ABSTRACT

In this paper we give a modular norm for Orlicz-Sobolev spaces, and obtain a necessary and sufficient condition for the Orlicz-Sobolev spaces which is formed by strictly convex N function to be rotund.

Keywords:Orlicz-Sobolev Spaces, Extreme Points, Rotund, Modular Norm

Orlicz-Sobolev空间的端点与严格凸性

曹法赟

上海大学理学院，上海

Email: caofayun@126.com

收稿日期：2015年5月7日；录用日期：2015年5月22日；发布日期：2015年5月29日

摘 要

本文在Orlicz-Sobolev空间上给出了一种模范数，给出了由严格凸N函数生成Orlicz-Sobolev空间严格凸的充要条件。

关键词 :Olicz-Sobolev空间，端点，严格凸，模范数

1. 引言

Orlicz空间是泛函分析的一个重要分支，它深入地研究了比熟知的空间更加广泛的一类空间，Sobolev空间是20世纪初形成的有着重要价值的数学模型，在方程理论有着重要的应用价值，Orlicz-Sobolev空间则是Sobolev空间的重要推广，Orlicz-Sobolev空间的发展不仅完善了Banach空间理论，而且为解决实际问题提供了丰富的模型。空间的严格凸性在最佳逼近和最优化控制等领域有着直接的应用。所以研究Orlicz-Sobolev空间的严格凸性有着深远的意义。本文在Orlicz-Sobolev空间上给出了一种模范数，得到了摸与范数的关系式。给出了了由严格凸N函数生成的Orlicz-Sobolev空间严格凸的充要条件。2001年，陈述涛和胡长英[1] 给出了Orlicz-Sobolev空间关于Luxemburg范数的端点和严格凸的充要条件，但是文章中已经假定满足条件，同年二人 [2] 讨论Orlicz-Sobolev空间关于最大值范数的端点和严格凸的性质，但未对空间严格凸的充要条件进行深入讨论，本文给出了一种新的Luxemburg范数，在此范数形成的Orlicz-Sobolev空间与Orlicz有着很多平行的性质，可以用研究Orlicz空间的方法来研究Orlicz-Sobolev空间。

2. 预备知识

定义 1 [3] ：函数为函数是指满足如下条件：

1)为偶的，连续的，凸函数且；

2) 当时时，；

3)，。

若还有：，有则称是严格凸的。

用表示维Euclid空间中的有界集，是定义在上Lebesgue可测函数，

，是的线性子空间，在上定义如下实值函数：

则为Banach空间。

定义2 [4] ：称在区间仿射是指：使得，。

定义3 [4] ：是指：，满足：

若则有。

定义4 [4] ：设为函数，，若且，则有，就称为的严格凸点，其严格凸点全体记为。

定义5 [5] ：设是Banach空间，是其单位闭球，为单位球面，，若，且，则有就称为的端点，其端点的全体记为，若有，则称是严格凸空间。

定义6 [6] ：设为函数，是中有界连通开集，定义如下集合：

其中为的阶弱导数，则为的线性子空间，在上定义如下两实值函数：

则，均是Banach空间。

3. 主要结果

定理1 设为函数，为中有界连通开集，在上定义如下实值函数：

则为Banach空间。

证明：容易证明是上的范数，记为满足的个数，，下面证明与等价，因为

所以，另一方面

从而有，故两者等价，故为Banach空间。

定理2 设为函数，为中有界连通开集，设则有：

1) 若，则；

2)，则；

3) 若，则；

4) 若，则。

证明：1) 由的定义容易证明。

2) 由的定义知，使得，且有如下三条性质：

①非负可测，

②，

③

由Levy定理可知：，所以有：

即，所以。

3)，则，则3)成立；

，由的凸性可知：

从而。

4) 因为所以，故关于在上连续，于是关于在上连续，对于，有，结合3)可得

定理3 设为函数，为中有界连通开集，若有：

1)

2)

则

证明：设由定理2知

，由的凸性可知：

(1)

从而以上不等式中各项均相等，所以

(2)

结合(1) (2)得：

特别地当时

再由得a.e on，所以。

定理4为函数，为中有界连通开集，。若存在以及的仿射区间满足：

则

证明：记，由于内部非空所以取，使得，，并且。

定义如下两个函数：

则，令：

且，，取。

定义如下函数：

则，，。

令在上为：

则：

所以，同理可得由定理2知，再由可知。

定理5 设为严格凸函数，为中有界连通开方体，则

严格凸的充要条件是。

证明 充分性：结合定理3与定理2的4)可证得。

必要性：假设则存在，使得

令不妨设，取：和满足：，取和使得，依次可取得和满足，，显然有并且当时，令则：

所以

，使得从而：

由的定义可知，由的任意性知，所以。

取，当时，有

取，当时，有

令

则

当时

而

从而有

从而。又因为：

所以，故。

令，

当时

取，使得，，，且

。

定义如下两个函数：

则令：

且，，取，定义如下函数：

则，，。

所以：

即，同理得，所以，而，所以，这与严格凸相矛盾所以假设不成立，故。

推论1 设为严格凸函数，为中有界连通开方体，则

当且仅当。

文章引用

曹法赟, (2015) Orlicz-Sobolev空间的端点与严格凸性
The Extreme Points and Rotundity of Orlicz-Sobolev Spaces. 理论数学,03,111-120. doi: 10.12677/PM.2015.53018

参考文献 (References)