ABSTRACT

Berwald type -metrics are those Finsler metrics expressed as, where is a Riemannian metric, and is a 1-form. In this paper, by using a special deformations for and due to, we provide a characterization for locally projectively flat Berwald tpye -metrics. Our characterization is simpler than the corresponding results of other researchers. Moreover, the geometrical structure of locally projectively flat Berwald type -metrics is much clearer.

Keywords:Finsler Geometry, -Metrics, Projective Flatness

局部射影平坦Berwald型(α, β)度量的一个刻画

余昌涛

华南师范大学数学科学学院，广东 广州

Email: yct9858@sohu.com

收稿日期：2015年7月4日；录用日期：2015年7月16日；发布日期：2015年7月22日

摘 要

Berwald型度量是形如的芬斯勒度量，其中是一个黎曼度量，是一个1形式。本文利用对和做一种特殊的度量形变，由此可以得到局部射影平坦Berwald型度量的一个刻画。该刻画不仅比其他研究者的相应方法和结论简单，而且从中我们可以看到局部射影平坦Berwald型度量更为明确的几何结构。

关键词 :芬斯勒几何，度量，射影平坦

1. 引言

1900年，希尔伯特提出了23个数学问题，其中第四问题是求解所有以直线段为连接两点的最短路径的距离函数。在光滑情形下，希尔伯特第四问题便是求解所有欧氏空间的开集上以直线段为测地线的芬斯勒度量，具有这种性质的芬斯勒度量被称为是射影平坦的[1] 。芬斯勒度量是比黎曼度量更广泛的一类度量，它取消了对范数是二次型的限制[2] 。

有一些芬斯勒度量和黎曼度量比较接近，如Randers度量是由一个黎曼度量和一个1形式相加而得到的[3] 。而比Randers度量更一般的一类度量具有的形式，其中是一个光滑函数。这类度量被称为度量[4] 。当，相应的度量便是Randers度量。度量具有良好的可计算性的特点，且其性质和黎曼度量比较接近，这使得对于这类度量的研究极大地丰富和发展了芬斯勒几何的相关领域。

1929年，Berwald构造了一个芬斯勒度量如下，

，

这个度量是单位球体上具有常旗曲率且测地线全为直线段的芬斯勒度量[5] 。其中，旗曲率是黎曼几何中截面曲率的自然推广，刻画了芬斯勒流形在一个点附近的弯曲程度[2] 。如果取黎曼度量和1形式如下，

，

则上述度量可表示为

，

这类度量现在被称为Berwald型度量或平方型度量[6] 。

Berwald型度量是一类特殊而重要的芬斯勒度量，它是除了Randers度量以外另一类具有良好几何性质的度量。关于Berwald型度量已经有不少结果。例如，2007年，B.Li和Z.Shen证明了，若是一个局部射影平坦且具有常截面曲率的度量，则除了局部闵可夫斯基度量以外，或者是Randers型度量，或者是Berwald型度量[7] 。2011年，L.Zhou进一步证明了，若Berwald型度量具有常旗曲率，则它必定是局部射影平坦的[8] 。2014年，Z.Shen和作者给出了Berwald型度量是爱因斯坦度量的一个简洁刻画[9] -[11] 。

2. 预备知识

定义2.1 [1] ：设是一个维光滑流形，是其切丛上的非负函数。如果满足如下条件：

(1) 正齐性：；

(2) 光滑性：在带孔切丛上是函数；

(3) 正则性：对于任意非零向量，

构成正定的矩阵，则称是上的一个芬斯勒度量。

定义2.2 [1] ：设是维光滑流形上的一个芬斯勒度量。如果对于上的任意一点，均存在的某个局部坐标系，使得在该坐标系下的所有测地线均为直线，则称是局部射影平坦的芬斯勒度量。

一个基本的结论是，如果是局部射影平坦的芬斯勒度量，则在上述局部坐标系下，的测地系数可表示为

，

其中是切丛上的标量函数，反之亦然[4] 。若是一个黎曼度量，则其测地系数可由其黎曼联络系数给出，即。黎曼联络系数可利用下式确定：

。

设是一个光滑的正值函数，是开集上的黎曼函数，是满足模长的1形式。则形如

的芬斯勒度量称为度量[4] 。

引理2.3 [4] ：由上式确定的非负函数是一个芬斯勒度量的充分必要条件是函数满足

，

其中和是满足的任意实数。

由上述引理易得下面的结果：

引理2.4 [4] ：是芬斯勒度量的充分必要条件是。

3. 主要结果

利用经典的有理项无理项分离技巧，Z. Shen and G. C.Yildirim证明了如下结论：

定理3.1 [12] ：设是开集上的芬斯勒度量。则是射影平坦的，当且仅当

(1)

(2)

其中是上的函数，是上的1形式。

在此基础上，X. Mo, Z. Shen和C. Yang得到了如下的结论：

定理3.2 [6] ：若Randers度量是局部射影平坦的，且具有迷向S曲率，则存在，使得对于，，芬斯勒度量是局部射影平坦的。

在本文，我们将利用一种特殊的度量形变，给出不同于上述结果的另一种刻画。为此，我们先引入一些基本记号。我们用表示关于的协变导数的分量，即

，

并且记

，，，，

，，，，，

其中是度量矩阵的逆矩阵，是关于的对偶向量场的分量。同时，注意记号和分别表示和关于相应的黎曼度量和的协变导数。

引理3.3：设为关于模长，则

。

证明：

。

引理3.4：设，，则

， (3)

。 (4)

证明：设

，

由假设知，

，

所以

，

，

从而引理得证。

由(1)和(3)易知，为了使是射影平坦的，即使得的测地系数具有的形式，只需使

，

由(2)易知

，

从而

，

于是，可取

，(5)

此时，由(3)和(4)知

。 (6)

引理3.5：设，，则

。 (7)

证明：由假设知，

，

从而引理得证。

在(5)的基础上，由(6)和(7)易知

，

从而若取

， (8)

则

，

即是关于的闭的共形1形式。

上述讨论表明，若是局部射影平坦的，则通过对和实施适当的形变，可以得到一个局部射影平坦的黎曼度量以及关于它的闭的共形1形式。显然，上述形变过程是可逆的，从而我们可以从和出发，构造局部射影平坦的芬斯勒度量。由此，我们便得到如下定理:

定理3.6：芬斯勒度量是局部射影平坦的，当且仅当

，

其中是局部射影平坦的黎曼度量，是关于的闭的共形1形式，。此时，

。

证明：结合前面的讨论，我们只需再计算与的关系。事实上，

，

从而

，

从而由(5)和(8)知

，

定理得证。

基金项目

受国家自然科学基金资助，项目号11401225。

文章引用

余昌涛, (2015) 局部射影平坦Berwald型(α, β)度量的一个刻画
A Characterization for Locally Projectively Flat Berwald Type (α, β)-Metrics. 理论数学,04,150-155. doi: 10.12677/PM.2015.54023

参考文献 (References)