Pure Mathematics
Vol.06 No.02(2016), Article ID:17249,5
pages
10.12677/PM.2016.62017
Entire Solutions of Fermat Type Functional Equations
Jiangmei Duan, Min Su
Department of Mathematics, Yunnan Normal University, Yunnan Kunming
Received: Mar. 10th, 2016; accepted: Mar. 23rd, 2016; published: Mar. 30th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
In this paper, a new proof is given for the result that if, there are no non-constant entire solutions of the functional equation
.
Keywords:Fermat Type Functional Equation, Entire Functions, Normal Families Theory
关于Fermat型函数方程的整函数解
段江梅,苏敏
云南师范大学数学学院,云南 昆明
收稿日期:2016年3月10日;录用日期:2016年3月23日;发布日期:2016年3月30日
摘 要
本文对时,函数方程
没有非常数整函数解的结果给出新的证明。
关键词 :Fermat型函数方程,整函数,正规族理论
1. 引言及主要结果
1637年法国数学家费马提出了如下猜想:当时,丢番图方程
没有非平凡的整数解。1994年这个猜想被英国数学A. Wiles完全证明。要寻找方程
在整数环上的非平凡解,可以转化为求代数曲线
上的有理点。
然而早在1965年,当时,关于Fermat型函数方程
(1)
在整函数环,或是亚纯函数域上的非平凡解的状况已经完全清楚了。容易证明:当时,函数方程(1)不存在非常数的整函数解;当
时,函数方程(1)不存在非常数亚纯函数解。
类似地,研究丢番图方程整数解的存在性问题可以转化为研究方程
的有理数解的存在性问题。然而,当
时,方程
整数解的状况不是十分清楚。
相应地,不妨先考虑当时,Fermat型函数方程
(2)
在整函数环,或是亚纯函数域上的非平凡解。对于该问题的研究已有如下结论:
1985年W. K. Hayman [1] 证明了:当时,方程(2)不存在非常数亚纯解;当
时,方程(2)不存在非常数整函数解。此外,当
时,G. G. Gundersen [2] - [4] 等人找到了满足方程(2)的非常数整函数解;当
时,G. G. Gundersen [5] 构造了满足方程(2)的非常数亚纯解。
近期,苏敏 [6] 等人证明了:当时,方程(2)不存在级小于1的非常数整函数解;当
时,方程(2)不存在级小于1的非常数亚纯函数解。
本文主要利用正规族理论的知识对时,函数方程(1)没有非常数整函数解的结果给出新的证明。
对于探究函数方程整函数解的存在性,运用本文的方法,利用正规族理论的Zalcman引理对特殊情况的整函数解作降级处理,具有一定的可行性。
定理1:当时,函数方程(1)没有级小于等于1的非常数整函数解。
定理2:当时,函数方程(1)没有非常数整函数解。
2. 几个概念与引理
在定理1的证明之前,先介绍本文中常用的几个概念与引理:
定义1 [7] :设为区域
内的一族亚纯函数,如果从该族中的每一个函数序列
可以选出一个子序列
满足下列两个条件之一:
1)在
内闭一致收敛;
2)在
内闭一致趋于
,
则称此函数族在
内是正规的。
定义2 [7] :设,我们称一非负实数为
与
之间的球面距离,记作
:
定义3 [7] :设在
内亚纯,我们称
为
的球面导数。
定义4 [7] :设为
上的亚纯函数,
的级定义为
。
引理1 [8] :设为
上的非常数亚纯函数,其级
有穷,则对于
,存在
,使得
,且
.
引理2 [7] :(Marty定则)设为区域
内的一族亚纯函数。
在
内正规的充要条件是:对于
内的任一有界闭区域
,存在相应的正数
(与
有关),使得对于
中的每一个函数
,有
即。
引理3 [7] :设为区域
内的一族亚纯函数。如果
在
内不正规,则存在
中的点列
,
中的函数列
,正数列
及
上的非常数亚纯函数
,使得当
时,
且
(按球面距离在上内闭一致收敛),
并且。特别地,
的级不超过2。
引理4 [7] :设为整函数。若
的球面导数
有界,则
的级至多为1。
引理5 [7] :若是无穷级亚纯函数,则存在一个序列
,使得当
时,有
。
3. 定理的证明
3.1. 定理1的证明
假设函数方程(1)存在级小于等于1的非常数整函数解,则
一定线性无关,故
。
由(1)式可得方程组
令,则
,显然
。
另一方面,由克莱姆法则得
从而
(3)
故。
由题设和(1)式知:,
故由引理1知:对任意,存在
,使
,且
,
从而,
又由于为整函数,所以
为常数,设
。下面证明:
。
我们断言:为非常数整函数。事实上,若
,则
,所以
不取0,1,这与
至多有一个有穷picard例外值矛盾。
由于为非常数整函数,故存在
,使当
时,
(4)
又由(3)、(4)式及引理1知:对上述的及
,存在
,使
,且
,
由于,令
,
,故
即
,矛盾,定理1得证。
3.2. 定理2的证明
假设函数方程(1)存在非常数的整函数解,那么由
的任意性可以得到一组无穷级的整函数解
。
由于是无穷级整函数,由引理5知存在一个序列
,使得当
时,有
(5)
记,
,由于
结合(5)式知,所以
。于是由引理2知:
在原点的某邻域内不正规,从而由引理3知:存在点列
,正数列
,
中的函数列不妨仍记为
以及
中的非常数整函数
,使得当
时,
,且
(按球面距离在上内闭一致收敛),
即
(按球面距离在上内闭一致收敛),
并且,再由引理4知,
的级
,
此时必存在函数列,
使得当时,
(按球面距离在
上内闭一致收敛),
故存在非常数的整函数使得
,
即,故
,与定理1矛盾,定理2得证。
文章引用
段江梅,苏 敏. 关于Fermat型函数方程的整函数解
Entire Solutions of Fermat Type Functional Equations[J]. 理论数学, 2016, 06(02): 116-120. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.62017
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