广义Clifford半群
1. 引言
令S为一半群,为S的幂等元集合.取定
的一个非空子集U,称其为S的投射元集。由Lawson的文献[1] ,半群S上的关系
和
分别定义如下:
易知,,
均为S上的等价关系。它们的交
用
来表示,它们的连
用
来表示。易证
,
。据文献[2] 知,当S为正则半群时,
,
。
若半群S的每一个类和每一个
类都含有U中的元素,则称U-半群S为半富足半群。若U-半富足半群S满足同余条件,即
为S上的右同余,
为S上的左同余,则称S为富足半群。每一个
类都含有U中的元素的U-富足半群,称其为U-超富足半群,记为
。易知,完全正则半群,超富足半群都是U-超富足半群。
2. 准备知识
令为U-超富足半群,且
。本文总记元素a所在的
-类的U中的元素为
。
为由a生成的最小U允许左理想;对偶地,
为由a生成的最小U允许右理想。本文将主要研究U-超富足半群
上的几个偏序。我们先给出以下几个引理。
引理1 [3] 在U-超富足半群中,令
,则有
(1);
(2)。
引理2 [4] 令为U-超富足半群,且
。若
,则
。
引理3 [4] 在U-超富足半群中,
。
引理4 [4] 在U-超富足半群中,
。
引理5 [4] 令S为半群,,则
(1),当且仅当
;
(2),当且仅当
。
推论6 令S为半群,对任意的,则
(1);
(2)。
证明 (1) 因是包含a的S的一个左理想,而
是包含a的最小左理想,故
。于是,
。这就证明了
。
类似地,我们可以证明(2)。
引理7 [4] 在U-超富足半群中,若
,
,则下列两款成立:
(1),当且仅当对于任意
,
。特别地,
。
(2),当且仅当对于任意
,
。特别地,
。
引理8 [5] 令为U-超富足半群,
。若
,则
。
3. 主要结果及证明
首先,回忆在半群S的幂等元集上的两个前序
和
。
令,如下定义前序
与
:
,当且仅当
;
,当且仅当
;
,当且仅当
。
现在,我们给出U-超富足半群上的几个偏序的定义。
定义1 令为U-超富足半群,则关于任意
,
(1),当且仅当
且
;
(2),当且仅当
且
;
(3),当且仅当
且
。
定理2 令为U-超富足半群,则
及
均为
上的偏序。
证明 我们只需证明定义1(1),类似地可证明(2),由(1)及(2),即可得(3)。
自反性。令,因
为U-超富足半群,则
,由引理7,有
,又由
,即
,故
。
反对称性。令,
且
。则由定义1(1)得,
,
且
,即
。注意到
,则
。
传递性。令,
且
,则由定义1(1)得,
,
且
,
。则
,
,注意到,
,
,则
,
,因此,
,注意到
,故
,类似可得,
,故
,
,注意到
,则
,即
,因此
。
命题3 令为U-超富足半群,
且
,则
。
证明 因,且
,则
且
。由引理1可得,
且
,即
,则
。
命题4 令为U-超富足半群,
且
,若
,则
。
证明 据定义1(1),,当且仅当
且
。由假设,若
,注意到
,由命题3,则
。从而
。
半群S上的关系r称为左相容的,若关于任意,
蕴涵
,对偶地,可有r为右相容的,半群S上的关系r称为相容的,如果r既为左相容的,又为右相容的。
定义5 完全正则半群S称为Clifford半群,若S中每个幂等元都是可交换的。
定义6 U-富足半群S称为广义Clifford半群,若S中每个投射元都在S的中心里。
定义7 半群S称为局部P半群,若关于任意,
满足性质P。
定理8 若是U-超富足半群,则
关于
上的乘法是相容的,当且仅当
为局部广义Clifford半群。
证明 必要性。首先,证明关于任意,
为
的一个子半群。
若,则存在
,使得
,由此可得,
,即
为
的一个子半群。
其次,容易验证,若为U-超富足半群,则
也为U-超富足半群。
最后,若关于S上的乘法是相容的,则关于任意
,
且
,有
及
,
。据命题3,可得
。注意到,
,又若
,则
。若
,则
。
由文献[4] 知,在U-超富足半群中,有
,即
。又因
且
,则
,又据引理4得,
,则据引理3,存在
,使得
且
。注意到
,故
且
。因在正则条件下,
,则
且
,因此根据以上的推导,可得
,
又,因此
中的投射元都在中心上。至此,我们证明了
是一个局部广义Clifford半群。
充分性。首先,证明关于
上的乘法是左相容的。
令且
,由定义1(1)知,
,
。则
,且关于任意
,有
。因
且
,则
。由此可得
从而,且
,因此
。注意到
为局部广义Clifford半群,
为一个半格,则我们可得
(a);
(b);
(c);
(d)。
据引理5及推论6,可得
因,故存在
,使得
。因此
,另外,由(a),(d)及命题3得,
,则有,
.
因此,。即
关于
上乘法是左相容的。
下证,关于
上的乘法是右相容的。
令,且
,则
,从而
,注意到
为U-超富足半群,则有
则可得到,且注意到
,则有
.
据引理8,可得,
从而,。
因此,可得
且。这蕴含着
,由此可得
。
从而,,注意到
,
为局部广义Clifford半群且
为一个半格,有
易知,。令
,则
且
。因为
为局部广义Clifford半群,有
为广义Clifford半群,从而可得
。
注意到,且
为
上的右同余,则可得
,从而可得
由左相容性的证明过程可知,,即
关于
上乘法是右相容的。
至此,关于
上乘法是相容的得到了证明。
基金项目
国家自然科学基金项目(批准号:11471255)。
文章引用
杨亚楠,任学明, (2015) U-超富足半群上的偏序
Partial Orders on U-Superabundant Semigroups. 理论数学,02,54-58. doi: 10.12677/PM.2015.52008
参考文献 (References)
- 1. Lawson, M.V. (1990) Rees matrix semigroups. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 33, 23-37.
- 2. Petrich, M. and Reilly, N.R. (1999) Completely regular semigroups. New York, John Wiley & Sons.
- 3. Lawson, M.V. (1991). Semigroups and ordered categories. I. the reduced case. Journal of Algebra, 141, 422-462.
- 4. 任学明, 岑嘉评, 郭聿琦 (2009) 半群的广义Clifford定理.中国科学(A辑), 10, 1211-1215.
- 5. Qiu, X.W., Guo, X.J. and Shum, K.P. (2013) Strongly rpp semigroups endowed with some natural partial orders. Journal of Semigroup Theory and Applications, 7, 2051-2937.