ABSTRACT

We consider block AOR preconditioned iterative method for solving the linear system, using the preconditioning technology. When the coefficient matrix A is an H-matrix, the convergence results of the presented method are given.

Keywords:H-Matrix, Block AOR Iterative Method, The Preconditioned Matrix, The Convergence

一种H-矩阵的块预条件AOR迭代法的收敛性

赵春云

张掖中学，甘肃 张掖

Email: zyzxzcy@126.com

收稿日期：2015年8月30日；录用日期：2015年9月18日；发布日期：2015年9月21日

摘 要

本文利用块预条件技术考虑了解线性方程组的块预条件AOR迭代法。当方程组的系数矩阵是H-矩阵时，得出了该方法的收敛性结果。

关键词 :H-矩阵，块AOR迭代法，预条件矩阵，收敛性

1. 引言

考虑线性方程组：

(1)

其中是阶方阵，与是维向量。对(1)基本的迭代解法是：

(2)

其中且是非奇异矩阵，这样(2)也可被写成：

其中，。

对矩阵做如下分块：

(3)

这儿，每个对角块，，非奇，并且。如果是非奇的，我们称是非奇块矩阵。

通常，把矩阵分裂成：

其中，和分别是(3)中的块对角，严格块下三角和严格块上三角部分，这样，矩阵的块AOR迭代矩阵为：

其中和是两个实参数，并且。特别地，当和取一些特殊值时，我们得到块SOR，块Gauss-Seidel和块Jacobi迭代法。

为了更好的解(1)，引入了非奇块预条件矩阵，即考虑：

(4)

那么(4)的块AOR迭代格式为：

(5)

其中，是非奇异矩阵。这样(5)也可以表示为：

这儿，，。相似地，我们有块预条件SOR迭代法，块预条件Gauss-Seidel迭代法和块预条件Jacobi迭代法。

如果是一个-矩阵，Alanelli等在[1] 中取，其中是由所构成的块对角矩阵(是做三角分解的下三角矩阵)：

从文献[1] 可以看出若块预条件矩阵选择得合适，必将会提高迭代方法的收敛速度。本文在已经有的预条件矩阵的基础上引入参数，对(1)中系数矩阵是-矩阵的情形进行了考虑，引入了新的块预条件矩阵，理论上分析了块预条件迭代法的收敛性。

2. 预条件迭代法

我们考虑预条件矩阵，其中

，

令，则

其中是由所构成的块对角矩阵，

如果非奇，那么是存在的，这样，我们就可以定义的块预条件AOR迭代法。即：

让表示矩阵的比较矩阵，这儿，。

在上面的定义下，的比较矩阵为，即：

3. 预备知识

定义1 [2] ：，非奇，被称为矩阵的一个分裂。如果，，那么被称为正则分裂。如果是非奇-矩阵，，那么被称为-分裂。

引理1 [2] ：是-矩阵的充要条件是存在使，其中。

引理2 [3] [4] ：如果是的一个-分裂，那么的充要条件是是一个非奇-矩阵。

引理3 [5] ：设和是两个阶方阵且，那么。

引理4 [3] [6] ：如果是-矩阵，那么。

引理5 [7] ：如果和是两个阶矩阵，那么。

4. 主要结论及证明

定理1：让是一个非奇-矩阵，若有，都大于0且：

那么也是一个非奇-矩阵。其中且和，，且与矩阵有相同的分块形式。

证明：由于是一个非奇-矩阵，那么。

令，那么：

因此，是一个非奇-矩阵，所以是一个非奇-矩阵。

定理2：如果是一个非奇-矩阵，，，并且。

那么。

证明：由定理1知是一个非奇-矩阵，且。

那么的AOR迭代矩阵为：

由引理2知。因为：

所以，由引理3，。

文章引用

赵春云. 一种H-矩阵的块预条件AOR迭代法的收敛性
Convergence on Preconditioned Block AOR Iterative Method of H-Matrix[J]. 理论数学, 2015, 05(05): 207-211. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.55029

参考文献 (References)